三角形三個最大值問題的迴響

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三角形三個最大值問題的迴響

李政豐

1

* 朱啟台

2

陳昭地

2 1國 立 竹 南 高 級 中 學 2國 立 臺 灣 師 範 大 學 數學 系

壹、前言

在 民 國 103 年 2 月 26 日 ,陳 昭 地 教 授 在 國 立 台 灣 師 範 大 學 科 學 教 育 中 心 五 樓 演 講 廳 , 發 表 一 個 演 講 『 從 高 等 數 學 的 觀 點 探 究 初 等 數 學 的 一 些 問 題 』,會 中 以 高 等 數 學 的 觀 點,探 究 了 三 個 初 等 數 學 的 問 題: (1) 三 角形 上 或 其 內部 一 點 到 三角 形 三 邊 所 在 直 線 距 離 和 的 最 小 值 。 (2) 給 定一 個 銳 角 三角 形 , 求 三邊 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長 。 (3) 最 大內 角 小 於 或等 於 120 度 的 三角 形 上 及 其 內 部 一 點 到 三 頂 點 的 最 小 距 離 和 。 對 這 三 個 問 題 , 導 出 以ABC的 三 個 對 邊 長a,b,c 表 出三 個 最 小 值的 計 算 公 式: (1) 平 面 上 任 一 點 到 三 角 形 三 邊 所 在 直 線 的 距 離 和 之 最 小 值 , 發 生 在 頂 點 到 最 大 邊 上 的 高,不 妨 設a b c  ,則 它 的 最 小 值 計 算 公 式 : 2 s s a s b s c( - )( - )( - ) c , 其 中 2 a b c s   ,(a b c  )。 *為本 文 通 訊 作 者 (2) 銳 角 三 角 形ABC, 其 三 邊 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長,發 生 在

ABC

的 垂 足 三 角 形 , 此 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長 公 式 : ( )( - )( - )( - ) 2 a b c a b c a c b b c a abc      這 個 公 式 對 於 銳 角 三 角 形 才 會 成 立 。 (3) P 是 最 大 內 角 不超 過 120 度 的ABC 邊 上 或 其 內 部 一 點,當 P 到 三 頂 點 有 最 小 距 離 和 的 時 候 ,P 稱 為等 角 點 或 費 馬 點 , 其 最 小 距 離 和 公 式 : 2 2 2 1 2 ( ) 4 3 2 abc   , 其 中 = s s a s b s c( - )( - )( - )  , 2 a b c s   。 這 個 公 式 對 最 大 內 角 不 超 過 120 度 的 三 角 形 均 成 立 。 當 時 也 在 演 講 資 料 中 , 提 出 了 以 上 三 個 最 大 值 的 問 題 。 本 文 的 重 點 , 在 討 論 下 面 三 角 形 三 個 最 大 值 問 題 的 解 答 : (一) 三角 形 邊 上或 內 部 一 點 P 到 三 邊 所 在 直 線 的 距 離 和 有 最 大 值 時 ,P 點 發 生 在 最 短 邊 對 應 的 頂 點 , 最 大 值 為 最 短 邊 上 高 的 長 度 。 (二) 給定 一 個 三角 形,三 邊內 接 三 角 形的 最 大 周 長 發 生 在 本 身 周 長(a+b+c)。

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(三) 三 角形 邊 上 或 內部 一 點 P 到 三頂 點 的 最 大 距 離 和 , 發 生 在 較 長 兩 邊 的 交 點 , 其 值 為 較 長 兩 邊 長 之 和 。 其 中(一)的 解 法與(1)類 似 ,用 面 積 證 法,(二)比 較 容 易只 用 到 三 角不 等 式,(三) 的 証 明 相 當 精 巧 與 高 難 度 , 值 得 稱 為 一 個 有 用 的 定 理 。

