101-1 共同考科 數學(C)卷 共2 頁 第 1 頁
101 學年四技二專第一次聯合模擬考試
共同考科 數學(C)卷 詳解
數學(C)卷
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C A D A A A C
C B B D
A
B
A
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D
D
A
C D C C A
D
B
1. a5<0且a+b>0⇒a<0、b>0且 a < b 則a4− b4<0，ab<0，∴Q(a4−b4,ab)∈Ⅲ 2. 將原式配方得f(x)= x−( −4)2+3 當x=4時，有極大值3，則2p+ q=11 3. 如右圖所示 在ΔPSQ中，∠S=90° 1 = PS 、PQ=2、SQ= 3 則Q( 3−1,0) ∵∠SQP=30°、∠PQR=60° ° = ∠SQR 90 ，QR=2 ∴R( 3−1,−2) 1 3− = a 、b=−2⇒b−2a=−2 3 4. 利用距離公式得知EF= (−1−7)2+[4−(−2)]2 =10 ∵P、Q 為DE及DF 邊上之中點，∴ 5 2 1 = = EF PQ 5. ,7) 2 3 ( ) 2 8 6 , 2 ) 2 ( 5 ( M M + − + = ) 5 , 1 ( ) 3 1 8 6 , 3 0 ) 2 ( 5 ( G G + − + + + = ∴ 2 17 ) 7 5 ( ) 2 3 1 ( − 2 + − 2 = = MG 6. ∵平行四邊形之對角線互相平分 ∴DF之中點=EG之中點 ) 2 7 2 , 2 3 ( ) 2 , 2 4 3 ( − h+k = h−k + ⎩ ⎨ ⎧ + = − = − ) 2 ( 9 ) 1 ( 3 1 L L L L k h k h ，(1)+(2)⇒h=2，k=7 ∴2h+ k3 =25 7. 由下圖可知 B 點為 AP 之內分點 ∵ 5 2 3 2 2 5 ⇒ ： = ： ⇒ ： = ： = PB AP PB AP PB AP ； 依內分點公式 13 7 5 ) 3 ( 2 3 3 6 5 ) 4 2 ( 3 2 = − ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ − + = − = ⇒ × + = − a b b y a a 8. ∵L1⊥L2⇒m1⋅m2=−1 ∴ )[ ( 4)] 1 2 4 (−k1 − k1+ =− ⇒k1=− 2 1 2 1//L m m L ⇒ = ∴ 3 16 )] 4 ( [ ) 4 (−k2 = − k2+ ⇒k2=− ， 3 10 2 1− k = k 9. 設與 L 垂直之直線為L′，其斜率為mL′ ∵兩直線垂直，則 ) 1 2 1 ( 1⇒ − ⋅ =− − = ⋅ L′ L′ L m m m 2 = ′ L m ，由點斜式求直線方程式 0 7 2 : ) 3 ( 2 1= + ⇒ ′ − + = − x L x y y 10. ∵ α β β α β α cot cot 1 cot cot ) cos( − + = − ∴原式=cot(80°−230°)=−cot150°= 3 11. 如右圖所示，cos = p>0 q>0 p q、 、 θ 2 2 2 2 cot csc q p q q p p − + − = + θ θ q p q p q p q p q p q p q p − + = + − + = − + = ) )( ( ) ( ) ( 2 2 2 2 12. 化簡原式 x x x x x x csc 2 sin 2 sin ) cos 1 ( ) cos 1 ( sin2 2 = = − − + = ∴週期=2π 13. π <α<2π⇒α∈ 2 3 Ⅳ ∴ 5 3 cosα= 、 5 4 sinα =− 、 3 4 tanα =− ∈ ⇒ ° < < ° β 180 β 90 Ⅱ ∴ 13 5 sinβ = 、 13 12 cosβ =− 、 12 5 tanβ =−101-1 共同考科 數學(C)卷 共2 頁 第 2 頁 65 16 sin sin cos cos ) cos(α+β = α⋅ β− α⋅ β =− 16 65 ) sec( + =− ⇒ α β 16 63 tan tan 1 tan tan ) tan( =− − + = + β α β α β α 8 1 ) tan( ) sec(α+β − α+β =− 14. 