善用電算器！數學不再只是公式

善用電算器！數學不再只是公式！

劉燕芬、張育萍

國 立嘉 義 大 學 數學 教 育 研 究所 研 究 生

壹、前言

國 外許 多 研 究 指出 電 算 器 可以 幫 助 學 生發 展 數 學 的學 習 能 力 及增 進 學 習 態 度 ，也 就 是 說 使用 電 算 器 輔助 數 學 教 學不 僅 能 提 升學 生 學 習 數學 的 興 趣 ，同 時 對 學 生的 問 題 解 決能 力 及 觀 念性 理 解 均 有正 面 的 幫 助（ NCTM, 1989, 2000；Dunham & Dick, 1994； Heid, 1997； Hembree & Dessart, 1986, 1992； Smith, 1997； Waits & Demana, 2000）， 而 美 國 數學 教 師 協 會（ NCTM） 之 課 程 標 準更 強 調 電 算器 必 須 被 融 入中 小 學 課 程與 教 學 中 ，認 為 電 算 器在 數 學 教 育中 應 扮 演 重要 之 角 色 （NCTM, 1989, 2000），此 外，在 人 們的 日 常 生 活中，電 算 器的 應 用 卻 是十 分 常 見，舉凡 金 融 業 、百 貨 服 務 業、 行 政 機 構等 ， 皆 經 常使 用 電 算 器以 提 升 工 作效 率 。 由 此可 見 ， 電 算器 在 與 數 學運 算 相 關 的生 活 情 境 中， 扮 演 著 不可 或 缺 的 角色 。 因 此 ，在 數 學 教 育中 ， 電 算 器輔 助 教 學 已不 再 是 被 談論 應 不 應 該融 入 課 室 中， 而 是 更 進一 步 的 探 討如 何 融 入 教學 ， 幫 助 學生 學 習 （Higgins, 1990）。 但 是 一般 人 對 於 電算 器 的 偏 見 頗深 ， 在 國 內的 課 室 中 電算 器 是 不 常被 使 用 的 ，惟 教 學 課 程安 排 的 需 要而 有 些 許 的介 紹 或 用 來檢 驗 答 案 之外 ， 課 室 中幾 乎 沒 有 電算 器 的 扮 演空 間 。 因 此本 研 究 欲 將一 般 基 本 功用 的 電 算 器融 入 數 學 教學 ， 結 合 真實 生 活 情 境中 常 見的 打 折 問 題， 來 探 討 學生 對 於 電 算器 融 入 打 折問 題 的 使 用情 形 與 影 響。 此 外， 從 認 知 的觀 點 來 看 ，數 理 科 的 教學 目 標 之 重點 已 不 僅 是有 關 公 式 的推 導 和算 則 的 熟 練， 以 及 對 自然 現 象 的 事實 、 概 念 、原 理 和 定 律的 記 憶 、 理解 與 應 用 ，而 是 在 於 經由 同 化 和 調適 的 過 程 ，對 重 要 的 數理 概 念 和 方法 建 立 一 個正 確 、 協 調一 致，具 有層 次 的 認 知結 構（ 郭 重吉 , 1992）。因 此，教 師應 該 幫 助 學生 建 構 出 對 他自 己 有 意 義且 合 理 的 看法 ， 而 非 只是 零 星 事 實的 記 憶 和 公式 的 套 用 。再 者 ， Wheatley（ 1991）指 出 教 師 應 讓 學 生 共 同 討 論 數 學，使 學 生 有 機 會 與 同 儕 交 流 而 產 生 意義 （ 引 自 郭重 吉 ， 1992）。

