數學解題中「內和外」的選擇

許建銘

高雄市立龍華國民中學

一、前言：

在同樣大小的兩個圓盤上，分別盛著兩 塊正方形而且等高度的蛋糕，圖 1-1 是它們 的側視圖，但是 A 餐上的蛋糕大小卻只有 B 餐的一半， 你知道為什麼嗎？ 其實，這個問題的道理跟「瞎子摸象」 是 一 樣 的 ， 讓 我 們 看 看 它 們 的 俯 視 圖 (如 圖 1-2)，便知端倪了。原來 A 餐與 B 餐中的圓 盤雖然一樣大，但是兩個蛋糕與圓盤的關係 位置是「內外有別」的，如果透過它們的俯 視圖，就可清楚看出：其中一塊蛋糕好比是 圓盤的內接正方形，而另一塊蛋糕卻是圓盤 的外切正方形。 我對一個國一資優資源班上 15 名數理 較優的學生，設計一個簡單的測驗。我在一 道 傳 統 的 數 學 問 題 上 另 外 附 加 一 個 圖 (如 圖 1-3)，並把圖文打印成一人一份的測驗紙， 然後要每位學生在十分鐘內，只用算術解出 答案來。問題是：如下圖，某國中男女學生 共 3150 人，其中一年級男生比二年級男生多 100 人，二年級男生三年級男生多 50 人；一 年級女生比二年級女生多 100 人，但二、三 年級的女生人數相同，問一年級共有多少學 生？ 解(1)：

950

3

)

100

50

50

100

3150

(

−

−

−

−

÷

=

，

950

+

100

+

50

+

100

=

1200

A 餐 B 餐

圖 1-2

A 餐 B 餐

圖 1-1 一 二 三 (年級) 男生人數 一 二 三 (年級) 女生人數 圖 1-3 一 二 三 (年級) 男生人數 一 二 三 (年級) 女生人數 100 100 50 50 圖 1-4

解(2)： 1200 3 ) 100 100 50 100 100 3150 ( + + + + + ÷ = 測驗結束，有 10 個學生解出正確答案： 這其中有 7 人用解 (1)的方法， 3 人用解(2)的 方法。而 5 名沒有算出正確解的學生當中： 有 2 人尚未想出解決方法；有 2 人雖用解(1) 的方式求解，但計算錯誤；也有 1 人用解(2) 的方式求解，但同樣也是計算錯誤。 一個簡單而非正式的測驗，其結果可能 沒有多少意義和價值，但卻讓我引發以下感 想： 「解題」與「思考」原是密切相關的兩 件事，也可以說：善解題者應強於思考；善 解題且用功者，也理應成為數學學業之較高 成就者。然而看看時下不少「數學成績」不 錯的國中生，表面上似乎很會解題，然而卻 在一些「基本學力」的思考表現上，呈現「封 閉」、「捨近求遠」(如解(1))甚至「本末倒置」 的情形。當然做老師的應該不忘多給學生鼓 勵，對於以上兩種解法，記得要作「內外皆 美」的正面評價。不過我仍想提出看法：解 題訓練的形式與歷程，如果無法理性兼顧「思 考價值」的超然挑戰，學生的「思考模式」 經此學程的浸濡固化，一定有不少莘莘學子 會成為教育歪風(如盛行反覆、大量的作業練 習與紙筆測驗)下，無形或無辜的受害者。

二、本文：

(一)以下問題 1~6，是國中生常遇到的數學問 題，在此提出「內外並重」的一題多解， 希望提供給讀者作教學或參考之用。

問題 1：

如圖 2-1，P 為平行四邊形 ABCD外 部一個點，且 PAB∆ 、 PBC∆ 、 PAD∆ 的面積分別為 8、5、6，求 PCD∆ 的 面積？ 解(1)： 如圖 2-2，過 P 作MN∥AB交DA於 M、 BC 於 N，則 PAM∆ 面積+∆PBN面積=∆PAB 面積 2 1 8= = 平行四邊形 ABNM 面積 所 以 PCD∆ 面 積 = 2 1 平 行 四 邊 形 CDMN 面 積=(∆PAD+∆PAM+∆PBN+∆PBC)面 積 =6+8+5=19 解(2)： 如圖 2-3，作PE =AD且PE∥AD，連 DE、CE因為PE =AD，PE∥AD，AD∥

