0921直線方程式 三角函數 三角函數的應用解答

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0920 直線方程式 三角函數 三角函數的應用

班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.設 a  b，且|a|  |b|，則點(a  b,a  b)在 (A)第二象限內 (B) 原點 (C)x 軸上 (D)y 軸上 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）2.設 a、b、c 為實數，且二次函數 y  ax2  bx  c 的圖形如圖所示， 則點 P (b2  4ac , abc)在第幾象限？ (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於 y  ax2 _bx  _{c 的圖形} 開口向上  a  0 頂點在 y 軸右側  a、b 異號  b  0 與 y 軸的交點(0 , c)在 y 軸的負向  c  0 與 x 軸有 2 個交點  b2 _4ac  ₀

因此 abc  0，故 P (b2 _{4ac , abc)在第一象限}

（ ）3.求△ABC 中，設C  90，a  3，b  6，求 sinA  (A)1 2 (B) 5 2 (C) 5 (D) 5 5 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 如圖所示，c a2b2  6232 3 5 ∴ sin 3 5 5 3 5 a A c    （ ）4.若 f(x)   8，則 f(0)  f(8)  f(  8)  (A)0 (B)16 (C)  24 (D)8 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）5.設A( 5 , 7) 、B(0 ,3)為坐標平面上兩點，若點C在AB上， 且3AC2BC，求C點坐標？ (A)(3 , 3) (B)(3 ,3) (C)( 3 , 3)  (D)( 3 , 3) 【隨堂測驗.】 解答 D 解析 3AC2BC （ ）6.半徑為 10 的扇形區域，其面積為 5，則此扇形 之弧長為 (A)2 (B) (C)3 2



(D)2



【龍騰自命題.】 2 0 3 ( 5) 15 3 2 3 5 2 ( 3) 3 7 15 3 2 3 5 x y               _{   }        ( 3 , 3) C   解答 B 解析 扇形面積1 2 50 5 2r











10





 弧長 10 10

 

   （ ）7.、 均為銳角，且sin 5 5



 ，sin 10 10



 ，則    (A)45 (B)60 (C)75 (D)105 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 、 均為銳角，且sin 5 5



 ，sin 10 10



 ∴ cos 20 2 5 5 5



  ，cos 90 3 10 10 10



 

由和角公式得 sin( )  sin cos cos sin

5 3 10 2 5 10 5 50 2 0

5 10 5 10 50 2

      

cos( )  cos cos sin sin

2 5 3 10 5 10 5 50 2 0 5 10 5 10 50 2        ∵ sin( )  0，cos( )  0 ∴ 0 90，又 2 sin( ) 2

 

  ∴  45 （ ）8.在△ABC 中，若 D 點在線段AC上且AD：DC1：2，又∠ BAD  30，∠BDC  60，則∠DCB 的角度為何？ (A)30 (B)45 (C)60 (D)75 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析

－ 2 － 令ADt、DC2t，其中 t  0 ∵ ∠BDC  60  ∠BDA  120  ∠ABD  30 ∴ △DAB 為等腰三角形  DBt 由餘弦定理知，在△BCD 中， 2 2 2 2 cos ( ) BC DB DC  DB DC  BDC  t2 _(2t)2 ₂  _t  _2t  _cos60 _3t2  _BC _3t 由正弦定理，在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C    sinC12  ∠C  30或 150（不 合） 故∠DCB  30 故選(A) （ ）9.在△ABC 中，已知AB 3 1 ，BC 2，A  30，則 (A)AC 2(B)AC1(C)B  45 (D)C  15 【龍騰自命題.】 解答 D （ ）10.關於函數 f(x)  ax2  bx  c，ac  0 之圖形，下列敘述何者錯誤？ (A)為一拋物線 (B)與 x 軸至少有一個交點 (C)當 b2  4ac 時，與 x 軸僅有一個交點 (D)當 b  0，與 x 軸的交點不可能 只有一個 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (A)∵ f(x)  ax2 _bx  _c，ac  _{0 ∴ f(x)為二次函數，為一拋} 物線 (B)f(x)與 x 軸可能：無交點，一個交點，或二個交點 (C)當 b2 _{4ac 時，頂點坐標} 2 4 ( , ) ( ,0) 2 4 2 b ac b b a a a     ，恰與 x 軸交於頂點 (D)當 b  0 時，頂點坐標 2 4 ( , ) (0, ) 2 4 b ac b c a a    ∵ c  0 ∴ 與 x 軸交點不只一個

（ ）11.化簡 sin100sin(  160)  cos200cos(  280)得 (A) 3 2 (B) 3 2  (C)1 2 (D) 1 2  【龍騰自命題.】 解答 D

解析 sin100sin(  160)  cos200cos(  280)  sin100sin200 cos200cos80

 sin80(  sin20)  (  cos20)cos80 (sin80sin20 cos20cos80) 1 cos(80 20 ) cos 60 2           （ ）12.下列各式何者的 x 有解？ (A)sin x  2 (B)cos 3 2 x  (C)tan x  5 (D)sec 2 3 x 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 (A)  1  sinx  1 ∴ 不可能等於 2 (B)  1  cosx  1 ∴ cosx 不可能等於 3 2  (C)tan x