因 此， 本 研 究 採 取 Driver 等 人 所 發 展的 建 構 主 義的 教 學 模 式（ 如 表 一 ），希 冀 學生 經 由 自 行操 作 電 算 器及 參 與 小 組的 討 論、溝 通 與發 表，而 能夠 探 索及 建 構 數 學概 念，進 而發 展 出 與 真實 生 活 相 結合 的 數 學 技能。而 搭 配活 動 的 學 習單，也 設 計成 三 部 分 ：『我 原 本 的想 法 是 … 』、『 討 論 後 ，我 的 想 法 是… 』、『 為 什麼 我 改 變 了想 法 ？ 』。 也就 是 先 給予 學 生 個 人思 考 的 機 會， 希 望 藉 以引 出 學 生 個體 原 本 的 想法，之 後 再提 供 小 組 討論 時 間，使 學生 交 流 彼此 的 想 法，進一 步 重 新思 考 彼 此 的差 異，而 修正、擴 充 或抽 換 現 有 的想 法，進 而達 成 共 識；最 後，學 生能 夠 從 中 學習 尊 重 同 儕解 決 數 學 問題 的 多 元 想法 ， 並 發 展評 鑑 、 批 判與 反 思 能 力。 表 1： Driver 和 Oldham 發 展 的 建 構 主義 教 學 模 式 階 段 目 的 方 法 一 、確 定 探 討 的方 向 激 發學 生 學 習 的興 趣 ， 並 準備 就 緒。 實 際的 活 動、待 解 決 的 貴 際 問題、教 師 的示 範、影 片 、錄 影 帶 、 簡報 等 等 。 二 、引 出 學 生 的想 法 讓 老師 和 學 生 注意 到 一 些 原先 就 有的 想 法 。 實 際的 活 動、小 組 討 論 後 提 出報 告 。 三 、學 生 想 法 的重 組 1. 澄 清和 交 換 2. 置 於衝 突 的 情 境 3. 建 構新 的 想 法 4. 評 鑑- 使 學生 察 覺 到 和自 己 原 先 觀念 不 同的 科 學 上 的觀 點 ， 而 能以 此 種科 學 的 觀 點來 修 正 、 抵 充 、或 取 代 原 先的 想 法 。 1. 體 認 有 其 他的 想 法 存 在 ，並 仔 細檢 討 自 己 的想 法 。 2. 考 驗 現 有 想法 的 正 確 性。 3. 修 正 、 擴 充或 抽 換 現 有的 想 法 。 4. 考 驗 新 建 構出 來 的 想 法的 正 確性 。 1. 小 組 討 論 後提 出 報 告 2. 教 師 示 範、各 自 進 行 實 驗 、在 練 習 本 上做 題 目 3. 討 論、閱 讀、教 師 指 導 4. 討 論、閱 讀、教 師 指 導 四 、應 用 新 的 想法 利 用熟 悉 以 及 新奇 的 情 境 來增 強 學生 新 建 構 的想 法 。 個 人的 寫 作 、 實際 的 活 動、解 決問 題、專 題研 究 計 劃。 五 、回 顧 想 法 的改 變 注 意到 想 法 的 改變 並 熟 悉 學習 歷 程， 使 學 生 能省 察 其 想 法改 變 的程 度 。 個 人的 寫 作 、 團體 討 論 、 個 人的 日 記、回 顧 以 前 做 的 海報 等 。 註 ：引 自 郭 重 吉（1992）

貳、教學準備

一、研究參與者

本 研究 的 執 行 小組 由 一 位 合作 教 師 與 六位 國 小 六 年級 學 生 所 組成，合 作 教師 為 嘉義 縣 某 國 小的 現 職 教 師，現於 嘉 義縣 某 國 立 大學 研 究 所 進修，六 位 學生 為 其 任 教班 上 的 學 生，程 度 由 高、中、低 程度 各 二 位 所組 成，學 生活 潑 好 發 言。因 應 研 究過 程 中 需 要進 行 小 組 討論 與 分 享，因此 特 分 配每 組 高、中、低 程 度 學生 各 一 名，共 計 2 組。此 外，於 教學 過 程 中，每 一 組 的 高程 度 學 生 皆坐 於 該 組 座位 的 中 間 ，以 利 於 學 生討 論 。