貳、本文

一、三角形邊上或內部一點

P 到三

邊 所 在 直 線 的 距 離 和 有 最 大 值

時 ,

P 點 發 生 在 最 短 邊 對 應 的

頂 點 , 最 大 值 為 最 短 邊 上 高 的

長度。

ABC  中 , 的 對 邊A BC a , 的 對BAC b ,C的 對 邊 AB c 。 若 BC a 是 最 小 的 邊 ,AH 是 最 小 邊 上 的 高,P 是ABC的 內 部 或 邊 界 上 的 任 一 點。假 設ABACBC,亦 即c b a  ,則 三 角 形 的 形 狀 可 分 三 種 : 銳 角 三 角 形 如 圖 1-1、直 角 三 角 形如 圖 1-2、鈍 角 三 角 形 如 圖1-3。 圖 1-1 圖 1-2 圖 1-3 當 P 是 ABC的 內 部 或 邊 界 上 的 一 點 , 如 上 圖 。 PAB  的 面 積 +PBC的 面 積 +PAC的 面 積 =ABC的 面 積 1 1 1 2AB PD 2BC PE 2AC PF = 1 2BC AH 。 但 是 , 因 為BC是 最 小 的 邊 , 所 以 1 2BC AH = 1 1 1 2AB PD 2BC PE 2AC PF  1 1 1 2BC PD 2BC PE 2BC PF

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得 1 2BC AH  1 1 1 2BC PD 2BC PE 2BC PF 兩 邊 除 掉1 2BC, 得 到AH  (PD PE PF  ) , 由

面 積 的 海 龍 公 式 : (PD PE PF  ) AH =2 s s a s b s c( - )( - )( - ) a , 2 a b c s   ,a b c  。 等 號 成 立 之 充 要 條 件 為 P 取 在 A 點 , 最 大 值 為AH 。 亦 即 : 三 角 形 邊 上 或 內 部 一 點 , 到 三 角 形 三 邊 所 在 直 線 的 距 離 和 有 最 大 值 時 , 其 P 點 發 生 在 最 短 邊 所 對 的 頂 點 , 最 大 值 為 最 短 邊 上 高 的 長 度 。 於 是 根 據 以 上 性 質 , 合 併 最 小 值 的 定 理 , 我 們 也 可 以 得 到 如 下 大 家 都 熟 悉 的 推 論 : 推 論 1 正 三 角 形 邊 上 及 其 內 部 的 任 一 點 到 三 邊 的 距 離 和 為 常 數 , 即 為 任 一 個 高 。

二 、 三 角 形 三 邊 內 接 三 角 形 的 最 大

周長為原三角形的周長(

a+b+c)

如 圖 2 , DEF 是 ABC的 內 接 三 角 形 , 由 三 角 不 等 式 : DC+CEDEEA+AFEFFB+BD FD 則 DC+CE+EA+AF+FB+BD DE+EF+FD ( ) BC CA AB     a b c DE EF FD  等 號 成 立 之 充 要 條 件 為:D,E,F 恰 是 A,B,C 亦 即 ABC的 內 接 DEF的 周 長 最 大 值 為 原ABC的 周 長(a+b+c) 圖 2

三 、 三 角 形 邊 上 或 內 部 一 點 到 三 頂

點 的 最 大 距 離 和 為 較 大 兩 邊 之

如 圖3-1,假 設 ABACBC, 亦 即 c b a  ,P 是ABC的 內 部 或 邊 界 上 的 任 一 點 。 首 先 我 們 用 geogebra 當 工 具 , 先 做PA PB PC  的 動 態 模 擬 , 確 定 猜 測 無 誤,然 後 才 開 始 設 想 要 如 何 證 明 它,這 裡 我 們 用 到 很 巧 妙 的 方 法 做 長 度 轉 換:然 後 做 成 以 下 的 處 理 步 驟 。 圖 3-1

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步 驟 1:當 P 在ABC的 邊 上,設a b c  , 如 圖 3-2-1,P AB , PA PB PC  =c+PC  c b 如 圖 3-2-2,P BC , PA PB PC  =a+PA

 

c a

 

c b

如 圖 3-2-3,P AC , PA PB PC  =b+PB

 

c b

圖 3-2-1 圖 3-2-2 圖 3-2-3 步 驟 2: 當 P 在ABC的 內 部 ; 如 圖3-3, 做 一 個 以 B、C 為 焦 點 且 通 過 P 點 的 橢 圓,交AB 於 K,交 AC於M, KPM 弧是 橢 圓 的一 部 分 且 是凹 口 向 下 的 曲 線 , 且 P 在 AKM 的 內 部 , 由 橢 圓 的 性 質 : 同 個 橢 圓 上 任 一 點 到 兩 焦 點 的 距 離 和 都 相 等,PB PC =MB MC =KB KC 。 圖 3-3 步 驟 3: 如 圖 3-4, APK  + APM + KPM =360 因KPM<180, 則 APK

