高二上第二次期中考數學3A題庫(40)

一、單選題

1.

（　　）

2 2 2 2

1 4 65

log 13 log 25 log log

2 7 7    

_(A)1

_{(B)2　(C)3　(D)4　(E)5}

解答 　B　

解析 　原式

4 65 1 log log log25 log13 _{2 7 7}

log2 log 2 log2 log 2

   

　　

1

2 4 65 log 13 5 4 65

log13 log(25) log log _{7 7}

7 7 log 2 log2  _{  }     _ _  

　　

4 7 log 13 5 log 4 2log2 7 65 ₂

log 2 log 2 log2

 _{  }         

2.

（　　）請問下列哪一個選項等於

 

  5 3

log 2

_？　(A)

_{5log 2}

 

3

_(B)

3 5log2

　(C)

5log2 log3

　

(D)

5 log 2 log3







　(E)

5

3 log2



解答 　E　

解析 　利用公式

_log t _log ar t ar

，得

 

 

₃5 5 log 2 3 log 2

3.

（　　）對任意實數 x 而言，

₍ 2 2₎ 3 27x 

的最小值為何？　(A)3　(B)

3 3

　(C)9　(D)27　(E)

81 3

　

解答 　C　

解析 　因為底數 27 > 1，又

x2 2₃ 2₃

_，所以

₍ 2 2₎ 2 2 3 2 3 3 3 27x  27 (3 ) 3 9

4.

（　　）若 log10(x +

6

) + log10(x −

6

) = 1

，則 x =　(A)3　(B)4　(C)5　(D)6　

解答 　B　

解析 　真數恆正，因此，x +

6

0

且 x −

6

0 ⇒ x >

6

_，

原式 ⇒ log

10

((x +

6

)(x −

6

)) = log

10

10 ⇒ x

2

− 6 = 10 ⇒ x

2

= 16

⇒ x = ± 4

（負不合）　

5.

（　　）問：下列四個數何者最小？　(A)

1 3 2

　(B)

2 1 8       

　(C)

₂　14

　(D)

1 3 8　

　

解答 　D　

解析 　將五個數皆化成以 2 為底數：

 

2 2 3 6 1 _{2 2} 8           

，

 

1 1 3 1 3 3 8  2  2

。

數學 3A 第二次期中考題庫

因為底數

2 1

，所以

₂1₂14₂13₂6

。

故最小值為

₈13

6.

（　　）化簡

2 3 4

5

1 (log 3)(log 4)(log 5)

log 2



_的

_值為　(A)

0

　(B)

1

　(C)

2

　(D)

3

　(E)

4

　

解答 　A　

解析 　所求

log3 log 4 log5 1 log5 log5

0 log 2

log 2 log 3 log 4 log 2 log 2

log5

     

_{   } _{ } 

     

7.

（　　）圖為

y2logx

、

ylogx

、

y logx

與

y 2logx

的圖形，選出

ylogx

的圖形。

(A)A

　(B)B　(C)C　(D)D　

解答 　B　

解析 　因為當

x1

_時，

2logxlogx  0 logx 2logx

_，

所以

ylogx

的圖形為 B　

8.

（　　）當 a > 0，a ≠ 1 時，函數 y = a

− x

_{的圖形與下列哪一個函數圖形對稱於直線：y = x？}

(A)y = − a

− x

_{(B)y = a}

x

_(C)

log1

a y x

　(D)y = log

a

x

　

解答 　C　

解析 　對稱於

y x

的圖形為

_{x a} y

，利用對數定義可知：

　　　　　　　　　

_log log log

log log a x x y x y y a a        

1 log log 1 log a x y x a   

。　

9.

（　　）關於對數 log

x − 1

( − x

2

+ 5x − 4)

，下列哪一個數使對數有意義？(A)1　(B)2　(C)3　(D)4　

解答 　C　

解析 　對數有意義時，滿足

(I)x − 1 > 0

且 x − 1 ≠ 1。

(II) − x

2

_{+ 5x − 4 > 0}

_{，即(x − 1)(x − 4) < 0，得 1 < x < 4，且 x ≠ 2}

10.

（　　）若 y = log

a

x

，y = log

b

x

，y = log

c

x

，y = log

d

x

的圖形

為 A、B、C、D（如圖所示）。試判斷底數 a、b、c、d 的大小關係。

(A)a > b > c > d

　(B)a < b < c < d　(C)b > a > c > d　(D)b > a > d > c　(E)無法比較　

解答 　C　

log log log a x y x a  

_，

log log log b x y x b  

_，

log log log c x y x c  

_，

log log log d x y x d  

_，

當

y1

時，分別與四個圖形交於

( , 1)a

、

( ,1)b

、

( ,1)c

、

( , 1)d

，

由圖形可知，

四個交點由左到右分別為

( , 1)d

、

( ,1)c

、

( ,1)a

、

( , 1)b

，

故可得

d c a b  

11.

（　　）在坐標平面上，設 P 為 y = − (x + 1)(x − 2)圖形上的一點，若 P 的 x 坐標為 log

310

，試問

P

的位置在哪一象限？　(A)一　(B)二　(C)三　(D)四　(E)不一定　

解答 　D　

解析 　因為點

_P

的

_x

坐標為

3 3

log10 log9 2log 3

log 10 2 log 10 2 0

log 3 log 3 log 3

      

_，

所以點

P

的

y

坐標為

(log 10 1)(log 10 2) 03  3  

，故點

P

在第四象限　

12.

（　　）某種濾過性病毒有害人體，某人將此病毒 100 個吸進體內，已知此病毒在人體內每隔 6

小時就會分裂成 2 個，當體內達到 1 億個病毒時身體就會出現異常反應，在此期間則稱

為潛伏期，請問此病毒在體內的潛伏期大約有幾天？（log 2 ≈ 0.3010，log 3 ≈ 0.4771）

(A)3

天　(B)5 天　(C)8 天　(D)10 天　(E)15 天　

解答 　B　

解析 　設潛伏期 t 小時，

8 6 100 2 10 t  

⇒

₂6 t 

10

6

⇒

_{log 2}6 _log106 t 

⇒

₆t

log 2 > 6 ⇒

6 6 log2t  6 0.3010  

19.93355… ≈ 19.93

，

t > 119.58

（小時），大約 5 天　

13.

