克卜勒橢圓定律的前身

--太陽與行星軌道中心的定位

陳鵬仁* 姚珩

國 立 臺 灣 師 範 大 學 物 理 系

壹、 前 言─ 托 勒密 的 地心 說

每 當 日 照 逝 去 ， 夜 幕 低 垂 ， 廣 袤 的 夜 空 閃 爍 著 無 數 的 星 辰 ， 那 嘆 為 觀 止 的 星 空 ， 自 古 以 來 就 吸 引 地 上 人 們 的 目 光 ， 也 引 發 許 多 古 聖 先 賢 對 天 體 或 這 個 宇 宙 本 質 的 猜 想 ， 最 基 本 的 想 法 主 要 是 由 亞 里 士 多 德 ( Aristotle, 384-322 B.C. ) 所 提 出 (圖 一 )。他 將 地 球 視 作 宇 宙 的 中 心，把 世 界 分 成 月 上 區 和 月 下 區 兩 個 部 份 。 月 上 區 指 的 是 月 球 以 上 的 部 份 ， 包 括 了 漫 遊 的 行 星 ， 不 動 的 恆 星 以 及 神 所 居 住 的 地 方 ； 而 月 下 區 指 的 就 是 地 球 上 發 生 各 種 事 物 的 場 所 ， 俗 稱 塵 世 的 部 份 。 亞 里 士 多 德 認 為 月 上 區 是 神 所 居 住 的 地 方 ， 是 神 聖 高 潔 的 ， 行 星 在 當 中 運 行 必 定 是 以 最 均 勻 、 完 美 、 對 稱 的 正 圓 軌 道 行 進 ， 並 以 地 球 為 中 心 ， 繞 著 地 球 規 律 地 橫 過 空 間 。 不 同 的 行 星 繞 行 所 花 費 的 時 間 不 同 ， 則 不 同 的 行 星 有 著 不 同 的 繞 行 半 徑 。 故 若 將 這 種 模 式 畫 成 圖 ， 就 會 是 一 幅 以 地 球 為 中 心 ， 其 他 的 行 星 們 、 月 球 、 太 陽 在 同 心 球 殼 上 依 照 各 自 的 軌 道 運 行 。 但 在 更 仔 細 地 觀 察 後 發 現 ， 有 兩 種 天 文 現 象 無 法 用 同 心 圓 模 型 解 釋 ， 一 為 行 星 * 為 本 文 通 訊 作 者 運 行 速 率 不 一 致 ， 有 時 比 較 快 ， 有 時 比 較 慢 ； 二 是 行 星 有 逆 行 現 象 ， 原 本 是 朝 東 移 動 ， 在 一 段 時 間 之 後 ， 會 反 過 來 向 西 運 行 短 暫 的 時 間 ， 再 繼 續 朝 東 移 動 (圖 二 )。 圖 一 : 天 球 同 心 球 球 層 圖 二 : 2007/08/28 到 2008/04/28 發 生 火 星 逆 行 的 連 續 拍 攝 圖 (Tezel)

對 於 第 一 點 ， 可 以 偏 心 勻 速 點 (equant point) 的 概 念 來 描 述，僅 從 偏 心 勻 速 點 看 行 星 運 動 才 是 等 速 率 的，地 球 O 與 偏 心 勻 速 點 E 則 分 別 位 在 圓 (稱 為 偏 心 圓 ， equant) 軌 道 中 心 M 兩 側 ， 但 至 中 心 的 距 離 彼 此 相 等 ； 如 此 行 星 繞 地 運 行 的 速 率 便 會 有 所 不 同 ( 圖 三 (A)) 。 對 於 第 二 點 ， 則 是 引 入 了 均 輪 ─ 本 輪 (deferent-epicycle) 系 統，行 星 在 本 輪 (小 輪 ) 上 P 做 等 速 率 運 動 ， 而 本 輪 的 中 心 C 又 在 以 地 球 為 中 心 的 均 輪 ( 大 輪 ) 上 運 行 ， 只 要 適 當 調 整 本 輪 的 大 小 及 旋 轉 速 率 ， 就 可 以 解 釋 逆 行 的 現 象 (圖 三 (B))。 (A) 圖 三 (A)、 偏 心 圓 圓 心 M， 偏 心 勻 速 點 E 與 地 球 O (B) 圖 三 (B)、 均 輪 與 本 輪 西 元 二 世 紀 的 天 文 學 家 托 勒 密 ( Ptolemy, 85-165 A.D.) 統 合 了 前 兩 項 觀 點 ， 利 用 球 面 幾 何 與 三 角 學 的 方 法 ， 架 構 出 完 整 的 天 文 模 型 ， 能 夠 描 述 每 一 顆 行 星 運 動 的 細 節 ， 及 預 測 出 天 文 現 象 的 發 生 ， 而 且 與 實 際 觀 測 的 位 置 誤 差 不 到 10 分 角 。 這 個 集 大 成 的 天 文 模 型 理 論 成 為 西 方 宇 宙 結 構 的 主 流 ， 後 來 被 基 督 教 會 定 為 圭 臬 ， 長 達 十 四 個 世 紀 ， 直 到 十 六 世 紀 文 藝 復 興 末 期 哥 白 尼 ( N. Copernicus, 1473-1543 ) 的 出 現，才 將 人 們 從 思 想 的 桎 梏 中 解 放 出 來 。

