1024 式的運算解答

1024 式的運算 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.已知 a、b、c 為實數。若 3 2 x 時，等式 2 2 2 4 6 3 (2 3) 2 3 (2 3) x x b c a x x x   _{  }    恆成立，則 a  b  2c  (A)  4 (B)  2 (C)2 (D)4 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 原式等號的兩側同乘以(2x  3)2  4x2_ 6x  3  a(2x  3)2 b(2x  3)  c  a(4x2 12x  9)  b(2x  3)  c  4ax2 (  12a  2b)x  (9a  3b  c)

則 4 4 12 2 6 9 3 3 a a b a b c              由得 a  1 a  1 代入  12  1  2b  6  b  3 a  1，b  3 代入 9  1  3  3  c  3  c  3 故 a  b  2c  1  3  2  (  3)  2 〈另解〉 原式等號的兩側同乘以(2x  3)2  4x2 6x  3  a(2x  3)2 b(2x  3)  c 4  6  3 3 2 6 0 2 4 0  3 ……c 2 0 3 2 2 3 ……b 1 ……a 故 a  b  2c  1  3  2  (  3)  2 （ ）2.設 f (x)為一元二次多項式，若 f (1)  4，f (  1)  4，f (0)  0，則下列何者為 f (x)之因式？ (A)x (B)x  1 (C)x  1 (D)x2  1 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ f (x)為一元二次多項式 又 f (1)  f (  1)  4 故設 f (x)  a(x  1)(x  1)  4 已知 f (0)  0  a(0  1)(0  1)  4  0  a  4 即 f (x)  4(x  1)(x  1)  4  4x2 ∴ x 為 f (x)之因式 （ ）3.已知兩多項式f x 和

 

g x 的次數分別為 3 次和 4 次，則

 

f x

   

g x 的次數為 (A) 3 (B) 4 (C) 7 (D)12 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 ∵ deg f x

 

3，degg x

 

4 ∴ deg



f x

   

g x



  3 4 7 （ ）4.已知 m、n 為實數，Q(x)為二次多項式。若 x4  mx3  x2  5x  n  (x2  3x  2)Q(x)，則 2m  n  (A)  6 (B)  2 (C)4 (D)8 【102 年歷屆試題.】 解答 D 解析 令 f (x)  x4 mx3 x2 5x  n

∵ f (x)  (x2 _3x  _2)Q(x)  _(x  _1)(x  _2)Q(x) ∴ x  1 與 x  2 均為 f (x)的因式  f (1)  0，f (2)  0 f (1)  1  m  1  5  n  0   m  n  5…… f (2)  16  8m  4  10  n  0   8m  n  2……    7m  7  m  1 m  1 代入  1  n  5  n  6 故 2m  n  2  1  6  8 （ ）5.方程式 2x 5 7的解為 (A)1或 6 (B) 1 或 6 (C) 2 或 7 (D) 2 或 7 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 2x 5 7  2x 5 7或7  x1或6 （ ）6.設_{f x}

 

_x4_3x3_x2  _{x 9 a x}



₂



4_{b x}



₂



3_{c x}



₂



2_{d x}



 ₂



_e，則 2 3 4 a b c d (A)24 (B)28 (C)32 (D)36 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 1 3 1 1 9 2 2 2 2 2 1 1 1 1 7 2 2 2 1 1 1 1 2 6 1 3 7 2 1 5                 ∴ a1，b5，c7，d1 2 3 4 1 2 5 3 7 4 1 36 a b c d             （ ）7.若 2 3 2 3 3 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) x x a b c x x x x   _{  }     ，則 a  b  c  (A)  1 (B)0 (C)1 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2 2 3 2 3 3 3 1 ( 2 ) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) x x a b c ax b a x a b c x x x x x   _{   }           故 1 1 2 3 1 1 1 a a b a b a b c c      _{   }  _{ }    _{  }  _{ }   則 a  b  c  1 （ ）8.設 k 為實數，若 x3  2x2  6x  3k 能為 x  1 整除，則 k 之值為 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 x  1 代入原式為 0 ∴ 13 2  12 6  1  3k  0，得 k  1 （ ）9.設以 x  1 除 f (x)  2x3  3ax  4 與 g(x)  ax6  x  1 所得餘式相等，則 a 之值為 (A)  1 (B) 1 2  (C)0 (D)1 2 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ f (1)  g(1) ∴ 2  3a  4  a  1  1  a 1

（ ）10.設 4 12的整數部分為 a，小數部分為 b，則 1 1 ab b (A)  1 (B)1 (C)0 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 4 12 42 3  1 3 2 ( 3 1) 整數 a  2，小數b 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 3 1 3 ab b          （ ）11.化簡 3 1 4 1 為 (A) 3_{4 1} 3  (B) 3_{4 1} 5  (C) 3 3_{16 4 1} 5   (D) 3 3_{16 4 1} 3   【隨堂測驗.】 解答 D 解析 原式