（　　）班佛法則：銀行存款首位數字為 a 的比例約有

log(1 1) a 

_{，例如存款金額為 43210 元的首}

位數字為 4，所有首位數字為 4 的存款所占比例約

log(1 1) 4 

_{，請根據班佛法則，估計銀}

行存款的首位數字為 3 或 4 或 5 的人約有多少比例？（log2 ≈ 0.3010，log3 ≈ 0.4771）　

(A)20%

　(B)30%　(C)40%　(D)50%　(E)60%　

解答 　B　

解析 　首位數字為 3，4，5 所占比例分別為

log(1 1) 3 

_，

log(1 1) 4 

_，

log(1 1) 5 

_{，所占比例和為}

4 5 6 4 5 6

log log log log( ) log 2 0.3010 30%

3 4 5  3 4 5    

14.

（　　）若正實數 x、y 滿足

logx2.8

_、

logy5.6

_，則

log x



2y



_{最接近下列哪一個選項的值？}

log 2 0.3010 （ ）

(A)2.8

　(B)5.6　(C)5.9　(D)8.4　(E)11.2　

解答 　C　

解析 　因為

logx2.8

，





2 數學 3A 第二次期中考題庫

因為

logy5.6

_，所以

_y105.6

。



2





5.6 5.6





5.6



log x y log 10 10 log 10 2 _{5.6 log 2 5.6 0.301 5.901   }

15.

（　　）比較 a = 0.7，b = 0.7

0.7

_，

_c0.7(0.7 )0.7

_{的大小，下列何者正確？　(A)c > b > a　(B)b > a > c}

(C)a > c > b

　(D)b > c > a　(E)c > a > b　

解答 　D　

解析 　因為

0 0.7 1 

_，所以

(0.7)0(0.7)0.7 (0.7)1 1 (0.7)0.70.7 _0.70.7 1 0.7 (0.7) (0.7) (0.7) a c b      

16.

（　　）聲音的強度是每平方公尺多少能量（單位：W/m

2

_{，W 為瓦特），若某一發聲體的強度}

為 I（W/m

2

_{），將它換算成分貝 d 表示時，其公式為}

0 ( ) 10log I d I I 

_，I

_{0 = 10} − 12

_（W/m

2

_{）。若有一支 50 分貝的汽笛和二十支 40 分貝的汽笛齊響，測得的音量最接近}

多少分貝？（log3 ≈ 0.4771）　(A)50 分貝　(B)55 分貝　(C)60 分貝　(D)90 分貝　

(E)130

分貝　

解答 　B　

解析 　

1 5 0 1 0 4 2 2 0 0 50 10 log 10 10 40 10 log I I I I I I I I     _{  }  _       _{ } 

I

1

+ 20I

2

= 10

5

I

0

+ 20 × 10

4

I

0

= (10

5

+ 20 × 10

4

)I

0 5 4 4 0 0 (10 20 10 ) 10 log I 10 log(10 30) 54.771 55 I         

17.

（　　）第 1 天獲得 1 元、第 2 天獲得 2 元、第 3 天獲得 4 元、第 4 天獲得 8 元，依此每天所獲得

的錢為前一天的兩倍，如此進行到第 30 天，試問這 30 天所獲得的錢，總數最接近下列

哪一個選項？（

log 2 0.3010

）　(A)10,000 元　(B)1,000,000 元　(C)100,000,000 元　

(D)1,000,000,000

元　(E)1,000,000,000,000 元　

解答 　D　

解析 　利用等比級數求和公式，得

總數為

_{1 2 2 } 2_23_{ ... 2}29



30



30 1 1 2 2 1 1 2      

。

因為

₂30

的個位數不為 0，

所以

₂30

與

₂30_1

位數相同。又因為

30 log2 =30log2 30 0.3010 9.03 9 0.03    

_，

所以

log 230

_{首數為 9，可推得}

₂30_1

為十位數　

18.

（　　）設 a、b 為正實數，已知

log7a11

、

log7b13

，問：

log a b7







之值最接近下列哪個選項？

　(A)12　(B)13　(C)14　(D)23　(E)24　

解答 　B　

解析 　因為

log7a11

，所以

a711

。

因為

log7b13

，所以

b713

。







11 13





11



2





7 7 7

log a b log 7 7 log 7 1 7 11

7 7 log 7 log 50 11 2 13     

19.

（　　）在一個培養容器中，由實驗得知細菌的數目每隔一小時會增加 2 倍（即變成原來的 3

倍），已知一開始放入 2 個細菌，剛好經過一天（24 小時）後，容器就充滿細菌（總數

為 N 個），如果一開始放入 1000 個細菌，問需經過多久時間，容器才會充滿細菌？　

(A)13

小時以內　(B)13 小時到 15 小時　(C)15 小時到 17 小時　(D)17 小時到 19 小時　

(E)19

小時以上　

解答 　D　

解析 　N = 2 × 3

24

_{，設經 t 小時後容器充滿}

⇒ 1000 × 3

t

_{≥ N ⇒ 1000 × 3}

t

_{≥ 2 × 3}

24

_{⇒ 3}

24 − t

_{≤ 500 ≤ 3}

6

_，

所以 t ≥ 18　

二、多選題

1.

_{（　　）設 t 為不等於 0 的實數，下列圖形中，哪些可能是對數函數}

y t logx

_{的部分圖形？}

(A)

　(B)

　(C)

　(D)

　

解答 　BD　

解析 　由對數函數的圖形可知，正確的選項為(B)(D)　

2.

