創意教學活動「四邊形的獵捕」

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創意教學活動「四邊形的獵捕」-

包含關係的推理

何敏華

嘉義縣私立協同高級中學

摘 要

此 教 學 活 動 最 主 要 的 內 容 , 乃 是 藉 由 遊 戲 競 賽 的 方 式 , 讓 國 中 生 在 對 幾 何 形 狀 的 特 徵 與 性 質 分 析 上 , 能 充 分 運 用 數 學 辨 證 、 推 理 和 溝 通 的 技 巧 , 進 而 發 展 「 四 邊 形 包 含 關 係 」的 學 習。學 習 活 動 的 設 計 理 念 依 據,採 用 van Hiele 之幾 何 思 考 的 五 個 學 習 階 段( five sequential phases of learning) 來 參酌 , 並 做 為 課 室 實 際 執 行的 依 據 。 最 後 , 經 過 研 究者 對 活 動 歷 程 的 分 析 發 現 , 透 過 此 遊 戲 的 進 行 , 協 助 了 國 一 學 生 釐 清 對 不 同 四 邊 形 定 義 、 特 徵 與 性 質 的 迷 思 概 念 , 並 主 動 以 非 形 式 推 論 的 方 式 建 構 且 理 解 「 正 方 形 、 長 方 形 、 菱 形 均 包 含 於 平 行 四 邊 形 中 」,至 於「 正 方 形 包 含 於 長 方 形 」、「 正 方 形 包 含 於 菱 形 」與「 長 方 形 與 菱 形 共 同 會 包 含 到 的 圖 形 是 正 方 形 」 的 概 念 , 研 究 者 在 本 文 的 反 思 與 建 議 中 , 亦 提 出 了 活 動 歷 程 中 可 採 取 的 機 制 方 法 。

關 鍵 字 :van Hiele 之 幾 何 思 考 的 五 個 學 習 階 段 ( five sequential phases of learning)

文 氏 圖 (ven diagram) 包 含 關 係 (inclusion relation)

壹、 動機 與目 的

Van de Wall(1997) 曾 指 出 , 用 來歸 類 和 辨 別 不 同 幾 何 圖 形 的 最 好 方 法 莫 過 於 是 深 入 的 了 解 這 些 圖 形 , 而 就 圖 形 所 涵 蓋 的 眾 多 性 質 看 來 , 學 習 者 不 僅 可 以 用 不 同 的 方 法 去 探 究 、 瞭 解 這 些 性 質 , 亦 可 藉 助 這 些 性 質 來 敘 述 和 分 析 圖 形 , 因 此 , 幾 何 圖 形 的 特 性 分 析 歷 程 能 夠 引 導 學 生 做 演 繹 推 理 思 考 的 發 展 。 針 對 「 平 面 圖 形 間 包 含 關 係 」 的 探 究 而 言 , 學 習 者 不 僅 需 要 對 圖 形 的 定 義 、 性 質 做 充 分 的 了 解 , 亦 需 要 透 過 這 些 性 質 來 分 類 圖 形 , 並 推 演 出 相 異 圖 形 間 包 含 關 係 的 確 認 。 所 以 , 研 究 者 為 促 使 國 中 學 生 在 「 圖 形 間 包 含 關 係 的 推 理 」 上 更 充 分 地 學 習 與 發 展 , 設 計 了 「 四 邊 形 的 獵 捕 」 教 學 活 動 , 希 望 藉 助 幾 何 形 狀 特 徵 與 性 質 的 分 析 過 程 , 來 協 助 學 習 者 發 展 幾 何 圖 形 間 關 係 的 辯 證 , 而 此 活 動 實 施 的 方 式 乃 採 用 辨 證 、 競 賽 的 遊 戲 來 進 行 , 希 望 透 過 遊 戲 而 使 得 幾 何 的 學 習 更 具 豐 富 性 、 有 趣 性 與 挑 戰 性 (van Hiele, 1999), 以 達 數 學 教 育 的 重 要 目 標 之 一--- 經 由 幾

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何 的 教 學 協 助 學 生 發 展 邏 輯 思 考 與 推 理 的 能 力 。 根 據 van Hiele(1986)的 幾 何 思 考發 展 理 論 , 認 為 幾 何 的 思 考 是 一 種 階 段 性 的 層 次 發 展 歷 程 , 而 且 每 個 層 次 間 的 提 升 最 主 要 是 經 由 教 學 的 影 響 , 並 非 由 於 個 體 年 齡 的 成 熟 。 其 理 論 中 的 五 個 循 序 階 段 層 次 分 別 是 : 層 次 一 的 視 覺 辨 識 (visualization)、層 次 二 的 分 析(analysis) 或 描 述 (descriptive)、 層 次 三 的 非形 式 演 繹 推 理(informal deduction)、層 次 四 的 形 式 演 繹(formal deduction)、層 次 五 的 嚴 密 性 系 統 (rigor)。 如 果 就 幾 何 形 狀 思 考 的 發 展 來 看 , 五 個 層 次 的 思 考 歷 程 是 由 層 次 一 的 依 據 實 物 之 整 體 外 形 輪 廓 來 辨 別 的 方 式 開 始 , 再 至 層 次 二 的 辨 別 、 描 述 圖 形 特 徵 之 能 力 階 段 , 再 發 展 至 層 次 三 的 探 求 、 比 較 內 在 屬 性 與 包 含 關 係 的 階 段 , 而 後 至 層 次 四 的 幾 何 理 論 證 明 階 段 , 最 後 才 有 機 會 到 達 連 數 學 家 都 未 必 能 發 展 到 的 層 次 五 之 不 同 幾 何 系 統 思 維 階 段 。 圖 1-1 說明 了 幾 何 形 狀 思 考 發 展 的 結 構 化 關 係 (Van de Wall, 1997): 形狀 形狀的集合 形狀的性質 性質間的 關係 性質的演 繹系統 演繹系統 的分析 層次一:視覺辨識 層次二:分析 層次三:非形式演繹 層次四:形式演繹 層次五:嚴密性系統 圖 1-1. 幾 何 形 狀 思考 的 發 展 ( 取 自 Van de Wall, 1997) 我 國 在 設 計 幾 何 方 面 的 教 材 與 中 小 學 幾 何 學 習 的 理 論 依 據,係 採 用van Hiele 的 幾 何 思 考 發 展 模 式 與 實 務 研 究 ( 左 台 益 ,2002;吳 德 邦 ,2001; 劉 好 ,1998; 譚 寧 君,1993),思 考 發 展 的 架 構 歷 程 是 由 實 體 而 至 圖 形 、 由 具 體 而 至 抽 象 、 再 由 觀 察 而 至 推 理 。 本 研 究 中 的 學 習 活 動 對 象 乃 針 對 國 中 生( 約 屬 於 van Hiele 幾何 思 考 層 次 的 第 三 層 次 )所 設 計,並 以 文 氏 圖(ven diagram)做 為 活 動 中 推 理 的 工 具,促進 學 生 在 分 類 四 邊 形 時 , 能 在 圖 形 屬 性 、 特 徵 與 性 質 上 做 充 分 的 討 論 , 且 藉 由 非 形 式 的 推 理 辨 證 方 法 發 展 四 邊 形 包 含 關 係 的 概 念 ( 屬 於 van Hiele 幾 何 思 考 層 次 中第 三 層 次 應 發 展 的 能 力 )。