令a+b=11k，b+c=9k，c+a=12k k c b a+ + =16 ⇒ ，∴c=5k、b=4k、a=7k 依餘弦定理： ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⋅ ⋅ − + = − + = = ⋅ ⋅ − + = − + = − = ⋅ ⋅ − + = − + = 7 5 ) 4 ( ) 7 ( 2 ) 5 ( ) 4 ( ) 7 ( 2 cos 35 29 ) 5 ( ) 7 ( 2 ) 4 ( ) 5 ( ) 7 ( 2 cos 5 1 ) 5 ( ) 4 ( 2 ) 7 ( ) 5 ( ) 4 ( 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k k k ab c b a C k k k k k ac b c a B k k k k k bc a c b A A cos ⇒ ：cos ：B 5 1 cosC=− ： 35 29： 7 5 7 − = ：29：25 15. 繪簡圖如右：令塔高為CD= h ACD Δ 、 BCDΔ 及 BACΔ 為直角三角形 則 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ⇒ = ° = ⇒ = ° h BC BC h h AC AC h 3 30 tan 45 tan 依畢氏定理： 2 20 402 2 2 = ⇒ = + BC h AC 16. 已知∠C=180°−75°−60°=45° 令 ABCΔ 面積為Δ，則 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ) 3 ( sin 2 1 Δ ) 2 ( sin 2 1 Δ ) 1 ( sin 2 1 Δ L L L L L L A ab B ac A bc ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ⋅ ⋅ 相乘
則得 ( ) sin sin sin (4) 8 1 2 3 L L C B A abc ⋅ ⋅ = Δ 又外接圓公式為 abc R R abc⇒ = Δ = Δ 4 4 代入(4)得 ° ⋅ ° ⋅ ° =
Δ 2R2sin75 sin60 sin45 ) 3 3 ( 36 16 3 2 6 ) 12 ( 2⋅ 2⋅ + = + = 17. 由三角恆等式之平方關係 x x x x 2 2 2 2 cos 1 sin 1 cos
sin + = ⇒ = − 代入原式 5 cos 6 ) cos 1 ( 3 ) (x = − 2x − x+ f 5 cos 6 cos 3 3− 2 − + = x x 配方f(x)=−3(cosx+1)2+11 由三角函數值域−1≤cosx≤1得M =11 10 1⇒ + = − = M m m 18. 在 上之正射影長為 19. ∵ ，∴4s−3=5⇒s=2 1 4 2 6= t+ ⇒t= ，s+ t=3 20. 已知 =(4−6,−6+3)=(−2,−3) 則 (−2)2+(−3)2 = 13 21. ∵ ⇒(12,5)=x(−2,1)+y(3,4) ∴ 3 5 4 12 3 2 − = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = + = + − x y x y x ，y=2，2y− x=7 22. 先求兩向量的內積 3 2 1 3 2× × = = 再將原式平方求出 61 81 36 16− + = = 則 = 61 23. ∵ 2 1 sin cos2 + 2 = − = α α ° = ⇒ − = ⇒ 60 2 1 2 cos α α 24. 以聯立方式，求出L1與L2之交點 P 3 3 6 2 − = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ − = − − = + x y x y x ，y=0，∴P(−3,0) 5 4 4 ) 3 ( 5 0 9 ) , ( 2 2 3 = + + + − = L P d 25. 將 P、Q 兩點代入直線 L 知兩點為異側，可由三角形 比例關係得PM：QM =d(P,L)：d(Q,L) 25 6 17 4 16 5 : 17 4 12 2 ： = + + + − =
