靜不定扭轉構件 剪應變 應變能 薄壁管

§ 靜不定扭轉構件(Statically Indeterminate Torsional Members) 1.靜定結構：當一個結構的平衡方程式數目等於未知數(反力數)的數目且恰可解時，稱此結構 為靜定結構。 2.靜不定結構：當一個結構的平衡方程式數目少於未知數(反力數)的數目時，稱此結構為靜不 定結構，少於的數目就稱為幾度靜不定結構。 3.靜不定結構的求解，除了本身可以找出的平衡方程式數量以外，必須要設法找出相容方程式 (條件方程式)，以解出未知的反力數。 求解步驟： 1.建立平衡方程式(equation of equilibrium)：



T  0  T₁T₂ T 2.建立相容方程式(equation of compatibility)：i 0  1 2 3.利用扭矩與位移關係式(torque-displacement relation)求解未知數(即未知的扭矩)： 1 1 1 1 P I G L T   2 2 2 2 P I G L T   4.兩條方程式解兩個未知數(即T1與T2) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 P P P I G I G I G T T   ， ( ) 2 2 1 1 2 2 2 P P P I G I G I G T T   5.未知的扭矩解出後，又可利用扭矩與位移關係式求出扭轉角  P GI TL   ∴ 2 2 1 1 2 1 P P G I I G TL       或利用扭轉公式可求出剪應力  P i I Tr   ※比較：Ch2 靜不定結構(軸向負載桿件)之求解步驟。

材料力學實習 1013

§ 扭轉與純剪中的應變能(Strain Energy)

A.線彈性行為(linearly elastic behavior) 2  T W U   T GI L P     L GI GI L T U P P 2 2 2 2     ※SI units：焦耳(Joule，J)  1 J=1 N-m USCS units：呎磅(ft-lb)、呎千磅(ft-kips)、吋磅(in.-lb) B.各段具有不同扭矩、尺寸與材料時之應變能：





    n i i P i i i n i i I G L T U U 1 2 1 2 ( ) C.扭矩T與橫剖面面積A沿軸線連續變化之應變能： 



L P x GI dx x T U 0 2 ) ( 2 )] ( [ D.純剪中的應變能密度(strain-energy density)u： 2 2 2 2   G G u   § 薄壁管(Thin-Walled Tubes) A.剪力流(shear flow) f ： f  t= constant  ：剪應力 ； t：薄壁管厚度

B.薄壁管的扭轉公式(torsion formula for thin-walled tubes)： m A t T 2   T：扭矩 ； t：薄壁管厚度 ； A_m：中位線所圍的面積

C.薄壁管的剪應力 1.圓形薄壁管(circular tube)： ₂ 2t r T    ；其中 2 r A_m  2.矩形薄壁管(rectangular tube)： bh t T vert 1 2   ； bh t T horiz 2 2   ；其中A_m bh D.扭轉常數(torsion constant)J



 m L m t ds A J 0 2 4  若具有等厚度的薄壁管： m m L A t J 2 4  ；其中L 為薄壁管中位線的周長 _m 1.圓形薄壁管之扭轉常數：J 2r3t 2.矩形薄壁管之扭轉常數： 2 1 2 1 2 2 2 ht bt t t h b J   2 2 2( ) 2 1 0 0 0 2 1 t b t h t ds t ds t ds m L h b     







E.薄壁管之扭轉角(angle of twist)： GJ TL   ；GJ稱為扭轉剛度 F.薄壁管之應變能： GJ L T U 2 2 

材料力學實習 1013

Ref：Mechanics of Materials by James M.Gere & Barry J. Goodno, 7th ed.