創意教學活動「四邊形的獵捕」－
包含關係的推理
何敏華
嘉義縣私立協同高級中學
摘 要
此 教 學 活 動 最 主 要 的 內 容 ， 乃 是 藉 由 遊 戲 競 賽 的 方 式 ， 讓 國 中 生 在 對 幾 何 形 狀 的 特 徵 與 性 質 分 析 上 ， 能 充 分 運 用 數 學 辨 證 、 推 理 和 溝 通 的 技 巧 ， 進 而 發 展 「 四 邊 形 包 含 關 係 」的 學 習。學 習 活 動 的 設 計 理 念 依 據，採 用 van Hiele 之幾 何 思 考 的 五 個 學 習 階 段（ five sequential phases of learning） 來 參酌 ， 並 做 為 課 室 實 際 執 行的 依 據 。 最 後 ， 經 過 研 究者 對 活 動 歷 程 的 分 析 發 現 ， 透 過 此 遊 戲 的 進 行 ， 協 助 了 國 一 學 生 釐 清 對 不 同 四 邊 形 定 義 、 特 徵 與 性 質 的 迷 思 概 念 ， 並 主 動 以 非 形 式 推 論 的 方 式 建 構 且 理 解 「 正 方 形 、 長 方 形 、 菱 形 均 包 含 於 平 行 四 邊 形 中 」，至 於「 正 方 形 包 含 於 長 方 形 」、「 正 方 形 包 含 於 菱 形 」與「 長 方 形 與 菱 形 共 同 會 包 含 到 的 圖 形 是 正 方 形 」 的 概 念 ， 研 究 者 在 本 文 的 反 思 與 建 議 中 ， 亦 提 出 了 活 動 歷 程 中 可 採 取 的 機 制 方 法 。關 鍵 字 ：van Hiele 之 幾 何 思 考 的 五 個 學 習 階 段 （ five sequential phases of learning）
文 氏 圖 （ven diagram） 包 含 關 係 （inclusion relation）
壹、 動機 與目 的
Van de Wall（1997） 曾 指 出 ， 用 來歸 類 和 辨 別 不 同 幾 何 圖 形 的 最 好 方 法 莫 過 於 是 深 入 的 了 解 這 些 圖 形 ， 而 就 圖 形 所 涵 蓋 的 眾 多 性 質 看 來 ， 學 習 者 不 僅 可 以 用 不 同 的 方 法 去 探 究 、 瞭 解 這 些 性 質 ， 亦 可 藉 助 這 些 性 質 來 敘 述 和 分 析 圖 形 ， 因 此 ， 幾 何 圖 形 的 特 性 分 析 歷 程 能 夠 引 導 學 生 做 演 繹 推 理 思 考 的 發 展 。 針 對 「 平 面 圖 形 間 包 含 關 係 」 的 探 究 而 言 ， 學 習 者 不 僅 需 要 對 圖 形 的 定 義 、 性 質 做 充 分 的 了 解 ， 亦 需 要 透 過 這 些 性 質 來 分 類 圖 形 ， 並 推 演 出 相 異 圖 形 間 包 含 關 係 的 確 認 。 所 以 ， 研 究 者 為 促 使 國 中 學 生 在 「 圖 形 間 包 含 關 係 的 推 理 」 上 更 充 分 地 學 習 與 發 展 ， 設 計 了 「 四 邊 形 的 獵 捕 」 教 學 活 動 ， 希 望 藉 助 幾 何 形 狀 特 徵 與 性 質 的 分 析 過 程 ， 來 協 助 學 習 者 發 展 幾 何 圖 形 間 關 係 的 辯 證 ， 而 此 活 動 實 施 的 方 式 乃 採 用 辨 證 、 競 賽 的 遊 戲 來 進 行 ， 希 望 透 過 遊 戲 而 使 得 幾 何 的 學 習 更 具 豐 富 性 、 有 趣 性 與 挑 戰 性 （van Hiele, 1999）， 以 達 數 學 教 育 的 重 要 目 標 之 一--- 經 由 幾何 的 教 學 協 助 學 生 發 展 邏 輯 思 考 與 推 理 的 能 力 。 根 據 van Hiele（1986）的 幾 何 思 考發 展 理 論 ， 認 為 幾 何 的 思 考 是 一 種 階 段 性 的 層 次 發 展 歷 程 ， 而 且 每 個 層 次 間 的 提 升 最 主 要 是 經 由 教 學 的 影 響 ， 並 非 由 於 個 體 年 齡 的 成 熟 。 其 理 論 中 的 五 個 循 序 階 段 層 次 分 別 是 ： 層 次 一 的 視 覺 辨 識 （visualization）、層 次 二 的 分 析（analysis） 或 描 述 （descriptive）、 層 次 三 的 非形 式 演 繹 推 理（informal deduction）、層 次 四 的 形 式 演 繹（formal deduction）、層 次 五 的 嚴 密 性 系 統 （rigor）。 如 果 就 幾 何 形 狀 思 考 的 發 展 來 看 ， 五 個 層 次 的 思 考 歷 程 是 由 層 次 一 的 依 據 實 物 之 整 體 外 形 輪 廓 來 辨 別 的 方 式 開 始 ， 再 至 層 次 二 的 辨 別 、 描 述 圖 形 特 徵 之 能 力 階 段 ， 再 發 展 至 層 次 三 的 探 求 、 比 較 內 在 屬 性 與 包 含 關 係 的 階 段 ， 而 後 至 層 次 四 的 幾 何 理 論 證 明 階 段 ， 最 後 才 有 機 會 到 達 連 數 學 家 都 未 必 能 發 展 到 的 層 次 五 之 不 同 幾 何 系 統 思 維 階 段 。 圖 1-1 說明 了 幾 何 形 狀 思 考 發 展 的 結 構 化 關 係 （Van de Wall, 1997）： 形狀 形狀的集合 形狀的性質 性質間的 關係 性質的演 繹系統 演繹系統 的分析 層次一：視覺辨識 層次二：分析 層次三：非形式演繹 層次四：形式演繹 層次五：嚴密性系統 圖 1-1. 幾 何 形 狀 思考 的 發 展 （ 取 自 Van de Wall, 1997） 我 國 在 設 計 幾 何 方 面 的 教 材 與 中 小 學 幾 何 學 習 的 理 論 依 據，係 採 用van Hiele 的 幾 何 思 考 發 展 模 式 與 實 務 研 究 （ 左 台 益 ，2002；吳 德 邦 ，2001； 劉 好 ，1998； 譚 寧 君，1993），思 考 發 展 的 架 構 歷 程 是 由 實 體 而 至 圖 形 、 由 具 體 而 至 抽 象 、 再 由 觀 察 而 至 推 理 。 本 研 究 中 的 學 習 活 動 對 象 乃 針 對 國 中 生（ 約 屬 於 van Hiele 幾何 思 考 層 次 的 第 三 層 次 ）所 設 計，並 以 文 氏 圖（ven diagram）做 為 活 動 中 推 理 的 工 具，促進 學 生 在 分 類 四 邊 形 時 ， 能 在 圖 形 屬 性 、 特 徵 與 性 質 上 做 充 分 的 討 論 ， 且 藉 由 非 形 式 的 推 理 辨 證 方 法 發 展 四 邊 形 包 含 關 係 的 概 念 （ 屬 於 van Hiele 幾 何 思 考 層 次 中第 三 層 次 應 發 展 的 能 力 ）。
