1-4-3多項式-多項函數

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(1)4-3 多項式-多項函數【定義】多項函數：變數 y 是變數 x 的函數，且 y 可以用 x 的多項式表示，即 y = f ( x) ，稱多項函數。線性函數：形如 f ( x) = ax + b 的多項函數，稱線性函數，其圖形為一直線。其中 a 為斜率，b 為 y 軸截距。零次函數： f ( x ) = c, c ≠ 0 。零函數： f ( x) = 0 。函數值： f (a) 稱為 f (x) 在 x = a 的函數值。函數的圖形： y = f (x) 的圖形是由點 ( x, f ( x)) 所形成的圖形。即 Γ = {( x, f ( x)) | x ∈ A} 。嚴格遞增函數：若 x1 < x2 ，則 f ( x1 ) < f ( x2 ) 。嚴格遞減函數：若 x1 < x2 ，則 f ( x1 ) > f ( x2 ) 。【性質】二次函數：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ，是一個二次函數，圖形為一拋物線。 b b 2 − 4ac b b 2 − 4ac 1. 頂點： f ( x) = ax 2 + bx + c = a( x + ) 2 − ，頂點是 (− ,− )。 2a 4a 2a 4a b b 2 − 4ac ，對稱軸是直線 2. 對稱軸： f ( x) = ax 2 + bx + c = a( x + ) 2 − 2a 4a b x+ = 0。 2a 3. 與 y 軸交點： (0, c) 。二次函數的極值：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ，. b b 2 − 4ac ,− )； 2a 4a b b 2 − 4ac 2. a < 0 時開口向下，最高點為 (− ,− )。 2a 4a 註：有範圍求極值時，極值只可能產生在頂點或端點。二次函數與 x 軸交點數(實根數)：函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ， 1. 若 b 2 − 4ac > 0 ，二次函數與 x 軸交於相異兩點，表示有兩個相異實根； 2. 若 b 2 − 4ac = 0 ，二次函數與 x 軸交於一點，表示有兩相等實根(重根)； 3. 若 b 2 − 4ac < 0 ，二次函數與 x 軸無交點，表示沒有實根。二次函數恆正或恆負的判別： 1. a > 0 時開口向上，最低點為 (−. 32.

(2) 函數 f ( x) = ax 2 + bx + c, a, b, c ∈ R, a ≠ 0 ， 1. 1. a > 0 時，若 b 2 − 4ac < 0 ，表示開口向上且與 x 軸無交點，則二次函數之值恆正； 2. 2. a < 0 時，若 b 2 − 4ac < 0 ，表示開口向下且與 x 軸無交點，則二次函數之值恆負。 n 次函數： n 次函數的圖形與 x 軸至多有 n 個交點。【問題】 1. 試問二次函數的頂點、對稱軸、開口大小由誰決定？ 2. 試問 a, b, c, D = b 2 − 4ac 分別對圖形有何影響？ 3. 試問 y = a( x − h) 2 + k 中， a, b, c, d 分別對圖形的平移、旋轉、伸縮、對稱之含意為何？【方法】求極值常用的方法有：配方法、用算幾不等式、用科西不等式、用定義域的範圍、用值域的範圍、用三角函數的範圍、用指對數的範圍。. 33.

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