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101 2 四技二專 數學 C 卷解析

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Academic year: 2021

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101-2 共同考科 數學(C)卷 共 3 頁 第 1 頁

101 學年四技二專第二次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

101-2-C

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7

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9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

C B D C D A D

B A B D

A

C

B

A

D

C

B

A D A D A

C

B

1. a=9、b=12、c=7 (A) a=9>0⇒圖形開口向上且有最小值 (B) 對稱軸方程式 3 2 9 2 12 2 − = × − = − = a b x (C) 9x2+12x+7=4⇒9x2+12x+3=0 ⇒ > = × × − = ⇒D 122 4 9 3 36 0 有兩交點 (D) f(x)、g(x)的領導係數皆為 9 故開口方向與大小皆一樣,可以經由平移使其重合 2. 7 4 24 4a− = ⇒a= 3. AP=3PBP(a,b) ) 2 1 , 2 5 ( ) 4 ) 3 ( 1 , 4 3 7 ( + + − = − = 2 26 ) 2 1 ( ) 2 5 ( 2+ − 2 = = ⇒ OP 4. f(0)=6⇒0+0+0+c=6⇒c=6 14 6 6 2 6 ) 1 ( =− ⇒ +a+b+ =− ⇒a+b=− f 12 6 2 4 16 12 ) 2 ( =− ⇒ + a+ b+ =− f 17 2 34 2 4 + =− ⇒ + =− ⇒ a b a ba=−3,b=−11⇒(a,b)在第三象限 5. 所求直線方程式即過 A 點之中線方程式 ) 2 1 , 2 3 ( ) 2 2 1 , 2 1 2 ( + − + = = M BC中點 則 AM 的斜率 3 1 2 15 2 5 ) 6 ( 2 3 ) 2 ( 2 1 = = − − − − = AM m ) 2 (− − ⇒AMy [ ( 6)] 3 1 = x 6 6 3 + = + ⇒ y x 0 3 = − ⇒x y 6. ax2+bx+c≥0之解為 7 2 3 ≤ − ≥ x x 或 0 ) 2 7 )( 3 ( 0 ) 7 2 )( 3 ( − + ≥ ⇒ − + ≥ ⇒ x x x x 6 19 7 0 6 19 7 2− − ≥ ⇒ = =− =− ⇒ x xabc 0 7 19 6 0 2 2+ + + x x a bx cx 0 ) 7 2 )( 1 3 ( 0 7 19 6 2+ − ≤ ⇒ − + ≤ ⇒ x x x x 0 , 1 , 2 , 3 3 1 2 7 − − − = ⇒ ≤ ≤ − ⇒ x x 則滿足cx2+bx+a≥0的所有整數解之和為 6 0 ) 1 ( ) 2 ( ) 3 (− + − + − + =− 7. Step1 ∵直線 L 的斜率為 4 3 ⇒直線 L 可假設為 0 4 3xy+k= Step2 ∵直線 L 與點(1,2) 的距離為 2 15 , 5 2 ) 4 ( 3 2 4 1 3 2 2+ = ⇒ =− + × − × ⇒ k k Step3 可知道直線 L 為3x−4y+15=0⇒x截距為−5 8. 0 4sin 2cos 0 4 2 cos sin = − ⇒ = θ θ θ θ θ θ θ

θ 2cos 2sin cos sin 4 = ⇒ = ⇒ θ θ θ θ θ 2 2 2 2 2 sin 1 cos sin 4 ) (cos ) sin 2 ( = ⇒ = = − ⇒ 5 1 sin 1 sin 5 2 = ⇒ 2 = ⇒ θ θ 5 3 5 2 1 sin 2 1 2 cos θ = − 2θ= − = 9. ) 3 5 3 1 3 11 ( 2 1 = × − × 10. 方法一: ABC s= + + =10⇒Δ 2 5 8 7 面積為 3 10 ) 5 10 )( 8 10 )( 7 10 ( 10 − − − = 3 3 10 10 3 10 ⇒ = ⇒ = = r r rs

(2)