貳、 相關 理論 基 礎
一、 教學 設計 理 念
透 過 實 驗 、 操 作 與 探 索 的 教 學 活 動 來 認 識 幾 何 圖 形 的 性 質 ， 一 直 是 國 內 外 幾 何 教 材 內 容 所 強 調 的 精 神（NCTM, 2000 ; 教 育 部，2002）。而 在 九 年 一 貫 課 程 所 提 出 的 「 學 校 本 位 課 程 發 展 」， 與 倡 導 「 教 師 參 與 」、「 由 下 而 上 改 革 」 的 理 念 下 ， 教 師 在編 制 幾 何 教 材 、 執 行 課 室 教 學 時 ， 為 了 促 使 學 生 能 從 一 個 思 考 層 次 提 昇 到 另 一 個 較 高 的 思 考 層 次 ， 所 採 用 的 教 學 方 法 和 教 材 的 設 計 、 使 用 ， 就 顯 得 格 外 地 重 要 。 而 圖 形 間 包 含 關 係 的 概 念 ， 它 不 僅 屬 於 van Hiele 幾 何 思 考 層 次 之 第 三 層 次 所 要 發 展 的 能 力，亦 是 九 年 一 貫 課 程 綱 要（ 教 育 部， 2002） 中 所 明 示 第 四 階 段 （ 8-9 年 級 ） 所 應 發 展 的 能 力 指 標 。 因 此 在 本 研 究 中 ， 學 習 活 動 之 實 施 流 程 與 設 計 理 念 基 礎 ， 乃 是 根 據 van Hiele 之 幾 何 思 考 的 五 個學 習 階 段 （five sequential phases of learning） 來 參 酌 ， 茲 將 闡 述 如 下 ： （ 一 ） 諮 詢 （inquiry/information） 此 階 段 為 使 學 習 者 能 熟 悉 所 欲 探 究 的 領 域 ， 教 師 可 藉 由 例 子 或 非 例 子 來 進 行 重 要 概 念 的 引 介 ， 期 盼 透 過 這 樣 的 過 程 能 激 發 學 生 的 動 機 去 發 現 某 些 結 構(Fuys, Geddes, Geddest & Tischler, 1988 ; Presmeg, 1991) 。 因 此 ， 教 師 與 學 生 的 對 話 、 引 發 探 究 、 問 題 的 產 生 、 介 紹 幾 何 發 展 階 段 中 的 專 門 術 語 ， 都 可 在 此 最 初 的 學 習 階 段 實 踐 。 而 教 師 透 過 觀 察 與 發 問 和 學 生 所 做 的 雙 向 溝 通 ， 不 僅 促 發 學 習 者 的 投 入 ， 也 提 供 了 教 師 了 解 學 生 先 備 知 識 與 經 驗 的 時 機 （Fuys et. al., 1988）， 並設 立 了 進 一 步 的 學 習 步 驟 （ 左 台 益 ，2002）。 （ 二 ） 導 向 （directed orientation） 經 過 第 一 個 學 習 階 段 後 ， 學 生 開 始 進 入 了 教 師 事 先 所 設 計 的 安 排 來 探 究 主 題 ， 教 學 活 動 重 點 應 是 依 序 引 導 學 生 認 識 學 習 方 向 ， 並 逐 漸 地 向 學 生 顯 露 出 要 發 展 的 幾 何 特 徵 ， 因 此 在 此 階 段 中 ， 教 師 應 當 導 向 與 提 供 學 生 對 學 習 主 題 有 更 多 的 認 識 （Fuys et. al., 1988）。
（ 三 ） 闡 明 （explicitation） 學 習 者 在 這 階 段 中 ， 應 以 先 前 所 探 討 的 經 驗 為 基 礎 去 交 換 和 陳 述 新 興 的 意 見 ， 並 能 以 明 確 的 數 學 語 言 去 表 徵 ， 因 此 ， 教 師 應 注 意 到 學 生 在 課 室 討 論 中 所 習 慣 使 用 的 表 達 方 法 是 否 適 當 ， 並 促 進 學 生 在 部 份 相 關 教 學 主 題 上 的 概 念 可 以 形 成 （van Hiele, 1986）。 學 生 在 教 師 最 少 的 協 助 下 ， 基 於 經 驗 而 能 夠 去 增 長 與 精 練 他 們 的 數 學 語 言 和 詞 彙 ， 因 而 有 能 力 表 達 、 交 換 、 討 論 與 教 學 相 關 的 主 題 ， 所 以 在 此 階 段 ， 老 師 的 角 色 主 要 為 幫 助 學 生 用 正 確 、 合 適 的 數 學 語 言 、 詞 彙 和 術 語 （Billstein, Libeskind & Lott, 1993 ; Crowley, 1987）。 （ 四 ） 自 由 探 索 （free orientation） 進 入 此 階 段 時 ， 教 師 可 給 予 較 複 雜 或 多 解 法 的 開 放 性 問 題 ， 讓 學 習 者 能 用 自 己 的 方 法 來 完 成 解 題 的 工 作 ， 並 獲 得 學 習 的 經 驗 。 因 此 ， 針 對 此 階 段 的 學 習 特 色 ， 教 學 活 動 設 計 應 著 重 在 啟 發 學 生 自 由 探 索 與 創 造 的 能 力 （Fuys et. al., 1988 ; Presmeg, 1991），讓 自 由 探 索 的 歷 程，促 使 學 生 對 研 究 主 題 間 的 關 係 可 變 得 更 加 清 楚 明 確 （Hoffer, 1983）。
教 師 為 使 學 生 能 更 精 熟 諮 詢 、 導 向 、 闡 明 三 階 段 中 所 獲 得 的 數 學 概 念 ， 可 透 過 有 多 種 解 法 的 問 題 或 活 動 ， 讓 學 生 在 第 四 個 學 習 階 段 中 去 探 索 完 成 。 學 生 在 開 放 性 的 問 題 中 ， 可 透 過 作 圖 、 舉 例 、 演 繹 推 理 等 不 同 的 解 題 方 法 來 累 積 經 驗 ， 並 經 歷 自 我 探 索 的 過 程 ， 以 對 所 學 的 課 題 教 材 概 念 作 明 確 的 關 連 （ 左 台 益 ，2002）。 （ 五 ） 統 整 （integration） 在 最 後 的 統 整 階 段 中 ， 老 師 藉 著 對 教 材 主 體 作 整 體 性 的 縱 覽（global surveys）， 以 幫 助 學 習 者 最 後 將 探 索 的 主 題 、 活 動 的 反 應 與 獲 得 的 概 念 知 識 ， 做 一 個 有 組 織 性 的 整 合 。 