 

3 3 3 3 3 3 3 3 _{3 3} 1 16 4 1 16 4 1 4 1 16 4 1 _{4 1}           _ 3 3_{16 4 1} 3   

（ ）12.若 x4 _{ 3x}2 _{ x  1  a(2x  3)}4 _{ b(2x  3)}3 _{ c(2x  3)}2 _{ d(2x  3)  e，則 a  b  c  d  e  (A)  1 (B)0 (C)1 (D)2}

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 用 x  2 代入，得 a  b  c  d  e  (  2)4 ₃₍  ₂₎2 ₍  ₂₎  ₁  ₁ （ ）13.分式方程式 2 1 4 5 x x     的解為 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 2 1 4 5 x x  _     2x 10 x 4  3x 6  x 2 （ ）14.已知x 1 3 x   且 x  1，則x 1 x   (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 7 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (x 1)2 9 x2 1₂ 7 x x      又 2 2 2 1 1 (x ) (x ) 2 5 x x      ，故x 1 5 x   （ ）15.設、為 2x2 _{ 5x  1  0 的兩根，且} _ _，則 _  _{ (A)} 17 2 (B) 5 2 (C) 17 (D)5 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2x2 5x  1  0 的解為 x  5 25 8 5 17 2 2 4    _   ∵  ∴  5 17 4   ， 5 17 4     5 17 4    5 17 4    17 2

（ ）16.分式方程式(3 1) 5( 3) 6 0 3 3 1 x x x x  _  _{ }   之所有根的和為 (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 令3 1 3 x u x    原式 5 2 6 0 6 5 0 ( 1)( 5) 0 u u u u u u             ∴ u  1 或 5 (1)當 u  1 時，3 1 1 3 1 3 2 3 x x x x x           (2)當 u  5 時，3 1 5 3 1 5 15 8 3 x x x x x          故方程式之解為 x  2，8， 2  8  6

（ ）17.設 a、b 是整數，若(ax  b)是 f (x)  4x3 _{ px}2 _{ qx  6 的一次有理因式，則 b 不可能為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4}

【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ax  b  f (x)  4x3 _px2 _qx  ₆  _b  ₆ ∴ b 可能為1，2，3，6，不可能為 4 （ ）18.設方程式 2 6 0 x  x c 的一根是另一根的二倍，則c (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 設二根為、2 2 6 2 2 1 2 2 8 1 c c                       （ ）19.x  1 除 f (x)  2x100  7x75  4x10  5x5  4x  3 的餘式為 (A)5 (B)1 (C)5 (D)25 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）20.2x4  5x3  9x2  7x  4 除以 x2  x  1 的商式為 (A)2x2  x  4 (B)2x2  3x  4 (C)2x2  3x  4 (D)2x2  4 【龍騰自命題.】 解答 C （ ）21.已知 f (x)  (x3  3x2  4x  5)(6  x  x2)，則下列敘述何者錯誤？ (A)f (0)  30 (B)deg f (x)  6 (C)展開式中，x3_{項係數為 5 (D)} 展開式中，各項係數和為 28 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (A)f (0)  (0  5)(6  0)  30 (B)deg f (x)  3  2  5 (C)x3_項的係數  ₁  ₆  ₍₃₎  ₍₁₎  ₄  ₍₁₎  ₅ (D)各項係數和  f (1)  (1  3  4  5)(6  1  1)  7  4  28 （ ）22.化簡 300 18 108 50 (A)0 (B) 4 3 2 2 (C)16 3 2 2 (D) 4 3 8 2 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）23.若







 

 



3 2 4 2 3 4 2 2 3 1 1 1 1 1 x x x A B C D x x x x x    _{   }      ，則 A B C D    (A)16 (B)17 (C)18 (D)19

解答 D 解析 原式兩邊同乘



x1



4得





3





2





3 2 2x x 2x 3 A x1 B x1 C x 1 D 2 x 代入 A B C   D 16 4 4 3 19    （ ）24.解分式方程式 2 6 7 1 x x x     0，得 x  (A)1 , 7 (B)1 (C)7 (D)無解 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 去分母，得 x2 6x  7  0  (x  7)(x  1)  0  x  7 , 1 但是 x 1 代入原分式會使分母為 0，不合 故只能取 x  7 （ ）25.化簡 3 1 2 1  (A) 3_{2 1} _(B)3_{4 1} _(C)3₄3_{2 1} _(D)3₄3_{2 1} _(E)3₄ _{2 1} 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 ∵ 3_{2 1} _{的有理化因式為}3₄3_{2 1} ∴ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 2 1 2 1 ( 2 1)( 4 2 1) ( 2) 1                  