貳、 哥 白尼 日 心說 的 簡單 性 與模 糊

性

哥 白 尼 在 看 過 托 勒 密 的 模 型 後 ， 覺 得 均 輪 、 本 輪 的 想 法 太 過 於 人 為 化 ， 而 且 到 後 來 均 輪 、 本 輪 的 個 數 達 到 七 、 八 十 個 才 能 夠 精 確 地 描 述 行 星 運 動 ， 實 在 是 太 繁 冗 ， 太 複 雜 了 ， 完 全 違 背 了 這 自 然 本 身 應 是 簡 單 、 和 諧 、 對 稱 、 完 美 的 普 適 原 則 。 為 了 要 得 出 滿 足 大 自 然 是 簡 單 性 的 原 則 ， 哥 白 尼 拋 棄 以 地 球 為 中 心 的 假 設 ， 他 重 新 發 展 了 古 希 臘 人 阿 里 斯 塔 恰 斯 (Aristarchus, 310-230 B.C.) 的 日 心 論 （ heliocentric theory） ， 將 世 界 中 心 的 寶 座 讓 予 太 陽 ， 其 他 的 行 星 皆 以 太 陽 為 中 心 繞 其 運 轉 ， 地 球 只 不 過 是 一 個 繞 著 太 陽 運 行 的 行 星 罷 了 ， 不 再 是 高 高 在 上 的 宇 宙 中 心。如 此 一 來，不 再 需 要 龐 雜 無 數 的 均 輪、 本 輪 ， 只 剩 下 以 太 陽 為 中 心 ， 行 星 各 自 以 其 軌 道 繞 行 太 陽 的 同 心 圓 模 型 ， 照 此 ， 哥

白 尼 的 模 型 大 大 簡 化 了 托 勒 密 模 型 中 均 輪 及 本 輪 的 個 數 ， 也 確 實 遵 循 自 然 是 簡 單 的 原 則 ， 行 星 運 動 再 次 回 歸 到 簡 單 、 和 諧 、 對 稱、完 美 的 理 念 (哥 白 尼，1543 ; 庫 恩， 2003)。 然 而 哥 白 尼 對 太 陽 的 定 位 仍 顯 得 曖 昧 模 糊 ， 時 而 它 在 共 同 軌 道 的 中 心 ， 時 而 又 在 軌 道 中 心 的 附 近 ， 說 法 反 反 覆 覆 ， 模 稜 兩 可 。 他 曾 描 述 不 動 的 太 陽 S 與 地 球 E 正 圓 軌 道 中 心 OE 的 關 係，如 圖 四 (A)，地 球 軌 道 中 心 OE 並 非 靜 止 ， 它 還 以 小 輪 繞 著 圓 心 O 旋 轉，而 圓 心 O 又 以 均 輪 情 形 繞 著 太 陽 S 旋 轉。對 於 火 星 而 言，火 星 M 在 自 己 的 本 輪 上 運 行 ， 本 輪 中 心 又 在 以 OM 為 中 心 的 均 輪 上 作 圓 周 運 動，而 OM 與 OE 的 位 置 並 不 重 合 ， 位 置 則 維 持 不 變 (圖 四 (B)) 。 顯 然 地 球 與 火 星 軌 道 的 中 心 並 不 落 在 太 陽 上 ， 且 對 地 球 與 其 他 行 星 ， 又 分 別 採 取 了 不 同 的 處 理 方 法 ， 而 不 一 致 、 不 協 調 ， 甚 至 還 攙 雜 著 他 自 身 所 反 對 的 人 為 化 與 複 雜 性 。 哥 白 尼 仍 然 尚 未 達 成 他 所 期 望 ， 能 呈 現 宇 宙 和 諧 與 完 美 描 述 的 最 終 理 想 。