101-2 共同考科 數學(C)卷 共 3 頁 第 2 頁 7 7 3 7 3 10 4 5 8 7 3 10 4 × = ⇒ = = ⇒ = × × ⇒ = Rr r R R R abc 方法二: 7 40 5 8 7 4 4 = × × = = Δ × Δ = × s abc s abc r R 11. (A) =3×5+4×(−12)=−33 (B) cosθ = 65 33 13 5 33 − = × − = (C) 28 2 56 | 12 5 4 3 | 2 1 = = − (D) 13 33 65 33 5× = = 另解 13 33 ) 12 ( 5 ) 12 ( 4 5 3 2 2+ = − × + × = 12. θ 2θ 2 θ 2 2θ 2 1 4 2 4A r r r r r r L= ⇒ + = × ⇒ + = θ θ θ θ θ 2 2 2 2 (2 1) 2+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ r r r θ 4 ) 1 2 ( 8= − × ⇒ r

13. (A) sinx+cos2x=2⇒sinx+1−2sin2x=2 4 7 1 sin 0 1 sin sin 2 2 − + = ⇒ = ± − ⇒ x x x (無實根) (B) 2 4 6 0 10 6 2+ x+ = x= − ± − x (無實根) (C) x3+2x2+7x+3=0若實係數方程式有虛根, 則虛根必成對出現,所以至少有一個實根 (D) 由− 52+42 ≤5sinx+4cosx≤ 52+42可知 41 cos 4 sin 5 41≤ + ≤ − x x 故5sinx+4cosx=10無解 14. x x x x x x x x + + + + + = + + + 3 1 7 3 2 7 4 2 7 3 1 3 3 2 2 4 2 1 1 1 0 1 0 4 2 1 ) 7 ( 3 1 1 3 2 1 4 2 1 ) 7 ( − − − + = + + + = x x x x x x 0 ) 1 )( 7 ( 1 1 1 ) 7 ( = + 2− − = − − − + = x x x x x x 2 5 1 , 2 5 1 , 7 + − − = ⇒x ∴ 7 2 5 1 2 5 1 7× + × − = − 15. Step1 已知α、β(α <β)為方程式x2−6x+3=0的兩根 6 = + ⇒α β ,αβ =3 Step2 (1) 30 36 2 6 ) (α+β 2 = 2⇒α2+ αβ+β2 = ⇒α2+β2 = (2) (α−β)2 =α2−2αβ+β2 =30−6=24 6 2 − = − ⇒ <β α β α Step3 6 66 33 6 2 ) )( ( 2 2 3 3β = αβ α +αβ+β = × = α 16. a= 117−28 17 = 117−2 68×49 7 68 49 68− = − = ∴x=1、y= 68−8 7 68 19 8 68 4 19 4 − − − = + − y x y 1 ) 7 68 ( ) 8 68 ( + − + = = 17. ⎩ ⎨ ⎧ − = + − = + ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = + + = + + 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 0 c y b x a c y b x a c y b x a c y b x a 2 2 1 1 2 2 1 1 b a b a b c b c x − − = ⇒ , 2 2 1 1 2 2 1 1 b a b a c a c a y − − = (1) 4 4 4 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = b a b a b b a a a a b b (2) 8 48 2 3 48 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = × = = c c a a c c a a c c a a 8 8 2 2 1 1 2 2 1 1 = − − ⇒ = ⇒ c a c a c a c a (3) 96 3 3 2 2 2 1 1 1 = − − ⇒ c b b c b b 96 3 2 2 2 1 1 1 = − − ⇒ c b b c b b 32 32 2 2 1 1 2 2 1 1 = − − ⇒ = − − ⇒ b c b c c b c b ∴ 8 4 32 1 = − = x 、 2 10 4 8 1 1 1 = ⇒ + = − = x y y 18. (A) x 為實數, 0 4 3 ) 2 1 ( 1 2 2+x+ = x+ + x (B) a>0、b>0,當 10 1 = = b a 0 10 7 1 10 2 10 1 1 2 10a2+ b− = + − = − < (C) a、b 為實數,柯西不等式 2 2 2 2 2 2 2 ) 4 3 ( ) ]( ) 4 ( 3 [ ) ( 25a +b = + − a +bab (D) a≥0、b≥0,算幾不等式 ab ab ab b a 2 2 8 6 2 + ≥ = ≥ 19. = + =cos60°+ sin60° 2 3 1 i i ω 1 1 180 sin 180 cos 3 3= °+ °= = ⇒ω i ω

(3)