二、教學活動之設計

本 教學 活 動 主 要是 藉 由 日 常生 活 中 的 打折 問 題 情 境，透過 教 師提 問 引 導 以 激 發 學生 的 思 考，並 讓學 生 使用 電 算 器 做為 輔 助 學 習的 工 具，以 免 去計 算 的繁 雜 而 擁 有更 多 的 時 間進 行 數 學 思考 。 活 動 之主 要 佈 題 與目 標 ， 簡 述如 下 ： (一) 佈 題 一：『 現 在 到 全 家 便 利 商 店 買 東 西 全 面 打 6 折，小 明 買 了 30 元 的 飲 料 ， 只 需要 付 18 元』 你 能 找 出售 價 、 原 價與 折 數 的 關係 嗎 ？ 教 師欲 創 造 一 個日 常 生 活 中常 見 的 打 折問 題 情 境，透 過提 問 引導 學 生 使 用 電 算 器，進 而 發 現 售 價、原 價與 折 數 的 關係。此 階 段教 師 預 期 學生 能 夠 利 用前 一 堂 課 已習 得 的「 比 值轉 換 成 小數 」概 念，將售 價 除 以原 價，進 而發 現 折 數 與答 案 之 間 的微 妙 關 係 ，例 如 ： 藉 由列 出 18 30 ＝ 0.6， 而 發 現 0.6 與 6 折 表徵 方 式 之 間的 關 係 。進 而 老 師 再從 折 數 之 定義 （ 售價 原價 ＝ 折 數） 切 入 此 活動 ， 並 引 導百 分 率 、 折 數 之表 徵 方 式 。 (二) 佈 題 二 ：『 一 瓶飲 料 原 價 22 元 ， 在 某一 超 市 可 以 用 16 元 的價 錢 買 到 ，請 問 這 瓶飲 料 打 了 多少 折 呢 ？ 』 教 師期 望 學 生 能根 基 於 第 一題 的 售 價、原價 與 折 數之 間 的 關 係，進 而 能 夠應 用 此 關係，找 出折 數。並 藉由 此 題 的 討論、辯 思，來穩 固 學 生打 折 概 念 及澄 清 迷 思 概念 。

(三) 佈 題 三 ： 1. 某 商店 全 面 打 85 折 ， 一 件原 價 1200 元 的 衣 服 打完 折 之 後 ，售 價 會 是 多 少 元？ 2. 承 上題 ， 如 果 小明 身 上 有 1000 元 ， 請問 他 買 的 到這 件 衣 服 嗎？ 3. 承 上題 ， 原 價 1200 元 的 衣服 ， 假 如 店員 願 意 只 收小 明 1000 元 ， 請 問 店 員 大概 是 以 幾 折來 計 算 ？ 此 階段 之 目 的 是期 望 學 生 能統 整 先 前 的討 論 與 分 享， 應 用 概 念進 行獨 立 解 題 。

三、評估方式之協定

研 究者 從 觀 察 學生 上 課 的 學習 情 形、學 生 的學 習 單及 數 學 日 誌的 內 容，以 作 為 本教 學 活 動 成效 的 評 估 方式。此 資 料蒐 集、分 析、評 析，由 研究 者 們 與合 作 教 師 共同 討 論 、 辯證 ， 以 求 避免 研 究 者 主觀 之 認 定 。