參、 克 卜勒 的 釐清 ─ 地 球與 火 星

均受 太 陽支 配

哥 白 尼 的 理 念 五 十 年 後 由 克 卜 勒 (J. Kepler, 1571-1630) 發 揚 光 大 ， 並 確 定 了 太 陽 ， 與 含 地 球 在 內 所 有 行 星 共 同 軌 道 中 心 的 位 置 。 克 卜 勒 是 哥 白 尼 的 忠 實 信 徒 ， 他 見 識 到 將 宇 宙 中 心 從 地 球 移 至 太 陽 後 ， 由 數 也 數 不 清 的 均 輪 、 本 輪 ， 蛻 變 成 只 要 (A) 圖 四 (A)、 地 球 運 行 示 意 圖 ， 太 陽 S 不 在 地 球 正 圓 軌 道 中 心 ， 而 地 球 正 圓 軌 道 中 心 OE 繞 著 O 旋 轉 ， 且 O 又 繞 著 太 陽 S 旋 轉 (B) 圖 四 (B)、 火 星 運 行 示 意 圖，火 星 運 行 的 本 輪 中 心 ， 在 以 OM 為 中 心 的 均 輪 上 運 行，OM 與 OE 的 相 對 位 置 固 定 不 變 。 幾 個 同 心 圓 ， 便 可 清 楚 地 明 白 星 體 的 運 行 ， 和 預 測 天 象 的 發 生 。 由 繁 入 簡 ， 多 麼 簡 單 、 完 美 ， 於 是 對 哥 白 尼 的 「 日 心 說 」 推 崇 不 已 ， 且 誓 言 將 儘 力 捍 衛 它 。 然 而 克 卜 勒 並 未 墨 守 成 規 ， 他 深 深 明 白 哥 白 尼 模 型 中 一 些 模 糊 不 清 的 地 方 ， 並 採 取 了 不 同 的 基 礎 點 :宇 宙 的 主 宰 與 中 心 是 太 陽，它 掌 控 所 有 行 星 的 運 行 ； 地 球 只 是 其 中 一 個 行

星 ， 不 扮 演 任 何 特 殊 角 色 ； 地 球 軌 道 中 心 與 所 有 其 他 行 星 的 軌 道 中 心 也 沒 有 差 別 ， 不 應 分 別 處 理 。 為 了 得 到 更 為 正 確 的 行 星 軌 跡 ， 克 卜 勒 重 新 採 用 了 托 勒 密 的 偏 心 圓 理 論 。 “在 太 陽 與 地 球 的 理 論 中 ， 確 實 要 有 偏 心 點 是 相 當 明 顯 的，….因 為 是 對 所 有 行 星 ， 偏 心 圓 觀 念 是 普 遍 與 共 同 的 ， 我 的 工 作 將 對 這 些 原 因 加 以 闡 述 。 ” (Kepler, 1609) 在 此 模 型 中 ， 所 有 行 星 以 不 同 半 徑 ， 但 皆 繞 著 共 同 圓 心 作 圓 周 軌 運 動 ； 太 陽 並 非 在 共 同 圓 心 上 ， 而 是 偏 離 圓 心 一 小 段 距 離 ； 且 行 星 既 不 是 繞 太 陽 ， 也 不 是 繞 圓 心 做 規 律 的 等 速 率 運 動 ， 而 是 對 第 三 點 (偏 心 勻 速 點 ) 作 等 角 速 率 運 動 。 如 前 圖 三 (A)， 只 是 將 原 先 地 球 位 置 O 取 代 為 太 陽 位 置 。 克 卜 勒 很 幸 運 地 可 使 用 第 谷 (Tycho Brahe, 1546-1601) 所 留 下 來 龐 大 及 精 確 的 觀 測 資 料 。 他 不 厭 其 煩 ， 辛 勞 地 分 析 數 據 資 料 ， 察 覺 到 隱 藏 在 行 星 運 動 背 後 ， 那 不 為 人 知，晦 暗 未 明 的 真 理，其 蛛 絲 馬 跡， 如 剝 繭 抽 絲 般 地 逐 漸 浮 現 在 克 卜 勒 眼 前 。 第 谷 與 他 皆 體 會 當 地 球 運 行 到 太 陽 和 火 星 之 間 ， 且 自 地 球 去 觀 測 火 星 和 太 陽 成 一 直 線 ， 或 夾 角 為 180 度 時 ， 可 當 作 眾 多 天 文 數 據 中 的 重 要 標 誌，此 特 殊 排 列 稱 為「 衝 」 (opposition) 或 「 三 連 星 」 。 它 對 在 茫 茫 天 體 中 ， 安 排 出 太 陽 、 地 球 與 行 星 的 位 置 關 係 上 ， 一 直 扮 演 著 提 綱 挈 領 、 無 法 取 代 的 關 鍵 角 色 。 除 了 在 薄 幕 或 清 晨 ， 偶 然 同 時 觀 察 到 火 星 和 太 陽 ， 分 別 在 我 們 的 正 前 後 方 ， 而 可 直 接 看 到 衝 的 形 成 。 此 外 皆 是 利 用 白 天 時 所 觀 察 到 太 陽 的 位 置 S 及 軌 跡 ， 將 它 延 續 在 天 體 上 描 繪 出 圓 滑 的 圓 周 曲 線 ， 而 得 到 夜 晚 時 太 陽 S’ 到 地 球 O 的 相 對 位 置 或 角 度 (經 度 )。如 此 在 清 明 的 夜 晚 觀 察 火 星 M ’ 時 ， 可 同 時 測 得 火 星 M’ 與 太 陽 S’ ， 到 地 球 上 觀 察 者 O 的 相 對 位 置 或 角 度 (經 度 )。如 此 不 僅 可 得 知 衝 的 發 生 與 否 ， 更 可 獲 得 任 意 時 刻 在 地 球 上 所 觀 測 到 的 火 星 M， 與 太 陽 S 之 經 度 (圖 五 )。 圖 五 、 火 星 與 太 陽 之 角 度 決 定 的 簡 單 示 意 圖 : 先 觀 察 太 陽 S 白 天 運 行 的 軌 跡，去 推 算 夜 晚 太 陽 S’的 位 置，在 晚 上 去 觀 測 火 星 M’的 位 置，即 可 知 道 太 陽 與 火 星 相 對 於 觀 察 者 O 的 角 度。火 星、太 陽 與 觀 察 者 (OSM 與 OS’M’) 皆 會 在 同 一 平 面 ─ 黃 道 面 上 。