然 而 ， 此 縱 覽 性 的 整 合 乃 是 針 對 學 生 已 知 道 的 內 容 所 實 施 的 結 論 性 概 述 ， 並 非 是 另 一 個 新 概 念 的 呈 現 （van Hiele, 1986 ; Hoffer, 1983）。 因 此 ， 老 師在 給 予 整 體 性 的 縱 覽 概 述 的 同 時 ， 也 協 助 了 學 生 將 已 知 道 的 概 念 吸 收 、 內 化 和 統 整 各 種 關 係 成 為 一 個 新 的 思 考 體（Crowley, 1987）。 就 本 研 究 中 所 實 施 的 學 習 活 動 而 言 ， 其 主 要 目 的 乃 是 發 展 學 生 在 四 邊 形 包 含 關 係 上 的 辯 證 ， 在 教 學 上 所 要 提 升 學 生 發 展 的 是 van Hiele 幾 何 思 考 層 級之 層 次 三 （ 非 形 式 演 繹 層 次 ） 的 能 力 ， 並 且 做 為 表 2-1 van Hiele 的 五 個 學 習 階 段概 述 與 「 四 邊 形 的 獵 捕 」之 活 動 設 計 對 照 表 van Hiele 的 五 個 學 習 階 段 與 概 述 「 四 邊 形 的 獵 捕 」 之 活 動 設 計 說 明 諮 詢 ＊ 教 師 透 過 觀 察 與 發 問 和 學 生 做 雙 向 溝 通，促 發 學 習 者 的 投 入，與 提 供 教 師 了 解 學 生 的 先 備 知 識 與 經 驗 。 ＊ 教 師 先 詢 問 學 生 有 關 正 方 形 、 長 方 形 、 平 行 四 邊 形 、 菱 形 、 梯 形 等 圖 形 的 性 質 。 ＊ 透 過 觀 察 與 提 問 的 過 程 ， 教 師 可 初 步 獲 得 學 生 是 否 具 備 有 關 四 邊 形 性 質（ 幾 何 思 考 層 級 二 的 能 力 ） 的 先 備 知 識 。 導 向 ＊ 學 生 開 始 進 入 教 師 事 先 所 設 計 的 安 排 來 探 究 主 題，教 學 活 動 重 點 為 依 序 引 導 學 生 認 識 學 習 的 方 向 。 ＊ 鼓 勵 學 生 發 問 。 ＊ 教 師 為 順 利 進 行 「 四 邊 形 的 獵 捕 」 之 活 動 實 踐 ， 因 此 必 須 先 對 文 氏 圖 中 交 集 、 聯 集 的 知 識 ， 給 予 充 分 的 解 釋 與 補 充 。 ＊ 教 師 先 示 範 一 次 活 動 的 遊 戲 玩 法 ， 與 遊 戲 過 程 中 數 學 辯 證 的 溝 通 方 式 。 闡 明 ＊ 學 生 以 之 前 階 段 的 探 討 經 驗 為 基 礎 去 交 換 和 陳 述 新 興 的 意 見，並 以 適 當 的 數 學 語 言 去 表 達 。 ＊ 老 師 幫 助 學 生 使 用 正 確、合 適 的 數 學 語 言 、 詞 彙 和 術 語 。 ＊ 以 圖 形 的 特 徵 、 性 質 為 知 識 基 礎 ， 讓 學 生 在 遊 戲 中 充 分 闡 釋 、 辯 證 與 推 理 ， 達 到 有 效 數 學 溝 通 的 目 的。例 如，對 有 關「 正 方 形 也 是 長 方 形 」或「 菱 形 也 屬 於 平 行 四 邊 形 」 等 內 容 ， 學 生 必 須 清 楚 地 向 小 組 成 員 敘 述 、 說 明 、 辯 證 原 因 ， 達 到 溝 通 和 釐 清 圖 形 一 般 化 與 特 殊 化 間 的 隸 屬 關 係 。 ＊ 過 程 中 教 師 幫 助 學 生 對 數 學 溝 通 術 語 的 認 識 與 使 用 。 自 由 探 索 ＊ 教 師 給 予 較 複 雜 或 多 解 法 的 開 放 性 問 題，讓 學 習 者 能 用 自 己 的 方 法 來 完 成 解 題 的 工 作 ， 並 獲 得 學 習 的 經 驗 。 ＊ 藉 此 自 由 探 索 的 歷 程，學 生 對 研 究 主 題 間 的 關 係 可 變 得 更 加 清 楚 明 確 。 ＊ 活 動 遊 戲 中 ， 每 個 人 都 有 輪 到 一 次 當 莊 主 的 機 會 ， 因 此 ， 學 生 從 在 第 一 人 當 莊 主 時 已 經 歷 過 的 學 習 、 辯 證 、 闡 明 之 經 驗 ， 因 而 在 輪 到 自 己 當 莊 主 時 ， 就 能 夠 透 過 發 現 與 自 由 創 造 的 歷 程 來 決 定 所 要 使 用 的 性 質 標 籤 ， 甚 至 設 計 出 更 複 雜 的 情 境 問 題 。 統 整 ＊ 教 師 對 教 材 主 體 作 整 體 性 的 縱 覽 與 概 述，使 學 習 者 將 所 學 的 知 識 概 念 做 一 個 彙 整 與 聚 集 。 ＊ 統 整 內 容 非 新 概 念 的 呈 現 與 介 紹 。 ＊ 教 師 藉 由 綜 合 討 論「 贏 的 思 考 策 略 是 什 麼 ？ 」，統 整 四 邊 形 間 的 分 類 與 包 含 關 係 的 推 論 。 ＊ 教 師 將 所 觀 察 到 學 生 較 特 別 的 情 境 、 思 考 過 程 或 迷 思 提 出 ， 共 同 討 論 。
進 升 到 層 次 四（ 形 式 化 演 繹 層 次 ）的 基 礎， 因 此 ， 活 動 設 計 的 架 構 ， 從 學 生 能 描 述 、 分 析 、 了 解 構 成 四 邊 形 的 特 徵 要 素 為 起 點，再 依 據 van Hiele 的 五 個 學 習 階段 來 設 計 與 引 導 學 生 學 習 ， 以 促 進 學 生 能 深 入 推 論 、 辯 證 、 思 考 四 邊 形 包 含 關 係 的 能 力 。 以 下 為 「 四 邊 形 的 獵 捕 」 遊 戲 活 動 與 van Hiele 的五 個 學 習 階 段 對 照 之 說 明：
二、 文氏 圖的 應 用
美 國 NCTM（2000）指 出，幾 何 教 學 的 準 則 之 一 為 學 生 應 能 夠 分 析 二 維 與 三 維 空 間 中 幾 何 形 狀 的 特 徵 與 性 質 ， 並 且 發 展 幾 何 關 係 上 的 數 學 辯 證 。 其 中 6-8 年級 的 學 習 標 準 也 明 確 指 出 ： 藉 由 文 氏 圖 可 以 來 學 習 建 立 平 行 四 邊 形 、 長 方 形 、 正 方 形 、 菱 形 間 包 含 關 係 的 概 念 。 因 此 ， 以 文 氏 圖 來 幫 助 學 生 了 解 不 同 圖 形 之 間 的 包 含 關 係 ， 無 疑 是 為 學 生 提 供 了 一 個 視 覺 組 織 架 構 圖 的 統 整 學 習 工 具 （NCTM, 2000）。 透 過 文 氏 圖 在 集 合 論 中 餘 集 、 交 集 、 聯 集 關 係 上 的 意 義 ， 可 使 得 圖 形 間 包 含 關 係 的 抽 象 內 容 被 清 楚 地 看 到 ， 也 讓 學 習 者 更 有 能 力 瞭 解 圖 形 間 複 雜 分 類 的 從 屬 層 級 關 係 ， 最 後 ， 文 氏 圖 呈 現 了 建 構 抽 象 概 念 與 幫 助 學 生 看 到 概 念 一 致 性 與 層 級 性 的 具 體 表 徵 方 式（Fountas & Pinnell, 2001）。因 此 ， 在 本 教 學 活 動 中 ， 文 氏 圖 概 念 的 應 用 不 僅 扮 演 一 個 建 構 資 訊 的 推 理 工 具 ， 亦 是 一 個 統 整 重 要 概 念 或 主 題 成 為 樣 式 關 係 的 方 法 （Bromley, 1995）。參、 活動 介紹 與 實施 步驟