參、活動歷程與結果

一、學生不熟悉使用電算器，剛開始對電算器有種排斥感

研 究 一 開 始， 教 學 者 先以 一 題 生 活情 境 問 題 ：「現 在 到 全家 便 利 商 店買 東 西 全 面 打 6 折 ， 小明 買 了 30 元 的 飲 料， 只 需 要 付 18 元 」， 進行 學 習 引 導， 藉 以 探 討 打折 問 題。當 教師 提 出 售價、折 數、原價，要 求學 生 利 用 電算 器 尋 找 其間 的 關 係 為何 時，學 生突 然 一 愣，回答「 可 不可 以 不 要 用電 算 器 ？ 」、「我 用 思 考的 可 不 可 以？ 」、「 我 用算 的 可 不 可以 ？ 」， 此現 象 之 原 因來 自 於 學 生以 往 並 不 常使 用 電 算 器，無法 將 自己 的 想 法 以使 用 電 算 器的 方 式 表 示出 來，並 對於 利 用 電 算器 找 出 數 列的 關 係 並 不習 慣，認 為麻 煩。當 教師 要 求 他 們使 用 時，多 數學 生 仍 然習 慣 用 紙 筆來 輔 助 思 考， 而 後 在 教師 多 次 的 宣傳 『 可 以 使用 電 算 器 喔！ 』， 才 漸漸 的 開 始 使用 電 算 器 。

二、學生能利用電算器察覺售價、原價與折數的關係

習 慣 電 算 器的 使 用 後，學生 的 討 論漸 入 佳 境。如在 討 論 折數 與 售 價、原價 間

關 係的 過 程 中，學 生持 續 觀察 自 己 電 算器 所 顯 示 的數 據 而 提 出「 打折 一 定是 比 1 小，一 定是 乘 以零 點 幾 的 … 」、「也 可 以 18（ 售 價 ）除 以 30（ 原 價 ）等 於 0.6（ 折 數 ）… 」。 由 此可 見 ， 學 生能 以 1 為 參考 點 作 為 思考 折 數 的 判準 ， 且 對 於打 折 問 題 已能 以「 變 便宜 」為 考 量，將 打 折 的折 數 改 換 以小 於 1 的 小數 來 進 行 思考（ 也 就 是將 售 價 與 原價 的 比 值 以小 數 來 看 待， 售價 原價 ＜ 1）。

三、學生察覺電算器位數有限

在 佈 題 二 時，一 位 學 生的 解 題 表 現，出 現 先 求出 售 價 除 以原 價 的 比 值（以 小 數 呈現 ），再 反向 回 去 利 用此 比 值 與 原價 求 售 價（ 如圖 一 ），以 驗證 他 求出 的 比 值 為 正確 的。但 是因 為 發 現 這樣 並 不 會 相等，同 時 在與 同 學 的 討論 中 也 有 人發 現 這 樣 的過 程 會 造 成兩 數 不 相 等，因 而 提 出「差 一 點 」的問 題。此 時老 師 適 時的 介 入 「 差一 點 沒 有 關係 」， 學 生即 放 心 的 忽略 此 差 異 。但 嚴 格 說 來， 若 要 幫 助學 生 了 解 百分 率 與 此 的比 值 關 係 ，教 師 應 說 明為 何 「 差 一點 沒 關 係 」，以 及 該 如何 表 示 0.727272 似 乎 會比 較 合 適（ 因 為 電 算 器的 位 數 有 限，而 此 題 若改 以 比 值 形式 呈 現 則 不會 產 生 矛 盾現 象 ； 同 時教 師 可 協 助學 生 將 0.727272 表 示 成 0.73 或是 百 分 率 73％， 因 為 一 般只 會 說 73 折 ， 而 不會 說 727272 折 ）， 可惜 的 是 當 時未 及 時 發 現 此 問題 。

【圖一】

二、可以利用電算器來幫助思考

學 生於 最 後 的 個人 練 習 單 中，已能 利 用電 算 器 來 協助 自 己 思 考打 折 問 題，如 圖 二： 雖 然學 生 並 非 透過 已 學 過 的比 值 概 念，先將 售 價 1000 元 與 原 價 1200 元表 徵 為 比值 形 式（ 1000 1200 ），進 而 換 算成 百 分 率 後，再 求 出 折數；而 是 使用 電 算 器 來找 出 售價 與 原 價 的關 係：藉 由原 價 乘 以 心中 假 定 的 百分 率 來 找 出最 接 近 售 價的 百 分 率，而 此 百 分 率 即 為 欲 求 的 折 數。由 此 發 現，學 生 已 經 能 夠 將 心 中 所 想 的 概 念 ， 搭 以電 算 器 的 輔助 ， 幫 助 自己 解 題 。 美 中不 足 的 是 ，學 生 的 折 數表 徵 有 錯 誤， 寫 成 0.83 折 。 究其 原 因 ， 可能 是 由 於學 生 對 於 這樣 的 表 示 方式 是 第 一 次接 觸 ， 仍 不熟 悉 所 致 。

