100指考數學乙

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100 學年度指定科目考試試題

數學乙

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內畫記。修正時應以橡皮擦拭，

切勿在答案卡上使用修正液（帶）。

第貳部分作答於「非選擇題答案卷」，並標明題號。請務必在規定之欄位使用

筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。更正時，可以使用修正液

（帶）。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（一）單選題只用

1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到，，以及 6，7，8，9，0

等 格 子 ； 多 選 題 只 用

1 ， 2 ， 3 ， 4 等 四 個 格 子 ， 而 不 需 要 用 到

 ，  ， 以 及

5，6，7，8，9，0 等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而考生得到的答案為 7，

亦即選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 畫記（注意不是 7），如：

例：若第

5 題為多選題，而考生認為正確的選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的

第

5 列的 與 畫記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子畫記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50 7 

時，則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 畫記，如：

0 -3 1 3 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 （ 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 占

7 6 分 ）

一 、 單 選 題 （

1 2 分 ）

說明：第

1 題至第 2 題，每題 5 個選項，其中只有 1 個是正確的選項，畫記在答案卡之「解

答欄」。各題答對得

6 分，未作答、答錯、或畫記多於 1 個選項者，該題以零分計算。

1. 符 號 ( )P C 代表事件 C 發生的機率，符號 ( | )P C D 代表在事件 D 發生的條件下，事件 C 發 生 的 機 率 。 今 設 A,B 為樣本空間中的兩個事件，已知 ( )P A P B( ) 0.6 。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 ( 1 ) (P AB) 1 ( 2 ) (P AB) 0.2 ( 3 ) ( | ) 1P A B  ( 4 ) ( | )P A B P B A( | ) ( 5 ) ,A B 是獨 立事 件 2. 如 圖 ， 平 面 上 五 個 大 小 相 同 的 圓 圈 用 四 根 長 度 相 同 的 線 段 連 接 成 十 字 形 ， 其 中 任 意 兩 相 鄰 線 段 均 互 相 垂 直。 今 欲 將 其 中 兩 個 圓 圈 著 上 藍 色 ， 其 他 圓 圈 著 上 紅 色 ， 並 規 定 在 著 好 色 之 後 將 圖 形 繞 十 字 形 的 中 心 旋 轉 產 生 的 各 種 著 色 法 均 視 為 同 一 種 ， 試 問 共 有 幾 種 著 色 法 ？ ( 1 ) 3 ( 2 ) 6 ( 3 ) 1 0 ( 4 ) 2 0 ( 5 ) 3 2 2

-二 、 多 選 題 （

3 2 分 ）

說明：第

3 題至第 6 題，每題有 4 個選項，其中至少有 1 個是正確的選項。選出正確選項，

畫記在答案卡之「解答欄」。各題之選項獨立判定。所有選項均答對者，得

8 分；答錯

1 個選項者，得 4 分；所有選項均未作答或答錯多於 1 個選項者，該題以零分計算。

3. 某種疾病有甲、乙、丙三種檢測方法。若受檢者檢測反應為陽性，以符號「＋」表示， 反 之 則 記 為「 － 」。一 個 受 檢 者 接 受 三 種 檢 測 方 法 呈 現 之 結 果 共 有 A1, , A8八 種 不 同 的 可 能 情 況 ， 例 如 事 件 A 表 示 該 受 檢 者 以 三 種 方 法 檢 測 反 應 皆 為 陽 性 ， 其 餘 類 推 （ 如1 下 表 ） ： 1 A A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 方法甲 ＋ ＋ ＋ － ＋ － － － 方法乙 ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － 方法丙 ＋ － ＋ ＋ － － ＋ － 以P A

 

1 , , P A

 

8 分別代表事件 A1, , A8發生之機率。請問下列哪些選項是正確的？ ( 1 ) P A



1A2



P A

 

1 P A

 

2 ( 2 ) 以方 法乙 檢測 結果 為陽 性的 機率 是P A

 

1 P A

 

2 P A

 

4 P A

 

6 ( 3 ) 以方 法甲 與方 法乙 檢測 ，結 果一 致的 機率 是P A

 

1 P A

 

2 ( 4 ) 以方 法甲 、乙 、丙 檢測 ，結 果一 致的 機率 是P A

 

1

4. 某訓練班招收 100 名學員，以報到先後順序賦予 1 到 100 的學號。 開訓一個 月之後， 班 主 任 計 畫 從100 位學員中抽出 50 位來參加 時事測 驗。他擬定了四個抽籤方案： 方 案 一 ： 在 1 到 50 號 中 ， 隨 機 抽 出 25 位 學 員 ； 同 時 在 51 到 100 號 中 ， 也 隨 機 抽 出 25 位學員，共 50 位學員參加 測驗 方 案 二 ： 在 1 到 60 號 中 ， 隨 機 抽 出 32 位 學 員 ； 同 時 在 61 到 100 號 中 ， 也 隨 機 抽 出 18 位學員，共 50 位學員參加 測驗 方 案 三 ： 將 100 位學 員平 均分 成 50 組 ；在 每 組 2 人中 ，隨 機抽 出 1 人 ，共 50 位 學員 參 加 測 驗 方 案 四 ： 擲 一 粒 公 正 的 骰 子 ： 如 果 出 現 的 點 數 是 偶 數 ， 則 由 學 號 是 偶 數 的 學 員 參 加 測 驗 ； 反 之 ， 則 由 學 號 是 奇 數 的 學 員 參 加 測 驗 請 選 出 正 確 的 選 項 。 ( 1 ) 方案 一中 ，每 位學 員被 抽 中 的機 率相 等 ( 2 ) 方案 二中 ，每 位學 員被 抽 中 的機 率相 等 ( 3 ) 方案 三中 ，每 位學 員被 抽 中 的機 率相 等 ( 4 ) 方案 四中 ，每 位學 員被 抽 中 的機 率相 等 5. 設