以 下 為 針 對 此 活 動 「 四 邊 形 的 獵 捕 」，所 需 事 先 設 計 的 教 具 與 其 意 義、實 施 對 象 與 時 間、遊 戲 實 施 步 驟 與 規 則 之 說 明： （ 一 ） 教 具 的 準 備 與 意 義 1.三 條 顏 色 不 同 的 繩 子 或 線 ， 用 來 圍 成 文 氏 圖 中 代 表 三 個 集 合 的 大 圓 圈 ， 並 置 於 小 組 桌 面 上 。 如 圖 3-1.1 所 示 。 非正方形 平行四邊形 梯形 P Q 圖 3-1.1 2.做 出 10 張 具 備「 正、反 」性 質 的 標籤（ 可 使 用 標 籤 貼 紙 ）： 正 方 形 、 非 正 方 形 、 長 方 形 、 非 長 方 形 、 菱 形 、 非 菱 形 、 平 行 四 邊 形 、 非 平 行 四 邊 形 、 梯 形 、 非 梯 形 。 輪 到 當 莊 家 的 人 可 任 意 重 複 使 用 其 中 三 張 性 質 標 籤，用 以 決 定 圖3-1.1 中 三 個 大 圓 圈 所 代 表 的 集 合 內 容 ， 然 而 在 部 份 交 集 的 區 域 上 ， 有 可 能 會 有 交 集 不 存 在 或 無 意 義 的 情 形 產 生，如 圖3-1.1 中 的 區 域 P 與 Q， 但 此 情形 並 不 影 響活 動 的 進 行 ， 因 為 性 質 標 籤 僅 是 用 以 標 示 三 個 大 圓 圈 的 屬 性 內 容 ， 其 所 產 生 的 意 義 是 如 何 才 是 本 活 動 歷 程 中 所 要 辨 證 與 討 論 的 部 份 。 因 此 ， 此 時 三 個 大 圓 圈 的 相 交 關 係 就 不 全 然 是 文 氏 圖 的 意 義 了 ， 僅 能視 為 以 文 氏 圖 的 概 念 所 延 伸 應 用 、 發 展 的 推 理 工 具 。 3.四 套 顏 色 不 同 的 形 狀 卡 （ 可 用 厚 紙 板 製 作 ），每 套 形 狀 卡 必 須 包 含 不 同 結 構 的 正 方 形 、 長 方 形 、 菱 形 、 平 行 四 邊 形 、 梯 形 各 兩 張。圖3-1.2 為其 中 一 套 形狀 卡 的 例 子 。 圖 3-1.2 （ 二 ） 實 施 對 象 與 時 間 可 針 對 國 中 各 年 級 學 生 實 施 ， 每 四 人 一 組 ， 活 動 實 施 時 間 約 為 兩 節 課 （90 分 鐘 ）。在 本 研 究 中，此 學 習 活 動 為 第 一 次 實 施 ， 且 實 施 對 象 為 國 中 一 年 級 下 學 期 的 學 生 一 組 四 人 ， 為 使 此 研 究 能 提 供 更 給 教 師 （ 即 研 究 者 ） 更 豐 富 的 資 料 ， 所 以 立 意 選 擇 在 口 語 表 達 能 力 上 較 清 晰 者 。 （ 三 ） 遊 戲 實 施 步 驟 與 規 則 1.小 組 四 人 各 輪 流 一 次 當 莊 家 ， 莊 家 必 須 選 擇 代 表 三 個 大 圓 圈 的 內 容 性 質 標 籤 ， 並 貼 入 三 大 圓 圈 內 ， 如 圖 3-1.3。 2.當 莊 家 貼 好 性 質 標 籤 後 ， 每 人 在 自 己 的 10 張 形 狀 卡 中 任 取 7 張 出 來 玩（ 教 師可 自 行 調 整 為 8~10 張 ）， 然 後 依 據自 己 的 推 理 判 斷 ， 同 時 一 起 將 所 有 的 形 狀 卡 放 自 己 認 為 的 正 確 區 域，圖 3-1.3 顯 示部 份 形 狀 卡 被 決 定 放 置 的 區 域 位 置 。 非長方形 平行四邊形 梯形 圖 3-1.3 3.當 四 個 人 均 將 自 己 的 形 狀 卡 全 部 放 置 完 畢 後 ， 由 莊 主 開 始 輪 流 做 更 換 或 獵 補 形 狀 卡 的 動 作 ， 亦 即 輪 流 到 的 人 ， 每 人 每 次 可 以 選 擇 更 換 一 張 自 己 認 為 放 錯 的 形 狀 卡 ， 並 放 進 正 確 的 位 置 ， 或 者 選 擇 獵 捕 一 張 別 人 放 錯 的 形 狀 卡 ， 並 移 出 文 氏 圖 （ 獵 捕 成 功 獲 得 一 分 ）。 4.在 執 行 上 述 3 的 步 驟時 ， 重 點 是學 生 必 須 對 所 採 取 的 動 作 據 理 說 明 與 辯 證 ， 並 清 楚 回 答 別 人 提 出 的 疑 問 ， 且 獲 得 全 部 人 的 同 意 時 才 能 更 換 自 己 形 狀 卡 的 位 置 或 獵 捕 別 人 的 形 狀 卡 。 5.若 不 更 換 自 己 的 形 狀 卡 也 無 法 獵 取 別 人 的 形 狀 卡 時 ， 那 就 喊 「pass」，直 到 所有 的 人 都 喊「pass」， 且經 由 老 師 的觀 察 亦 無 錯 誤 ， 則 第 一 輪 結 束 ， 再 換 第 二 人 當 莊 家 ， 依 序 四 人 均 當 完 莊 家 後 ， 整 個 遊 戲 結 束 ， 並 計 算 個 人 得 分 。 6.每 人 發 表「 贏 的 思考 策 略 」，或 者 分 類（ 放 置 形 狀 卡 的 位 置 ） 的 方 法 與 依 據 ， 做 為 統 整 四 邊 形 間 分 類 與 包 含 關 係 推 論 的 心 得 分 享 。 7.教 師 的 角色 扮 演 ： 教 師 在 整 個 遊 戲 過 程 中 ， 教 學 的 方 法 除 了 參 照 van Hiele 的 幾 何 學 習 理論 ： 諮
詢 、 導 向 、 闡 明 、 自 由 導 向 、 統 整 外 ， 教 師 透 過 觀 察 ， 看 見 學 生 思 考 的 歷 程 與 數 學 辯 證 溝 通 的 方 法 ， 因 此 ， 適 時 適 當 的 給 予 釐 清 修 正 、 深 入 提 問 或 引 導 介 入 是 非 常 重 要 的 。 尤 其 在 統 整 討 論 的 階 段 中 ， 教 師 藉 由 學 生 的 心 得 分 享 ， 對 教 材 主 體 作 整 體 性 的 縱 覽 與 概 述 ， 可 使 學 習 者 將 所 學 的 知 識 概 念 做 一 個 彙 整 與 聚 集 。