貳、 相關 理論 基 礎

一、 教學 設計 理 念

透 過 實 驗 、 操 作 與 探 索 的 教 學 活 動 來 認 識 幾 何 圖 形 的 性 質 , 一 直 是 國 內 外 幾 何 教 材 內 容 所 強 調 的 精 神(NCTM, 2000 ; 教 育 部,2002)。而 在 九 年 一 貫 課 程 所 提 出 的 「 學 校 本 位 課 程 發 展 」, 與 倡 導 「 教 師 參 與 」、「 由 下 而 上 改 革 」 的 理 念 下 , 教 師 在

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編 制 幾 何 教 材 、 執 行 課 室 教 學 時 , 為 了 促 使 學 生 能 從 一 個 思 考 層 次 提 昇 到 另 一 個 較 高 的 思 考 層 次 , 所 採 用 的 教 學 方 法 和 教 材 的 設 計 、 使 用 , 就 顯 得 格 外 地 重 要 。 而 圖 形 間 包 含 關 係 的 概 念 , 它 不 僅 屬 於 van Hiele 幾 何 思 考 層 次 之 第 三 層 次 所 要 發 展 的 能 力,亦 是 九 年 一 貫 課 程 綱 要( 教 育 部, 2002) 中 所 明 示 第 四 階 段 ( 8-9 年 級 ) 所 應 發 展 的 能 力 指 標 。 因 此 在 本 研 究 中 , 學 習 活 動 之 實 施 流 程 與 設 計 理 念 基 礎 , 乃 是 根 據 van Hiele 之 幾 何 思 考 的 五 個學 習 階 段 (five sequential phases of learning) 來 參 酌 , 茲 將 闡 述 如 下 : ( 一 ) 諮 詢 (inquiry/information) 此 階 段 為 使 學 習 者 能 熟 悉 所 欲 探 究 的 領 域 , 教 師 可 藉 由 例 子 或 非 例 子 來 進 行 重 要 概 念 的 引 介 , 期 盼 透 過 這 樣 的 過 程 能 激 發 學 生 的 動 機 去 發 現 某 些 結 構(Fuys, Geddes, Geddest & Tischler, 1988 ; Presmeg, 1991) 。 因 此 , 教 師 與 學 生 的 對 話 、 引 發 探 究 、 問 題 的 產 生 、 介 紹 幾 何 發 展 階 段 中 的 專 門 術 語 , 都 可 在 此 最 初 的 學 習 階 段 實 踐 。 而 教 師 透 過 觀 察 與 發 問 和 學 生 所 做 的 雙 向 溝 通 , 不 僅 促 發 學 習 者 的 投 入 , 也 提 供 了 教 師 了 解 學 生 先 備 知 識 與 經 驗 的 時 機 (Fuys et. al., 1988), 並設 立 了 進 一 步 的 學 習 步 驟 ( 左 台 益 ,2002)。 ( 二 ) 導 向 (directed orientation) 經 過 第 一 個 學 習 階 段 後 , 學 生 開 始 進 入 了 教 師 事 先 所 設 計 的 安 排 來 探 究 主 題 , 教 學 活 動 重 點 應 是 依 序 引 導 學 生 認 識 學 習 方 向 , 並 逐 漸 地 向 學 生 顯 露 出 要 發 展 的 幾 何 特 徵 , 因 此 在 此 階 段 中 , 教 師 應 當 導 向 與 提 供 學 生 對 學 習 主 題 有 更 多 的 認 識 (Fuys et. al., 1988)。

( 三 ) 闡 明 (explicitation) 學 習 者 在 這 階 段 中 , 應 以 先 前 所 探 討 的 經 驗 為 基 礎 去 交 換 和 陳 述 新 興 的 意 見 , 並 能 以 明 確 的 數 學 語 言 去 表 徵 , 因 此 , 教 師 應 注 意 到 學 生 在 課 室 討 論 中 所 習 慣 使 用 的 表 達 方 法 是 否 適 當 , 並 促 進 學 生 在 部 份 相 關 教 學 主 題 上 的 概 念 可 以 形 成 (van Hiele, 1986)。 學 生 在 教 師 最 少 的 協 助 下 , 基 於 經 驗 而 能 夠 去 增 長 與 精 練 他 們 的 數 學 語 言 和 詞 彙 , 因 而 有 能 力 表 達 、 交 換 、 討 論 與 教 學 相 關 的 主 題 , 所 以 在 此 階 段 , 老 師 的 角 色 主 要 為 幫 助 學 生 用 正 確 、 合 適 的 數 學 語 言 、 詞 彙 和 術 語 (Billstein, Libeskind & Lott, 1993 ; Crowley, 1987)。 ( 四 ) 自 由 探 索 (free orientation) 進 入 此 階 段 時 , 教 師 可 給 予 較 複 雜 或 多 解 法 的 開 放 性 問 題 , 讓 學 習 者 能 用 自 己 的 方 法 來 完 成 解 題 的 工 作 , 並 獲 得 學 習 的 經 驗 。 因 此 , 針 對 此 階 段 的 學 習 特 色 , 教 學 活 動 設 計 應 著 重 在 啟 發 學 生 自 由 探 索 與 創 造 的 能 力 (Fuys et. al., 1988 ; Presmeg, 1991),讓 自 由 探 索 的 歷 程,促 使 學 生 對 研 究 主 題 間 的 關 係 可 變 得 更 加 清 楚 明 確 (Hoffer, 1983)。