BC

，

AD

=

BC

D

_C

A

B

P

圖 2-1

D

C

A

B

P

N

M

圖 2-2 100 50 一 二 三 (年級) 男生人數 一 二 三 (年級) 女生人數 100 100 100 圖 1-5

所以

APED

和

PBCE

皆為平行四邊形 DEP PAD≅∆ ∆ ⇒ ，∆PBC≅∆CEP 又DE= AP，CE=BP，CD= AB BAP CDE≅∆ ∆ ∴ PCD ∆

⇒ 面積=(∆CDE+∆PDE+∆PCE)面積 ) (∆PAB+∆PAD+∆PBC = 面積=6+5+8=19

問題 2：

如圖 2-4，在鈍角三角形△ABC 中， AB BM 3 1 = ，MD⊥BC，EC⊥BC。 若△ABC 的面積為 24 平方單位，求 △BED 的面積？ 解(1)：如圖 2-5，作 AH⊥BC垂足為 H BAH BEC ∆ ∆ ~ Q BH BC AH EC: = : ∴

⇒

AH BC EC BD ABC BED × × = ∆ ∆ 2 1 2 1 面積 面積 3 1 = = = × = × = AB BM BH BD BH BC BC BD AH EC BC BD 所以△BED 的面積 ₈ 3 1 24× = = 解(2)：如圖 2-6，連MC MD Q 平 行 於 EC ⇒∆MDC 面 積 = MDE∆ 面積 BDE ∆ ∴ 面積= BMC∆ 面積 3 1 = BM Q AB BDE ∆ ⇒ 面 積 = BMC∆ 面 積 = _∆ABC 3 1 面積 _{24 8} 3 1 = × =

問題 3：

如圖 2-7， ABC∆ 中，AB= AC，P 為 BC 上 一 點 ， 若 PD⊥AB ， AC PE⊥ ，BF ⊥AC， 試證：PD+PE=BF。 證明(1)： ° = ∠ = ∠ = ∠PDB PEC BFC 90 Q ， ACB ABC=∠ ∠ BFC PEC PDB ∆ ∆ ∆ ∴ ~ ~ 令PB=a，PC=b

D

C

A

B

P

E

圖 2-3

B

C

A

M

D

E

圖 2-4

B

C

A

M

D

E

H

圖 2-5

B

C

A

M

D

E

圖 2-6

B

_P

C

A

F

E

D

圖 2-7

⇒

PD:BF=PB:BC=a:(a+b)， ) ( : : :BF PC BC b a b PE = = +

∴

BF b a b BF b a a PE PD + + + = + BF BF b a b a = + + = 證明(2)：如圖 2-8，連 AP ABP ∆ Q 面積+ ACP∆ 面積= ABC∆ 面積 PD AB× ∴ 2 1 ₊ PE AC× 2 1 ₌ BF AC× 2 1 但AB= AC BF PE PD+ = ⇒ 證明(3)：如圖 2-9，作 BQ⊥PE且交PE於 Q BQEF ⇒ 為矩形⇒BF=QE ° = ∠ = ∠BQP CEP 90 Q ，又∠1=∠2 C QBP=∠ ∠ ∴ 但∠ABC=∠C QBP DBP=∠ ∠ ⇒ 又_∠PDB_=∠PQB₌90_°，BP= BP PQB PDB≅∆ ∆ ∴ PQ PD= ∴ PE PD PE PQ QE BF= = + = + Q 故PD+PE =BF