肆 、 太 陽 與 火 星 軌 道 中 心 位 置 的 苦

苦尋 求

克 卜 勒 自 第 谷 的 資 料 裡，選 取 了 發 生 四 次 「 火 星 衝 」 的 時 間 與 數 據 ， 它 們 分 別 是 在 1587 年 3 月 6 日、1591 年 6 月 8 日、 1593 年 8 月 25 日 及 1595 年 10 月 31 日 。 於 圖 六，A 為 恆 定 不 動 的 太 陽 位 置，D、E、 F、G 代 表 四 次 發 生 火 星 衝 時 的 火 星 經 度 位 置 ， 圖 中 未 繪 出 地 球 ， 但 它 必 分 別 落 在 AD、 AE、 AF 與 AG 線 段 上 。 所 有 這 些 點 線 皆 會 在 同 一 平 面 (即 黃 道 面 ) 上 。 圖 六 、 決 定 太 陽 位 置 A 、 火 星 軌 道 中 心 B、 與 偏 心 勻 速 點 C 之 示 意 圖 克 卜 勒 參 考 了 早 期 托 勒 密 的 偏 心 圓 模 型 ， 假 設 太 陽 位 置 A、 火 星 軌 道 中 心 B、 及 偏 心 勻 速 點 C 均 位 在 同 一 直 線 HI 上 ， 其 中 H 為 遠 日 點，I 為 近 日 點，HI 亦 被 稱 為 遠 近 線。欲 證 明 此 三 點 所 形 成「 偏 心 圓 」 的 存 在， 他 希 望 D、 E、 F、 G 可 形 成 一 正 圓 ， 且 其 圓 心 B 又 必 須 落 在 AC 連 線 上 。 故 一 切 運 算 的 出 發 點 為 偏 心 圓 直 徑 、 或 遠 近 線 HI 到 底 落 在 何 處 ？ 他 首 先 任 意 選 定 ∠ HCF、 ∠ HAF， 經 由 觀 察 數 據 ， 及 眾 多 但 簡 易 的 幾 何 關 係 ， 若 最 後 所 推 算 出 的

(1) ∠ EFG ＋ ∠ EDG ＝ ∠ DEF ＋ ∠ DGF ＝

180 ° 滿 足 四 邊 形 可 形 成 外 接 圓 的 條 件，則 D、E、F、G 會 落 在 同 一 圓 上 。 如 果 算 出 來 的 結 果 不 等 於 180°，那 麼 就 回 過 頭 來 ， 重 新 選 定 ∠ HCF 、 ∠ HAF，以 期 D、E、F、G 可 形 成 一 圓 。 進 一 步 ， 為 讓 B 落 在 AC 連 線 上 ， 又 必 須 滿 足

