1003 工科數學 第一冊解答

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1003 工科數學 第一冊

班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.△ABC 三內角A、B、C 之對應邊長分別為 a、b、 c，若a2 3，b  2，A  120，則 c  (A) 3 (B)2 (C)3 (D) 2 3 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 題目中，a2 3，b  2，A  120 由此三條件只能先求B 利用正弦定理 sin sin a b A B   2 3 21 sin120 sin B    3  sinBsin120  3 1 2 1 sin 2 B    B  30或 150（不合）  B  30 再推得C  30 ∵ B C  30  b  c  2（等腰） 另解：利用餘弦定理 2 2 4 (2 3) cos120 2 2 C C       2 1 8 2 4 C C    C2 2C  8  0 C  4（不合）、2 （ ）2.設△ABC 之三頂點 A，B，C 坐標分別為(100,101)， (99,99)，(98,98)，則△ABC 之面積為(A) 3 (B)1 2 (C)3 (D) 3 2 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 CA(2,3)，CB(1,1) 則△ABC 面積 1 2 2 2 | | | | ( ) 2 CA CB CA CB    2 2 2 2 2 1 (2 3 )(1 1 ) (2 1 3 1) 2        1 26 25 1 2 2    （ ）3.若△ABC 中，AB5，BC9，CA10，則 cos(A  B)  (A) 13 15  (B) 7 15  (C) 7 15 (D) 13 15 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ A B C  180 ∴ cos(A B)  cos(180C)  cosC 2 2 2 9 10 5 13 2 9 10 15         （ ）4.老師請全班同學吃披薩。結果小誠分到的扇形披薩半 徑為 6 2 公分，圓心角為 45，如圖所示。則小誠的 披薩斜線部分的餅皮所占的面積為多少平方公分？ (A) 918 2 (B) 96 2 (C)1218 2 (D)124 2 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 作△OAB之OB上的高AD 則△OAD為等腰直角三角形 得ODAD 由商高定理：

 

2 2 2 2 2 2 6 2 OA OD AD  AD  得AD6 則斜線部分（餅皮） 扇形OAB面積△AOB面積

 

2 1 1 6 2 6 2 6 2 4 2      _{ }     918 2（平方公分） （ ）5.f(x  1)   4x3  5x2  12x  30，則 f(f(  3))之值為 (A)  3 (B)  13 (C)  23 (D)  33 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 f(  3)  f(  2  1)  4(  2)3 5(  2)2 12(  2)  30   2 f(f(  3))  f(  2)  f(  1  1)  4(  1)3 ₅₍  ₁₎2 12(  1)  30  33 （ ）6.設 f( )  2sin2  3cos  1 的極大值為 M，極小值為 m， 則 M  m  (A)33 8 (B) 27 8 (C) 17 8 (D) 13 8 【龍騰自命題.】 解答 C

－ 2 － _2cos2 _{3cos 3 2(cos} 3₎2 33

4 8             1  cos 1 當cos 3 4   時，有極大值 33 8 M  當 cos 1 時，有極小值 m  2 故 33 ( 2) 17 8 8 M  m   

（ ）7.若 2  3cos2  0，則 sin4  cos4  (A) 5

3  (B) 2 3  (C)2 3 (D) 5 3 【102 年歷屆試題.】 解答 C

解析 2  3cos2 0  3cos2 2  cos 2 2 3   sin4 cos4 (sin2 )2 (cos2 )2 (sin2 cos2 )(sin2

 cos2 )

 1  (sin2 cos2 )  sin2 cos2 (cos2 sin2 )  cos2 ( 2) 2 3 3     （ ）8.設直線 L 過

 

3, 2 且斜率為2 ，則直線 L 的方程式為 (A)x2y7(B) 2x  y 4(C) 2x y 8(D) 2x y 4 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 ∵ L經過

 