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教 師 為 使 學 生 能 更 精 熟 諮 詢 、 導 向 、 闡 明 三 階 段 中 所 獲 得 的 數 學 概 念 , 可 透 過 有 多 種 解 法 的 問 題 或 活 動 , 讓 學 生 在 第 四 個 學 習 階 段 中 去 探 索 完 成 。 學 生 在 開 放 性 的 問 題 中 , 可 透 過 作 圖 、 舉 例 、 演 繹 推 理 等 不 同 的 解 題 方 法 來 累 積 經 驗 , 並 經 歷 自 我 探 索 的 過 程 , 以 對 所 學 的 課 題 教 材 概 念 作 明 確 的 關 連 ( 左 台 益 ,2002)。 ( 五 ) 統 整 (integration) 在 最 後 的 統 整 階 段 中 , 老 師 藉 著 對 教 材 主 體 作 整 體 性 的 縱 覽(global surveys), 以 幫 助 學 習 者 最 後 將 探 索 的 主 題 、 活 動 的 反 應 與 獲 得 的 概 念 知 識 , 做 一 個 有 組 織 性 的 整 合 。 然 而 , 此 縱 覽 性 的 整 合 乃 是 針 對 學 生 已 知 道 的 內 容 所 實 施 的 結 論 性 概 述 , 並 非 是 另 一 個 新 概 念 的 呈 現 (van Hiele, 1986 ; Hoffer, 1983)。 因 此 , 老 師在 給 予 整 體 性 的 縱 覽 概 述 的 同 時 , 也 協 助 了 學 生 將 已 知 道 的 概 念 吸 收 、 內 化 和 統 整 各 種 關 係 成 為 一 個 新 的 思 考 體(Crowley, 1987)。 就 本 研 究 中 所 實 施 的 學 習 活 動 而 言 , 其 主 要 目 的 乃 是 發 展 學 生 在 四 邊 形 包 含 關 係 上 的 辯 證 , 在 教 學 上 所 要 提 升 學 生 發 展 的 是 van Hiele 幾 何 思 考 層 級之 層 次 三 ( 非 形 式 演 繹 層 次 ) 的 能 力 , 並 且 做 為 表 2-1 van Hiele 的 五 個 學 習 階 段概 述 與 「 四 邊 形 的 獵 捕 」之 活 動 設 計 對 照 表 van Hiele 的 五 個 學 習 階 段 與 概 述 「 四 邊 形 的 獵 捕 」 之 活 動 設 計 說 明 諮 詢 * 教 師 透 過 觀 察 與 發 問 和 學 生 做 雙 向 溝 通,促 發 學 習 者 的 投 入,與 提 供 教 師 了 解 學 生 的 先 備 知 識 與 經 驗 。 * 教 師 先 詢 問 學 生 有 關 正 方 形 、 長 方 形 、 平 行 四 邊 形 、 菱 形 、 梯 形 等 圖 形 的 性 質 。 * 透 過 觀 察 與 提 問 的 過 程 , 教 師 可 初 步 獲 得 學 生 是 否 具 備 有 關 四 邊 形 性 質( 幾 何 思 考 層 級 二 的 能 力 ) 的 先 備 知 識 。 導 向 * 學 生 開 始 進 入 教 師 事 先 所 設 計 的 安 排 來 探 究 主 題,教 學 活 動 重 點 為 依 序 引 導 學 生 認 識 學 習 的 方 向 。 * 鼓 勵 學 生 發 問 。 * 教 師 為 順 利 進 行 「 四 邊 形 的 獵 捕 」 之 活 動 實 踐 , 因 此 必 須 先 對 文 氏 圖 中 交 集 、 聯 集 的 知 識 , 給 予 充 分 的 解 釋 與 補 充 。 * 教 師 先 示 範 一 次 活 動 的 遊 戲 玩 法 , 與 遊 戲 過 程 中 數 學 辯 證 的 溝 通 方 式 。 闡 明 * 學 生 以 之 前 階 段 的 探 討 經 驗 為 基 礎 去 交 換 和 陳 述 新 興 的 意 見,並 以 適 當 的 數 學 語 言 去 表 達 。 * 老 師 幫 助 學 生 使 用 正 確、合 適 的 數 學 語 言 、 詞 彙 和 術 語 。 * 以 圖 形 的 特 徵 、 性 質 為 知 識 基 礎 , 讓 學 生 在 遊 戲 中 充 分 闡 釋 、 辯 證 與 推 理 , 達 到 有 效 數 學 溝 通 的 目 的。例 如,對 有 關「 正 方 形 也 是 長 方 形 」或「 菱 形 也 屬 於 平 行 四 邊 形 」 等 內 容 , 學 生 必 須 清 楚 地 向 小 組 成 員 敘 述 、 說 明 、 辯 證 原 因 , 達 到 溝 通 和 釐 清 圖 形 一 般 化 與 特 殊 化 間 的 隸 屬 關 係 。 * 過 程 中 教 師 幫 助 學 生 對 數 學 溝 通 術 語 的 認 識 與 使 用 。 自 由 探 索 * 教 師 給 予 較 複 雜 或 多 解 法 的 開 放 性 問 題,讓 學 習 者 能 用 自 己 的 方 法 來 完 成 解 題 的 工 作 , 並 獲 得 學 習 的 經 驗 。 * 藉 此 自 由 探 索 的 歷 程,學 生 對 研 究 主 題 間 的 關 係 可 變 得 更 加 清 楚 明 確 。 * 活 動 遊 戲 中 , 每 個 人 都 有 輪 到 一 次 當 莊 主 的 機 會 , 因 此 , 學 生 從 在 第 一 人 當 莊 主 時 已 經 歷 過 的 學 習 、 辯 證 、 闡 明 之 經 驗 , 因 而 在 輪 到 自 己 當 莊 主 時 , 就 能 夠 透 過 發 現 與 自 由 創 造 的 歷 程 來 決 定 所 要 使 用 的 性 質 標 籤 , 甚 至 設 計 出 更 複 雜 的 情 境 問 題 。 統 整 * 教 師 對 教 材 主 體 作 整 體 性 的 縱 覽 與 概 述,使 學 習 者 將 所 學 的 知 識 概 念 做 一 個 彙 整 與 聚 集 。 * 統 整 內 容 非 新 概 念 的 呈 現 與 介 紹 。 * 教 師 藉 由 綜 合 討 論「 贏 的 思 考 策 略 是 什 麼 ? 」,統 整 四 邊 形 間 的 分 類 與 包 含 關 係 的 推 論 。 * 教 師 將 所 觀 察 到 學 生 較 特 別 的 情 境 、 思 考 過 程 或 迷 思 提 出 , 共 同 討 論 。

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進 升 到 層 次 四( 形 式 化 演 繹 層 次 )的 基 礎, 因 此 , 活 動 設 計 的 架 構 , 從 學 生 能 描 述 、 分 析 、 了 解 構 成 四 邊 形 的 特 徵 要 素 為 起 點,再 依 據 van Hiele 的 五 個 學 習 階段 來 設 計 與 引 導 學 生 學 習 , 以 促 進 學 生 能 深 入 推 論 、 辯 證 、 思 考 四 邊 形 包 含 關 係 的 能 力 。 以 下 為 「 四 邊 形 的 獵 捕 」 遊 戲 活 動 與 van Hiele 的五 個 學 習 階 段 對 照 之 說 明:

二、 文氏 圖的 應 用

美 國 NCTM(2000)指 出,幾 何 教 學 的 準 則 之 一 為 學 生 應 能 夠 分 析 二 維 與 三 維 空 間 中 幾 何 形 狀 的 特 徵 與 性 質 , 並 且 發 展 幾 何 關 係 上 的 數 學 辯 證 。 其 中 6-8 年級 的 學 習 標 準 也 明 確 指 出 : 藉 由 文 氏 圖 可 以 來 學 習 建 立 平 行 四 邊 形 、 長 方 形 、 正 方 形 、 菱 形 間 包 含 關 係 的 概 念 。 因 此 , 以 文 氏 圖 來 幫 助 學 生 了 解 不 同 圖 形 之 間 的 包 含 關 係 , 無 疑 是 為 學 生 提 供 了 一 個 視 覺 組 織 架 構 圖 的 統 整 學 習 工 具 (NCTM, 2000)。 透 過 文 氏 圖 在 集 合 論 中 餘 集 、 交 集 、 聯 集 關 係 上 的 意 義 , 可 使 得 圖 形 間 包 含 關 係 的 抽 象 內 容 被 清 楚 地 看 到 , 也 讓 學 習 者 更 有 能 力 瞭 解 圖 形 間 複 雜 分 類 的 從 屬 層 級 關 係 , 最 後 , 文 氏 圖 呈 現 了 建 構 抽 象 概 念 與 幫 助 學 生 看 到 概 念 一 致 性 與 層 級 性 的 具 體 表 徵 方 式(Fountas & Pinnell, 2001)。因 此 , 在 本 教 學 活 動 中 , 文 氏 圖 概 念 的 應 用 不 僅 扮 演 一 個 建 構 資 訊 的 推 理 工 具 , 亦 是 一 個 統 整 重 要 概 念 或 主 題 成 為 樣 式 關 係 的 方 法 (Bromley, 1995)。

參、 活動 介紹 與 實施 步驟

以 下 為 針 對 此 活 動 「 四 邊 形 的 獵 捕 」,所 需 事 先 設 計 的 教 具 與 其 意 義、實 施 對 象 與 時 間、遊 戲 實 施 步 驟 與 規 則 之 說 明: ( 一 ) 教 具 的 準 備 與 意 義 1.三 條 顏 色 不 同 的 繩 子 或 線 , 用 來 圍 成 文 氏 圖 中 代 表 三 個 集 合 的 大 圓 圈 , 並 置 於 小 組 桌 面 上 。 如 圖 3-1.1 所 示 。 非正方形 平行四邊形 梯形 P Q 圖 3-1.1 2.做 出 10 張 具 備「 正、反 」性 質 的 標籤( 可 使 用 標 籤 貼 紙 ): 正 方 形 、 非 正 方 形 、 長 方 形 、 非 長 方 形 、 菱 形 、 非 菱 形 、 平 行 四 邊 形 、 非 平 行 四 邊 形 、 梯 形 、 非 梯 形 。 輪 到 當 莊 家 的 人 可 任 意 重 複 使 用 其 中 三 張 性 質 標 籤,用 以 決 定 圖3-1.1 中 三 個 大 圓 圈 所 代 表 的 集 合 內 容 , 然 而 在 部 份 交 集 的 區 域 上 , 有 可 能 會 有 交 集 不 存 在 或 無 意 義 的 情 形 產 生,如 圖3-1.1 中 的 區 域 P 與 Q, 但 此 情形 並 不 影 響活 動 的 進 行 , 因 為 性 質 標 籤 僅 是 用 以 標 示 三 個 大 圓 圈 的 屬 性 內 容 , 其 所 產 生 的 意 義 是 如 何 才 是 本 活 動 歷 程 中 所 要 辨 證 與 討 論 的 部 份 。 因 此 , 此 時 三 個 大 圓 圈 的 相 交 關 係 就 不 全 然 是 文 氏 圖 的 意 義 了 , 僅 能

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視 為 以 文 氏 圖 的 概 念 所 延 伸 應 用 、 發 展 的 推 理 工 具 。 3.四 套 顏 色 不 同 的 形 狀 卡 ( 可 用 厚 紙 板 製 作 ),每 套 形 狀 卡 必 須 包 含 不 同 結 構 的 正 方 形 、 長 方 形 、 菱 形 、 平 行 四 邊 形 、 梯 形 各 兩 張。圖3-1.2 為其 中 一 套 形狀 卡 的 例 子 。 圖 3-1.2 ( 二 ) 實 施 對 象 與 時 間 可 針 對 國 中 各 年 級 學 生 實 施 , 每 四 人 一 組 , 活 動 實 施 時 間 約 為 兩 節 課 (90 分 鐘 )。在 本 研 究 中,此 學 習 活 動 為 第 一 次 實 施 , 且 實 施 對 象 為 國 中 一 年 級 下 學 期 的 學 生 一 組 四 人 , 為 使 此 研 究 能 提 供 更 給 教 師 ( 即 研 究 者 ) 更 豐 富 的 資 料 , 所 以 立 意 選 擇 在 口 語 表 達 能 力 上 較 清 晰 者 。 ( 三 ) 遊 戲 實 施 步 驟 與 規 則 1.小 組 四 人 各 輪 流 一 次 當 莊 家 , 莊 家 必 須 選 擇 代 表 三 個 大 圓 圈 的 內 容 性 質 標 籤 , 並 貼 入 三 大 圓 圈 內 , 如 圖 3-1.3。 2.當 莊 家 貼 好 性 質 標 籤 後 , 每 人 在 自 己 的 10 張 形 狀 卡 中 任 取 7 張 出 來 玩( 教 師可 自 行 調 整 為 8~10 張 ), 然 後 依 據自 己 的 推 理 判 斷 , 同 時 一 起 將 所 有 的 形 狀 卡 放 自 己 認 為 的 正 確 區 域,圖 3-1.3 顯 示部 份 形 狀 卡 被 決 定 放 置 的 區 域 位 置 。 非長方形 平行四邊形 梯形 圖 3-1.3 3.當 四 個 人 均 將 自 己 的 形 狀 卡 全 部 放 置 完 畢 後 , 由 莊 主 開 始 輪 流 做 更 換 或 獵 補 形 狀 卡 的 動 作 , 亦 即 輪 流 到 的 人 , 每 人 每 次 可 以 選 擇 更 換 一 張 自 己 認 為 放 錯 的 形 狀 卡 , 並 放 進 正 確 的 位 置 , 或 者 選 擇 獵 捕 一 張 別 人 放 錯 的 形 狀 卡 , 並 移 出 文 氏 圖 ( 獵 捕 成 功 獲 得 一 分 )。 4.在 執 行 上 述 3 的 步 驟時 , 重 點 是學 生 必 須 對 所 採 取 的 動 作 據 理 說 明 與 辯 證 , 並 清 楚 回 答 別 人 提 出 的 疑 問 , 且 獲 得 全 部 人 的 同 意 時 才 能 更 換 自 己 形 狀 卡 的 位 置 或 獵 捕 別 人 的 形 狀 卡 。 5.若 不 更 換 自 己 的 形 狀 卡 也 無 法 獵 取 別 人 的 形 狀 卡 時 , 那 就 喊 「pass」,直 到 所有 的 人 都 喊「pass」, 且經 由 老 師 的觀 察 亦 無 錯 誤 , 則 第 一 輪 結 束 , 再 換 第 二 人 當 莊 家 , 依 序 四 人 均 當 完 莊 家 後 , 整 個 遊 戲 結 束 , 並 計 算 個 人 得 分 。 6.每 人 發 表「 贏 的 思考 策 略 」,或 者 分 類( 放 置 形 狀 卡 的 位 置 ) 的 方 法 與 依 據 , 做 為 統 整 四 邊 形 間 分 類 與 包 含 關 係 推 論 的 心 得 分 享 。 7.教 師 的 角色 扮 演 : 教 師 在 整 個 遊 戲 過 程 中 , 教 學 的 方 法 除 了 參 照 van Hiele 的 幾 何 學 習 理論 : 諮