(2) ∠ HAF＝ ∠ BAF 的 結 果，若 是 ∠ HAF ≠ ∠ BAF ， 則 需 再 次 重 新 選 取 ∠ HCF、∠ HAF。如 此，反 覆 進 行 計 算 ， 直 到 獲 得 上 述 兩 個 重 要 的 預 期 結 果 ( Kepler, 1609 ； Kozhamthadam, 1995； Martens, 2000)。 由 於 克 卜 勒 在 新 天 文 學 原 著 中 的 運 算 較 複 雜 ， 我 們 稍 將 其 步 驟 簡 化 、 釐 清 ， 並 自 美 國 海 軍 天 文 台 的 天 文 資 料 (MICA)，隨 機 選 取 最 近 在 北 台 灣，分 別 所 觀 測 到 的 四 個 火 星 衝 ： 1950 年 3 月 23 日 (F)、1954 年 6 月 24 日 (G)、1956 年 9 月 10 日 (D) 及 1958 年 11 月 16 日 (E) 的 數 據 為 參 考 ， 重 新 詳 盡 地 描 述 及 保 留 克 卜 勒 原 有 的 辛 勤 工 作 內 容 、 與 運 算 精 神 ， 藉 此 呈 現 他 在 獲 得 其 行 星 三 大 定 律 前 ， 所 開 啟 天 文 學 研 究 的 新 思 維 ， 並 揭 示 其 實 事 求 是 的 科 學 方 法 。

一 、 由 觀 測 數 據 ， 決 定 四 次 衝 時 的

火星 位置 至太 陽 的相 對角 度

我 們 所 選 取 上 述 四 個 火 星 衝 的 經 度 位 置 分 別 是 :D 為 348.8°、 E 為 54.3°、 F 為

182.7 °、 G 為 273.3 ° (以 春 分 點 之 太 陽 位

置 、 或 正 東 方 的 經 度 為 0°)， 故

∠ DAE＝ 360°＋ 54.3°－ 348.8°＝ 65.5°、 ∠

EAF＝ 128.4°、 ∠ FAG＝ 90.6°、 ∠ GAD＝ 75.5°。 另 外， C 為 偏 心 勻 速 點 ， 火 星 繞 其 作 等 角 速 率 運 動 。 已 知 火 星 週 期 為 687 天 ， DE 歷 時 797 天 ， 所 以 可 算 出 ∠ DCE＝ (797－ 687)/687×360°＝ 57.6° 同 理，也 可 得 到 ∠ ECF＝ 144.1°、∠ FCG＝ 94.3°、 ∠ GCD＝ 63.9°。

二 、 定 出 太 陽 至 火 星 的 不 同 距 離 ，

尋找 火星 軌道 之 圓心

若 設 太 陽 至 偏 心 勻 速 點 的 距 離 AC 為

10000 個 單 位，在 △ DAC、△ EAC、△ FAC

以 及 △ GAC 中 ， AC 是 共 邊 ， 那 麼 AD、

AE、 AF、 AG 皆 可 用 AC 來 表 示 (圖 七 )。

圖 七 : 以 共 邊 AC 表 示 出 太 陽 至 火 星 的 四 個 不 同 距 離 AD、 AE、 AF、 AG

以 △ GAC 為 例 ， 利 用 正 弦 定 理 ，

ACG

AG

AGC

AC

sin

sin

=

而 ∠ ACG＝ 180°－ ∠ HCF－ ∠ FCG ∠ CAG＝ ∠ HAF＋ ∠ FAG ∠ AGC＝ 180°－ ∠ ACG－ ∠ CAG

設 AC 之 延 長 線 為 遠 近 線 HI，作 為 最 後 欲 建 立 偏 心 圓 的 直 徑 ， 與 其 相 關 的 ∠ HCF 與 ∠ HAF 是 唯 一 可 自 由 選 定 的 兩 個 值 ， 餘 皆 不 可 任 意 變 動 。 現 取 ∠ HCF＝ 32.2° 與 ∠ HAF＝ 26.9° 作 為 計 算 的 起 點 ， 如 此 可 以 AC 表 示 出 AG 長 。 同 理， AD、 AE、AF 亦 可 算 出 (表 一 )。 表 一 ： 以 AC=10000， 表 示 出 太 陽 至 火 星 的 四 個 不 同 距 離 AG、 AD、 AE、

AF

∠ ACG ∠ CAG ∠ AGC AG

53.3° 117.5° 9.2° 50116

∠ ACD ∠ CAD ∠ ADC AD

10.7° 167.0° 2.3° 47251

∠ ACE ∠ CAE ∠ AEC AE

68.2° 101.5° 10.4° 51649

∠ ACF ∠ CAF ∠ AFC AF

147.8° 26.9° 5.2° 58550

接 著，在 △ FAG 中，可 用 餘 弦 定 理 求 得 相 鄰 兩 衝 火 星 之 距 離 FG， 因

其 中 ∠ FAG 已 知。以 同 樣 方 式，可 分 別 求 出 GD、 DE、 EF (表 二 )。 表 二：相 鄰 兩 衝 火 星 之 距 離 FG、GD、DE、 EF FG GD DE EF 77434 59633 53674 99269 在 同 一 △ FAG 中，∠ FAG 已 知，用 正 弦 定 理 ，