3, 2 且斜率為2 利用點斜式得





2 2 3 y  x  y 2 2x6  2x y 4 （ ）9.設向量 a (3, 4)，向量 b// a ，且 a b  50，則 | 2 a 3 b | (A)20 (B)40 (C)60 (D)80 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ a 與 b 互相平行且 a b   50 0 ∴ a 與 b 互為反向，即夾角為 180 2 2 | a | 3 4 5 | || | cos180 5 | | ( 1) 5 | | 50 a b  a b    b     b    | b | 10 2 2 2 2 2 | 2 a 3 b | 4 | a | 12 a b 9 | b |     4 5 12 ( 50) 9 10  400 故| 2 a 3 b | 40020 〈另解〉 ∵ b// a ∴ 可設 b t a ，其中 t 為實數 則 b t(3, 4)(3 , 4 )t t (3, 4) (3 , 4 ) 3 3 4 4 25 a b   t t     t t t ∵ a  b  50 ∴ 25t  50  t  2 則 b   (3 ( 2), 4 ( 2))    ( 6, 8) 而 2 a 3 b 2(3, 4)   3( 6, 8) (6,8) ( 18, 24)  ( 12, 16) 故 2 2 | 2 a 3 b | ( 12)  ( 16)  40020 （ ）10.在△ABC 中，B  60，AC10時，三角形的外接 圓面積為 (A)10 3 平方單位 (B) 100 3 平方單位 (C)10 3 平方單位 (D) 100 3  平方單位 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 10 2 10 3 sin 60 R  R 3 ∴ 外接圓面積為 ₍10 3₎2 100 3 3    （ ）11.設平行四邊形 ABCD 四頂點坐標為 A(  1,3)，B(  3,  1)， C(0,  2)，D(x,y)，則 x  y  (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 A

－ 3 － 解析 ( 1 0 3 2, ) ( 3 , 1 ) 2 2 2 2 x y    _     _ x  2，y  2 ∴ x  y  2  2  4 （ ）12.設 A(3,  2)、B(2,1)、C(1,a)，若△ABC 為直角三角形， 且A  90，則 a  (A) 8 3  (B)  1 (C)0 (D)2 3 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ A  90 ∴ ABAC  m_ABm_AC  1 即 2 1 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 a a                 ∴ 8 3 a  （ ）13.下列何者不是2 3的同界角？ (A) 10 3  (B) 4 3  (C)4 3 (D) 8 3 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）14.已知三角形的三頂點為 A(  3,  4)、B(3,4)、C(k,0)， 且BCA  90，則 k2_{之值為 (A)9 (B)16 (C)25} (D)36 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 因BCA  90  CBCA CB  斜率CA斜率 1 0 4 4 0 1 3 3 k k             2 2 16 1 9 16 25 (k 3)(k 3) k k            （ ）15.已知向量 a (4, 2) ， b (9,3)，則 a 與 b 的夾 角等於 (A) 6  (B) 4  (C) 3  (D)3 4 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 a b 30， 2 2 | a | 4  ( 2) 2 5 2 2 | b | 9 3 3 10 30 1 cos 30 2 2 | || | a b a b     ∴ 45 4      （ ）16.小柔於地面一高塔前的正東邊 A 點處，測得此塔之頂 端的仰角為 60，小柔向正南方向走 12 公尺到達 B 點處， 再測得塔頂之仰角為 45，求此塔的高度為 (A) 6 6 公 尺 (B) 6 3 公尺 (C) 6 2 公尺 (D)6 公尺 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 如下圖所示： 設塔的高度為 h 公尺 (1)在△BCD 中 ∵ CBD  45 ∴ BCCDh 在△ACD 中 ∵ CAD  60 tan 60 CD AC    3 3 h AC h AC     ∴ 3 h AC (2)在△ABC 中 ∵ AB12，BCh， 3 h AC 由商高定理得知 2 2 2 1 2 12 ( ) 144 3 3 h h     h 2 2 2 3 144 144 216 3h h 2       ∴ h 2166 6（公尺） （ ）17.設 f1(x)  2x2  1，f2(x)   x2  x  1，f3(x)   3x2，f4(x)  x2  1，則此四函數圖形開口的大小為何？ (A)f 3  f1  f2  f4 (B)f1  f4  f2  f3 (C)f2  f4  f1  f3 (D)f3  f2  f4  f1 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 f(x)  ax2 bx  c 之圖形，|a|愈大，開口愈小 ∴ f2 f4  f1 f3 （ ）18.若標準位置角 終邊上一點P x