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詢 、 導 向 、 闡 明 、 自 由 導 向 、 統 整 外 , 教 師 透 過 觀 察 , 看 見 學 生 思 考 的 歷 程 與 數 學 辯 證 溝 通 的 方 法 , 因 此 , 適 時 適 當 的 給 予 釐 清 修 正 、 深 入 提 問 或 引 導 介 入 是 非 常 重 要 的 。 尤 其 在 統 整 討 論 的 階 段 中 , 教 師 藉 由 學 生 的 心 得 分 享 , 對 教 材 主 體 作 整 體 性 的 縱 覽 與 概 述 , 可 使 學 習 者 將 所 學 的 知 識 概 念 做 一 個 彙 整 與 聚 集 。

肆、 活動 歷程 分 析結 果

以 下 為 針 對 遊 戲 活 動 歷 程 中 , 四 個 莊 主 所 決 定 的 性 質 標 籤 、 小 組 成 員 最 初 所 放 置 的 部 份 形 狀 卡 位 置 、 與 小 組 成 員 在 推 理 辨 證 時 的 溝 通 對 話 , 教 師 經 由 觀 察 紀 錄 、 資 料 的 整 理 , 將 原 案 的 對 話 進 行 分 析 , 且 在 每 一 個 原 案 分 析 中 採 用 一 個 簡 短 的 敘 述 標 籤 來 呈 現 原 案 在 此 概 念 上 的 真 實 想 法 或 活 動 歷 程 所 產 生 的 價 值 。 一、第 一 輪 莊 主 所 設 定 的 性 質 標 籤 為: 正 方 形 、 非 菱 形 、 平 行 四 邊 形 。 圖 4-1 呈 現 了 小 組 成 員 在 一 開 始 分 類 時 所 放 置 形 狀 卡 的 部 份 情 形 ( 包 括 放 置 錯 誤 的 形 狀 卡 ), 且 活 動 歷 程 中 的 原 案 分 析 亦 如 下 說 明 。 正方形 非菱形 平行四邊形

A

C

D

E

B

F G 圖 4-1

透過辯證的有效溝通,學生能夠立即

修正數學知識並闡明正確的推論

( 一 ) 長 方 形 也 是 平 行 四 邊 形 的 一 種 ; 長 方 形 是 平 行 四 邊 形 的 特 例 原 案 一 小 文01: 我 的 卡( 斜 線 者 ) 都 沒有 放 錯 , 其 他 人 也 都 放 對 。 菁 菁01:我覺 得 灰 色 的 長 方 形 不應 該 在 E 中 , 應 在 非 菱 形 的 C 中 。 小 清01:不 對。它 不 算 菱 形,但 以 平 行四 邊 形 的 定 義 來 說 只 要 兩 邊 等 長 。 老 師05: 只 要 兩邊 等 長 ? 哪 兩 邊等 長 ? 小 清02: 這 兩 邊, 對 邊 等 長 。 菁 菁02: 哦!那 它 可 以 放 E 中 了! 小 清03: 我 的 卡( 灰 色 者 ) 都 沒有 放 錯 , 但 是 在 C 中 的 黑 色 長 方 形 放 錯 了 , 長 方 形 也 是 平 行 四 邊 形 , 因 為 兩 邊 垂 直 ( 指 出 鄰 邊 )、 平 行 ( 指 出 對 邊 ), 有 兩 組 對 邊 相 等 , 所 以 它 可 以 進 階 到 這 層 (E), 不 一 定 要 在 C 中 。 【 大 家 同 意 , 小 清 獵 補 了 一 張 牌 】 小 文05:我 要 救自 己 的 牌(B 中 斜 線 的 長 方 形 ), 因 為 長 方 形 是 屬 於 平 形 四 邊 形 的 一 種 , 又 不 是 菱 形 , 所 以 我 覺 得 它 要 放 在 E 中 。 原 案 一 分 析 在 互 動 與 挑 戰 的 過 程 中 , 學 生 使 用 和 擴 張 他 們 在 幾 何 圖 形 與 集 合 上 的 知 識 , 不 僅 讓 自 己 可 以 重 新 自 我 審 視 , 同 時 也 促 使 同 儕 的 思 考 共 同 聚 焦 , 得 到 「 長 方 形 可 進 階 至 平 形 四 邊 形( 菁 菁 02、小 清 03)」、「 長

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方 形 是 屬 於 平 形 四 邊 形 的 一 種( 小 文05)」 之 完 整 的 數 學 知 識 。 ( 二 ) 對 平 行 四 邊 形 的 認 知 會 受 一 般 繪 圖 時 常 用 的 大 小 、 方 位 之 影 響 , 以 致 於 產 生 菱 形 不 是 平 行 四 邊 形 的 錯 誤 迷 思 。 原 案 二 小 萱03:我 要 救自 己 的 這 張 牌(B 中 的 黑 色 菱 形 )。 它 應 是 菱 形 , 應 放 在 D 中 才 對 , 因 為 這 區 (D) 不 算 平 行 四 邊 形 。 其 他 四 人 : 哇 ? 老 師07: 這 區 不算 平 行 四 邊 形 ? 小 萱04: 介 於 這個 之 間 。 小 清05:但是 你 也 要 滿 足 他 們 是 正方 形 來 講 。 小 萱05: 有 啊 !他 們 上 下 兩 邊 都一 樣 。 小 文05:可 是 沒 有 直 角,所 有 看 到的 正 方 形 都 有 四 個 直 角 。 菁 菁05: 那 就 留 在 B 就 好 了 。 小 萱06:但 是 我 還 是 不 能 放 在 這 裡( B), 因 為 這 區 不 是 菱 形 啊 ! 這 是 平 行 四 邊 形 所 以 不 行 。 ……… 小 清10: 它 也 是平 行 四 邊 形 。 小 萱 11: 但 是 平 行 四 邊 形 應 該 是 這 樣 子 ( 指 出 ),而 這 個( 指 出 )兩 個 邊 沒 辦 法 平 。 小 清11: 這 兩個 都 是 。 小 萱12:這個 才 是,比 較 標 準、比 較 好 。 這 個 不 是 。 小 清12:又 不 一 定 要 標 準。你 也 可 以 這 樣 看 啊 ( 將 形 狀 卡 改 放 為 ), 不 就 平 了 ( 並 指 出 對 邊 平 行 )。 ( 小 萱 點 頭 ) 老 師08:你認 為 這 個 比 較 像 你 常 見的 平 行 四 邊 形 ? 小 萱 13:(小 萱 點 頭 ) 我 們 平 常 又 不是 這 樣 畫 的 。 菁 菁06:這 個 性 質 也 屬 於 平 行 四邊 形,長 方 形 、 正 方 形 、 菱 形 都 屬 於 。 原 案 二 分 析 受 到 平 常 一 般 對 平 行 四 邊 形 大 小 、 方 位 之 繪 圖 的 方 式 所 影 響 , 以 致 於 對 瘦 瘦 長 長 的 平 行 四 邊 形 判 斷 , 無 法 以 性 質 做 考 量 ( 小 萱 12、13), 因 此 才 會 產 生 對 此圖 形 的 歸 類 指 認 為 僅 符 合 菱 形 的 條 件,因 而 將 正 方 形 與 平 行 四 邊 形 的 交 集(D 區 ) 意 義 誤 認 為 是 菱 形 , 誤 認 原 因 是 認 為 菱 形 的 產 生 是 來 自 於 正 方 形 、 平 行 四 邊 形 兩 個 圖 形 間 間 角 度 、 邊 長 的 演 變 , 所 以 中 間 的D 區 的意 義 被 曲 解 於 圖 形 演 變的 歷 程 ( 小 萱 04、06)。 而 透 過 同 儕 間 辯 證溝 通 的 效 果 , 學 生 能 自 動 地 思 考 、 統 整 相 關 的 概 念 ( 菁 菁 06)。