肆、結論與反思

一、結論

(一) 電 算器 融 入 教 學之 優 點 ： 1. 配 合小 組 討 論 ，可 以 幫 助 學生 溝 通 想 法， 加 強 概 念的 學 習 中 高程 度 學 生 能夠 利 用 電 算器 發 現 原 價、售 價 與 折數 三 者 之 間的 關 係，了 解 其 關係 概 念，而 經由 小 組 分組 討 論 發 表，更 幫 助 學生 澄 清 自 己的 迷 思 概 念，進 而

【圖二】

強 化概 念 。 2. 幫 助學 生 解 決 一般 生 活 化 的問 題 ， 免 除計 算 的 繁 雜， 助 長 概 念的 發 展 日 常生 活 當 中 所遇 見 的 數 字問 題，並 不如 課 本 習 題中 題 目 的 數字，是 經 過 設 計 的，因 此 往 往是 無 法 整 除或 顯 而 易 見變 項 之 間 的關 係。電 算器 的 出 現，可幫 助 學 生免 除 了 計 算的 繁 雜 ， 使學 生 可 以 專注 於 概 念 的理 解 。 3. 作 為輔 助 學 生 思考 的 工 具 在 以往 的 折 數 教學 上，皆 從折 數 定 義 引入，亦 即 公式：售 價÷原 價 ＝ 折 數，但 是，從 後 來 的 練習 題 中 發 現，部 分 學 生是 利 用 電 算器 驗 證 其 直觀 想 法「 打 折 一 定 是 比 1 小，一 定 是 乘 以 零 點 幾 的 … 」，進 而嘗 試 歸納「 折 數 」，如圖 二：學生 能 夠 歸 納原 價 1200 乘 以 0.85＝1020（ 大 於 1000）、1200 乘 以 0.83＝ 996（ 小 於 1000）、 0.84＝ 1008（ 大 於 1000）， 發 現 其 中 996 最接 近 1000， 而 找出 折 數 。 由此 可 見 ， 電 算器 的 融 入 教學 可 輔 助 學生 思 考 。 4. 激 起學 生 學 習 動機 大 多數 學 生 都 表示 活 動 十 分有 趣，雖 然題 目 過 難，但 仍 然 願 意 嘗 試（ 如 圖 三 、 圖 四 ）。 可 見 學生 已 從 電 算器 融 入 教 學的 活 動 中 ，發 現 學 習 的樂 趣 。

【圖三】

(二) 電 算器 融 入 教 學之 缺 點 ： 1. 無 意向 地 操 作 低 程度 學 生 容 易流 於 無 目 的的 拼 湊 答 案。 2. 貪 圖電 算 器 的 便利 解 決問 題 之 策 略是 多 樣 性 的， 而 當 學 生開 始 發 現 電算 器 的 便 利， 便 鮮 少 使用 估 算等 其 他 方 式，此時 教 師必 須 引 導 學生 善 用 電 算器，避 免 學生 因 之 而 侷限 了 多 樣 性策 略 的 發 展。

二、反思

(一) 教 學中 的 變 與 不變 雖 然部 分 學 生 並非 是 由 研 究者 原 先 預 想的 路 徑 （ 折數 之 定 義 ： 售價 原價 ＝折 數 ），發 現 打 折問 題 中 的 原價 、 售 價 、折 數 之 間 的關 係 ， 而 是由 真 實 生 活中 的 實 際 經驗 （ 原 價×折數 ＝ 售 價） 而 發 現 三者 之 關 係 ，但 也 正 是 如此 ， 才 更 體會 了 教 學 中的 變 與 不 變，也 更 能 體會 學 生 主 動建 構 知 識 的那 股 感 動。同時，也 提醒 了 教 師 從真 實 生 活 情境 搭 橋 連 結數 學 概 念 ，能 使 數 學 思考 更 具 意 義。