肆、 活動 歷程 分 析結 果
以 下 為 針 對 遊 戲 活 動 歷 程 中 ， 四 個 莊 主 所 決 定 的 性 質 標 籤 、 小 組 成 員 最 初 所 放 置 的 部 份 形 狀 卡 位 置 、 與 小 組 成 員 在 推 理 辨 證 時 的 溝 通 對 話 ， 教 師 經 由 觀 察 紀 錄 、 資 料 的 整 理 ， 將 原 案 的 對 話 進 行 分 析 ， 且 在 每 一 個 原 案 分 析 中 採 用 一 個 簡 短 的 敘 述 標 籤 來 呈 現 原 案 在 此 概 念 上 的 真 實 想 法 或 活 動 歷 程 所 產 生 的 價 值 。 一、第 一 輪 莊 主 所 設 定 的 性 質 標 籤 為： 正 方 形 、 非 菱 形 、 平 行 四 邊 形 。 圖 4-1 呈 現 了 小 組 成 員 在 一 開 始 分 類 時 所 放 置 形 狀 卡 的 部 份 情 形 （ 包 括 放 置 錯 誤 的 形 狀 卡 ）， 且 活 動 歷 程 中 的 原 案 分 析 亦 如 下 說 明 。 正方形 非菱形 平行四邊形A
C
D
E
B
F G 圖 4-1透過辯證的有效溝通，學生能夠立即
修正數學知識並闡明正確的推論
（ 一 ） 長 方 形 也 是 平 行 四 邊 形 的 一 種 ； 長 方 形 是 平 行 四 邊 形 的 特 例 原 案 一 小 文01： 我 的 卡（ 斜 線 者 ） 都 沒有 放 錯 ， 其 他 人 也 都 放 對 。 菁 菁01：我覺 得 灰 色 的 長 方 形 不應 該 在 E 中 ， 應 在 非 菱 形 的 C 中 。 小 清01：不 對。它 不 算 菱 形，但 以 平 行四 邊 形 的 定 義 來 說 只 要 兩 邊 等 長 。 老 師05： 只 要 兩邊 等 長 ？ 哪 兩 邊等 長 ？ 小 清02： 這 兩 邊， 對 邊 等 長 。 菁 菁02： 哦!那 它 可 以 放 E 中 了! 小 清03： 我 的 卡（ 灰 色 者 ） 都 沒有 放 錯 ， 但 是 在 C 中 的 黑 色 長 方 形 放 錯 了 ， 長 方 形 也 是 平 行 四 邊 形 ， 因 為 兩 邊 垂 直 （ 指 出 鄰 邊 ）、 平 行 （ 指 出 對 邊 ）， 有 兩 組 對 邊 相 等 ， 所 以 它 可 以 進 階 到 這 層 （E）， 不 一 定 要 在 C 中 。 【 大 家 同 意 ， 小 清 獵 補 了 一 張 牌 】 小 文05：我 要 救自 己 的 牌（B 中 斜 線 的 長 方 形 ）， 因 為 長 方 形 是 屬 於 平 形 四 邊 形 的 一 種 ， 又 不 是 菱 形 ， 所 以 我 覺 得 它 要 放 在 E 中 。 原 案 一 分 析 在 互 動 與 挑 戰 的 過 程 中 ， 學 生 使 用 和 擴 張 他 們 在 幾 何 圖 形 與 集 合 上 的 知 識 ， 不 僅 讓 自 己 可 以 重 新 自 我 審 視 ， 同 時 也 促 使 同 儕 的 思 考 共 同 聚 焦 ， 得 到 「 長 方 形 可 進 階 至 平 形 四 邊 形（ 菁 菁 02、小 清 03）」、「 長方 形 是 屬 於 平 形 四 邊 形 的 一 種（ 小 文05）」 之 完 整 的 數 學 知 識 。 （ 二 ） 對 平 行 四 邊 形 的 認 知 會 受 一 般 繪 圖 時 常 用 的 大 小 、 方 位 之 影 響 ， 以 致 於 產 生 菱 形 不 是 平 行 四 邊 形 的 錯 誤 迷 思 。 原 案 二 小 萱03：我 要 救自 己 的 這 張 牌（B 中 的 黑 色 菱 形 ）。 它 應 是 菱 形 ， 應 放 在 D 中 才 對 ， 因 為 這 區 （D） 不 算 平 行 四 邊 形 。 其 他 四 人 ： 哇 ？ 老 師07： 這 區 不算 平 行 四 邊 形 ？ 小 萱04： 介 於 這個 之 間 。 小 清05：但是 你 也 要 滿 足 他 們 是 正方 形 來 講 。 小 萱05： 有 啊 ！他 們 上 下 兩 邊 都一 樣 。 小 文05：可 是 沒 有 直 角，所 有 看 到的 正 方 形 都 有 四 個 直 角 。 菁 菁05： 那 就 留 在 B 就 好 了 。 小 萱06：但 是 我 還 是 不 能 放 在 這 裡（ B）， 因 為 這 區 不 是 菱 形 啊 ！ 這 是 平 行 四 邊 形 所 以 不 行 。 ……… 小 清10： 它 也 是平 行 四 邊 形 。 小 萱 11： 但 是 平 行 四 邊 形 應 該 是 這 樣 子 （ 指 出 ），而 這 個（ 指 出 ）兩 個 邊 沒 辦 法 平 。 小 清11： 這 兩個 都 是 。 小 萱12：這個 才 是，比 較 標 準、比 較 好 。 這 個 不 是 。 小 清12：又 不 一 定 要 標 準。你 也 可 以 這 樣 看 啊 （ 將 形 狀 卡 改 放 為 )， 不 就 平 了 （ 並 指 出 對 邊 平 行 ）。 （ 小 萱 點 頭 ） 老 師08：你認 為 這 個 比 較 像 你 常 見的 平 行 四 邊 形 ？ 小 萱 13：（小 萱 點 頭 ） 我 們 平 常 又 不是 這 樣 畫 的 。 菁 菁06：這 個 性 質 也 屬 於 平 行 四邊 形，長 方 形 、 正 方 形 、 菱 形 都 屬 於 。 原 案 二 分 析 受 到 平 常 一 般 對 平 行 四 邊 形 大 小 、 方 位 之 繪 圖 的 方 式 所 影 響 ， 以 致 於 對 瘦 瘦 長 長 的 平 行 四 邊 形 判 斷 ， 無 法 以 性 質 做 考 量 （ 小 萱 12、13）， 因 此 才 會 產 生 對 此圖 形 的 歸 類 指 認 為 僅 符 合 菱 形 的 條 件，因 而 將 正 方 形 與 平 行 四 邊 形 的 交 集（D 區 ） 意 義 誤 認 為 是 菱 形 ， 誤 認 原 因 是 認 為 菱 形 的 產 生 是 來 自 於 正 方 形 、 平 行 四 邊 形 兩 個 圖 形 間 間 角 度 、 邊 長 的 演 變 ， 所 以 中 間 的D 區 的意 義 被 曲 解 於 圖 形 演 變的 歷 程 （ 小 萱 04、06）。 而 透 過 同 儕 間 辯 證溝 通 的 效 果 ， 學 生 能 自 動 地 思 考 、 統 整 相 關 的 概 念 （ 菁 菁 06）。
透過隨機與自由創造的問題情境，可
激勵更高的思考層級挑戰