,r



為 函 數 ylog2x圖 形 上 之 一 點 ， 其 中  為 圓 周 率 ， r 為 一 實 數 。 請 問 下 列 哪 些 選 項 是 正 確 的 ？ ( 1 )



r, 為函數



_y2x_{圖 形 上 之 一 點} ( 2 )



r, 為函數



1 2     _{ } x y 圖 形 上 之 一 點 ( 3 ) _1, _  r為 函 數 ylog12x 圖形上之一 點 ( 4 )



r,2 為函數



_y4x_{圖 形 上 之 一 點} 4

-6. 某 校 數 學 複 習 考 有 400 位 同 學 參 加 ， 評 分 後 校 方 將 此 400 位 同 學 依 總 分 由 高 到 低 排 序 ： 前100 人為 A 組，次 100 人為 B 組，再次 100 人為 C 組，最後 100 人為 D 組。校 方 進 一 步 逐 題 分 析 同 學 答 題 情 形 ， 將 各 組 在 填 充 第 一 題 （ 考 排 列 組 合 ） 和 填 充 第 二 題 （ 考 空 間 概 念 ） 的 答 對 率 列 表 如 下 ： A 組 B 組 C 組 D 組 第 一 題 答 對 率 1 0 0 % 8 0 % 7 0 % 2 0 % 第 二 題 答 對 率 1 0 0 % 8 0 % 3 0 % 0 % 請 選 出 正 確 的 選 項 。 ( 1 ) 第一 題答 錯的 同學 ，不 可能 屬於 B 組 ( 2 ) 從第 二題 答錯 的同 學中 隨機 抽出 一人 ，此 人屬 於 B 組 的機 率大 於 0. 5 ( 3 ) 全體 同學 第一 題的 答對 率 比 全體 同學 第二 題的 答對 率 高 15% ( 4 ) 從 C 組同學中隨機抽出一人，此人第一、二題都答對的機率不可能大於 0.3

三 、 選 填 題 （

3 2 分 ）

說明：第

A 至第 D 題為選填題，請在答案卡的「解答欄」之列號（7-15）中標示答案。每一題

完全答對得

8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 設 5 3 2 ( )  2 2 4 f x x x x x ， 4 3 2 ( )   3 2 g x x x x x ， ( )h x 為 ( )f x 與 ( )g x 的最高公因 式 且 最 高 次 項 係 數 為1，則 (1)h 與 (2)h 的 乘 積 為 。 B. 為講 解信 賴區 間與 信心 水準 ，數 學 老 師請 全班 40 位同 學使 用 老 師提 供 的 亂數 表模 擬 投 擲 均 勻 銅 板 16 次。模擬的過程如下： 隨機指定 給每位同學 亂數表的某

一列，該列

從左到右有

16 個數字；如果數字為 0,1,2,3,4 時，對應投擲銅板得到正面；而數字

為

5,6,7,8,9 時，對應投擲得到反面。某同學拿到的一列數字依序為：

0612 9683 4251 9138 該 同 學 計 算 銅 板 出 現 正 面 的 機 率 在 95% 信心水準下的信賴區 間：









ˆˆˆˆ1 1 ˆˆ 2 p p , 2 p p p p n n  _{ }          。則該同學所得到的結果中，₂ pˆˆ 1



p



n  

。 （化為最

簡根式）

6

-C. 坐 標 平 面 上 有 一 面 積 為 40 的 凸 四 邊 形 ， 其 四 個 頂 點 的 坐 標 按 逆 時 針 方 向 依 序 為

 

0,0 、



4,2 、





x x 及,2



 

2,6 ，則 x  。

D. 一線性規 劃問題的可 行解區域為坐標平面上 由點 A



0,30



、B



18, 27



、C



20,0



、D

 

2,3 所 圍 成 的 平 行 四 邊 形 及 其 內 部。已 知 目 標 函 數 ax by （ 其 中 ,a b 為常數）在 D 點有最

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 占

2 4 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（一、

二）與子題號

((1)、(2))，同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。務必使用筆

尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。每題配分標於題末。

一 、 設a b, 為 實 數 。 已 知 坐 標 平 面 上 滿 足 聯 立 不 等 式

0

6

2

0

x y

x y

x y

y ax b

 



  



  



  



的 區 域 是 一 個 菱 形 。 ( 1 ) 試求 此菱 形之 邊長 。（ 4 分 ） ( 2 ) 試求a b, 。 （ 8 分 ） 二 、 設 A a b c d       為 二 階 實 係 數 方 陣 。 ( 1 ) 當 A 為 轉移 矩陣 時， 試敘 述實 數 a 、 b 、 c 、 d 須滿 足的 條件 。（ 6 分 ） ( 2 ) 試證 ：當 A 為轉 移矩 陣時 ， _{A 也 是轉 移矩 陣 （ 式中}2 _{A 代表 A 與 A 的 乘積 ）。（ 6}2 分 ） 8