【圖四】

(二) 利 於幫 助 學 生 解決 生 活 情 境中 的 打 折 問題 電 算器 對 於 學 生在 尚 未 接 觸過 的 打 折 問題 上 ， 確 實是 有 幫 助 的。 因 為 學 生在 思 考打 折 問 題 時，能夠 經 由電 算 器 的 輔助 發 覺 數 學概 念 間 的 關聯，並 以 常識 加 以 判 斷評 估 ， 進 而加 深 他 們 概念 的 發 展 。 (三) 題 目設 計 過 難 全 數學 生 一 致 認為 題 目 太 難， 以 致 於 一開 始 低 程 度的 學 生 一 見題 目 就 放 棄而 不 願嚐 試，中 程度 的 學 生 則有 些 怯 步，所幸 在 教 師的 誘 導 及 同儕 的 討 論 之下，學 習 才有 所 進 展。因此 在 題 目的 設 計 時，研究 者 應 與教 學 者 溝 通詳 細、周 全考 量 學 生 的先 備 知 識 及學 習 背 景 ，以 避 免 此 情形 再 度 發 生。 (四) 活 動時 間 過 少 由 於時 間 上 的 限制 ， 使 得 學生 概 念 發 展尚 不 夠 成 熟穩 固 ， 所 以在 後 續 練 習題 的 表現 不 如 預 期的 理 想 。

參考文獻

郭 重吉（ 1992）。從 建 構 主義 的 觀 點 探討 中 小 學 數理 教 學 的 改 進。科 學 發展 月 刊， 20(5)， 548-568 頁 。

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Smith, B. A. (1997). A meta-analysis of outcomes from the use of calculators in mathematics education.(Texas A＆ M University,1996). Dissertation Abstracts

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Mathematics For a New Century: 2000 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics(pp.51-66). Reston； VA: NCTM.

學 習 單 姓名 ： 題 目 一：『 現 在到 全 家 便 利商 店 買 東 西全 面 打 6 折，小 明 買 了 30 元 的飲 料，只 需 要 付 18 元 』 你 能 找 出 售 價 、 原 價 與 折 數 的 關 係 嗎 ？ 我 原 本 的 想 法 是 ： 討 論 後 ， 我 的 想 法 是 ： 為 什 麼 我 改 變 了 想 法 ：

題 目 二 ：『 一 瓶飲 料 原 價 22 元 ， 在 某一 超 市 可 以 用 16 元 的價 錢 買 到 ，請 問 這 瓶 飲 料打 了 多 少 折呢 ？』 我 原 本 的 想 法 是 ： 討 論 後 ， 我 的 想 法 是 ： 為 什 麼 我 改 變 了 想 法 ： 練 習 單 姓名 ： 1. （ 1）某 商 店 全 面 打 85 折，一 件 原 價 1200 元 的 衣 服 打 完 折 之 後，售 價 會 是 多 少 元？ （2） 承 上 題 ，如 果 小 明 身上 有 1000 元 ， 請 問 他買 的 到 這 件衣 服 嗎 ？ （3）承 上 題，原 價 1200 元 的 衣 服，假如 店 員 願意 只 收 小 明 1000 元，請問 店 員 大概 是 以 幾 折來 計 算 ？ 學 習日 誌 姓名 ： 1. 針 對電 算 器 器 的使 用 ， 說 說你 的 想 法 ： (1) 我 覺得 這 個 電 算器 幫 助 我 學習 了 什 麼 ？ (2) 以 後如 果 有 機 會， 我 願 意 再用 電 算 器 學習 其 它 的 課程 嗎 ？ 為 什 麼 ？