98 3 四技二專 數學 C 卷解析

共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

九十八學年四技二專第三次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

98-3-C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D D B C B A A C D D B C B B A A C D B C A C D D B 1. 由已知 f(3+t)= f(3−t)可知拋物線的對稱軸方程式 為 3 2 3 3+ + − ₌ = t t x ，(3,f(3))為最低點 ∴f(3)為最小值，而 x 愈接近 3，函數值愈小 ∴f(3)< f(2)< f(0) 2. cos560°=−cos20°=k k − = ° ⇒cos20 ° = ° sin40 860 sin 2 2 1 2 ) )( 1 ( 2 20 cos 20 sin 2 ° °= −k −k =− k −k =

3. ∵tanα+tanβ=3，tanα⋅tanβ =2

∴ 3 2 1 3 tan tan 1 tan tan ) tan( =− − = − + = + β α β α β α ∴ 10 9 ) 10 3 ( ) ( sin2 α+β = ± 2= 4. (A) 週期為 π =π 2 2 (B) ) 4 2 2 cos( 3 ) (x+π = x+ π +π f ) ( ) 4 2 cos( 3 x+ = f x = π (C) ∵y 的最大值為 3，y 的最小值為−3，∴和為 0 (D) ∵ 2 2 3 ) 4 cos( 3 ) 2 (π = π+π =− f 2 2 3 ) 4 cos( 3 ) 2 (−π = −π +π =− f ∴ ) 3 2 2 ( ) 2 (π + f −π =− f 5. 由餘弦定律a2 =b2+c2−2bccosA 2 3 2 ) 3 1 ( 2 2 ) 3 1 ( + 2+ 2− + ⋅ ⋅ = 2 6 3 2 4 3 3 2 1+ + + − − = = ∴a= 2=BC 由正弦定律 2 1 sin sin 2 2 1 2 sin sin = C ⇒ = C ⇒ C= c A a ° = ∠ ⇒ C 45 (∵邊長 b 最大，∴∠C=135°不合) ∴∠B=180°−45°−30°=105° 2 3 2 1 2 1 2 ) 3 1 ( 2 1 sin 2 1 _{= + × × = +} = ΔABC bc A 6. ∵AB=10 ∴BD=10 3=AE 而CE=10 3× 3=30 ∴CD=CE+ED ) m ( 40 10 30+ = = 7. 30 ) 7 6 2 5 7 6 7 6 ( 2 2 2 − = × × − + × × − = 8. 在 上之正射影長為 2 2 3 ) 4 ( 3 1 ) 4 ( 7 + − × + − × = 5 5 25 = = 9. 設 f(x)=(x2+1)(x+k)+(x+2) 由餘式定理知 f(1)=(1+1)(1+k)+3=3，∴k=−1 ∴ f(x)=(x2+1)(x−1)+(x+2)=x3−x2+2x+1 ∴a=−1、b=2、c=1，f(−1)=−1−1−2+1=−3 1 ) 0 ( = f 10. 由根與係數知α+β=−6，αβ=4 ∴α<0，β <0，∴ α× β =− αβ =−2 3 2 6 ) ( ) ( 2 2 = − − = − + = ⋅ + = + αβ β α β α α β β α α β 11. 由餘弦定律知AB2=12+32−2×1×3×cos120°=13 ∴AB= 13 12. i w i w i w i w w− _{= + ⇒ − = + ⇒} 1 _{=− ⇒ =} 1 1 1 1 1 ∴ w−1 = −1+i = 2 13. ∵由y=x2和y x 2 1 log = 的圖形知有一個交點 ∴方程式x x 2 1 2 log = 只有一個實數解 14. (a) ∵ 2 1 2 2 = ， 3 1 3 _{2=2 且} 3 1 2 1 > ∴ _{2 >}3_{2，∴ 2−}3 _2>0

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(b) ∵log32<log33=1，∴(log32)−1<0

(c) ∵log₂3>log₂2=1，∴(log₂3)−1>0

(d) log 2 0 2 1 log ₃ 3 1 = >

(e) log 3 log₂3 0

2 1 =− < ，∴(a)(c)(d)為正數 15. 4 1 2 ) 2 ( 8 3 2 2 3 3 2 = = = − − − ，9log32 =9log94=4 3 27 log3 = ， 4 1 2 log 2 log 2 1 2 4 = 2 = ∴所求 7 4 1 3 4 4 1_{+ + − =} = 16. 分群 ),LL 4 1 , 3 2 , 2 3 , 1 4 ( ), 3 1 , 2 2 , 1 3 ( ), 2 1 , 1 2 ( ), 1 1 ( ∵1+2+3+LL+13=91<99 99 105 14 3 2 1+ + +LL+ = > ∴第 99 項為第 14 群第 8 項即為 8 7 17. 5 1 1 1 5 3 1 1 ) 5 1 ( ) 5 3 ( ) 5 1 3 ( 0 0 0 − + − = + = +

_∑

_∑

∑

∞ = ∞ = ∞ = k k k k k k k 4 15 4 5 2 5_{+ =} = 18. 如右圖所示 令θ 表AB之斜角 ∵tan(θ+45°)=3 3 tan 1 1 tan = − + ⇒ θ θ θ θ 1 3 3tan tan + = − ⇒ 2 1 tan = ⇒ θ ，∴AB斜率為 2 1 19. L1之斜角為90° ∵L₂之斜率為 tanα 3 1 = − ∴直線L₂之斜角α 為150° ∴θ=150°−90°=60° 2 1 120 cos 2 cos θ = °=− 20. 取A 點對稱於 y 軸的點A'(−1,1) 連A′B和 y 軸之交點即為所求之 P 點 B A′ ： ( 1) ) 1 ( 3 1 4 1 + − − − = − x y ) 1 ( 4 3 1= + − ⇒y x 令x=0代入得 4 7 = y ∴ ) ( , ) 4 7 , 0 ( m n P = ，PA+PB之最小值 即為A'B= [3−(−1)]2+(4−1)2 =5=k ∴ 5 12 4 7 4 0 4 + = + × + = + n k m 21. 聯立不等式 ⎩ ⎨ ⎧ ≤ + ≥ 4 1 y x y 所圍之區域為圖中 斜線部分ΔABP 面積 ABP Δ 9 3 6 2 1_{× × =} = 平方單位 22. 令OB=x y BC= ∵x2+ y2=42=16 由算幾不等式知 16 2 8 2 2 2 2 2 ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ + xy xy y x y x ∴ABCD 最大面積為 16 平方公分 23. 圓方程式2x2+2y2−8x+12y+8=0 0 4 6 4 ) 2 (÷ ⇒x2+y2− x+ y+ = 9 ) 3 ( ) 2 ( − 2+ + 2 = ⇒ x y ∴圓心(h,k)=(2,−3)，r=3，∴h+k+r=2 24. ∵P(m,n)在y2− x=0上，∴m=n2 ) , (mn P 到 L：x+ y2 +6=0之距離 5 5 ) 1 ( 5 6 2 2 1 6 2 2 2 2 2 + + = + + = + + + = m n n n n k 當n=−1時 k 有最小值 5 5 5 = ∴P(1,−1)=(m,n)時 k 最小值為 5 ∴k2+m2−n2 =5+1−1=5 25. 1 5 144 ) 1 ( 25 2 2 = ⇒ = − − x a y _、 12 = b P 為雙曲線上一點，由定義知 PQ₁−PQ₂ =2a=10