（ 一 ） 正 方 形 的 集 合 包 含 於 平 行 四 邊 形 中 原 案 三 菁 菁 10： 我 要 獵 補 灰 色 的 正 方 形 （ 在 A 區 ）， 因 為 它 平 行 又 符 合 正 方 形 ， 所 以 應 該 在 D 中 。 小 文 10： 那 它放 在 這 裡 （ A 區 ） 也 對 啊! （ 自 己 有 一 張 斜 線 正 方 形 也 放 在 A 區 ）， 就 是 正 方 形 ， 只 是 D 區 也 符 合 正 方 形 的 條 件 。 老 師10：那 請 更 進一 步 說 明 A、D 兩 區 有 什 麼 關 係 ？ 小 文11： 都 是正 方 形 。 A 區 代 表 正 方 形， 那 也 是 平 行 四 邊 形，所 以 A 也 是 有 符 合D 區 的 條 件，所 以 正 方 形 也 可 以 放 在 A 中 。 小 清13：那 應 該 沒 有 A 區 存 在，正 方形 應 概 都 會 在 D 中 。 原 案 三 分 析 因 為 性 質 標 籤 是 由 莊 家 隨 意 決 定 的 ， 因 此 在 文 氏 圖 的 部 分 交 集 區 域 有 可 能 會 產 生 不 存 在 的 情 形 ， 如 在 圖 4-1 中 的 D 區 。 然 而 透 過 辯 證 ， 老 師 可 引 導 學 生 在 此 區 域 做 的 深 入 討 論 （ 老 師 10）， 提高 推 理 思 考 與 辨 證 的 難 度 ， 增 加 數 學 知 識 的 豐 富 性 ， 促 使 正 方 形 包 含 於 平 行 四 邊 形 的 概 念 能 由 學 生 主 動 建 構 出 來 （ 小 文 11、 小 清 13）。 二、第 二 輪 莊 主 所 設 定 的 性 質 標 籤 為： 非 正 方 形 、 非 梯 形 、 非 平 行 四 邊 形 ，如 圖 4-2。 非正方形 非梯形 非平行四邊形A
C
D
E
B
圖 4-2經由過程中推理辯證的經驗，學生歸
納與期待更具挑戰性的問題情境
原 案 四 菁 菁15：我 要 獵 補 B 中 網 狀 的 梯形，它 不 是 正 方 形 也 不 是 平 行 四 邊 形 ， 應 在 D 區 。（ 大 家 都 同 意 ） 小 清15：pass！ 小 萱15：pass! 小 文15：pass! 小 萱16：這 組 不 好 玩，不 要 都 非 啦！ 要 穿 插 。 小 清16： 剛 剛 那一 輪 好 好 玩 ！ 原 案 四 分 析 ： 學 生 在 老 師 設 計 好 的 教 學 情 境 中 能 受 到 激 勵 與 肯 定 ， 尤 其 是 遊 戲 競 賽 式 的 活 動 ， 學 生 由 經 歷 中 歸 納 出 如 何 增 加 問 題 的 複 雜 程 度 （ 小 萱 16）， 並 高 度 期 待 挑戰 的 來 臨 。 三、第 三 輪 莊 主 所 設 定 的 性 質 標 籤 為： 正 方 形 、 菱 形 、 非 長 方 形 ， 如 圖 4-3。正方形 菱形 非長方形 A C D E B F G 圖 4-3
小組成員透過觀察，產生了思考的刺
激、修正與檢驗，因而呈現真實的概
念情形
（ 一 ） 釐 清 不 屬 於 三 集 合 內 之 形 狀 卡 的 正 確 位 置 與 意 義 。 原 案 五 （ 分 類 形 狀 卡 時 ） 小 清20：好 像 很 簡 單 ！（ 小 清 先 將一 些 形 狀 卡 放 在 文 氏 圖 的 外 圍 後 ， 才 陸 陸 續 續 有 人 也 跟 著 放 ） 老 師20：小萱 你 為 什 麼 將 一 些 牌 放在 外 圍 呢 ？ 小 萱20： 淘 汰 ！ 小 清21： 出 局 ！ 小 文20： 都 不 符合 。 原 案 五 分 析 開 始 分 類 時 ， 有 些 同 學 對 無 法 放 在 此 三 集 合 內 的 形 狀 卡 無 法 做 出 決 定 （ 教 師 的 觀 察 紀 錄 ），一 旦 有 人 具 體 呈 現 思 維 時，刺 激 了 組 員 聚 焦 思 考 此 具 體 行 為 （ 小 清 20），同 時 也 釐 清 了 自 己 原 本 難 以 判 斷 的 概 念 ， 了 解 不 屬 於 三 集 合 內 之 形 狀 卡 的 正 確 位 置 與 意 義（ 小 萱20、小 清 21、小 文 20）。 （ 二 ）四 人 共 同 都 有「 正 方 形 不 是 長 方 形 」 的 迷 思 原 案 六 （ 分 類 形 狀 卡 時 ） 小 清22：喔 ！（ 她將 原 本 放 在 F 中 的 正 方 形 改 放 在 G 中 之 後，其 他 人 馬 上 將 自 己 原 本 在A 中的 正 方 形 也 放入 G 中 ） 老 師21： 你 們 確定 這 樣 改 都 是 對的 ？ 小 文21：對 啊 ！ 正 方 形 是 菱 形，可 是 不 是 長 方 形 。 菁 菁 20： 對 啊 ！ 四 邊 都 等 長 ， 不 是 長 方 形 。（ 其 他 人 也 都 同 意 ） 老 師22： 那 說 說看 什 麼 是 長 方 形？ 小 清23： 四 個 直角 ， 一 長 一 短 。 原 案 六 分 析 從 原 本 一 開 始 的 分 類 中 ， 看 不 出 在 放 在 A 區 的 正 方 形 是 否 有「 正 方 形 不是 長 方 形 」的 迷 思（ 圖 4-3），經 由 組 員 的轉 換 後 （ 小 清 22）， 小 組 成 員 透 過 了 觀 察 ，刺 激 自 己 的 思 考 聚 焦 於 正 方 形 、 菱 形 、 長 方 形 間 的 關 係 ， 因 此 再 度 檢 驗 自 己 的 判 斷 ， 進 而 呈 現 了 自 己 真 實 概 念 的 迷 思 （ 小 文 21~ 小 清23）。 四 、 第 四 輪 莊 主 所 設 定 的 性 質 標 籤 為 ： 非 正 方 形 、 非 菱 形 、 梯 形 ， 且 部 分 形 狀 卡 位 置 如 圖 4-4。非正方形 非菱形 梯形
A
C
D
E
B
F 圖 4-4能 藉助 菱 形 的性 質 來 辨識 與 敘 述圖
形