問題 4：

如圖 2-10，求 H G F E D C B A ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ 的度數？ 解(1)：如圖 2-11，連 AE，FH 4 3 2 1+∠ =∠ +∠ ∠ Q ， ° = ∠ + ∠ + ∠5 6 G 180 H G F E D C B A ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ ∴ =ABCDE 內 角 和 + ∆FGH 內 角 和 =540°+180°=720°

B

P

C

A

F

E

D

圖 2-8

B

_C

P

A

F

E

D

Q

圖 2-9 1 2

A

B

C

D

E

F

G

H

P

P

圖 2-10 1 2 3 4 5 6 A B C D E F G H P 圖 2-11

解(2)：如圖 2-12，作 AM，EM 3 2 1+∠ +∠ ∠ = ∠ + ∠ + ∠ ∴ F G H H G F E D C B A ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ ∴ =ABCDEM 內角和 =

(

6−2

)

×180°=720°

問題 5：

如圖 2-13，ACDE 為正方形，

°

=

∠

ABC

90

， 若

AB

=

4

，

3

=

BC

，求BE？ 解(1)：如圖 2-14，作BF ⊥AC分別交AC， ED於 G， F 5 = AC Q 5 12 = ∴BG 5 37 5 12 5+ = = ⇒BF 又 5 16 5 42 = = =AG EF 2 2 ) 5 16 ( ) 5 37 ( + = ⇒BE = ₆₅ 5 65 5 5 1625 = = 解(2)：如圖 2-15，作EH ⊥AB於 H，

⇒

∆ABC≅∆EHA

⇒

AH =BC =3，EH = AB=4 7 4 3+ = = ⇒BH

∴

= 42+72 = 65 BE 解(3)：如圖 2-16，作正方形 ABIJ AJC ABE≅∆ ∆ ⇒ CJ BE= ⇒ 又IJ =4，CI=BI +BC =4+3=7 65 7 42₊ 2 ₌ = ∴CJ 故BE = 65 A B C D E F G H P M 1 2 3 圖 2-12

B

C

A

E

D

圖 2-13

B

_C

A

E

D

F

G

圖 2-14

B

C

A

E

D

H

圖 2-15

問題 6：

如圖 2-17，ABFE，BCGF，CDHG 是三個邊長為 1 的正方形， 試求 1∠ ， 2∠ ， 3∠ 的關係。 解(1)：QFG=1，DG = 2，EG=2 EG DG DG FG: = : ∴ 又∠FGD=∠EGD=135° 1 ~∆ ⇒∠ =∠ ∆ ∴ FGD DGE GDF 2 3=∠ +∠ ∠ GDF Q ∴∠3=∠1+∠2 解(2)：如圖 2-18，以EH為軸，對 三個正方 形作鏡射，連EC′，DC′ 2 ∠ = ′ ∠ ⇒ ′ ∆ ≅ ∆DFH CEG CEG Q 又EC′=DC′= 5，DE= 10 ED C′ ∆ ∴ 為等腰直角三角形。 ° = ′ ∠ + ∠ ⇒ 1 CEG 45 ° = ∠ + ∠ ∴ 1 2 45 又∠3=45° 3 2 1+∠ =∠ ∠ ∴ 解(3)：如圖 2-19 2=( 2)2 =2 DG Q 又FG×EG=1×2=2 EG FG DG = × ⇒ 2 作 DEF∆ 的外接圓

∴

DG為此圓的切線，而 D 為切點。 DF FDG 2 1 1= ∠ = ∠ ⇒ 弧的度數 2 3=∠ +∠ ∠ FDG Q ∴∠3=∠1+∠2 (二)「內與外」的選擇，有時是大意不得的， 如果考慮不周，就可能發生像以下這種 「似是而非」的結果。 例題：證明「任意三角形都是等腰三角 形」。 證明：如圖 2-20，設△ABC 表任意三角 形，作 A∠ 的分角線與BC邊的垂直平分 線相交於 P。自點 P 分別作AB與AC之垂 線，令垂足分別為 E 與 F。連接BP與CP，