（　　）指數函數

y a x

_、

_{y b} x

、

y c x

_與

_y2x

的圖形如圖所示，且

y c x

_與

_y2x

的圖形對稱

於

y

軸。選出所有正確的選項。

(A)

_a2

　(B)

_{1 a 2}

　(C)

b1₂

_(D)

b c

　

解答 　BD　

解析 　由圖可知：

c b   1 a 2

_，

又因為

_{y c} x

與

_y2x

的圖形對稱於

_y

軸，所以

1 2 c

3.

（　　）設

0 a 1

，關於函數

f x

 

ax

_{，選出所有正確的選項。　(A)}

f

 

2 1

_(B)

f x

 

_的圖形

在

x

軸的上方　(C)若

f x

 

 f

 

2

_，則

_x2

_(D)

f x

 

_{的圖形凹口向上　(E)若}

 

_，則

 

 

f   f 



解答 　BCD　

數學 3A 第二次期中考題庫

解析 　函數

f x

 

ax

的圖形如圖所示。

(A)

_{由圖可知：}

f

 

2  f

 

0 1

(B)

f x

 

的圖形在

x

_{軸的上方　(C)因為}

f x

 

_的圖形和

x

_{軸上方的水平線都恰有一個交點，}

所以當

f x

 

 f

 

2

_時，

_x2

(D)

f x

 

的圖形凹口向上　(E)因為

f x

 

_{為嚴格遞減函數，所以當}

 

_時，

 

 

f   f 

4.

（　　）設

a0

_，

a1

_{，下列圖形中，哪些可能是指數函數}

_{y a} x

的圖形？　

(A)

　(B)

　(C)

　(D)

　

解答 　AC　

解析 　指數函數

y a x

_（

_a0

_，

_a1

_{）的圖形應}

(I)

過點

 

0,1

_{；(II)恆在 x 軸上方；(III)以 x 軸為漸近線}

5.

（　　）指數函數

y a x

_，

_{y b} x

，

y c x

_{的圖形如圖所示。選出所有正確的選項。}

(A)

a1

_(B)

b1

_(C)

c1

_(D)

b a



解答 　ABD　

解析 　由圖形可知：

(A)

因為

y a x

_{為嚴格遞增函數，所以}

_a1

(B)

因為

y b x

_{為嚴格遞增函數，所以}

_b1

(C)

因為

y c x

_{為嚴格遞減函數，所以}

_{0 c 1}

(D)作直線

x1

分別與

y a x

和

y b x

交於

A



1,a



、

B

 

1,b

兩點，如圖所示；因為

B 點在

A 點的上方，所以

b a

6.

（　　）下列哪些式子是正確的？　(A)log

7( − 3)2

_{= 2log7( − 3)}

_(B)log

_{77 = 1}

_(C)log

_{813 = 4}



(D)log6(3 + 4) = log63 + log64

　(E)log

6 7 

log67

　

解答 　BE　

解析 　(A)真數必須為正數　(B)

7 log7 log 7 1 log7  

(C)

81 log3 log3 1 log 3 log81 4log3 4   

(D)

左式

6 log(3 4) log7 log (3 4) log6 log6 

   

_，右式

log 3 log 4_{6 6} log3 log 4 log3 log4

log6 log6 log6

      log12 log6  

左式



右式　(E)左式

1 2 1 2 1 log7

log 7 log7 ₂ log7

1 log6 log 6 _log6 log6 2     

_右式

7.

（　　）坐標平面上，在函數圖形

_y2x

上，標示

A

_、

B

_、

C

_、

D

_{四個點，其}

x

_{坐標分別為}

1

_、

0

_、

1

_、

2

_{。請選出正確的選項　(A)點}

B

_落在直線

AC

_{下方　(B)在直線}

AB

_、直線

BC

_、

直線

CD

_{中，以直線}

CD

_{的斜率最大　(C)}

A

_、

B

_、

C

_、

D

_{四個點，以點}

B

_最靠近

x

_軸

(D)

直線

y2x

_與

_y2x

的圖形有兩個交點　(E)點

A

_與點

C

_對稱於

y

_軸

解答 　ABD　

解析 　依題意，得

A_1,₂1_

_，

_B

_{ }

_0,1

_，

_C

_{ }

_1,2

_，

_D

_

_2,4

_

(A)

因為

_y2x

_{的圖形凹口向上，所以}

B

在

AC



下方　(B)由圖得知

CD



的斜率最大　

(C)

由圖得知點

A

_最靠近

x

_{軸　(D)兩圖形恰交於}

C、D

_{兩點　(E)因為}

A C、

_{兩點不等高，}

所以不對稱於

y

軸　

8.

（　　）下列何者為真？　(A)log

2( − 5)2

_{= 2log2( − 5)}

_(B)log

_{2(3 × 5) = (log23)(log25)}



(C)

2 1

2

log 8 log 8 0 

　(D)log

253

_{= (log25)}

3

_(E)log

_{49 = log23}



解答 　CE　

解析 　(A)真數必須為正數　(B)

2

log(3 5) log3 log5 log3 log5

log (3 5)

log2 log2 log2 log2

 

    

2 2 2 2

log 3 log 5 (log 3)(log 5)

  

(C)

因為

_{8 2} 3

且

( 1) ( 3) 1 3 1 3 8 2 (2 ) ( ) 2         

_，所以

2 log 8 3

且

1 2 log 8 3

_，因此

2 1 2 log 8 log 8 3 ( 3) 0    

(D)

左式

3 3 2

log5 3log5 log5

log 5 3

log 2 log2 log2

     _{  }  

，右式

3 log5 log 2       

，左式



右式　(E)左式

log9 2log3 log3

log4 2log2 log 2

   

_右式

9.