原 案 七 小 清30：我 要 獵 補 A 中 的 平 行 四邊 形，因 為 它 不 屬 於 正 方 形 也 不 屬 於 菱 形 ， 應 該 在 F 區 中 。 小 萱30：不 是 啦 ！ 它 是 菱 形（ 如 圖 4-5）。 A B D C 圖 4-5 菁 菁30： 對 啊 ！我 也 覺 得 它 是 菱形 。 小 清31：它 看 起 來 兩 邊 又 沒 有 對稱（ 指 出 鄰 邊 AB 與 AD）， 我 覺 得 它 應 放 在 非 菱 形 和 非 正 方 形 的 D 區 中 。 菁 菁31： 可 是 它四 邊 等 長 。 小 萱31：沒 有 很 精 準，可 是 差 不 多一 樣 長。 小 清32：不 行 啦 ！ 你 還 要 看 它 這樣 子、這 樣 子（ 指 出 對 角 線 AC 與 BD）有 沒 有 平 分 ， 有 沒 有 垂 直 。 你 看 這 個 是 菱 形 它 就 有 （ 拿 出 此 形 狀 卡 來 比 劃 ）。 原 案 七 分 析 當 無 法 以 目 測 精 準 地 判 斷 邊 長 是 否 相 等 時 （ 小 萱 31）， 對 圖 形 的 判 斷 與描 述 由 圖 形 的 定 義 轉 換 至 圖 形 的 性 質 （ 小 清 31、32），這 說 明 了 圖形 的 眾 多 性質，不 只 可 以 用 不 同 的 方 法 來 探 究 與 瞭 解 ， 亦 可 藉 助 這 些 性 質 來 敘 述 和 分 析 圖 形 （Van de Wall, 1997）。 五 、「 贏 的 思 考 策 略 」 討 論 結 果 分 析 原 案 八 老 師40：你們 用 什 麼 思 考 方 法 讓 自己 不 會 放 錯 形 狀 卡 ， 以 致 於 在 遊 戲 中 可 以 贏 ？ 菁 菁40：一 個 圖 形 可 以 屬 於 很 多種 類，譬 如 梯 形 也 是 非 正 方 形 、 非 菱 形 ， 很 複 雜 ， 所 以 我 就 想 它 是 哪 一 個 和 哪 一 個 ， 於 是 就 把 圖 形 與 文 字 做 比 較 （ 意 即 形 狀 卡 和 性 質 標 籤 ）， 然 後 再 換 下 一 個 。 小 文40：我 都 先 從 最 中 間 開 始 看，中 間 條 件 比 較 多 ， 例 如 最 後 一 輪 中 ， 就 梯 形 ， 它 屬 於 非 正 方 形 、 非 菱 形 又 是 梯 形 ， 那 如 果 形 狀 卡 不 符 合 ， 就 把 一 個 條 件 刪 掉 ， 然 後 再 慢 慢 去 找 符 合 的 。 小 萱40：我 都 先 從 最 外 圍，先 符 合 外 圍 項 目 ， 然 後 再 朝 兩 個 圈 圈 都 有 的 ， 然 後 再 看 中 間 那 一 區 ， 如 果 符 合 就 放 進 去 ， 這 樣 比 較 不 容 易 出 差 錯 。 小 清 40（ 得 分 最 多 者）： 我 是 先 以 一個 來 對 照 ， 譬 如 梯 形 它 比 較 有 拘 束 先 拿來 對 照 ， 就 是 限 制 比 較 多 的 。 因 為 梯 形 只 能 算 是 梯 形 ， 不 能 算 其 它 種 類 的 。 假 設 今 天 我 對 照 一 個 最 外 圍 的 ， 它 不 行 ， 那 麼 這 個 圈 就 都 不 行 （ 指 出 圖 4-3 的 一 個 大 圓 圈），那 我 就 都 不 用 去 考 慮 它 ， 我 就 考 慮 其 他 兩 個 或 這 個 （ 指 出 圖 4-3 的 A、B 和 D 區 ），剩 下 要 考 慮 的 就 比 較 少， 就 不 用 想 那 麼 多 了 。 原 案 八 分 析 在 此 學 習 活 動 中 ， 教 師 扮 演 了 最 少 協 助 的 角 色 ， 讓 學 生 從 情 境 和 同 儕 間 辯 證 的 歷 程 中 自 由 地 探 索 ， 學 習 到 不 同 的 思 考 策 略 與 解 題 方 法 ， 成 功 地 達 到 由 幾 何 特 性 的 分 析 所 引 導 之 演 繹 推 理 的 發 展 。 例 如 ， 有 人 從 交 集 最 多 的 性 質 區 域 思 考 起 （ 小 文 40）、有 人 卻 從 限 制 最 少 的 性 質 開 始，再 逐 一 檢 驗 是 否 符 合 條 件 的 限 制 （ 小 萱 40）、 亦 有 人 從 最 多 限 制 的 形 狀 卡 開 始 做 歸 屬 的 判 斷 （ 小 清40）等 。
伍、 結論 與反 思
以 下 為 從 活 動 歷 程 的 分 析 結 果 中 ， 綜 合 學 生 表 現 的 結 論 與 教 師 對 此 創 意 教 學 活 動 所 做 的 反 思 和 建 議 。結論 ：
（ 一 ） 從 小 組 在 四 邊 形 包 含 關 係 的 推 論 中 ， 獲 得 了 以 下 四 點 有 關 數 學 知 識 概 念 的 結 論 ： （1）學 生 可非 形 式 地 推 論 與 理 解 長方 形 也 是 平 行 四 邊 形 、 長 方 形 是 平 行 四 邊 形 的 一 個 特 例 、 正 方 形 的 集 合 包 含 於 平 行 四 邊 形 中 。 （2）對 平 行四 邊 形 的 認 知 會 受 一 般繪 圖 時 常 用 的 大 小 、 方 位 之 影 響 ， 以 致 於 產 生 長 得 瘦 瘦 長 長 的 菱 形（ 如 ）不 是 平 行 四 邊 形 的 錯 誤 迷 思 。 （3）國 一 學 生 受長 方 形 字 面 意 義的 影 響 ， 認 為 長 方 形 長 寬 應 是 一 邊 長 、 一 邊 短 ， 因 此 有 「 正 方 形 不 是 長 方 形 」 的 迷 思 。 （4）能 藉 助菱 形 的 性 質 來 辨 識 與 敘述 圖 形 為 菱 形 的 意 義 （ 如 原 案 七 的 分 析 ）。 （ 二 ）依 據 van Hiele 的 五 個 幾 何 思考 學 習 階 段 所 設 計 的 教 學 活 動 ， 能 讓 學 習 者 循 序 達 到 教 學 目 標 中 幾 何 思 考 的 發 展 ， 也 允 許 教 師 看 見 學 習 者 思 考 的 過 程 。 （ 三 ） 學 習 者 在 此 活 動 的 過 程 中 ， 建 構 了 幾 何 性 質 與 集 合 知 識 的 概 念 ， 也 充 分 發 展 了 清 楚 敘 述 數 學 論 證 、 推 理 和 溝 通 的 技 巧 。 （ 四 ） 在 情 意 發 展 上 ， 小 組 成 員 在 同 儕 面 前 有 渴 望 被 接 受 的 共 同 特 質 ， 因 此 對 充 分 地 發 表 評 論 能 感 覺 安 全 ， 忘 記 困 窘 ， 並 開 放 地 表 述 自 己 的 想 法 。反思 與建 議：
