1220 數列級數解答

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1220 數列級數

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一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.設i 1,若級數 50 3 1 ( )n n i a bi   

,則 a  2b  (A)  1 (B)  3 (C)1 (D)3 【095 年歷屆試題.】 解答 B 解析 50 50 3 2 3 50 1 1 ( )n ( )n ( ) ( ) ( ) ( ) n n i i i i i i             

 [(  i)  (  1)  i  1]  [(  i)  (  1)  i  1]  …  [(  i)  (  1)  i  1]  (  i)  (  1)  0  0 … 0  i  1  1  i a bi 即 a  1,b  1 ∴ a 2b  3 ( )2.設一等比級數首項為 10,公比為 3,和為 3640,求項數 n  (A)10 (B)5 (C)7 (D)6 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 10(3 1) 3640 3 1 n    3 n 1 728 3n 729 n 6 ( )3.設一凸 n 邊形,各內角成等差數列,若公差為 4,最大內角為 172,則邊數為 (A)12 (B)15 (C)18 (D)20 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 外角度數分別為 8、12、16、…,又外角和 8 12 16… 360  2 8 ( 1) 4 360 2 n n        (n 12)(n  15)  0  n  12 ( )4.試求 3 與11 的等差中項為 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 3與11之等差中項 3 11 7 2    ( )5.若 a、5、b、c、d、  3 成等差,則公差為 (A)  1 (B)  4 (C)  2 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 公差 3 5 2 4      ( )6.求  10 與  8 的等差中項為 (A)  2 (B)9 (C)  9 (D)  1 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 a、b 之等差中項 2 ab  ,故所求 10 ( 8) 9 2       ( )7.若一等差數列第 5 項為32,第 9 項為 20 ,則此數列第幾項開始為負數? (A)16 (B)15 (C)14 (D)13 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 5 1 9 1 4 32 8 20 a a d a a d          由解得d 3,a144

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設第n項開始為負數,即an0

1 1 0 a n d      44

n   1

  

3 0 3n 47 0 3n 47       47 15.7 3 n   ≒ 故取n16 ( )8.在 24 與 8 之間插入 11 個數,使這 13 個數成為等差數列,試求插入的第幾項為 0? (A)7 (B)9 (C)10 (D)11 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 a124,a13 8

13 1 13 1 a  ad   8 24 12d  8 3 d   則ak  a1

k1

d 0  24

1

8 0 3 k         k10(第 10 項為 0) 故插入的第 9 項為 0 ( )9.若 1 n n i i S a  

,已知 Sn  n2  3n,則 a20  (A)23 (B)46 (C)64 (D)42 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 a20 S20 S19  202 3 20 192 3 19 42 ( )10.設一等差數列首項為 5,公差為 7,和為 365,則此級數共有幾項? (A)10 (B)7 (C)9 (D)11 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 365 2 5 ( 1) 7 2      nn 7n2 3n  730  0  (n 10)(7n  73)  0 ∴ n  10 或 73 7 n  (不合) ( )11.已知等比數列第 4 項為 45 ,第 7 項為 5 3  ,則下列何者為非? (A)首項a1 1215 (B)公比 1 3 r  (C)第10項 10 5 81 a   (D) 5 729為此數列的第12 項 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 由ana r1 n1知 3 4 1 6 7 1 45 5 3 a a r a a r          由 得 3 1 1 27 3 r    r  代入式得a1 1215 則 3 10 7 5 1 5 3 27 81 aa r            2 2 12 10 5 1 5 81 3 729 aa r      

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( )12.已知 4 0 ( ) 25 k ak b   

, 5 2 ( ) 24 k ak b   

,則 a  (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 10 5 25 14 4 24 a b a b       a 2,b  1 ( )13. 1 n n i i S a  

,若 Sn  n2  3n,則 an  (A)2n  2 (B)2n  1 (C)2n  2 (D)2n  4 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 an Sn Sn  1  n2 3n (n  1)2 3(n  1)  2n  2 ( )14.問級數 100 1 4 i

的和為 (A)4100 (B)400 (C)25 (D)1004 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 100 1 4 4 4 4 4 100 ) 400 i      