（　　）設 a > 0，a ≠ 1，關於函數 y = f (x) = log

a

x

的敘述，下列何者為真？　(A)當 a > 1 時，f

(x)

的圖形為由左向右上升　(B)當 0 < a < 1 時，f (x)為遞減函數　(C)f (x)的圖形必過點

(1,0)

　(D)f (x)與任一條水平直線相交　(E)f (x)與任一條鉛垂直線相交　

解答 　ABCD　

解析 　分別作 a > 1，0 < a < 1 時 y = f (x) = log

a

x

圖形，觀察即可得

　　

10.

_{（　　）已知 log2 ≈ 0.3010，log3 ≈ 0.4771，則下列何者為正數？　(A)log}

23 − 1

_(B)log

32 − 1



(C)

1 2 log 3

_(D)

1 3 1 log 2

　

解答 　AD　

解析 　(A)

2 log3 0.4771 log 3 1 1 1 1.59 1 0.59 0 log2 0.3010         

(B)

3 log2 0.3010 log 2 1 1 1 0.63 1 0.37 0 log3 0.4771          

(C)

1 2 log3 log3 0.4771 log 3 1.59 0 1 log2 0.3010 log 2        

(D)

1 3 1 log 1 ₂ log 2 0.3010 log 0.63 0 1 2 _log log3 0.4771 3         

(A)a > 1

　(B)b > 1　(C)c > 1　(D)a > b　(E)b > c　

解答 　ABE　

解析 　如圖。

log log log a x y x a  

_，

log log log b x y x b  

_，

log log log c x y x c  

_，

當

y1

時，分別與三個圖形交於

( , 1)a

、

( ,1)b

、

( ,1)c

，

由圖形可知，三個交點由左到右分別為

( ,1)c

、

( , 1)a

、

( ,1)b

，

其中點

(1 ,1)

介於

( ,1)c

與

( ,1)a

之間，故

c  1 a b

12.

_{（　　）下圖為函數 y = log}

a

x

，y = log

b

x

，y = log

c

x

與 y = log

2

x

的圖形，

且 y = log

c

x

與 y = log

2

x

的圖形對稱於 x 軸，選出正確的選項：

(A)a > 2

_{(B)1 < a < 2　(C)0 < a < 1　(D)b > c　(E)}

1 2 c



解答 　AE　

解析 　由圖可知：b < c < 1 < 2 < a，

又 y = log

c

x

與 y = log

2

x

的圖形對稱於 x 軸，所以

1 2 c

13.

（　　）已知 log

c

a = 2

，log

c

b = 3

，且 a > 0，b > 0，

c2

，則下列計算結果何者是錯誤的？　

(A)

log 2 3

ba

　(B)a + b = c

5

　(C)log

c

(ab) = 6

　(D)(log

c

b)

4

= 12

　(E)log

c

(2a + 3b) = 13

　

解答 　BCDE　

解析 　

_{log 2} 2

ca  a c

，

logcb  3 b c3

。　(A)

2 3

log log 2log 2

log

log log 3log 3

b a c c a b c c    

(B)

_{a b c } 2_c3_c5

(C)

log ( )c log( )_log log_loglog

ab a b

ab

c c



  log 2 log 3 2log 3log 5 6

log log c c c c c c      

(D)

(log )cb 434 81 12 數學 3A 第二次期中考題庫

(E)

_2a3b2c2_3c3_c13

（註：當 c 在 1.16～1.17 之間，有一根可使等號成立，故當 c >

2

時，此選項必錯誤）　

14.

（　　）設 0 < a < 1，關於函數 f(x) = a

x

_{，選出正確的選項：　(A)f(2) > 1　(B)f(x)的圖形在 x 軸的}

上方　(C)若 f(x) = f(2)，則 x = 2　(D)f(x)的圖形凹口向上　(E)若 α < β，則

( ) ( ) ( ) 2 2 f f f      



解答 　BCDE　

解析 　函數 f(x) = a

x

_{的圖形如下圖所示：}

(A)╳

：由圖可知：f(2) < f(0) = 1　(B)○：f(x)的圖形在 x 軸的上方　(C)○：因為 f(x)的圖

形和 x 軸上方的水平線均恰有一個交點，所以當 f(x) = f(2)時，x = 2　(D)○：f(x)的圖形

凹口向上　(E)○：因為 f(x)的圖形凹口向上，所以當 α < β 時，點

( , ( ) ( )) 2 2 f f     

比

點

( , ( )) 2 f 2    

的位置要高，因此

( ) ( ) ( ) 2 2 f f f      

15.

_{（　　）請選出所有正確的選項。　(A)}

log ( 7)3  22log ( 7)3 

　(B)

log 23  log 32

　(C)

5 5 5 5 log 17 log 17 log 13 log 13  

_(D)

4 2

log 9 log 3

　(E)

1

( ) 2 log 1 0  

　

解答 　D　

解析 　(A)因為

log ( 7)3 

無意義，所以等號不成立　

　　　　　　　　(B)

因為

3 log2 log 2 log3 

_，

2 log3 log 3 log 2   

_，所以

3 2 log 2 log 3

(C)

因為

5 5 17 log log17 log13 ₁₃ log 17 log 13 1

log 5 log 5 log 5

    

，

5 5

log17

log 17 log5 log17 ₁

log13 log 13 log13 log5   

_，所以

5 5 5 5 log 17 log 17 log 13 log 13  

(D)

因為

4

log9 2log3 log3

log 9

log4 2log2 log2

  

，

2 1 log3 log 3 ₂ log 3 log 3 1 _{log 2} log 2 _{log 2} 2   

_，所以

4 2 log 9 log 3

(E)

因為

1 ( ) 2 log 1 

無意義，所以等號不成立　

16.