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透過隨機與自由創造的問題情境,可

激勵更高的思考層級挑戰

( 一 ) 正 方 形 的 集 合 包 含 於 平 行 四 邊 形 中 原 案 三 菁 菁 10: 我 要 獵 補 灰 色 的 正 方 形 ( 在 A 區 ), 因 為 它 平 行 又 符 合 正 方 形 , 所 以 應 該 在 D 中 。 小 文 10: 那 它放 在 這 裡 ( A 區 ) 也 對 啊! ( 自 己 有 一 張 斜 線 正 方 形 也 放 在 A 區 ), 就 是 正 方 形 , 只 是 D 區 也 符 合 正 方 形 的 條 件 。 老 師10:那 請 更 進一 步 說 明 A、D 兩 區 有 什 麼 關 係 ? 小 文11: 都 是正 方 形 。 A 區 代 表 正 方 形, 那 也 是 平 行 四 邊 形,所 以 A 也 是 有 符 合D 區 的 條 件,所 以 正 方 形 也 可 以 放 在 A 中 。 小 清13:那 應 該 沒 有 A 區 存 在,正 方形 應 概 都 會 在 D 中 。 原 案 三 分 析 因 為 性 質 標 籤 是 由 莊 家 隨 意 決 定 的 , 因 此 在 文 氏 圖 的 部 分 交 集 區 域 有 可 能 會 產 生 不 存 在 的 情 形 , 如 在 圖 4-1 中 的 D 區 。 然 而 透 過 辯 證 , 老 師 可 引 導 學 生 在 此 區 域 做 的 深 入 討 論 ( 老 師 10), 提高 推 理 思 考 與 辨 證 的 難 度 , 增 加 數 學 知 識 的 豐 富 性 , 促 使 正 方 形 包 含 於 平 行 四 邊 形 的 概 念 能 由 學 生 主 動 建 構 出 來 ( 小 文 11、 小 清 13)。 二、第 二 輪 莊 主 所 設 定 的 性 質 標 籤 為: 非 正 方 形 、 非 梯 形 、 非 平 行 四 邊 形 ,如 圖 4-2。 非正方形 非梯形 非平行四邊形

A

C

D

E

B

圖 4-2

經由過程中推理辯證的經驗,學生歸

納與期待更具挑戰性的問題情境

原 案 四 菁 菁15:我 要 獵 補 B 中 網 狀 的 梯形,它 不 是 正 方 形 也 不 是 平 行 四 邊 形 , 應 在 D 區 。( 大 家 都 同 意 ) 小 清15:pass! 小 萱15:pass! 小 文15:pass! 小 萱16:這 組 不 好 玩,不 要 都 非 啦! 要 穿 插 。 小 清16: 剛 剛 那一 輪 好 好 玩 ! 原 案 四 分 析 : 學 生 在 老 師 設 計 好 的 教 學 情 境 中 能 受 到 激 勵 與 肯 定 , 尤 其 是 遊 戲 競 賽 式 的 活 動 , 學 生 由 經 歷 中 歸 納 出 如 何 增 加 問 題 的 複 雜 程 度 ( 小 萱 16), 並 高 度 期 待 挑戰 的 來 臨 。 三、第 三 輪 莊 主 所 設 定 的 性 質 標 籤 為: 正 方 形 、 菱 形 、 非 長 方 形 , 如 圖 4-3。

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正方形 菱形 非長方形 A C D E B F G 圖 4-3

小組成員透過觀察,產生了思考的刺

激、修正與檢驗,因而呈現真實的概

念情形

( 一 ) 釐 清 不 屬 於 三 集 合 內 之 形 狀 卡 的 正 確 位 置 與 意 義 。 原 案 五 ( 分 類 形 狀 卡 時 ) 小 清20:好 像 很 簡 單 !( 小 清 先 將一 些 形 狀 卡 放 在 文 氏 圖 的 外 圍 後 , 才 陸 陸 續 續 有 人 也 跟 著 放 ) 老 師20:小萱 你 為 什 麼 將 一 些 牌 放在 外 圍 呢 ? 小 萱20: 淘 汰 ! 小 清21: 出 局 ! 小 文20: 都 不 符合 。 原 案 五 分 析 開 始 分 類 時 , 有 些 同 學 對 無 法 放 在 此 三 集 合 內 的 形 狀 卡 無 法 做 出 決 定 ( 教 師 的 觀 察 紀 錄 ),一 旦 有 人 具 體 呈 現 思 維 時,刺 激 了 組 員 聚 焦 思 考 此 具 體 行 為 ( 小 清 20),同 時 也 釐 清 了 自 己 原 本 難 以 判 斷 的 概 念 , 了 解 不 屬 於 三 集 合 內 之 形 狀 卡 的 正 確 位 置 與 意 義( 小 萱20、小 清 21、小 文 20)。 ( 二 )四 人 共 同 都 有「 正 方 形 不 是 長 方 形 」 的 迷 思 原 案 六 ( 分 類 形 狀 卡 時 ) 小 清22:喔 !( 她將 原 本 放 在 F 中 的 正 方 形 改 放 在 G 中 之 後,其 他 人 馬 上 將 自 己 原 本 在A 中的 正 方 形 也 放入 G 中 ) 老 師21: 你 們 確定 這 樣 改 都 是 對的 ? 小 文21:對 啊 ! 正 方 形 是 菱 形,可 是 不 是 長 方 形 。 菁 菁 20: 對 啊 ! 四 邊 都 等 長 , 不 是 長 方 形 。( 其 他 人 也 都 同 意 ) 老 師22: 那 說 說看 什 麼 是 長 方 形? 小 清23: 四 個 直角 , 一 長 一 短 。 原 案 六 分 析 從 原 本 一 開 始 的 分 類 中 , 看 不 出 在 放 在 A 區 的 正 方 形 是 否 有「 正 方 形 不是 長 方 形 」的 迷 思( 圖 4-3),經 由 組 員 的轉 換 後 ( 小 清 22), 小 組 成 員 透 過 了 觀 察 ,刺 激 自 己 的 思 考 聚 焦 於 正 方 形 、 菱 形 、 長 方 形 間 的 關 係 , 因 此 再 度 檢 驗 自 己 的 判 斷 , 進 而 呈 現 了 自 己 真 實 概 念 的 迷 思 ( 小 文 21~ 小 清23)。 四 、 第 四 輪 莊 主 所 設 定 的 性 質 標 籤 為 : 非 正 方 形 、 非 菱 形 、 梯 形 , 且 部 分 形 狀 卡 位 置 如 圖 4-4。