101-2 共同考科 數學(C)卷 共 3 頁 第 3 頁 i i i 3 1 2 3 1 2 2 3 1 = − ⇒ + = ⇒ + = ω ω ω 0 1 0 4 4 4 2− + = ⇒ 2− + = ⇒ ω ω ω ω ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( −ω +ω2 +ω4 +ω8 ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( −ω +ω2 −ω +ω2 = 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( −ω +ω = −ω ω = (∵ω2−ω+1=0⇒1−ω=−ω2,ω2+1=ω) 1 ) ( 3 2 6 2 4 = = = =ω ω ω ω (∵ω3=−1) 20. 原式可以變成 ) 0 0 0 0 ( ) 3 ( 7 1 1 ) 2 ( 8 1 1 ) 1 ( 5 1 1 ≠ ≠ ≠ ≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + z y x xyz z x z y y x 且 且 故 L L L L L L ) 4 ( 10 1 1 1 2 ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( L L = + + ⇒ + + z y x 5 1 5 1 ) 1 ( ) 4 ( − ⇒ = ⇒z= z , 2 1 2 1 ) 2 ( ) 4 ( − ⇒ = ⇒x= x 3 1 3 1 ) 3 ( ) 4 ( − ⇒ = ⇒y= y 5 5 1 10 3 1 6 2 1 2 10 6 2x+ y+ z= × + × + × = 21. x3+8i=0⇒x3=−8i=8(0−i) )] 2 2 3 sin( ) 2 2 3 [cos( 8 π+ nπ +i π + nπ = ,nNx=r(cosθ+isinθ),rR,θ∈R ) 3 sin 3 (cos 3 3 θ θ i r x = + ⇒ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = θ π π 2 3 2 3 8 3 n r ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = = = ⇒ θ π θ π θ π 6 11 2 6 7 1 2 0 2 , ; , ; , n n n r ) 2 sin 2 (cos 2 0 π π i x = + ⇒ , ) 6 7 sin 6 7 (cos 2 1 π i π x = + , ) 6 11 sin 6 11 (cos 2 2 π i π x = + 將此三根畫在複數平面上 2 = = =OB OC OA ° = ∠ = ∠ =

AOB BOC AOC 120 3 3 2 3 6 120 sin 2 2 2 1 3× × × × °= × = 22. 11 16 16 9 4 2 2 4+ × × ×− + 2× = ⇒ m m 0 ) 1 )( 7 16 ( 0 7 9 16 2− − = ⇒ + − = ⇒ m m m m 16 7 − = ⇒ m (1 不合) 23. a2+(b−2)2+(c+3)2=13 由柯西不等式[a2+(b−2)2+(c+3)2][12+(−1)2+12] 2 2 ) 5 ( ) 3 2 ( − + + + = − + + ≥ a b c a b c 39 ) 5 ( ) 5 ( 3 13× ≥ − + + 2⇒ − + + 2≤ ⇒ a b c a b c 39 ) 5 ( 39≤ − + + ≤ − ⇒ a b c A c b a B=− − ≤ − + ≤− + = ⇒ 5 39 ( ) 5 39 ∴A× B=(−5+ 39)(−5− 39)=25−39=−14 24. 2 1 2 2 2 1 4 1 1 2 2 2 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 3 3 4 2 + + + + = + + + + x x x x 2 1 2 2 2 5 1 3 2 2 2 3 + + = ) 12 2 6 15 2 30 4 ( ) 6 2 12 20 2 10 6 ( + + + + − + + + + = 2 14 1 ) 2 36 31 ( ) 2 22 32 ( + − + = − = 25. 實係數方程式有虛根,虛根必成對出現 由b+ ,可以知道另一根為2i b− 2i 以及三次方程式有三個根,另一根必為實根 由3+ai(a≠−2)可以知道a=0 )] 2 ( )][ 2 ( )[ 3 ( 21 2 3 x cx d x x b i x b i x − + + = − − + − − ] 2 ) ][( 2 ) )[( 3 (xxbi xb + i = ) 4 2 )( 3 ( ] ) 2 ( ) )[( 3 ( − − 2− 2 = − 2− + 2+ = x x b i x x bx b 12 3 ) 4 6 ( ) 3 2 ( 2 2 2 3 + + + + =x b x b b x b 比較係數可以知道21=2b+3⇒b=9 255 139 21 21 2 3 2 3 + + = + x x cx d x x x ⇒ c=139 ∴a+b+c=148

參考文獻

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