（　　）觀察圖一與圖二，選出正確的選項。

　　　　

圖一 圖二　

(A)10

x

_{= x}

_{有實數解　(B)10}

x

_{= x}

2

_{有實數解　(C)10}

x

_{> x}

_{恆成立　(D)當 x > 0 時，10}

x

_{> x}

2

_恆

成立　

解答 　BCD　

解析 　(A)因為方程式

10x _x

_{的實數解個數為兩函數}

_y₁₀x

_與

y x



_{的交點個數，所以由圖一可}

知無實數解　(B)因為方程式

₁₀x _x2

_{的實數解個數為兩函數}

_y₁₀x

_與

y x



2

_{的交點個數，}

所以由圖二可知有一個實數解　(C)因為由圖一可知

_y10x

的圖形恆在

y x

_{的圖形上方，}

所以

10x _x

_{恆成立　(D)因為由圖二可知當}

_x0

_時，

_y₁₀x

_{的圖形恆在}

y x



2

_的圖形上

方，所以，當

x0

_時，

₁₀x _x2

恆成立　

三、填充題

1.

( )1 42 6

在小數點下第____________位出現不為 0 的數字。（有效數字）（

log2 0.3010

，

log3 0.4771

_）

解答 　33　

解析 　

log 2 0.3010  2 100.3010

_，

0.4771 log3 0.4771  3 10

_，





42 42 0.3010 0.4771 42 1 ( ) 2 3 (10 10 ) 6  _    

_

_0.7781

_

42 _{32.6802 0.3198 33} 10  10 10 10    

，

表

( )1 42 6

在小數點後第

33

位開始出現不為

0

的數字。　

2.

_設

alog 3₂

、

blog 34

、

1 2 log 30 c

、

d log 12564

，則

a

、

b

、

c

、

d

的大小關係為____________。

解答 　

a d b c   數學 3A 第二次期中考題庫

解析 　

log3 2log3 log9 0

log 2 2log 2 log4

a   

，

log3 0 log4 b 

，

log30 log30 0 1 log2 log 2 c   

_，

log125 3log5 log5

0

log64 3log 4 log4

d    

_，

因為

_{log9 log5 log3 }

，所以

_{log 4}log9_{log 4}log5log3_log4

，故

_{a d b c  }

。　

3.

已知

1₉

(

1₃

)

2x + 1

_{< 9}

_{，求 x 的範圍為____________。}

解答 　

  ₂3 x 1₂

解析 　因為

1 ( )1 2 1 9 3 x  

₉

_，

所以 3

− 2

_{< 3}

− 2x − 1

_{< 3}

2

_{⇒ − 2 < − 2x − 1 < 2 ⇒ − 1 < − 2x < 3 ⇒}

3 2 

_{< x <}

1 2

。　

4.

求方程式 x − log

2

x = 0

的實根個數為____________。

解答 　0　

解析 　x − log

2

x = 0 ⇒ x = log

2

x

，即求

2 log y x y x     

二圖形的交點個數，

作圖如下，二圖形沒有交點，故實根個數為 0。

5.

_{若 A、B、C、D、E、F 為 f (x) = 1 + 3}

x

_{的圖形上六個點，且此六點的 x 坐標依序為}

0.4

、0.8、1.2、1.6、2、2.4，請問五個線段

AB

_、

BC

_、

CD

_、

DE

_、

EF

中，最長的是___________

_。

解答 　

EF

解析 　觀察可知，

AB

_、

BC

_、

CD

_、

DE

_、

EF

_的

x

_{變化量均相同，故僅需比其}

y

_{變化量即可，}

又

_{y f x}( ) 1 3_{ } x

為嚴格遞增函數，

且底數

1

_{的指數函數在}

x

_{往右等速增加時，}

y

_{增加愈快，}

故

EF

_的

y

_{變化量最大，故}

EF

_{長度最長。}

6.

如圖，

_y8

與

( )1 4 x y

_及

_y2x

分別交於 P、Q 兩點，試求

_PQ

長度為____________。

解答 　4.5　

解析 　因為

( )1 8 2 2 23 2 3 3 4 2 x _{ }  x _{   x   x}

，所以

_P

點

_x

坐標

 3₂

，

因為

₂x _{ 8 2}x _23_{ x 3}

，所以

Q

點

x

_坐標

3

_，

可知

3 ( 3) 4.5 2 PQ   

7.

設

_

為圓周率，則指數不等式

( )3 2 1 ( )2 2 1 3 x  x x   _  

的解為____________。

解答 　

_x0

或

x 3₂

解析 　因為

_{ 3.14}

，所以

1 3  

_{，將原不等式化成底數為}

3 

，得

( ) 2 1 ( )22 1 3 3 x x x    _    2 2 2x 1 2x x 1 2x 3x 0 x x(2 3) 0 x 0              

或

x 3₂

。　

8.

已知

₆ 2 _{7 6} 5 x x

_{< 625}

_{，求 x 的範圍為____________。}

解答 　

1₂ x 2₃

解析 　因為 5

_6x2_{ 7x 6} 

5

4

_，

所以 6x

2

_{− 7x + 6 < 4 ⇒ 6x}

2

_{− 7x + 2 < 0 ⇒ (2x − 1)(3x − 2) < 0 ⇒}

1 2

x <

2 3

。　

9.

求下列各對數的值。

(1)

1 4 1 log 2 

____________

。

(2)

log 554 

____________

。

(3)log101000 = ____________

。

(4)log100.0001 = ____________

。

數學 3A 第二次期中考題庫

解答 　(1)

1₂

(2)

1₄

(3)3

　(4)− 4　

解析 　(1) 因為

1 2 1 1 1 ( ) 2 4  4

，所以

14 1 1 log 22

(2)因為

1 4_{5 5} 4

，所以

4 5 1 log 5 4 

(3)因為

_{1000 10} 3

_，所以

10 log 1000 3

(4)因為

_{0.0001 10} 4

_，所以

10 log 0.0001 4

10.

求出下列各式的 b 值：

(1)log3

b = − 1

，b = ____________。

(2)log3

b = 3

，b = ____________。

(3)

1 3 log b 2

，b = ____________。

解答 　(1)

1₃

(2)27

　(3)9　

解析 　(1) log

3

b = − 1

，

1 1 3 3 b_  _

。　

(2)log

3

b = 3

，b = 3

3

= 27

。　

(3)

1 3 log b 2

_，

_{( )}1 2 ₃2 ₉ 3 b_  _{ }

。　

11.