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非正方形 非菱形 梯形

A

C

D

E

B

F 圖 4-4

能 藉助 菱 形 的性 質 來 辨識 與 敘 述圖

原 案 七 小 清30:我 要 獵 補 A 中 的 平 行 四邊 形,因 為 它 不 屬 於 正 方 形 也 不 屬 於 菱 形 , 應 該 在 F 區 中 。 小 萱30:不 是 啦 ! 它 是 菱 形( 如 圖 4-5)。 A B D C 圖 4-5 菁 菁30: 對 啊 !我 也 覺 得 它 是 菱形 。 小 清31:它 看 起 來 兩 邊 又 沒 有 對稱( 指 出 鄰 邊 AB 與 AD), 我 覺 得 它 應 放 在 非 菱 形 和 非 正 方 形 的 D 區 中 。 菁 菁31: 可 是 它四 邊 等 長 。 小 萱31:沒 有 很 精 準,可 是 差 不 多一 樣 長。 小 清32:不 行 啦 ! 你 還 要 看 它 這樣 子、這 樣 子( 指 出 對 角 線 AC 與 BD)有 沒 有 平 分 , 有 沒 有 垂 直 。 你 看 這 個 是 菱 形 它 就 有 ( 拿 出 此 形 狀 卡 來 比 劃 )。 原 案 七 分 析 當 無 法 以 目 測 精 準 地 判 斷 邊 長 是 否 相 等 時 ( 小 萱 31), 對 圖 形 的 判 斷 與描 述 由 圖 形 的 定 義 轉 換 至 圖 形 的 性 質 ( 小 清 31、32),這 說 明 了 圖形 的 眾 多 性質,不 只 可 以 用 不 同 的 方 法 來 探 究 與 瞭 解 , 亦 可 藉 助 這 些 性 質 來 敘 述 和 分 析 圖 形 (Van de Wall, 1997)。 五 、「 贏 的 思 考 策 略 」 討 論 結 果 分 析 原 案 八 老 師40:你們 用 什 麼 思 考 方 法 讓 自己 不 會 放 錯 形 狀 卡 , 以 致 於 在 遊 戲 中 可 以 贏 ? 菁 菁40:一 個 圖 形 可 以 屬 於 很 多種 類,譬 如 梯 形 也 是 非 正 方 形 、 非 菱 形 , 很 複 雜 , 所 以 我 就 想 它 是 哪 一 個 和 哪 一 個 , 於 是 就 把 圖 形 與 文 字 做 比 較 ( 意 即 形 狀 卡 和 性 質 標 籤 ), 然 後 再 換 下 一 個 。 小 文40:我 都 先 從 最 中 間 開 始 看,中 間 條 件 比 較 多 , 例 如 最 後 一 輪 中 , 就 梯 形 , 它 屬 於 非 正 方 形 、 非 菱 形 又 是 梯 形 , 那 如 果 形 狀 卡 不 符 合 , 就 把 一 個 條 件 刪 掉 , 然 後 再 慢 慢 去 找 符 合 的 。 小 萱40:我 都 先 從 最 外 圍,先 符 合 外 圍 項 目 , 然 後 再 朝 兩 個 圈 圈 都 有 的 , 然 後 再 看 中 間 那 一 區 , 如 果 符 合 就 放 進 去 , 這 樣 比 較 不 容 易 出 差 錯 。 小 清 40( 得 分 最 多 者): 我 是 先 以 一個 來 對 照 , 譬 如 梯 形 它 比 較 有 拘 束 先 拿

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來 對 照 , 就 是 限 制 比 較 多 的 。 因 為 梯 形 只 能 算 是 梯 形 , 不 能 算 其 它 種 類 的 。 假 設 今 天 我 對 照 一 個 最 外 圍 的 , 它 不 行 , 那 麼 這 個 圈 就 都 不 行 ( 指 出 圖 4-3 的 一 個 大 圓 圈),那 我 就 都 不 用 去 考 慮 它 , 我 就 考 慮 其 他 兩 個 或 這 個 ( 指 出 圖 4-3 的 A、B 和 D 區 ),剩 下 要 考 慮 的 就 比 較 少, 就 不 用 想 那 麼 多 了 。 原 案 八 分 析 在 此 學 習 活 動 中 , 教 師 扮 演 了 最 少 協 助 的 角 色 , 讓 學 生 從 情 境 和 同 儕 間 辯 證 的 歷 程 中 自 由 地 探 索 , 學 習 到 不 同 的 思 考 策 略 與 解 題 方 法 , 成 功 地 達 到 由 幾 何 特 性 的 分 析 所 引 導 之 演 繹 推 理 的 發 展 。 例 如 , 有 人 從 交 集 最 多 的 性 質 區 域 思 考 起 ( 小 文 40)、有 人 卻 從 限 制 最 少 的 性 質 開 始,再 逐 一 檢 驗 是 否 符 合 條 件 的 限 制 ( 小 萱 40)、 亦 有 人 從 最 多 限 制 的 形 狀 卡 開 始 做 歸 屬 的 判 斷 ( 小 清40)等 。

伍、 結論 與反 思

以 下 為 從 活 動 歷 程 的 分 析 結 果 中 , 綜 合 學 生 表 現 的 結 論 與 教 師 對 此 創 意 教 學 活 動 所 做 的 反 思 和 建 議 。

結論 :

( 一 ) 從 小 組 在 四 邊 形 包 含 關 係 的 推 論 中 , 獲 得 了 以 下 四 點 有 關 數 學 知 識 概 念 的 結 論 : (1)學 生 可非 形 式 地 推 論 與 理 解 長方 形 也 是 平 行 四 邊 形 、 長 方 形 是 平 行 四 邊 形 的 一 個 特 例 、 正 方 形 的 集 合 包 含 於 平 行 四 邊 形 中 。 (2)對 平 行四 邊 形 的 認 知 會 受 一 般繪 圖 時 常 用 的 大 小 、 方 位 之 影 響 , 以 致 於 產 生 長 得 瘦 瘦 長 長 的 菱 形( 如 )不 是 平 行 四 邊 形 的 錯 誤 迷 思 。 (3)國 一 學 生 受長 方 形 字 面 意 義的 影 響 , 認 為 長 方 形 長 寬 應 是 一 邊 長 、 一 邊 短 , 因 此 有 「 正 方 形 不 是 長 方 形 」 的 迷 思 。 (4)能 藉 助菱 形 的 性 質 來 辨 識 與 敘述 圖 形 為 菱 形 的 意 義 ( 如 原 案 七 的 分 析 )。 ( 二 )依 據 van Hiele 的 五 個 幾 何 思考 學 習 階 段 所 設 計 的 教 學 活 動 , 能 讓 學 習 者 循 序 達 到 教 學 目 標 中 幾 何 思 考 的 發 展 , 也 允 許 教 師 看 見 學 習 者 思 考 的 過 程 。 ( 三 ) 學 習 者 在 此 活 動 的 過 程 中 , 建 構 了 幾 何 性 質 與 集 合 知 識 的 概 念 , 也 充 分 發 展 了 清 楚 敘 述 數 學 論 證 、 推 理 和 溝 通 的 技 巧 。 ( 四 ) 在 情 意 發 展 上 , 小 組 成 員 在 同 儕 面 前 有 渴 望 被 接 受 的 共 同 特 質 , 因 此 對 充 分 地 發 表 評 論 能 感 覺 安 全 , 忘 記 困 窘 , 並 開 放 地 表 述 自 己 的 想 法 。