(D)secx  1 或 secx  1 ∴ secx 不可能等於2 3 （ ）13.在直角△ABC 中，C  90，AC12，BC5，則 sinB  (A)12 13 (B) 5 13 (C) 5 12 (D) 12 5 【龍騰自命題.】 解答 A （ ）14.直線L:x y 1 a b （a  0，b < 0）過點(3,2)，若 L 與兩坐標軸 所圍成之三角形面積為 4，則 2a  3b  (A)24 (B)20 (C)18 (D)16 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 L 與兩坐標軸所圍成之三角形面積為1| | 4 2 ab  又 a  0，b < 0  ab  8… L 經過點(3, 2) 3 2 1 2a 3b ab a b        2a  3b  8… 由得：b 8 a   …代入 24 2a 8 a 2 a      ，  6（  6 不合） a  2 代入得 b  4 ∴ 2a  3b  16 （ ）15.設△ABC 之三邊長BC5，AC3，AB4，若A 的內 角平分線與BC邊的交點為 D，則線段AD之長為 (A)9 2 7 (B)10 2 7 (C) 11 2 7 (D) 12 2 7 【龍騰自命題.】 解答 D

解析 ∵ 三邊長為 3、4、5 ∴ BAC  90  BAD CAD

 45

利用△ABD 面積  △ACD 面積  △ABC 面積

1 1 1

4 sin 45 3 sin 45 4 3 sin 90

2 AD 2 AD 2              3 2 2 6 4 AD AD    7 12 2 2 6 4 AD AD 7    

－ 3 － （ ）16.設0 2 x



  ，若方程式tan( ) cot( ) 2 2 3 2 3 2 x x



_{ }



_{ } ，則 x 的值為 (A)5 12



(B) 6



(C) 3



(D) 4



【龍騰自命題.】 解答 A 解析 1 tan( ) cot( ) 3 2 3 2 _{sin( ) cos( )} 3 2 3 2 x x x x









      2 2 2 2 sin( ) 3



x    2 1 sin( ) 3



x 2    ∵ 0 0 2 2 x





x         2 2 6 3  x 3



_

_

∴ 2 3  x 4





2 5 3 4 12    x







（ ）17.在直角坐標系中有三條直線 L1、L2、L3，其斜率分別是 m1、m2、 m3，如圖所示，則下列何者正確？ (A)m1  m2  m3 (B)m1 < m2 < m3 (C)m2m3 < 0 (D)m1m2 < 0 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 設 L1、L2、L3斜角分別為1、2及3 直線 L 斜角為，則斜率 m  tan 當0 2





  時：tan 0，當 2

  

  時：tan < 0 如圖所示：0 _{3 2} 0 tan ₃ tan ₂ 2











       0 < m3 < m2 又 ₁ tan ₁ 0 ₁ 0 2 m

  

  



   ∴ m1 < m3 < m2，且 m2m3 0，m1m2 < 0 （ ）18.設直線 L:4y  3x   12，則下列何者正確？ (A)L 之斜率為4 3 (B)L 不經過第四象限 (C)過點(3,  2)，且與 L 平行之直線方 程式為 3x  4y  1 (D)過點(  1,2)，且與 L 垂直之直線方程 式為 4x  3y  2 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (A) : 4 3 12 3 3 4 L y x   y x ∴ 斜率為3 4 (B) ∴ 不經過第二象限 (C)與 L 平行之直線設為 4y  3x  k 又過(3,  2)  k  8  9  17 ∴ 直線為 4y  3x   17 (D)與 L 垂直之直線設為4x3y 又過(  1,2)     4 6 2 ∴ 直線為 4x  3y  2 （ ）19.不論 a 為任何實數，直線(2  a)x  (1  4a)y  3  2a  0 恆過下 列哪一定點？ (A)(1,2) (B)(  2,1) (C)(2,0) (D)(1,1) 【龍騰自命題.】 解答 B

解析 (2  a)x  (1  4a)y  3  2a  0  (2x  y  3)  a(x  4y  2)  0 2 3 0 4 2 0 x y x y       _{  }    2  得 7y  7  0  y  1 代入 得 x  2 ∴ 必過點(  2,1) （ ）20.如圖，OA5，OC3且CD6，則鋪色部分的面積為 (A)8 (B)12 (C)16 (D)20 【隨堂講義補充題.】 解答 C 解析 令AOB



6 3 6 2      CD





所求 1 2 1 2 5 2 3 2 16 2 2        （ ）21.已知甲站在地面上，乙站在山丘上，若由甲站立之處看乙之仰 角為40，則由乙站立之處看甲之俯角為 (A)50 (B)40

－ 4 － (C)90 (D)無法判斷 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 ∵ 內錯角相等

（ ）22.△ABC 中，若AB1，AC2，A  120，則△ABC 面積 

(A)1 2 (B) 3 2 (C)1 (D) 3 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）23.sin165 (A) 2 2  (B) 2 6 4  (C) 6 2 4  (D) 6 2 4  【龍騰自命題.】 解答 D （ ）24.△ABC 中，若AB4，BC2，AC2 3，則B  (A)15 (B)30 (C)60 (D)75 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 2 2 2 4 2 (2 3) 8 1 cos 2 4 2 2 4 2 2 B         ∴ B  60 （ ）25.設 a 、b為整數，若sin 75 sin195  a b 2，則數對

 

a b,  (A) 0, 1 2  _      (B) 1 ,0 2 _      (C) 1 0, 2       (D) 1 , 0 2      【隨堂 講義補充題.】 解答 C 解析 ab 2 sin 75 sin195    









sin 30 45 sin 60 135        

sin30 cos45 cos30 sin 45 sin60 cos135

         cos60 sin135    1 2 3 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2         _{ }    2 2 

 

1 , 0, 2    _{  }   a b