方程式 x + log

2

x = 0

有____________個實數解。

解答 　1　

解析 　

2 log y x y x      

，其圖形如下。

兩圖形恰有一交點，故有 1 個實數解。

　

12.

設 x

1

、x

2

、x

3

、x

4

均為實數，若

4x1 5

，

5x2 6

，

6x3 7

，

7x4 8

，則

x x x x1 2 3 4

____________

。

解答 　

3₂

解析 　

x1log 54

，

x2log 65

，

x3log 76

，

x4log 87

，

1 2 3 4 4 5 6 7

log5 log 6 log 7 log8 log8

log 5 log 6 log 7 log 8

log 4 log5 log 6 log 7 log 4

x x x x          3log 2 3 2log 2 2  

_。

13.

化簡下列各式：

(1)

10 10 10 4 9 3

log log log

(2)

10 100 2 log 8 log 25 3  

____________

。

(3)log29 × log34 = ____________

。

解答 　(1)log

10

3

　(2)1　(3)4　

解析 　(1)

10 10 10 4 9 3

log log log

5 8 10 10 10 10

4 9 3 4 9 10

log log log 3

5 8 10 5 8 3      _   _ _   _    

。　

(2)

因為

3 21 32 10 10 10 2 2 2

log 8 log (2 ) log 2

3 3  3 2 3 3 2 10 10 log 2  log 2  _{ }   

，

100 10

log25 2log5 log5

log 25 log 5

log100 2log10 log10

   

_，

所以

10 100 10 10

2

log 8 log 25 log 2 log 5

3    log 2 510



 



log 10 110 

。　

(3)

2 3

log9 log4 2log3 2log2

log 9 log 4

log 2 log3 log 2 log3

     2 2 4   

。　

14.

化簡

3_{log 16 log 250}3 2  

____________

。

解答 　

3

解析 　原式

 





3 3 4 ₂ 2 3 2 3

log 16 log 250 log 2 250 log 2 250 log1000 3

_{ }       _{ }  _         

15.

_已知(

1₄

)

2 5 2 x x 

0.125

，求 x 的範圍為____________。

解答 　

1₂

< x < 3

　

解析 　因為(

1₄

)

2 5 2 x  x  1 8

⇒ (

1 2

)

2 2 5 _{( )}1 3 2 x  x_

，

所以 2x

2

_{− 5x < 3 ⇒ 2x}

2

_{− 5x − 3 < 0 ⇒ (x − 3)(2x + 1) < 0 ⇒}

1 2  

_{x < 3}

_。

16.

設

log 11 a2 

，

log 27 3b 

，則

4ab2

____________

。

解答 　

130

解析 　因為

4a22a 

 

2a 2 



2log 112



2112121

，

3 log 27 3_b  27b  b 3

_，

所以

₄a_b2_{121 3} 2_{121 9 130 }

。　

數學 3A 第二次期中考題庫

17.

化簡

3 5 6 6

1

log 3 log log 2 log 18 2

5    

_{____________}

_。

解答 　

7₂

解析 　原式

1 log

log 3 ₅ log 2 log18 2

log3 log5 log6 log6

   

　　

1

1 2

log3 log5 log 2 log18 2

log3 log5 log6

 _

  

　　





1

log3 _{log5 log 2 18 2}

2

log3 log5 log6

 

  

　　

   1₂ ( 1) log36_log6  ₂3 2log6_log6   3₂ 2 7₂

。　

18.

將函數

_{y f x}( )_{ }2x

的圖形向右移

1

單位，向下移

2

單位，可得函數

y g x ( )

____________

。

解答 　

_2 x 1_2

解析 　移動後的函數為

_{y  }2 2 (x 1)_{  y} 2 x 1_2

。　

19.

設 a = 7

25

_{，log7 ≈ 0.8451，則}

(1)a

是____________位數。

(2)a

的首位數字為____________。

(3)a

的個位數字為____________。

解答 　(1)22　(2)1　(3)7　

解析 　(1) loga = log7

25

_{= 25log7 ≈ 25 × 0.8451 = 21.1275}

_，

故 a 為 22 位數。　

(2)log1 < 0.1275 < log2

_，

故首位數字為 1。　

(3)7

1

_→7

_，7

2

_→9

_，7

3

_→3

_，7

4

_→1

_，7

5

_→7

_，

表示個位數為 4 個一循環，故 7

25

_{個位數字為 7。}

20.

設

2x _9

，

3y _8

，則

xy

____________

。

解答 　

6

解析 　

1 2x _{  }9 2 9_x

，且

₃y _{ 8 2}3

，故

1 2 3 3 6 3y (9 )x 3y (3 )x _{y xy} 6 x       

_。

21.

_{解方程式 2 log}

4

x + log

2(x − 2) = 3

，得 x = ____________。

解答 　4　

解析 　因為真數必須為正數，所以

x0

_且

x 2 0

_，故

x2

_。

利用換底公式可得：

log log( 2) log log( 2)

2 3 2 3

log 4 log 2 2log 2 log 2

x x x x

      

_，

同乘

log2

可得：





3 2

log log( 2) 3log 2

log ( 2) log 2 ( 2) 8 2 8 0 x x x x x x x x              (x 4)(x 2) 0 x 4      

_或

_2

_。

綜合以上，可知：

x4

_。

22.

若 a、b、c 為正整數，已知 alog

2702 + blog2703 + clog2705 = 2

，則 a 為____________。

解答 　2　

解析 　

alog 2270 blog 3270 clog 5 2270 

log 2 log3 log5

2

log 270 log 270 log 270

a  b  c 

 _{ } _{ } _{ }

     



 

 







log 2 log 3 log5

2 log 270

log 2 3 5

log 2 log 3 log5

2 2 log 270 log 270 a b c a b c a  b  c          





270 log 2a 3b 5c 2    





2 2 3 2 6 2 2a 3b 5c 270 2 3 5 2 3 5          

_，

因此

a2

_，

b6

_，

c2

_。

23.