FAG

FG

AFG

AG

AGF

AF

sin

sin

sin

=

=

可 得 到 ∠ AFG 和 ∠ AGF。相 同 地，也 可 得 知 ∠ AGD、∠ ADG、∠ ADE、∠ AED、 ∠ AEF、 ∠ AFE (表 三 )， 做 為 接 著 求 得 火 星 位 置 彼 此 所 張 之 角 度 之 用 。

表 三：在 △ FAG、△ FAG、△ FAG、△ FAG 中 ， 以 正 弦 定 理 計 算 得 到 各 底 角 的 大 小

因 此，四 個 火 星 衝 時，火 星 位 置 彼 此 所 張 之 角 度 為

∠ EDG＝ ∠ ADE＋ ∠ ADG ∠ EFG＝ ∠ AFE＋ ∠ AFG ∠ DEF＝ ∠ AED＋ ∠ AEF ∠ DGF＝ ∠ AGD＋ ∠ AGF

如 果 ∠ EDG ＋ ∠ EFG ＝ ∠ DEF ＋ ∠

DGF＝ 180°， 則 我 們 能 夠 確 定 D、 E、 F、 G 必 落 在 同 一 圓 上 (表 四 )，而 完 成 第 一 個 預 期 要 求 。反 之 ， 若 D、 E、F、G 不 落 在 同 一 圓 上 ， 則 必 須 重 新 選 取 ∠ HCF 或 ∠ HAF， 再 重 覆 上 述 過 程 ， 直 到 四 點 可 形 成 一 圓 (圖 八 )。我 們 的 結 果 表 示 該 四 點 會 落 在 同 一 圓 上 ， 故 ∠ HCF、 ∠ HAF 之 選 取 ， 通 過 如 式 (1) 所 示 的 第 一 個 要 求 條 件 。 表 四 ： 確 認 四 個 火 星 位 置 D、 E、 F、 G 是 否 可 形 成 一 圓 ， 即 ∠ EDG＋ ∠ EFG ＝ ∠ DEF＋ ∠ DGF＝ 180° 圖 八 、 D、 E、 F、 G 四 點 落 在 以 B 為 圓 心 之 同 一 圓 上 。 AC 之 延 長 線 (或 遠 近 線 HI) 不 一 定 與 通 過 圓 心 B 之 直 徑 重 合 。

∠ AFG ∠ AGF ∠ AGD ∠ ADG

40.3° 49.1° 50.1° 54.4°

∠ ADE ∠ AED ∠ AEF ∠ AFE

61.2° 53.3° 27.5° 24.1°

∠ EDG ∠ EFG ∠ DEF ∠ DGF

115.6° 64.4° 80.8° 99.2°

∠ EDG+∠ EFG ∠ DEF+∠ DGF

三 、 決 定 太 陽 至 軌 道 圓 心 及 火 星 之

角度

下 一 步 ， 要 決 定 圓 心 B 是 否 落 在 AC 連 線 上，必 須 達 到 第 二 個 預 期 結 果 :∠ HAF ＝ ∠ BAF。 為 了 求 得 ∠ BAF， 須 在 △ ABF 中 ， 獲 得 相 關 的 兩 邊 一 角 ， 以 便 透 過 正 弦 定 理 求 得 。 對 與 ∠ BAF 有 關 的 ∠ FBG 而 言 ， 圓 心 角 ∠ FBG 為 圓 周 角 ∠ FEG 之 兩 倍 ， 有

∠ FBG＝ 2 ∠ FEG＝ 2 (∠ AEF＋ ∠ AEG ) 其 中 ∠ AEF 已 在 表 三 得 知。對 ∠ AEG 而 言，在 △ AEG 中，AE、AG 由 表 一 為 已 知 邊 ， 第 三 邊 EG 可 以 餘 弦 定 理

EG2＝ AE2＋ AG2－ 2×AE×AG×cosEAG

求 得，其 中 ∠ EAG＝ ∠ GAD＋ ∠ DAE 已 知 。 有 了 兩 邊 一 角 ， 經 過 正 弦 定 理 ，

AEG

AG

EAG

EG

sin

sin

=

遂 得 知 ∠ AEG 值，也 就 決 定 出 ∠ FBG (表 五 )。 由 於 BF＝ BG 為 圓 半 徑，△ FBG 為 等 腰 三 角 形，∠ BFG＝ ∠ BGF＝ (180°－ ∠ FBG )， 由 正 弦 定 理 ，