 

,3 ，且cos 1 2    ， 則x (A) 3 (B) 3 (C) 5 (D) 5 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 P點坐標

 

x, 3 表可能在第一、二象限 又cos 1 0 2     ，故在第二象限 由 2 1 cos 2 ₉ x x      (x0)

－ 4 － 2 2 4x x 9    得x  3（正不合） （ ）19.在海岸邊有 A、 B 兩座燈塔，有一船在海上 C 點測得 2 2  AC 公里，CB4公里且ACB135，則 A 、 B 兩燈塔距離為多少公里？ (A) 2 10 (B) 5 2 (C) 8 2 (D) 6 3 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 由題意作圖： 二邊一夾角利用餘弦定理： 2 _{2 2 2} 2 cos AB c a b  ab C 2

 

2

 

2 4 2 2 2 4 2 2 2        _ _  16 8 16  40 故AB 402 10（公里） （ ）20.已知 0 x ，若sin 2 3 2  x ，則x值為何？ (A) 6  或 3  (B) 8  或3 8  (C) 12  或5 12  (D) 4  或 2  【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 ∵ sin 2 3 2 x ，則2 3 x 或2 3  故 6 x 或 3  （ ）21.有一梯子與牆面成 30角放置，下滑後與牆面成 45 角，若梯長10公尺，求梯腳移動多少公尺？ (A) 5 25 (B) 5 2 5 (C) 2 5 3 (D) 3 5 2 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 在△AOC中，sin 30 OA L   sin 30 5 OA L      在△BOD中，sin 45 OB L   sin 45 5 2 OB L      則梯子移動距離OB OA 5 25（公尺） （ ）22.已知 0   、    。下列各選項中，何者恆為正確？ (A)若 cos   cos  ，則    (B)若 cos(    )  0，則    (C)若 sin   sin  ，則    (D)

若 sin(    )  0，則   

【100 年歷屆試題.】 解答 A

解析 (A)當 0  x  時，y  cosx 的圖形如下

為 1 對 1 函數，即 cos  cos    (B)反例：cos(5 2 ) cos1 0 6 6  2  ，但 5 2 6 6 (C)反例：sin sin2 3 3  _  ，但 2 3 3  _  (D)反例：sin(  0)  sin  0，但  0 （ ）23.設 0 <  < 90，cos 3 5

  ，則 sin2  cos2  (A)13 25 (B)17 25 (C) 19 25 (D) 21 25 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ cos 3 5  且 0 90 ∴ sin 4 5   ∴ sin2 cos2 (2sin cos )  (2cos2 1) 2 4 3 3 24 18 17 2 2 ( ) 1 1 5 5 5 25 25 25          

（ ）24.設 a、b、c 表△ABC 三邊長，若 b2  (c  a)2  ca，則

B 等於 (A)300 (B)120 (C)330 (D)60 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 b2 (c  a)2 ca  b2_ (c2 2ac  a2)  ca ∴ b2 c2 a2 2ac  ca ∴ ac  a2 c2 b2 2 2 2 1 cos 2 2 2 a c b ac B ac ac      ∴ B  60 （ ）25.設直線 L:3x  2y  12  0，其 x 截距為 a，y 截距為 b， L 和兩坐標軸所圍之三角形面積為 (A)4 (B)6 (C)12 (D)24【龍騰自命題.】 解答 C