_化簡

(log 2 log 8)(log 0.2 log 25)5  125 4  2 

____________

。

解答 　

7

解析 　

(log 2 log 8)(log 0.2 log 25)5  125 4  2

1

1 2

log2 log8 log0.2 log25 log2 3log2 log5 2log5

log5 log125 log 4 log 2 log5 3log5 2log 2 _log2

        _{ } _  _  __  _  _     _ _

log 2 log2 log5 2log5 log 2 7 log5 7

2 2 7

1

log5 log5 2log2 _{log 2} log5 2 log 2 2

2           _  _  __  _  _    _{ }     

。　

數學 3A 第二次期中考題庫

24.

_{化簡下列各式。}

0.25 1 4 2

log log log 2

____________

。

解答 　

1₂

解析 　令所求

0.25 1



4



2

log _log log 2 _x

 

，

因為

1 2 2 44

，所以

4 1 log 2 2 

_，

可得：

0.25 1



4



0.25 1 2 2 1

log log log 2 log log

2 x _ _ _ _    

。

因為

2 1 1 2 2    _ _

，所以

1 2 1 log 2 2

，

可得：

0.25 1 0.25 1 4 2 1

log log log 2 log 2

2 x _ _   

。

因為

1 1 1 1 ( 1) ( ) ₁ 2 2 2 1 2 2 4 4 4 (4 ) ( ) 4    _       

_，

所以

1 4 1 log 2 2  

_。故所求

1 2  

_。

25.

試求(log

34 + log2716)(log49 − log163)的

值為____________。

解答 　

5₂

解析 　所求

(_{log3 log27 log4 log16}log4log16 log9)(  log3) ( 2 log2 4 log 2 2 log3_log3 _{3 log3 2 log2 4 log 2} )( _  _log3 )

　　

(10 log2 3 log3₃ _{log3 4 log2})(  )5₂

。　

26.

解方程式 2

2x + 1

_{− 33 × 2}

x − 2

_{+ 1 = 0}

_{，x = ____________。}

解答 　

− 3

或

2

解析 　2

2x + 1

_{− 33 × 2}

x − 2

_{+ 1 = 0 ⇒ 2}

2x

_{× 2}

1

_{− 33 × 2}

x

_{× 2}

− 2

_{+ 1 = 0}

_，

令 t = 2

x

_，原式

₂ 2 33 _{1 0} 4 t t    

_{⇒ 8t}

2

_{− 33t + 4 = 0}

⇒ (8t − 1)(t − 4) = 0

 t 1₈

或 t = 4，

即

₂ 1 ₂ 3 8 x _{ } 

或 2

x

_{= 4 = 2}

2

_{，所以 x = − 3 或 x = 2。}

27.

已知 a = (0.5)

0.7

_，

4 1 8 b

_，

₍1₎0.25 16 c

_，

( 1 )3 2 d 

_{，e = (0.25)}

0.36

_{，比較五數的大小順序為______。}

解答 　d < c < b < e < a　

解析 　

_(0.5)0.7 _{( )}1 0.7 ₂ 0.7 2 a_{  } 

，

3 0.75 4 4 1 2 2 8 b_{ }  _ 

，

₍1₎0.25 _{(2 )}4 0.25 ₂ 1 16 c_{ }  _ 

，

1 3 3 2 3 2 1.5 1 ( ) (2 ) 2 2 2 d _{ }  _  _ 

，

0.36 1 0.36 2 0.36 0.72 (0.25) ( ) (2 ) 2 4 e     

_，

因為

− 1.5 < − 1 < − 0.75 < − 0.72 < − 0.7，所以 2

− 1.5

_{< 2}

− 1

_{< 2}

− 0.75

_{< 2}

− 0.72

_{< 2}

− 0.7

_，

即 d < c < b < e < a。　

　

28.

已知

₁₀0.3010_2

，

₁₀0.4771_3

。若

₅60

小數點下第

m

_{位始出現不為零的數字，首次出現不為零的數字}

為

b

，則數對



m b,





____________

。

解答 　

(42 , 1)

解析 　





60 60 1 60 60 0.6990 41.94 0.06 ( 42) 0.06 42 0.3010 10 10 5 10 10 10 10 10 2 10     _  _  _{ }  _   _{ }         

，

而

_{1 10} 0

_，

_{2 10} 0.3010

_，且

y10x

_{為嚴格遞增函數，}

所以

100100.06100.3010  1 100.062

_，即

₁₀0.06_{ 1.}

_，

故

₅60_{1. 10}42 

，即

₅60

在小數點下第

42

_{位開始出現不為零的數字，首次出現不為零}

的數字為

1

_，

數對

( , ) (42 , 1)m b 

_。

29.

_{已知 f(x) = a + log}

b

x

的圖形通過點(1,2)，而其與直線 x = y 成對稱的圖形通過(4,25)，求 a + b =

____________

。

解答 　7　

解析 　f(1)= a + log

b

1 = 2 ⇒ a = 2

，

因為(4,25)在與直線 x = y 成對稱的圖形上，表示原函數通過(25,4)，

因此 f(25) = 2 + log

b

25 = 4 ⇒ log

b

25 = 2 ⇒ b

2

= 25 ⇒ b = 5

，

故 a + b = 7。　

30.

下圖為 y = 3

x

_{的圖形。設 P、Q 分別為直線 y = 2，y = 6 與 y = 3}

x

_的交點，

求

PQ

_{的長為____________。}

解答 　

17 數學 3A 第二次期中考題庫

解析 　由圖可設 P (x

1

, 2)

、Q (x

2

, 6)

，並得

3x1 2

，

3x2 6

，

2 2 1 1 3 6 3 3 3 2 x x x x  _{  }

，即 x

2

− x

1

= 1

。

因此

2 2 2 2 2 1 ( ) (6 2) 1 4 17 PQ x x     

_。

31.

