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正規子群

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Academic year: 2021

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(1)

正規子群與商群

bee

*

108.03.03

∼ 108.03.03

順便證明了 Lagrange 定理。

1.

定義

【共軛變換】(conjugation):x→ gxg−1。 【正規子群的定義與符號】: 設 N 是 G 的子群。若∀n ∈ N, ∀g ∈ G,gng−1 ∈ N(即共軛不變),則 N 是 G 的一個正規子群 (normal subgroup),記為 N ▹ G。 這定義顯然來的突兀,應該了解要這一個定義的目的。

2.

陪集

設 H 是 G 的一個子集,考慮 aH ={ah} (1) 我們發現:當 a, b∈ G 時,可得 aH = bH 或者是 aH ∩ bH = ∅。 於是我們可以用 H 當標準把 G 中的元素分類,若 aH = bH,則 a, b 為同一類。這樣我們可 以得到一個等價關係,並用符號 a 表示{b bH = aH}。同時,用 G H 表示集合{g}。

g 實際上是一個集合,稱為左陪集 (left coset),我們現在的想法是把 coset 拿來當元素,然後 定義一個新的群。當然,這樣我們需要運算,這個運算就採用原先的運算。即

g1· g2 ={g1h1g2h2} = g1hg2 (2)

因為 G 不一定是交換群,所以 g1h1g2h2 的順序不可以隨便交換。

*bee 美麗之家: http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee

(2)

接下來我們必須驗證這一個運算對於陪集來說擁有群的運算性質。 (1) 結合律。顯然 o.k. (2) 單位元素。 ∀h ∈ H,h = e = H,我們把 e 視為單位元素。計算 g · e = {gh1eh2} = gH = g。 (3) 反元素。設 g ∈ G,看看 g 是不是有反元素,直覺的想法是找 g−1。 計算 g· g−1 ={gh1g−1h2} = ghg−1 ?=== H (3) 如果 G 是交換群,這件事就搞定拉!可是 G 不一定是交換群,於是得要求 ∀g ∈ G, gh1g−1 = h, 其中 h∈ H (4) 這就是正規子群的要求。 於是利用原先的群運算,如果 H 是一個【正規子群】,而不僅僅是一個子群,那麼,我們就 可以創造一個新的群: 商群:G H (quotient group)

3.

補充

(1) 如果 G 是一個交換群,那麼所有的子群 H 都是正規群。 (2) 以後都用 N 來表示正規群。 (3) 商群顯然是一個比 G 來的小的群,對於研究群的結構有一定的幫助,特別是我們有三個 【同構定理】。 (4) 設 a, b ∈ G。我們有 aH = bH ⇐⇒ aH ∩ bH ̸= ∅ ⇐⇒ ah1 = bh2 ⇐⇒ ab−1 ∈ H 這說明 aH = bH 或者是 aH ∩ bH = ∅。 利用這一個性質,我們可以得到 Lagrange 定理。

4.

參考資料

維基百科:正規子群。 2

參考文獻

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