+

APM >180。因 此APK 與APM 當 中,至 少 有 一 個 是 鈍 角 (也 可 能 兩 個 都 是 鈍 角 )。否 則,若 兩 個 都 是 銳 角 ; 則 APK

+

APM <180 會 與 <180 KPM  產 生 矛 盾 。

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圖 3-4 (1) 若 APK 是 鈍 角,KA PA ,由 橢 圓 的 性 質KB KC =PB PC , 得KA KB KC+   PA PB PC  , 即 AB KC  PA PB PC  。 AKC  中 AC BC ,AKC   B A, 故 AC KC , 得 到 AB AC

AB KC

PA PB PC  。 (2) 若APM 是 鈍 角 ,MA PA , 由 橢 圓 的 性 質MB MC =PB PC , 得MA MB MC 

PA PB PC  , 即 AC MB

PA PB PC  。 AMB  中AMB   C A, 故 AB MB , 得 到 AB AC

AC MB

PA PB PC  。 綜 合 步 驟 1,2,3 知 AB AC

PA PB PC  成 立 。 當 等 號 成 立 時 ,P 在 A 點 上 , 此 時 PA PB PC  有 最 大 值 AB AC , 且 P=A=M=K。 於 是 我 們 可 以 得 到 以 下 的 定 理 : 定 理 1 ABC , 假 設 ABAC BC , 亦 即 c b a  ,P 是 三 角 形ABC的 內 部 或 邊 界 上 的 任 一 點 , 則 + + PA PB PC

(c+b) , 當 等 號 成 立 時 ,P 在 A 點 上 。 為 了 完 整 的 討 論 各 類 三 角 形 邊 上 或 內 部 一 點 到 三 頂 點 距 離 和 的 最 小 值 , 我 們 還 需 要 進 一 歩 說 明 : 1. 最 大 內 角 大 於 或 等 於 120 度 的 鈍角 三 角 形 邊 上 或 內 部 一 點 到 三 頂 點 距 離 和 的 最 小 值 為 較 短 兩 邊 長 之 和 。 解 說 : 如 圖 4: 圖 4

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假 設 ABAC BC , 即c b a  ,P 是 三 角 形 ABC的 內 部 或 邊 界 上 的 任 一 點 , 當ACB大 於 或 等 於 120 度 時, 將BC 向 右 延 長 到A,使CA CA,由 =180 ACB ACA    , 令ACAmm 60,以 C 為 中 心,將 P 右 旋m 到P,由 S.A.S 全 等,APC A P C  , PCP  是 頂 角 m的 等 腰 三 角 形 , 當 120 ACB   時,頂 角m 60,故 底 角 60 CPPCP P     ,知PC PP PA PB PC   P A PB PP   PA PB  CB CA =CB CA=a+b 成 立 。 亦 即 : 最 大 內 角 大 於 或 等 於 120 度 的 三 角 形 的 邊 上 或 內 部 一 點 到 三 頂 點 距 離 和 的 最 小 值 為 較 短 兩 邊 長 之 和 。 於 是 我 們 可 以 得 到 以 下 的 定 理 : 定 理 2 ABC,假 設 ABAC BC ,亦 即 c b a  , C 120 ,P 是ABC的 內 部 或 邊 界 上 的 一 點 , 則 PA PB PC 

(a+b) , 當 等 號 成 立 時 ,P 在 C 點 上 。 2. 當 最 大 內 角ACB不 超 過 120 度 ,如 圖 5 , 假 設 ABAC BC , 亦 即 c b a  ,P 是 三角 形ABC的 內 部 或 邊 界 上 的 任 一 點,F 是 三 角 形ABC的 邊 上 或 內 部 的 費 馬 點( 等 角 點 ) 。 則 EC BD =FA FB FC  。(請參 考 文 獻 : 三 角 形 三 個 極 小 值 問 題 的 探 討)。由 海 龍 公 式   s s a s b s c( - )( - )( - ) , 其 中 2 a b c s   。 根 據 餘 弦 定 理 , 2 2 2 2 cos(60 ) BDabab C,由 和 角 公 式 : 2 2 2 2 2 1 3 2 ( cos sin ) 2 2 cos 3 sin ...(1) BD a b ab C C a b ab C ab C           圖 5