設 log

23 = a

，log

65 = b

，請將 log

7590

用 a、b 表示為____________。

解答 　

1 2_a_a b ab_2b _2ab

解析 　

2

log3

log 3 log3 log 2

log 2 a   a

_，

6 log5 log 5 log 6

log5 log 6 (log 2 log3) (log 2 log 2)

b b b b a         log 5 b(1 a)log 2   

_，

得



_

_



2 75 ₂ log 2 3 5

log90 log 2 2log3 log5

log 90

log75 log 3 5 log3 2log5

  _{ }

  

 

　　　　

log 2 2 log 2_{alog 2 2 (1} a _bb(1_{a)log 2}a)log 2

 

　　　　

1 2_aa b_{2 (1}_b (1__a)a) 1 2 _a_a b ab_2b _2ab

。　

四、混合題

1.

在化學上，我們常利用溶液的

pH

_{值來表示溶液的酸鹼度，定義}

pH

_值

_{ }log[H ]

，其中

[H ]

_表示

溶液中的氫離子濃度，單位是莫耳

/

_{升，請回答下列問題。（已知}

log1.585 0.2

_，

log6.31 0.8

_）

(1)

若某溶液中的氫離子濃度為

₁₀6.8

莫耳

/

_{升，則此溶液的}

pH

_{值為____________。}

(2)若 A

溶液的

pH

值比 B 溶液的

pH

值多

1

_{，則 A 溶液的氫離子濃度與 B 溶液氫離子濃度的關係為}

何？

解答 　(1)6.8　(2)見解析　

解析 　(1)

pH

_值

_{ }log106.8_{  }



6.8



_6.8

。　

(2)

設 A 溶液的

_pH

值為

1 k

，B 溶液的

pH

值為

_k

，則

log[H ] 1 log[H ] A B k k          

，

兩式相減得：



log[H ]A log[H ]B



1 log [H ]_{[H ]}A 1 [H ]_{[H ]}A 101 ₁₀1

B B              _{ }      

，

即 A 溶液的氫離子濃度為 B 溶液氫離子濃度的

₁₀1

倍。　

2.

設

_{( )}7 40 3 a

_{，請回答下列問題：}

(1)

已知

log 2 0.3010

，

log3 0.4771

，

log7 0.8451

，若

7₃10k

，則

_k

的近似值到小數點後第三位為

____________

。

(2)

a

應為幾位數？　(A)12　(B)13　(C)14　(D)15　(E)16　

解答 　(1)0.368　(2)D　

解析 　(1) 因為

log3 0.4771  3 100.4771

_，

_{log 7 0.8451  7 10}0.8451

，

所以

0.8451 0.8451 0.4771 0.3680 0.4771 7 10 10 10 3 10    

_，故

k

的近似值為

0.368

(2)

( )7 40 (100.368 40) 1014.72 100.72 1014 3 a    

_{，故為 15 位數。}

3.

對「接觸便會感染，而且感染後便能免疫」這類傳染病的感染率

I t( )

定義為

( ) I t

₌₍

_在時間

_t

_{時被感染過的人數)/(這城市的總人數)。}

根據理論得知，感染率

I t( )

會符合

1 ( ) 1 7 bt I t a    

這樣的數學模型，而且當

1 ( ) 2 I t 

_的時間

t

是該傳

染病的傳染高峰。有一這類型的傳染病在某個城市蔓延，剛開始（

t0

_時），有

2%

_{的人口被傳}

染，而

t3

_時，有

12.5%

_{的人口被傳染。}

(1)

感染率中，實數

a

_{的值為何？　(A)}

4

_(B)

16

_(C)

36

_(D)

49

_(E)

64

(2)

感染率中，實數

_b

的值為何？　(A)

1₃

　(B)

1₃

　(C)

2₃

　(D)

2₃

　(E)

4₃

(3)

當

t

_{____________}

_{時，是該傳染病的傳染高峰。}

解答 　(1)D　(2)A　(3)

6

解析 　(1)

0 1 1 (0) 0.02 49 1 7 50 I a a       

。　

(2)

3 3 3 1 1 1 1 ( ) (3) 0.125 1 49 7 8 7 1 49 7 1 49 7 8 7 b b bt b I t  _ I   _              1 3 1 3 b b      

_。

(3)

1 1 1 2 2 3 3 3 1 1 ( ) 1 49 7 2 7 7 1 7 1 2 0 6 2 3 t t t I t                t  t

_。

4.

心理學家常用數學模型 L(t) = a(1 − 10

− bt

₎

_{來描述學生經過 t 週的學習之後所得的成果，此處的常}

數 a、b 會與學生及學習的科目有關。

數學 3A 第二次期中考題庫

(1)

_{小龍一週可以背熟 100 個英文單字，兩週可以背熟 199 個英文單字，則 a =？（單選題）}

(A)100

　(B)1000　(C)4500　(D)7000　(E)10000。

(2)

如果小龍要將新式學測的 4500 單字完全背熟，最少需要幾週的時間？（使用計算機，四捨五

入至整數位

_{））（非選擇題）}

解答 　(1)E　(2)60 週　

解析 　(1)

2 100 (1 10 ) (i) 199 (1 10 ) (ii) b b a a            

⇒

(ii)_(i)

：

2 199 1 10 100 1 10 b b     

，

令 10

− b

_{= k ⇒}

2 199 1 100 1 k k   

⇒ 100 − 100k

2

= 199 − 199k

⇒ 100k

2

_{− 199k + 99 = 0 ⇒ (100k − 99)(k − 1) = 0}

⇒

k₁₀₀99

或 1（不合），代回(i)，

99 100 (1 ) 100 a  

_{⇒ a = 10000}

_{，故選(E)。}

(2)

10000[1 (99) ] 4500 100 t  

_⇒

1 (99) 0.45 100 t  

_⇒

0.55 (99) 100 t 