反思 與建 議:

( 一 ) 在 整 個 活 動 的 歷 程 中 , 都 一 直 重 複 發 生 學 生 因 為 對 圖 形 的 基 本 定 義 、 性 質 有 迷 思 , 而 導 致 在 放 置 形 狀 卡 時 , 對 從

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屬 、 包 含 關 係 的 判 斷 產 生 錯 誤 。 研 究 者 認 為 , 針 對 此 種 情 形 , 執 行 教 師 可 藉 助 以 下 兩 種 方 法 來 避 免 或 改 進 : 1.教 師 可 在 每 一 輪 活 動 結束 後 , 針 對 在 該 輪 活 動 中 , 學 生 對 圖 形 定 義 所 犯 的 錯 誤 認 知 提 出 討 論 , 並 與 學 生 共 同 澄 清 , 以 避 免 在 下 一 輪 活 動 時 , 又 因 相 同 的 錯 誤 認 知 而 導 致 包 含 關 係 判 斷 的 能 力 無 法 發 展 。 2.透 過 此 活 動 亦 說 明 了 ,圖 形 包 含 關 係 的 判 斷 包 含 了 兩 項 基 本 知 識 能 力 的 運 用 -(1)圖 形 的 定 義、性 質 和(2)簡 易 邏 輯 關 係 的 推 理 。 因 此 , 圖 形 的 定 義 與 性 質 應 為 該 活 動 的 重 要 先 備 知 識 , 故 在 實 施 此 活 動 之 前 , 教 師 應 先 給 予 學 生 有 充 分 認 識 與 討 論 的 機 會 。 ( 二 ) 針 對 本 活 動 的 教 學 目 標 是 為 「 包 含 關 係 的 判 斷 」 而 論 , 發 現 學 生 可 非 形 式 地 推 論 與 理 解 「 正 方 形 、 長 方 形 、 菱 形 均 包 含 於 平 行 四 邊 形 中 」,然 而,對 於 其 它 的 包 含 關 係 卻 無 法 在 活 動 歷 程 中 被 明 確 地 發 覺 或 判 斷 。 因 此 , 教 師 應 在 學 生 所 設 計 的 性 質 標 籤 情 境 下 , 更 敏 銳 地 察 覺 出 可 啟 發 的 包 含 關 係 概 念 , 並 在 適 當 時 機 提 問 , 促 進 小 組 討 論 與 發 現 。 以 下 兩 點 說 明 了 在 此 活 動 中 , 執 行 教 師 應 可 把 握 住 機 會 , 進 一 步 引 導 「 正 方 形 包 含 於 長 方 形 」、「 正 方 形 包 含 於 菱 形 」 的 概 念 : 1.在 原 案 六 中 , 發 現 小 組成 員 有 「 長 方 形 的 邊 是 一 長 一 短 」 的 錯 誤 迷 思 , 教 師 除 了 須 給 予 長 方 形 的 定 義 釐 清 外 , 同 時 可 在 此 輪 結 束 後 , 馬 上 給 予 小 組 討 論 「 正 方 形 、 長 方 形 包 含 關 係 」 的 學 習 機 會 。 2.在 第 三 輪 莊 主 所 設 定 的性 質 標 籤 為 正 方 形 、 菱 形 與 非 長 方 形 的 情 境 中 , 執 行 教 師 應 針 對 學 生 有 人 將 正 方 形 的 形 狀 卡 放 置 A 區 與 F 區( 如 圖 4-3),給 予 學 生 進 一 步 探 究A 區 與 F 區 在 此 情 境 下 的 意 義 , 並 引 導 出 「 正 方 形 包 含 於 菱 形 」 的 辨 證 。 ( 三 ) 對 於 「 長 方 形 與 菱 形 共 同 會 包 含 到 的 圖 形 是 正 方 形 」 的 概 念 , 在 此 活 動 中 並 沒 有 機 會 被 探 究 到 , 因 此 , 為 使 四 邊 形 包 含 關 係 討 論 的 完 整 , 執 行 教 師 不 妨 視 國 中 學 生 的 程 度 或 年 級 , 刻 意 安 排 性 質 標 籤 為 正 方 形 、 長 方 形 與 菱 形 的 情 境 ( 如 圖 5-1),讓 學 生 不 僅 思 考 不 同形 狀 卡 的 放 置 位 置 , 並 察 覺 辨 證 出 : 正 方 形 的 形 狀 卡 位 置 可 提 升 至 C 區、長 方 形 的 形 狀 卡 位 置 可 提 升 至A 區、菱 形 的 形 狀 卡 位 置 可 提 升 至 B 區,且 引 導 至「長 方 形 與 菱 形 共 同 會 包 含 到 的 圖 形 是 正 方 形 」 的 推 論 與 理 解 。 正方形 長方形 菱形 C A B 圖 5-1

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參考 資料

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投 稿 日 期 : 民 國 93 年 12 月 6 日

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Creative Teaching “Catching the Quadrilaterals”

Reasoning on Inclusion Relation

Min-Hua Ho

Chia-Yi County Concordia Middle School

Abstract

The major focus of the teaching activity is, through the model of conducting games, to make the students in junior high school able to analyze the characteristics and quality of geometric shapes with the use of mathematical argument, reasoning and skills of communication, in order to develop the learning of the inclusion relation of quadrilaterals. The notion of the design is based on the five sequential phases of learning by van Hiele, which is also the criteria of conducting the teaching. The researcher finds that with the analysis of the process of activities, the conduction of the games assist junior one students in clearing the misunderstanding of the different definitions, characteristics and qualities of quadrilaterals. Furthermore, it actively constructs and recognizes the notions of “parallelograms include squars, rectangles and rhombuses” . In the end, the researcher proposes the adoptable organic solution to “rectangles include squars” , “rhombuses include squars” and “squars are the overlapping of rectangles and rhombuses” during the process of activities in the suggestion.

Key words:five sequential phases of learning by van Hiele ven diagram

數據

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參考文獻

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