國立新竹教育大學 一○二學年 北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 下學期 期中 考題 2014年5月25日 考試時間:計三小時(9:30 – 12:30) 試題若有疑問, 請於考試開始後的三十分鐘內, 舉手提交 「提問單」 詢問;之後不再接受詢 問。 桌上的 A4白紙為答案紙與計算紙, 不夠使用時可以舉手要求增加。 考試結束請將答 案紙依照題號排序,而提問單放在最後面,再由監考人員裝訂;計算紙不用繳回。 不得使用電子計算器,答案限用黑色或藍色筆書寫,僅作圖可使用鉛筆。 每題七分,答題的“推演過程”為評分的依據。 1. 令a, b, c為正整數。 試證:不等式 (x−y)a(x−z)b(y−z)c ≥ 0, 對所有的實數x, y, z成立之充要條件為a, b, c皆為偶數。 2. 已知∆ABC 為等腰三角形其中AC = BC 且∠C = 120◦. 點D與E在線段AB 上使得AD = DE = EB. 試求∠CDE. 3. 令ℜ+表示所有正實數的所成集合。 試求所有函數f : ℜ+ → ℜ+,使得對任意 x, y ∈ ℜ+, y2f (x) = f (x y)成立。 4. 試求7355 的末四位數字。 5. 有12 支球隊進行足球比賽, 每兩對都比賽一場, 勝者得3 分, 敗者得0 分, 平手各 得1分。 那麼, 有一支球隊最少要得多少分才能保證最多有 6支球隊的得分不少於 該隊的得分?
國立新竹教育大學 一○二學年 北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 下學期 期中 考題 參考解答 2014年5月25日 1. 令a, b, c為正整數。 試證:不等式 (x−y)a(x−z)b(y−z)c ≥ 0, 對所有的實數x, y, z成立之充要條件為a, b, c皆為偶數。 解: 如果a, b, c是正偶數則不等式成立。 另一方面,假設不等式成立對所有的實數x, y, z. 選取z < x < y,將原不等式除以(x− z)b(y− z)c,得(x− y)a≥ 0. 由此得a為偶數(因(x− y) < 0). 同理,選取y < z < x,得c為偶數。 最後, 選取 x < y < z,將原不等式除以(x− y)a(y− z)c,得(x− z)b ≥ 0. 由此得c為偶數(因(x− z) < 0).
2. 已知∆ABC 為等腰三角形其中AC = BC 且∠C = 120◦. 點D與E在線段AB 上使得AD = DE = EB. 試求∠CDE.
解: 答∠CDE = 60◦.
由條件知: ∠A = ∠B = 30◦. 由C 作∆ABC 之高,令垂足為 H. 以邊AB為 對稱軸作三角形∆AC′B,則∆ABC u ∆ABC′. (如下圖所示)
因∠CAC′ = 60◦ 且AC = AC′. 故 ∆ACC′ 為等腰三角形且 AH 為其中線,
再由已知得: AD : DH = 2 : 1.
由上述得: CD平分∠ACC′. 所以,∠DCH = 30◦且∠DCE = 60◦. 又因∆CDE 為等腰三角形,∠CDE = ∠CED = 60◦.
3. 令ℜ+表示所有正實數的所成集合。 試求所有函數f : ℜ+ → ℜ+,使得對任意 x, y ∈ ℜ+, y2f (x) = f (x y)成立。 解: 答: f (x) = ax,其中a∈ ℜ+. 取x = 1,則 y2f (1) = f (1 y). 將z = y1 代入上式得 f (z) = f (1) z2 . 再將f (z)代入題設,得f (1)可以為任意正實數。
4. 試求7355 的末四位數字。 解: 答1943.
7355 = 7× 49177 = 7× 49 × (50 − 1)2×88 ≡ 343 − 8400 ≡ −8057 ≡ 1943( mod 104
5. 有12 支球隊進行足球比賽, 每兩對都比賽一場, 勝者得3 分, 敗者得0 分, 平手各 得1分。 那麼, 有一支球隊最少要得多少分才能保證最多有 6支球隊的得分不少於 該隊的得分? 解: 假設有7 支球隊的得分與該隊得分相同, 那麼, 這 8支球隊每兩對比賽一場的得分 最多為3分。 所以,他們的得分最多為3(82)= 84分,每隊的得分不能超過[848 ] = 10 分,故每隊最多只能勝3場。 現將12支球隊分成兩組,一組為8支得分相同的球隊,另一組為另外4支球隊。 同在一組的8支球隊依次排成一圈,其中每對勝他後面的3支球隊,並與第四支球隊 平手,且敗於另3支球隊。 那麼,這8支球隊的每隊得分最多為(3×3+1)+3×4 = 22分(即同在一組的8支球隊都勝同組的3隊,與一隊平手,敗於3隊;勝另一組的 4隊)。 因此, 當8 支球隊得分相同 (有7支球隊的得分不少於該隊) 時, 每隊最多可得 22分,故當題設成立時,該隊的得分不少於23分。 底下證明:若有1支球隊至少得23分,那麼,最多有6支球隊的得分不少於該隊。 否則,設有7支球隊得分不少於23分,那麼,這8支球隊的得分不少於8×23 = 184 分。 另一方面,將12支球隊分成兩組,一組8支球隊,另一組4支球隊。 同在一組的 8支球隊的總分最多為3(82)+ 3× 4 × 8 = 180分。 但180 < 184矛盾。