（ 一 ） 在 整 個 活 動 的 歷 程 中 ， 都 一 直 重 複 發 生 學 生 因 為 對 圖 形 的 基 本 定 義 、 性 質 有 迷 思 ， 而 導 致 在 放 置 形 狀 卡 時 ， 對 從屬 、 包 含 關 係 的 判 斷 產 生 錯 誤 。 研 究 者 認 為 ， 針 對 此 種 情 形 ， 執 行 教 師 可 藉 助 以 下 兩 種 方 法 來 避 免 或 改 進 ： 1.教 師 可 在 每 一 輪 活 動 結束 後 ， 針 對 在 該 輪 活 動 中 ， 學 生 對 圖 形 定 義 所 犯 的 錯 誤 認 知 提 出 討 論 ， 並 與 學 生 共 同 澄 清 ， 以 避 免 在 下 一 輪 活 動 時 ， 又 因 相 同 的 錯 誤 認 知 而 導 致 包 含 關 係 判 斷 的 能 力 無 法 發 展 。 2.透 過 此 活 動 亦 說 明 了 ，圖 形 包 含 關 係 的 判 斷 包 含 了 兩 項 基 本 知 識 能 力 的 運 用 －(1)圖 形 的 定 義、性 質 和(2)簡 易 邏 輯 關 係 的 推 理 。 因 此 ， 圖 形 的 定 義 與 性 質 應 為 該 活 動 的 重 要 先 備 知 識 ， 故 在 實 施 此 活 動 之 前 ， 教 師 應 先 給 予 學 生 有 充 分 認 識 與 討 論 的 機 會 。 （ 二 ） 針 對 本 活 動 的 教 學 目 標 是 為 「 包 含 關 係 的 判 斷 」 而 論 ， 發 現 學 生 可 非 形 式 地 推 論 與 理 解 「 正 方 形 、 長 方 形 、 菱 形 均 包 含 於 平 行 四 邊 形 中 」，然 而，對 於 其 它 的 包 含 關 係 卻 無 法 在 活 動 歷 程 中 被 明 確 地 發 覺 或 判 斷 。 因 此 ， 教 師 應 在 學 生 所 設 計 的 性 質 標 籤 情 境 下 ， 更 敏 銳 地 察 覺 出 可 啟 發 的 包 含 關 係 概 念 ， 並 在 適 當 時 機 提 問 ， 促 進 小 組 討 論 與 發 現 。 以 下 兩 點 說 明 了 在 此 活 動 中 ， 執 行 教 師 應 可 把 握 住 機 會 ， 進 一 步 引 導 「 正 方 形 包 含 於 長 方 形 」、「 正 方 形 包 含 於 菱 形 」 的 概 念 ： 1.在 原 案 六 中 ， 發 現 小 組成 員 有 「 長 方 形 的 邊 是 一 長 一 短 」 的 錯 誤 迷 思 ， 教 師 除 了 須 給 予 長 方 形 的 定 義 釐 清 外 ， 同 時 可 在 此 輪 結 束 後 ， 馬 上 給 予 小 組 討 論 「 正 方 形 、 長 方 形 包 含 關 係 」 的 學 習 機 會 。 2.在 第 三 輪 莊 主 所 設 定 的性 質 標 籤 為 正 方 形 、 菱 形 與 非 長 方 形 的 情 境 中 ， 執 行 教 師 應 針 對 學 生 有 人 將 正 方 形 的 形 狀 卡 放 置 A 區 與 F 區（ 如 圖 4-3），給 予 學 生 進 一 步 探 究A 區 與 F 區 在 此 情 境 下 的 意 義 ， 並 引 導 出 「 正 方 形 包 含 於 菱 形 」 的 辨 證 。 （ 三 ） 對 於 「 長 方 形 與 菱 形 共 同 會 包 含 到 的 圖 形 是 正 方 形 」 的 概 念 ， 在 此 活 動 中 並 沒 有 機 會 被 探 究 到 ， 因 此 ， 為 使 四 邊 形 包 含 關 係 討 論 的 完 整 ， 執 行 教 師 不 妨 視 國 中 學 生 的 程 度 或 年 級 ， 刻 意 安 排 性 質 標 籤 為 正 方 形 、 長 方 形 與 菱 形 的 情 境 （ 如 圖 5-1），讓 學 生 不 僅 思 考 不 同形 狀 卡 的 放 置 位 置 ， 並 察 覺 辨 證 出 ： 正 方 形 的 形 狀 卡 位 置 可 提 升 至 C 區、長 方 形 的 形 狀 卡 位 置 可 提 升 至A 區、菱 形 的 形 狀 卡 位 置 可 提 升 至 B 區，且 引 導 至「長 方 形 與 菱 形 共 同 會 包 含 到 的 圖 形 是 正 方 形 」 的 推 論 與 理 解 。 正方形 長方形 菱形 C A B 圖 5-1
參考 資料
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投 稿 日 期 ： 民 國 93 年 12 月 6 日
Creative Teaching “Catching the Quadrilaterals”
－
Reasoning on Inclusion Relation
Min-Hua Ho
Chia-Yi County Concordia Middle School
Abstract
The major focus of the teaching activity is, through the model of conducting games, to make the students in junior high school able to analyze the characteristics and quality of geometric shapes with the use of mathematical argument, reasoning and skills of communication, in order to develop the learning of the inclusion relation of quadrilaterals. The notion of the design is based on the five sequential phases of learning by van Hiele, which is also the criteria of conducting the teaching. The researcher finds that with the analysis of the process of activities, the conduction of the games assist junior one students in clearing the misunderstanding of the different definitions, characteristics and qualities of quadrilaterals. Furthermore, it actively constructs and recognizes the notions of “parallelograms include squars, rectangles and rhombuses” . In the end, the researcher proposes the adoptable organic solution to “rectangles include squars” , “rhombuses include squars” and “squars are the overlapping of rectangles and rhombuses” during the process of activities in the suggestion.
Key words：five sequential phases of learning by van Hiele ven diagram
