1024 式的運算解答

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1024 式的運算 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.已知 a、b、c 為實數。若 3 2 x 時,等式 2 2 2 4 6 3 (2 3) 2 3 (2 3) x x b c a x x x        恆成立,則 a  b  2c  (A)  4 (B)  2 (C)2 (D)4 【102 年歷屆試題.】 解答 B 解析 原式等號的兩側同乘以(2x  3)2  4x2 6x  3  a(2x  3)2 b(2x  3)  c a(4x2 12x  9)  b(2x  3)  c 4ax2 (  12a 2b)x (9a 3b c)

則 4 4 12 2 6 9 3 3 a a b a b c              由得 a  1 a  1 代入  12  1  2b  6  b  3 a 1,b  3 代入 9  1  3  3  c  3  c  3 故 a b 2c  1  3  2  (  3)  2 〈另解〉 原式等號的兩側同乘以(2x  3)2  4x2 6x  3  a(2x  3)2 b(2x  3)  c 4  6  3 3 2 6 0 2 4 0  3 ……c 2 0 3 2 2 3 ……b 1 ……a 故 a b 2c  1  3  2  (  3)  2 ( )2.設 f (x)為一元二次多項式,若 f (1)  4,f (  1)  4,f (0)  0,則下列何者為 f (x)之因式? (A)x (B)x  1 (C)x  1 (D)x2  1 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ f (x)為一元二次多項式 又 f (1) f (  1)  4 故設 f (x) a(x 1)(x  1)  4 已知 f (0)  0  a(0  1)(0  1)  4  0  a  4 即 f (x) 4(x 1)(x  1)  4  4x2 ∴ x 為 f (x)之因式 ( )3.已知兩多項式f x 和

 

g x 的次數分別為 3 次和 4 次,則

 

f x

   

g x 的次數為 (A) 3 (B) 4 (C) 7 (D)12 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 ∵ deg f x

 

3,degg x

 

4 ∴ deg

f x

   

g x

  3 4 7 ( )4.已知 m、n 為實數,Q(x)為二次多項式。若 x4  mx3  x2  5x  n  (x2  3x  2)Q(x),則 2m  n  (A)  6 (B)  2 (C)4 (D)8 【102 年歷屆試題.】 解答 D 解析 令 f (x) x4 mx3 x2 5x n

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∵ f (x) (x2 3x 2)Q(x) (x 1)(x 2)Q(x) ∴ x 1 與 x 2 均為 f (x)的因式 f (1) 0,f (2)  0 f (1)  1  m  1  5  n  0   m n  5…… f (2)  16  8m  4  10  n  0   8m n  2……    7m  7  m  1 m  1 代入  1  n  5  n  6 故 2m n  2  1  6  8 ( )5.方程式 2x 5 7的解為 (A)1或 6 (B) 1 或 6 (C) 2 或 7 (D) 2 或 7 【隨堂測驗.】 解答 A 解析 2x 5 7  2x 5 7或7  x1或6 ( )6.設f x

 

x43x3x2  x 9 a x

2

4b x

2

3c x

2

2d x

 2

e,則 2 3 4 abcd (A)24 (B)28 (C)32 (D)36 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 1 3 1 1 9 2 2 2 2 2 1 1 1 1 7 2 2 2 1 1 1 1 2 6 1 3 7 2 1 5                 ∴ a1,b5,c7,d1 2 3 4 1 2 5 3 7 4 1 36 a b c d             ( )7.若 2 3 2 3 3 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) x x a b c x x x x       ,則 a  b  c  (A)  1 (B)0 (C)1 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2 2 3 2 3 3 3 1 ( 2 ) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) x x a b c ax b a x a b c x x x x x             故 1 1 2 3 1 1 1 a a b a b a b c c                   則 a b c  1 ( )8.設 k 為實數,若 x3  2x2  6x  3k 能為 x  1 整除,則 k 之值為 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 x  1 代入原式為 0 ∴ 13 2  12 6  1  3k 0,得 k  1 ( )9.設以 x  1 除 f (x)  2x3  3ax  4 與 g(x)  ax6  x  1 所得餘式相等,則 a 之值為 (A)  1 (B) 1 2  (C)0 (D)1 2 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 ∵ f (1) g(1) ∴ 2 3a  4  a  1  1  a 1

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( )10.設 4 12的整數部分為 a,小數部分為 b,則 1 1 ab b (A)  1 (B)1 (C)0 (D)2 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 4 12 42 3  1 3 2 ( 3 1) 整數 a  2,小數b 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1 3 1 3 ab b          ( )11.化簡 3 1 4 1 為 (A) 34 1 3  (B) 34 1 5  (C) 3 316 4 1 5   (D) 3 316 4 1 3   【隨堂測驗.】 解答 D 解析 原式