(7)

2 2- 2 cos 2 a b c C ab   , 面 積 公 式 1 sin 2ab C     sin C 2 ab   , 將 sinC, cosC 代 入(1)式 2 1 2 2 2 ( ) 2 3 2 BDabc   , 最 短 距 離 和 為 1( 2 2 2) 2 3 2 BDabc    = 1 2( 2 2 2) 8 3 4 abc    =1 2 ( 2 2 2) 4 3 2  abc    當 ABC 三 邊 長 固 定 為 a,b,ca b c  , 且 最 大 內 角 ACB不 超 過 120 度 時 , 我 們 稱 2 2 2 1 2 ( ) 4 3 2  abc    為ABC 相 應 的 費 馬 數 。 在 BCDBD  BC CD = BC CA = a+b。 此 時 ; BD=1 2 ( 2 2 2) 4 3 2 abc    a+b。 或 由 餘 弦 定 理 : 2 2 2 2 cos(60 ) BDabab C 2 2 2 abab=(a b )2,亦 即 BD a b  成 立 , 僅 當C=120時 ,BD a b= 綜 合 上 面 的 說 明 , 於 是 我 們 可 得 到 下 面 的 推 論 : 推 論 2 ABC中,ABAC BC ,亦 即c b a  ,當 最 大 內 角ACB不 超 過120 度,P 是 三 角 形ABC的 內 部 或 邊 界 上 的 任 一 點 , 則 有 以 下 的 不 等 式 c + b PA PB PC   1 2 ( 2 2 2) 4 3 2 abc   , 而 且 費 馬 數 2 2 2 1 2 ( ) 4 3 2  abc    a+b 3. 當 C 120時 , 如 圖 5-1。 根 據 餘 弦 定 理 : 2 BD =a2b22abcos(36060C) -( ) =a2b22abcos(60C) = 1( 2 2 2) 2 3 2 abc    ( 請 參 考(1)式 的說 明 ) 但 是 2 BD =a2b22abcos(360-(60C)  2 2 2 a  +b aba b2 故 2 BD =1( 2 2 2) 2 3 2 abc   a b 2 ( ) 亦 即BD=1 2 ( 2 2 2) 4 3 2 abc     a+b( )。 或 由 三 角 不 等 式 BDBC CD+ , 亦 即 2 2 2 1 2 ( ) 4 3 2 abc     a+b( ) 綜 合 上 面 的 說 明 , 於 是 我 們 可 得 到 下 面 的 推 論 :

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圖 5 推 論 3 ABCABAC BC , 亦 即 c b a  ,當 最 大 內 角ACB 120 度 時 ,P 是 三 角 形ABC 的 內 部 或 邊 界 上 的 任 一 點 , 則 有 以 下 的 不 等 式 c + b  PA PB PC  a+b, 而 且 a+b 1 2 ( 2 2 2) 4 3 2  abc    4. 對 於 直 角 或 鈍 角 三 角 形 邊 上 的 內 接 三 角 形 的 周 長 , 其 最 大 值 仍 是 原 直 角 或 鈍 角 三 角 形 的 周 長 , 最 小 值 是 最 大 邊 上 高 的 兩 倍 。 證 明 如 下 : 如 圖 6,ABAC BC , 亦 即c b a  , C 90D 是BC 一 點 ,D 關 於AC的 對 稱 點 為DD 關 於 AB的 對 稱 點 為 D, 連 接 線 段 D D , 則D D 與 ABAC各 交 於 一 點,設DEF 是ABC邊 上 的 內 接 三 角 形 。 圖 6

(9)

