已知三角形三邊所在直線方程式之面積公式

(1)

之面積公式

阮瑞泰高雄市立新莊高級中學壹、前言在高中教材中有「已知三角形的三邊長的面積公式 J ' r 已知三角形三頂點的面積公式」等作法求三角形的面積，若條件為已知三角形三邊所在直線方程式，則常見的作法為先求三頂點，再利用「已知三角形三頂點的面積公式」來求面積，本文中利用高中所習的概念，討論直接利用三邊所在直線方程式的條件來求面積。

貳、「已知三角形三遍所在直線方程式之面積公式」的推論過程說明:

一、首先複習「已知三角形兩鄰邊向量的面積公式 J '與「已知三角形三項

點坐標之面積公式」。公式一: 已知平面上不平行的兩非零向量 o

=(0

,,

0

2 ) '

b =(b"b

2 )

,

則由 7與了所展開的叫面積為我 :l 之絕對值

說明:設_~OAB的面積為

_S'

則

S=÷|7||τ|

叫(如右固)

=去叮有

;7|2叫

_θ

=士心

~121τ1

2 _(I-cos

_2θ)

O

B

A

=tdi7|2

一

/bI

2 _-/

_{訂|前兩三}

_θ(7.

_了

_=7||τ|

_∞

₅₀₎

=去叫 1~121τ1

2 _一

_{(7τ)2 (將}

_7=(例)，

_b

₌

_(圳)代人)

(2)

=÷叫( a， 2 十 a/)(b]2 十 b/ 卜 (

alb]

+

a2 b2 )2

=÷叫(

a

,

2b/

一

l-2l-2l-2

=:1::| 之絕對值

若 a =

AB

=今(引 -X

_l'

_Y2-Y')

=(a

l '

a2)

,

b

=

AC

=今(呵呵

_'Y3

_{- Y}

_,)

=(肉

，

bJ'

代人

S

=~I~I

a

2 之絕對值，

21 b

j

b

2

1 lIX2-XI

Y2-Y

iI

=士

_I

L. I .-'L. ..-'11_之絕對值

L IX3-XI

Y3 - Y

iI

值

對

絕

之

九日月九 γ叫吭高

l-2

一一即可得已知三角形三點之面積公式(公式如下) 公式二

己知平面上不共線的三點 A柄

_'YI)

_，

B(亮

_'Y2)'

C(呵，只)

,

.IXI

YI

1

則必叫面積為

_il

_X2

Y2

11

之絕對值

X3 Y3

1

二、探討已知在

ABC

三邊所在直線方程式的三角形面積

(一)首先討論頂點

_A

₍₀

_,

₀₎的情形:

(3)

如上圖:此三直線分別交於 A'B'C 三點，由克拉碼公式得知

馴服(閃閃)，C閃閃…一

可山的面叫:1 日I

_之絕對值

其中

|lijl:j 一

ct:l

l:1|:::|

﹒分子，分母同乘

la

a

2

l

021

~II) ，

、 BJJ A 門，叫 jl Gia

--h 門'趴 3 月門向 /1 、、

4:1)2

|:1|::2|!::|

經運算後可得以下公式公式三:

已知三直線

LAB

:a1

x+b

ly=O '

LAC:

α

2

X

+

b

2y

=

0 '

L

Bc

:

到

x+b

3

y

=

c

3

(4)

MBC 的面積為 :1

L.

la

_l

laz

(二)討論一般的情形:

;:1:;|;3

叫之絕對值

bzl

I

a

3

b

311

al

bl

I

已知三直線 LAB: αIx+bIY=C

_I

'

LAC: αzX

+

bzY

=

_{Cz ' LBc :a}

3

x

+

b

3

y

=

C3

分… B'C三點呵呵式得知AHH)

利用平移的概念，將點 A 平移至原點 A' ，則得三直線

ICI bll

la

l

CII

Ic 司 b吋I I。司 _c

_，

_I

L 'AB : alx

+

bly

=

0 ' L 'AC : azx

+

bzY

=

0 ' L 'BC : a

3

x

+

b

3

y

=

c

3 一卅ι斗

-b

3 抖「4

,

,-

,

I

_{al bl}

I

' I

_{al bl}

I

laz bzl

(5)

你 -GlHI-bU)1:

lla吋 b.l

lao

b.l

可得 MBC 的面積為主

tlL

:ll

l l l Ll

l

I

a

,

b

,

lla2 b211 a3 b31

la2 b211a3

b311a

,

bll

值

對

絕

之

h 叫ah 勻

其中{(

1;iiftt

lal hi|G2h||G3h

h | } | G A | | c

b||G

Cl

l(C3laJJ|-G3|b |-h|C 1)2

|:叫 |G2hl| 角角 l

b

₂

11α

_{3 b}

3

11 a

l

b

,

1 |Gl hla2103hl

角色列 b311aj

b

_,

所以得必叫面積為

_:l

L.

la

,

la

2 即得以下公式四公式四:

已知

MBC 三邊所在的三直線

_{LAB: ajx+bly}

=

C

_{, '}

LAC:

a2x+b2y

=

C2 '

L

_Bc

:

科

x+b

₃

y

=

C3

a

_,

b

_,

c

_I

a

₂

b

2 C2

a

3

b

3

c

3

b

_,

_{lla2 b211a3}

b211a3 b311 a

_,

b

₃₁

之絕對值，

bll

為

積

面

的

C

岫

a

_,

b

_,

c

_,

a

₂

b

₂

c

₂

a

J

b

J C3 b，1I角色

lI

a

₃

b211a3 b311 a

_,

b

₃₁

之絕對值

bll

討論公式四中的特例:

_c

,

=

c

₂

₌

0 即為公式三

(6)

參、練習題

已知三直線 L

₁

:x+y=1 ， ι :x-y=l ' ι :x+2y=4 圍成一個 MBC' 則 MBC 的面積為何? 解法一:

Ix+v=l

求 MBC 的頂點坐標為f- J >~

(x

,

y)

=

(1

,

0)

IX-y=l

(…

j

l

三今 (x， y)=(2， 1)

X+Ly=

(叫 =4

J 三今 (X， y)

=

(一2， 3)

X+ y=l

1 °

1 利用公式二可得 MBC 的面積為 ~12

₂₁

1 11 之絕對值為 3

2

3

1

解法二: 利用公式四

可得岫C 的面積為 1:

Jl||::|l

後語:提供一種不同的作法供同學們參考比較，並戚謝楊朝凱老師的意見。