 

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 16 4 1 16 4 1 4 1 16 4 1 4 1           3 316 4 1 3   

( )12.若 x4  3x2  x  1  a(2x  3)4  b(2x  3)3  c(2x  3)2  d(2x  3)  e,則 a  b  c  d  e  (A)  1 (B)0 (C)1 (D)2

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 用 x  2 代入,得 a b c d e  (  2)4 3( 2)2 ( 2) 1 1 ( )13.分式方程式 2 1 4 5 x x     的解為 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【隨堂測驗.】 解答 B 解析 2 1 4 5 x x     2x 10 x 4  3x 6  x 2 ( )14.已知x 1 3 x   且 x  1,則x 1 x   (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 7 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (x 1)2 9 x2 12 7 x x      又 2 2 2 1 1 (x ) (x ) 2 5 x x      ,故x 1 5 x   ( )15.設、為 2x2  5x  1  0 的兩根,且,則  (A) 17 2 (B) 5 2 (C) 17 (D)5 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 2x2 5x  1  0 的解為 x  5 25 8 5 17 2 2 4       ∵  ∴  5 17 4   , 5 17 4     5 17 4    5 17 4    17 2

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( )16.分式方程式(3 1) 5( 3) 6 0 3 3 1 x x x x    之所有根的和為 (A)6 (B)8 (C)10 (D)12 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 令3 1 3 x u x    原式 5 2 6 0 6 5 0 ( 1)( 5) 0 u u u u u u             ∴ u  1 或 5 (1)當 u  1 時,3 1 1 3 1 3 2 3 x x x x x           (2)當 u  5 時,3 1 5 3 1 5 15 8 3 x x x x x          故方程式之解為 x  2,8, 2  8  6

( )17.設 a、b 是整數,若(ax  b)是 f (x)  4x3  px2  qx  6 的一次有理因式,則 b 不可能為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

【龍騰自命題.】 解答 D 解析 ax b f (x) 4x3 px2 qx 6 b 6 ∴ b 可能為1,2,3,6,不可能為 4 ( )18.設方程式 2 6 0 xx c 的一根是另一根的二倍,則c (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 設二根為、2 2 6 2 2 1 2 2 8 1 c c                       ( )19.x  1 除 f (x)  2x100  7x75  4x10  5x5  4x  3 的餘式為 (A)5 (B)1 (C)5 (D)25 【龍騰自命題.】 解答 C ( )20.2x4  5x3  9x2  7x  4 除以 x2  x  1 的商式為 (A)2x2  x  4 (B)2x2  3x  4 (C)2x2  3x  4 (D)2x2  4 【龍騰自命題.】 解答 C ( )21.已知 f (x)  (x3  3x2  4x  5)(6  x  x2),則下列敘述何者錯誤? (A)f (0)  30 (B)deg f (x)  6 (C)展開式中,x3項係數為 5 (D) 展開式中,各項係數和為 28 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (A)f (0)  (0  5)(6  0)  30 (B)deg f (x)  3  2  5 (C)x3項的係數 1 6 (3) (1) 4 (1) 5 (D)各項係數和  f (1)  (1  3  4  5)(6  1  1)  7  4  28 ( )22.化簡 300 18 108 50 (A)0 (B) 4 3 2 2 (C)16 3 2 2 (D) 4 3 8 2 【龍騰自命題.】 解答 B ( )23.若

 

 

3 2 4 2 3 4 2 2 3 1 1 1 1 1 x x x A B C D x x x x x         ,則 A B C D    (A)16 (B)17 (C)18 (D)19

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解答 D 解析 原式兩邊同乘

x1

4得

3

2

3 2 2xx 2x 3 A x1 B x1 C x 1 D 2 x 代入 A B C   D 16 4 4 3 19    ( )24.解分式方程式 2 6 7 1 x x x     0,得 x  (A)1 , 7 (B)1 (C)7 (D)無解 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 去分母,得 x2 6x  7  0  (x 7)(x  1)  0  x  7 , 1 但是 x 1 代入原分式會使分母為 0,不合 故只能取 x  7 ( )25.化簡 3 1 2 1  (A) 32 1 (B)34 1 (C)3432 1 (D)3432 1 (E)342 1 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 ∵ 32 1的有理化因式為3432 1 ∴ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 2 1 2 1 ( 2 1)( 4 2 1) ( 2) 1                  

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