BGF

BF

FBG

FG

sin

sin

=

得 到 BF=BG 的 距 離 。 最 終 在 △ ABF 中 ， 先 使 用 餘 弦 定 理

AB2＝ AF2＋ BF2－ 2×AF×BF×cosAFB

求 得 AB 的 大 小 ， 其 中 ∠ AFB＝ ∠ BFG－ ∠ AFG 已 知 。 最 後 通 過 正 弦 定 理 ，

BAF

BF

AFB

AB

sin

sin

=

終 於 可 確 認 出 ∠ BAF 之 值 (表 五 )。 表 五：在 △ ABF 中 通 過 兩 邊 BF、AB 及 一 角 ∠ AFB 所 獲 得 的 ∠ BAF EG ∠ AEG ∠ FBG ∠ BFG= ∠ BGF 95938 19.2° 93.4° 43.3° BF=BG ∠ AFB AB ∠ BAF 53197 3.0° 6084 26.9°

四 、 檢 視 太 陽 、 軌 道 圓 心 與 偏 心 勻

速點 是否 成一 直 線

若 ∠ BAF＝ ∠ HAF， 則 B 點 即 落 在 AC 連 線 上 ， 辛 勞 的 計 算 即 告 完 成 。 但 如 果 ∠ BAF≠ ∠ HAF， 就 必 須 再 回 過 頭 來 ， 修 正 假 定 的 ∠ HAF 和 ∠ HCF 之 值，依 照 同 樣 的 程 序 計 算 一 遍 ， 直 到 兩 角 相 符 為 止 (表 六 )。 表 六：檢 視 ∠ BAF＝ ∠ HAF 以 確 認 軌 道 圓 心 、 太 陽 與 偏 心 勻 速 點 是 否 落 在 同 一 直 線 ∠ BAF ∠ HAF 26.9° 26.9° 最 後 我 們 所 得 到 的 ∠ BAF， 與 最 初 設 定 的 ∠ HAF 的 值，非 常 吻 合，通 過 了 式 (2) 所 示 的 第 二 個 要 求 條 件 。 也 確 認 太 陽 、 軌 道 圓 心 、 與 偏 心 勻 速 點 ， 的 確 將 落 在 同 一 直 線 上 。

我 們 所 重 建 的 偏 心 圓 與 克 卜 勒 所 完 成 的 偏 心 圓 模 型，此 二 者 的 太 陽 A 至 軌 道 圓 心 B 之 距 離 AB， 與 軌 道 圓 心 B 至 偏 心 勻 速 點 C 之 距 離 BC 的 比 較 ， 列 於 表 七 (Jacobsen,1999) 。 兩 者 相 當 一 致 ， 皆 可 讓 A、 B、 C 落 於 同 一 直 線 上 ， 以 B 點 為 中 心 之 圓 ， 均 可 通 過 四 個 火 星 觀 測 位 置 ， 且 圓 心 B 並 不 平 分 距 離 AC。 表 七 ： 重 建 的 偏 心 圓 模 型 ， 與 克 卜 勒 所 完 成 的 模 型 之 比 較 (歸 一 為 將 圓 半 徑 BF=53197→ 1) AB BC 6048 3952 AB (歸 一 ) BC (歸 一 ) 0.11369 0.07429 AB (克 卜 勒 ) BC (克 卜 勒 ) 0.11332 0.07232 克 卜 勒 在 完 成 及 釐 清 太 陽 位 置 A、火 星 軌 道 中 心 B、及 偏 心 勻 速 點 C 三 者 所 構 造 出 的 偏 心 圓 模 型 後 ， 曾 如 此 描 述 當 時 的 心 境 ： “ 如 果 這 種 冗 長 的 方 法 讓 你 厭 煩 的 話 ， 你 或 許 更 會 憐 憫 我 起 來 。 因 為 我 花 費 了 巨 大 的 時 間 ， 反 覆 了 至 少 70 餘 次 的 計 算 ， 至 今 已 過 了 五 個 年 頭。” (Kepler, 1609, p256)。 後 來 他 很 快 地 也 察 覺 到 上 面 辛 苦 所 獲 得 的 偏 心 圓 模 型 ( 他 名 為 暫 代 性 假 說 vicarious hypothesis)， 仍 未 能 準 確 地 描 述 火 星 運 動 的 路 徑 ， 便 以 它 為 參 考 ， 往 前 再 嘗 試 修 正 ， 尋 找 更 精 確 的 幾 何 軌 跡 ， 最 後 終 於 能 建 立 起 行 星 的 橢 圓 定 律 (姚 珩 、 黃 秋 瑞，2003)。雖 然 暫 代 性 假 說 並 非 完 全 準 確，但 不 能 說 對 它 的 探 討 徒 勞 無 益；反 之， 它 是 克 卜 勒 天 文 思 想 的 基 礎 ， 是 行 星 運 動 軌 跡 的 基 本 形 式 。 暫 代 性 假 說 充 分 地 顯 示 出 克 卜 勒 對 太 陽 無 可 比 擬 地 推 崇 ， 太 陽 自 身 發 光 發 熱 ， 支 配 整 個 世 界 ， 是 宇 宙 的 主 宰 ， 各 個 行 星 繞 其 運 轉 不 歇 ， 不 再 像 哥 白 尼 ， 太 陽 與 圓 軌 道 中 心 模 糊 不 分 。 沒 有 太 陽 與 軌 道 圓 心 的 區 隔 ， 將 很 難 發 現 橢 圓 的 焦 點 與 對 稱 中 心 之 角 色 ， 自 然 也 不 會 有 行 星 橢 圓 定 律 的 形 成 。 克 卜 勒 僅 利 用 簡 單 的 幾 何 特 性，及 正 弦 與 餘 弦 定 理 ， 逐 步 建 立 起 了 行 星 理 論 的 基 礎 ， 與 釐 清 行 星 真 實 運 行 的 情 形 。 這 主 要 是 他 對 太 陽 至 高 無 上 、 神 聖 獨 特 性 的 堅 持 ， 以 及 他 體 會 出 在 哥 白 尼 所 欲 復 興 的 畢 達 哥 拉 斯 及 新 柏 拉 圖 主 義 中 ， 所 揭 示 自 然 背 後 有 著 簡 單 數 學 關 係 的 深 刻 含 義 ( 伯 特，1994)。克 卜 勒 不 厭 其 煩，不 辭 辛 勞 ， 藉 找 出 暫 代 性 假 說 的 理 論 ， 透 視 出 行 星 看 似 漫 遊 不 定 ， 飄 渺 虛 無 的 天 際 移 轉 背 後 ， 所 隱 匿 不 出 、 微 言 大 義 的 簡 單 、 和 諧 ， 令 人 沉 醉 不 已 之 數 學 關 係 。