如 圖 七 所 示,將 E 點 移 到D D 與 AC 的 交 點 , 將 F 點 移 到 D D 與 AB的 交 點 , 則DED E ,DFD F 。 此 時 , D D 即 等 於DEF 的 周 長。AD D 是 頂 角 固 定 是2 BAC 的 等 腰 三 角 形,當 腰 長 ADADAD 愈 短 , 則 底 邊 D D 就 愈 短 。 圖 7 如 圖 8,D 在 鈍角ABC的 底 邊BC 上 移 動,當 D = C 時,AD最 短,此 時DDC三 點 重 合 。 圖 8 如 圖 9, 再 把 E 點 移 動 到 C, 變 成 四 點 重 合 , 也 將 F 點移 到D D 與AB的 交 點 。此 時 ,D D 最 短 , 亦 即DEF 的 周 長 最 短 , 此 時DEF 退 化 成 線 段 FC的 兩 倍 。 圖 9 於 是 我 們 可 得 到 下 面 的 推 論 : 推 論 4: 直 角 或 鈍 角 三 角 形 邊 上 內 接 三 角 形 周 長 的 最 大 值 是 原 三 角 形 的 周 長 , 最 小 值 是 最 大 邊 上 高 的 兩 倍 , 此 時DEF 退 化 成 線 段 FC 的 兩 倍 。 當 a BC 、 b AC 、 cAB , C 90   , 則 不 妨 設a b c  , 則 它 的 最 小 值 計 算 公 式 為 4 s s a s b s c( - )( - )( - ) c , 其 中 2 a b c s   。 如 圖 10, 若PQR是 銳 角ABC邊 上 的 內 接 三 角 形 , 將 P 移 到BC 上 高ha

(10)

圖10 的 垂 足,Q 移 到 AC上 高hb的 垂 足,R 移 到AB上 高hc的 垂 足 ; 此 時 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長 = P P  = 2AP sin A = 2AP sin A = 2h sina A。 同 理 可 得 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長 =2h sinb B=2h sinc C 於 是 我 們 可 得 到 下 面 的 推 論 : 推 論 5: 銳 角ABCBC 上 高 為haAC上 高 為hbAB上 高 為hc,則 有 以 下 結 果 : a

h sin A =h sin Bb =h sin Cc 。

令 ABC 面 積 為  ,  = 1 2a ha 、 = 1 2bc sin A  2 a h a   、 sin A 2 bc   代 入 上 式 , 可 得 更 一 般 性 的 結 果 : 對 任 意 ABCh sin Aa = h sin Bb =

c h sin C = 2 4 abc  。

參、結語

經 由 嚴 密 精 巧 的 解 題 技 術 , 也 借 助 Geogebra 的 繪 圖及 運 算 能 力,我們 得 以證 明 費 馬 點(等 角 點 )的 相 關 性 質 , 也 解 開 學 生 對 於 費 馬 數 的 疑 惑 。 一 個 看 似 簡 單 的 問 題 : 三 角 形 三 個 最 大 值 、 三 個 最 小 值 的 問 題 , 這 是 一 個 很 通 俗 也 很 有 趣 的 教 材 , 從 國 小 、 國 中 到 高 中 , 相 信 有 很 多 的 學 生 與 老 師 都 曾 經 想 過 , 然 而 我 們 卻 沒 想 到 要 做 完 整 證 明 有 這 麼 高 的 技 巧 。 也 很 欣 慰 , 我 們 能 將 它 詳 細 的 證 明 與 圖 示 , 只 要 學 過 初 等 數 學 的 基 礎 就 即 可 完 成 , 這 是 一 個 很 有 意 義 的 科 普 數 學 學 習 教 材 。

參考文獻

陳 昭 地(2014)。 從 高 等 數 學 的 觀 點 探 究 初 等 數 學 的 一 些 問 題 。 台 北 市 : 國 立 台 灣 師 範 大 學 數 學 系 、 國 立 台 灣 師 範 大 學 科 學 教 育 中 心 。(2014.02.26 演 講 手 冊)

(11)