則△AEP 與△AFP 中，∠EAP=∠FAP ° = ∠ = ∠AEP AFP 90 又AP=AP AFP AEP ≅∆ ∆ ⇒ PF PE= ∴ ，AE =AF 又 於 △ EPB 與 △ FPC 中 PE=PF ，

J

B

C

A

E

D

I

圖 2-16

A

B

C

_D

E

F

G

H

1 2 3 圖 2-17

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

E

F G

H

1 2 3 圖 2-18

A

E

B

F

C

G

D

H

1 2 3 圖 2-19

PC PB = ，∠PEB=∠PFC=90° PFC PEB ≅∆ ∆ ⇒

⇒

BE=CF 所以AE+BE= AF+CF，故△ABC 為等 腰三角形。 其實，會有這種「難以置信」的事情發 生的主要原因是： A∠ 的平分線與BC之 垂直平分線相交的點 P，根本不會在△ ABC 的內部，它的正確位置應該在△ABC 外部。 如圖 2-21 中，AP為∠BAC的分角線，PD 為BC的中垂線，PE⊥AB，PF⊥AC。 AFP AEP≅∆ ∆ Q PF PE= ∴ ，AE =AF ⇒∆EBP≅∆FCP CF BE= ∴ 因AE =AF，BE =CF 故AB =AC為 不 可能。 (三 )以 下 的 作 圖 題 ， 由 原 先 較 煩 瑣 的 作 法 (甲)，經過假想、演進，終於發現更簡潔 的作法(乙)。 問題：如圖 2-22，在一個三內角不相等 的△ABC 中，作 RQ ∥AC， PQ ∥AB， 但PR與BC不平行，而 R，Q，P 分別在 AB，BC，AC上，而使△APR~△RBQ~ △PQC ~△ QRP。 分析(甲)：由內而外作兩個任意三角形， 並使兩個三角形的邊與原問題的條件相 符。再藉由相似形的對應邊成比例的性 質，對照完成問題求作的圖形。 作法(甲)： (如圖 2-23， 圖 2-24) C B A P D F E 圖 2-20 C B A D P E F 圖 2-21

A

B

_{圖 2-22}

C

A B C A' P' P Q R 圖 2-24

R'

P'

Q'

C'

B'

A'

圖 2-23

(1)作∆P′Q′R′，並使∠Q′=∠A， B R′=∠ ∠ ，P′=∠C。 (2)過 R′作A′B′∥P′Q′， 過 P′作A′C′∥ Q R′ ′，並設A′B′，A′C′交於 A′。 (3)過Q′作B′C′，且使∠P′Q′C′=∠P′R′Q′ ，而B′C′分別交A′B′、A′C′於 B′、C′。 (4) 過 C 作 CA′′， 且 使 A′′C=A′C′， P A P A′′ ′′= ′ ′。 (5)連AA′′， 過 P′′作P′′P∥A′′A並 交AC 於 P。 (6)作 PQ ∥AB交BC於 Q，作 QR ∥AC 交AB於 R。 (7)連PR，則△ARP，△BRQ，△CPQ， △PQR 即為所求。 分析(乙)：由作法(甲)，聯想到：直接在 原三角形的外部作一個三角形，並使內 外兩個三角形的邊符合原問題的條件， 再藉由「內外夾擊」的策略，完成問題 求作的圖形。 作法(乙)： (如圖 2-25) (1)過 B 作 L1∥AC，過 C 作 L2∥AB且 L2交 L1於 D。 (2)過 A 作 L3交 L2於 E，交 L1於 F，且