伍、 結 論

克 卜 勒 始 終 相 信 哥 白 尼 以 太 陽 為 宇 宙 中 心 的 理 念 為 真 ， 但 他 卻 不 甚 滿 意 哥 白 尼 對 太 陽 位 置 的 反 覆 不 定 。 他 認 為 太 陽 是

宇 宙 中 最 特 別 的 一 個 星 體 ， 也 是 一 切 動 力 的 真 正 來 源 ， 為 了 排 除 哥 白 尼 系 統 中 對 太 陽 定 位 的 模 糊 性 ， 以 及 解 決 行 星 確 實 有 環 繞 太 陽 運 動 的 非 等 速 性 ， 克 卜 勒 接 受 並 自 托 勒 密 偏 心 點 理 論 的 架 構 重 新 出 發 。 加 上 嚴 格 的 幾 何 推 算，以 其 莫 大 的 耐 心、毅 力， 將 原 本 隱 晦 不 清 的 太 陽 、 圓 周 軌 道 中 心 、 與 偏 心 勻 速 點 三 者 的 幾 何 位 置 ， 及 彼 此 間 的 距 離 比 ， 分 析 得 清 晰 透 徹 ， 而 建 立 起 偏 心 圓 的 暫 代 性 假 說 。 從 此 ， 三 者 不 再 混 淆 模 稜 ， 也 非 定 位 不 清 ， 而 是 各 自 在 自 己 明 確 的 位 置 上 ， 分 別 擔 任 自 己 的 職 責 ， 太 陽 ─ 世 界 的 中 心 ─ 是 在 全 新 、 自 身 所 在 的 獨 立 一 點 上 。 沒 有 偏 心 圓 暫 代 性 假 說 的 發 現，克 卜 勒 將 無 法 進 一 步 地 與 觀 測 數 據 做 更 精 細 的 比 較，並 不 斷 修 正，繼 而 建 立 起 距 離 規 則， 最 後 才 形 成 著 名 的 三 個 行 星 運 動 定 律 ， 彼 此 環 環 相 扣 ， 顯 示 行 星 運 動 定 律 是 無 法 僅 由 數 據 的 歸 納 就 能 獲 得 的 。 克 卜 勒 將 當 時 的 數 學 方 法 ─ 幾 何 學 ─ 充 分 發 揮 在 天 文 學 上 ， 他 不 相 信 權 威 ， 也 不 抱 殘 守 缺 ， 實 事 求 是 ， 細 膩 精 確 ， 遍 佈 創 意 ， 超 乎 前 人 。 他 將 天 文 學 與 數 學 做 了 絕 佳 的 結 合 ， 並 形 成 最 好 的 典 範 ， 也 為 古 典 力 學 開 闊 出 一 條 坦 途 大 道 。

陸、 參 考文 獻

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