李 政 豐 、 傅 淑 婷 、 陳 昭 地(2014)。 三 角 形 三 個 極 小 值 問 題 的 探 討 , 科 學 教 育 月 刊 待 刊 中 。 台 北 市 : 國 立 台 灣 師 範 大 學 理 學 院 科 學 教 育 中 心 發 行 。 黃 武 雄, 高 中 數 學 實 驗 教 材 編 輯 小 組 (1984)。 第 五 章 : 用 各 種 方 法 處 理 平 面 幾 何 。 (pp.288-295), 高 中 數 學 實 驗 教 材 第 三 冊 自 然 組 修 訂 本 。 台 北 市 : 數 理 出 版 公 司 。 傅 淑 婷 、 曹 博 盛 、 陳 昭 地(2013)。 處 處 多 數 是 等 腰 三 角 形 。 國 民 中 學 數 學 教 材 原 型C 冊 第 2-3 單 元 主 題。 新 北 市 : 國 家 教 育 研 究 院 。 傅 淑 婷 、 曹 博 盛 、 陳 昭 地(2013)。 三 角 形 的 三 心 。 國 民 中 學 數 學 教 材 原 型 C 冊 第 1-5 單 元 主題(陳 昭 地 主編)。 新 北 市 : 國 家 教 育 研 究 院 。

A.S.Posamentier & J. Stepelman(1986). Unit 43 : The Equiangular point(pp.284-285) In Posamentier S.A. & Stepelman J. (Eds.) Teaching Secondary School Mathematics(2nd Ed.), Columbus OH, Merrill. A.S.Posamentier & J. Stepelman(1986).

Unit 44 : The minimun Distance Point of a Triangle (pp.285-286) In Posamentier S.A. & Stepelman J. (Eds.) Teaching Secondary School Mathematics(2nd Ed.), Columbus OH,Merrill.

數據

圖 3-4  (1)  若 APK 是 鈍 角, KA PA ,由 橢 圓 的 性 質 KB KC = PB PC ,   得 KA KB KC+  PA PB PC ,   即 AB KC  PA PB PC 。   AKC 中 AC BC ,  AKC    B A , 故 AC KC , 得 到   AB AC  AB KC  PA PB PC 。   (2)  若  APM 是 鈍 角 , MA PA , 由 橢 圓 的 性 質 MB MC

圖 3-4

(1) 若 APK 是 鈍 角, KA PA ,由 橢 圓 的 性 質 KB KC = PB PC , 得 KA KB KC+  PA PB PC , 即 AB KC  PA PB PC 。 AKC 中 AC BC ,  AKC    B A , 故 AC KC , 得 到 AB AC  AB KC  PA PB PC 。 (2) 若  APM 是 鈍 角 , MA PA , 由 橢 圓 的 性 質 MB MC p.5
圖 5 推 論 3   ABC , AB  AC BC , 亦 即 c b a  ,當 最 大 內 角  ACB  120 度 時 , P 是 三 角 形  ABC 的 內 部 或 邊 界 上 的 任 一 點 , 則 有 以 下 的 不 等 式 c + b  PA PB PC  a+b, 而 且 a+b  1 2 ( 2 2 2 ) 4 3 2  a  b  c     4

圖 5

推 論 3  ABC , AB  AC BC , 亦 即 c b a  ,當 最 大 內 角  ACB  120 度 時 , P 是 三 角 形  ABC 的 內 部 或 邊 界 上 的 任 一 點 , 則 有 以 下 的 不 等 式 c + b  PA PB PC  a+b, 而 且 a+b  1 2 ( 2 2 2 ) 4 3 2  a  b  c     4 p.8
圖 10  的 垂 足,Q 移 到 AC 上 高 h b 的 垂 足,R 移 到 AB 上 高 h c 的 垂 足 ; 此 時 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長 = P P   = 2 AP sin A = 2 AP sin A = 2 h sin a  A 。 同 理 可 得 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長 = 2 h sin b  B = 2 h sinc C 於 是 我 們 可 得 到 下 面 的 推 論 :  推 論 5: 銳 角  ABC , BC 上 高 為

圖 10

的 垂 足,Q 移 到 AC 上 高 h b 的 垂 足,R 移 到 AB 上 高 h c 的 垂 足 ; 此 時 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長 = P P   = 2 AP sin A = 2 AP sin A = 2 h sin a  A 。 同 理 可 得 內 接 三 角 形 的 最 短 周 長 = 2 h sin b  B = 2 h sinc C 於 是 我 們 可 得 到 下 面 的 推 論 : 推 論 5: 銳 角  ABC , BC 上 高 為 p.10

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