使∠EAC=∠ABC ⇒∠FAB=∠ACB。 (3)連BE交AC於 P。 (4)作 PQ ∥AB交BC於 Q，作 QR ∥AC 交AB於 R。 (5)連PR。 (6)△ ARP，△ BRQ，△CPQ，△PQR 為 相似△。 證明： PQ Q ∥AB， QR ∥AC AR BR CQ BQ CP AP = = ∴ 又AB∥DE ∴△ABP~△ CEP EP BP CP AP₌ ⇒ AR BR EP BP = ∴ PR ⇒ ∥AE⇒PR∥EF ⇒△ARP，△BRQ，△CPQ，△PQR 的三個內角度數皆相等，故此四個三角 形相似。

三、結論：

從事生態研究的觀察者說：如果在拍攝 蜻蜓時，驚動了牠，你不要急於追尋，只要 安靜地耐心等候，有五成以上的機會，蜻蜓 在 四 周 打 轉 一 下 ， 就 會 飛 回 原 來 停 留 的 地 方。而蝴蝶不同，牠一旦飛離這處，就會去 找另一處棲息地點。了解蜻蜓與蝴蝶有這種 不同的習性，就能在觀察與攝影時，掌握最 佳時機並紀錄下美好的作品。 以上這段談話，不只令人激賞，也同時 帶給數學解題者啟示：解題「智取」勝過「力 敵」；「運用策略」贏過「故步自封」與「抱 A B C D E F P R Q

L

1

L

1

L

2

L

2

L

3

L

3 圖 2-25

頭亂竄」。就幾何問題的解題策略來說，向內 和 向 外 佈 局 ， 都 可 能 是 一 個 意 想 不 到 的 選 擇，只要多學、多做、多想、多觀摩，就可 使自己的想法更機動靈活，解法更成熟進步。 就 教 學 者 來 說 ， 他 必 須 體 認 到 一 個 事 實：解題策略的運用與評析，不只能夠潛移 默化學生深層的思考與智慧，而且這種智慧 的延伸，才是促使學生真正喜歡和欣賞數學 的潛在動能。 因此如何讓學生體會數學知識的實用、 有趣與奧妙，是一個盡職的數學教師在教學 活動中，要「伺機」呈現的「感覺」；相反的 情 形 ， 如 果 老 是 讓 學 生 覺 得 數 學 學 習 是 枯 燥、死板與紊亂，甚至有「數學無用」的想 法，那麼無庸置疑的後果是：學生的心與數 學的心，兩者的距離將漸行漸遠…… (上承第 72 頁 )

IV-3-3 寫出尖晶石結構 LiMn2O4中 Li離子的

配位數以及 Mn 離子的配位數。 如果有一輛重 1000 kg 的家庭用車最少 需要 5 kWh 的能量才能跑 50 km，此能量大 約相當於 4.5 公升或 3.4 公斤的汽油。如果此 輛車的油箱為 50 公升，而油箱重 10 kg，如 果汽油之耗油量為 10 公里/公升。 IV-3-4 計算出所多出的重量，如果把這輛加 滿 汽 油 的 油 箱 改 為 使 用 (a) 鉛 -硫 酸 電池 及 (b) 鋰電池的電動車。假設 在 各 種 狀 況 下 車 輛 的 引 擎 效 率 都 相 同。 (a) 使 用 鉛 -硫 酸 電 池 所 多 出 來 的 重 量: 答案: 1063.2kg 請詳細列出計算過程: 加汔油車子跑的距離：500 km → 50 kWh 油箱加燃料的重量：10 kg + 50×(3.4/4.5) = 47.8 kg 鉛-硫酸電池重量：50,000/45 = 1111 kg 鉛-硫酸電池所多出來的重量：1111 - 47.8 =1063.2 kg (b) 使用鋰電池所多出來的重量: 答案: 322.2 kg 請詳細列出計算過程: 鋰電池的重量：鉛 -硫酸電池重量的三分之 一 → 1111/3 = 370 kg 鋰電池多出來的重量：370 – 47.8 = 322.2 kg