(連加 次 ( )15.若兩等差數列第 n 項之比為(3n  1):(7n  1),則兩數列前 7 項和之比為 (A)11:24 (B)13:27 (C)3:7 (D)4:9 【龍騰自命題.】 解答 B

解析 ∵ S7 7a4 ∴ S7:S'7 7a4:7a'4 a4:a'4  13:27

( )16.已知一等比級數首項為 6 ,公比為 2 ,其前n項的和為1530 ,則項數n值為何? (A)11 (B)10 (C) 9 (D)8 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 a16,r2,Sn1530 由 1

1

1530 6

2 1

1 2 1 n n n a r S r        

1530 6 2n 1 2n 256        n8 ( )17.若兩等差級數,前 n 項和之比為(3n  1):(7n  1),則兩數列第 7 項之比為 (A)11:24 (B)13:27 (C)3:7 (D)4:9 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ∵ a7:b7 13a7:13b7 S13:S'13  [3(13)  1]:[7(13)  1]  4:9 ( )18.一等比級數共有10項,和為 682 ,公比為 2 ,則此級數第 7 項為何? (A) 128 (B)128 (C) 64 (D) 64 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析 n10,Sn682,r 2 由

 

 

10 1 1 1 1 2 682 1 1 2 n n a a r S r         

1 2046 a 1023      a1 2 則 6

   

6 7 1 2 2 128 aa r       ( )19.在1 4和 4 81之間插入 3 個正數,使這 5 個數成等比數列,則插入的第三數為 (A) 1 6 (B) 1 9 (C) 2 16 (D) 2 27 【龍騰自命題.】 解答 D

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解析 1 1 4 a  , 5 4 81 a   4 1 4 814r  2 3 r  (負不合) 插入的第三數為 3 3 4 1 1 2 2 ( ) 4 3 27 aa r    ( )20.設等比數列的第 3 項為 4,公比為  3,則第 5 項為 (A)  4 (B)  12 (C)12 (D)36 【龍騰自命題.】 解答 D ( )21.一等差數列第 4 項是 51,第 9 項是 31,則此數列第幾項是  53? (A)26 (B)29 (C)30 (D)33 【龍騰自命題.】 解答 C ( )22.下列公式何者錯誤? (A) 1 1 1 ( ) n n n k k k k k k k a b a b      

 

(B) 1 1 n n k k k k ca c a   

(C) 1 1 1 n n n k k k k k k k a b a b    

 

(D) 1 n k c nc  

【龍騰自命題.】 解答 C ( )23.1~100 之間,所有被 7 整除的數之總和為何? (A)753 (B)728 (C)637 (D)735 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 已知 a1 7,d 7,an  98 由 an a1 (n 1)d 得 98  7  (n  1)  7  n  14 14 14(7 98) 735 2 S    ( )24.已知四個正數a、 b 、c、 d 為一等比數列,若a b 20,a b c   d 65,則a (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 【104 年歷屆試題.】 解答 D 解析 設等比數列的公比為rr0) 則barcar2,dar3 20   a ba ar 20  a(1 r) 20  a b  c d 65  20   c d 65  c d 45  2 3 45   ar ar  2 (1 ) 45 ar r : 2 (1 ) 45 (1 ) 20    ar r a r  2 9 4  r  3 2   r (負不合) 3 2  r 代回 : (1 3) 20 2   aa8 ( )25.設a、b、c、d 、e、 f 六數成等比數列,且已知a  c e 168,b  d f 84,則 d 之值為何? (A) 6 (B) 9 (C)16 (D)32 【105 年歷屆試題.】 解答 C 解析 設等比數列的公比為r, 則bar, 2 car , 3 dar , 4 ear , 5 far 168 a  c eaar2ar4168  a

1r2r4

168

(5)

84 b  d farar3ar5 84  ar

1r2r4

84 :

2 4 2 4 1 84 168 1 ar r r a r r       1 2 r 1 2 r 代回 : 1 1 1 168 4 16 a       a128 所求 3 3 1 128 16 2 dar       

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