96指考數甲乙-非選

96 指考數學甲、數學乙

非選擇題作答情形分析

編者案：96 指考非選擇題評分標準說明系列報導，以數學考科壓軸，為此系列報導畫下 句點。本期邀請本中心數學考科兩位學科研究員撰文，提供數學甲、數學乙的 非選擇題評分標準說明及考生作答情形分析，請關心高中教育的各界參考。 第一處 朱惠文 陳慧美 96 年指定科目考試數學甲與數學乙的考試題型可分為：選擇題、選填題與計算證明 題。其中計算證明題主要是評量考生能否陳述解題時的論證過程，以及數學表達能力。 因此，為瞭解學生於非選擇題上的推理過程，我們抽樣了數學甲800 份、數學乙 876 份 的非選擇題答案卷，來瞭解考生的解題概念與想法，並配合 96 年數學甲、數學乙全體 考生在非選擇題的得分情形來分析。下面將分別對96 年數學甲與數學乙非選擇題部分， 來說明學生解題時可能出現的作答類型。

數學甲

表一為 91 至 96 年數學甲非選擇題得零分的考生人數與人數百分比。除 92 年因為 SARS 取消非選擇題以外，今年非選擇題零分人數較 94、95 年多，但比 91、93 年少， 表示部分學生對今年試題不知如何下筆作答。以下嘗試從試題主觀的數學內容，及考生 客觀的答題反應，找出為何今年零分人數較多的原因，其中有關考生的作答情形，是從 參與96 年數學甲考生群中，隨機抽樣 800 份試卷進行分析。 表 一 、91 至 96 年 數 學 甲 非 選 擇 題 零 分 統 計 表 年 度 人 數 人 數 百 分 比

【 第 一 題 題 目 】 設 f x( )=x3−6x2− +x 30， 且 a b 是 方 程 式, f x( ) 0= 的 兩 正 根 。 (1) (3 分 ) 求 解 三 次 方 程 式 f x( ) 0= 。 (2) (8 分 ) 若 ∆ABC 中 ， AC a BC b= , ,= _∠ACB=120o_{， 且 D E 是 AB 上 兩 點 ， 滿 足 ,} , BD BC AE= =AC ， 試 求 ∆CDE 的 面 積 。 【 說 明 】 本題為一題組，題幹先說明a b, 是方程式 f x

( )

=0的兩正根，第 1 小題為解三次方 程式 f x

( )

=0的根，第2 小題則將第 1 小題所算出的根代入第 2 小題。 第 1 小題可利用牛頓一次因式檢驗法，例如寫出可能的有理根為± ±1、 2、 、±3 ±5 6 10 15 30 ± ± ± ± 、 、 、 、 。得出其中一根後，再利用長除法或綜合除法得出其他的根；或是 將 f x

( )

進行因式分解，例如直接寫出

(

x+2

)

(

x2−8x+15

)

，這兩個解法均為高一所學的 基本知識及應用。表二為800 份考生抽樣卷作答結果，約 49%考生採用因式分解方法， 即寫出

(

x+2

)

(

x2−8x+15

)

的方式作答，但有極少數考生是利用根與係數的關係求解， 如列出a b c+ + =6，這群考生可能誤以為此題與大考中心於96 年 5 月上網的研究用試 卷 類 似 ， 所 以 才 以 根 與 係 數 觀 念 解 答 。 從 表 二 可 看 出 約 60%的 考 生 能 完 全 作 對 。 分 析 考 生的作答情形，發現採用因式分解的考生，約 13%作答錯誤，其中有些考 生 未 能 分 解 完 成 ， 例 如 只 寫 出 f x

( ) (

= x−3

)

(

x2−3x−10

)

或 因 式 分 解 錯 誤 ， 例 如

( ) (

2

) (

3

) (

5

)

f x = x− x− x+ ，另外，有些只寫出 f x

( ) (

= x+2

) (

x−3

) (

x−5

)

，但未寫出 2,3,5 x= − ，或是只寫兩正根3,5 ，這些考生不是不會，而是未能完整表達整個解題過 程。而採牛頓一次因式檢驗法的考生中，有些只寫出 f

( )

3 =0，或是 f

( )

− =2 0、

( )

3 0 f = 、 f

( )

5 =0，與只作答 f x

( ) (

= x+2

) (

x−3

) (

x−5

)

犯了同樣的錯誤，即未明確 寫出試題所要的答案。但清楚而且完整表達解題過程，是指考測驗目標，也是高中修習 數學課程，應逐步培養的能力之一。 表 二 、 第 一 大 題 之 第(1)小 題 考 生 的 作 答 情 形 統 計 表 第(1)小 題 作 答 情 形 人 數 百 分 比 未 答 159 20% 不 知 如 何 下 筆 作 答 或 是 亂 答 94 12% 利 用 有 理 根 或 牛 頓 一 次 因 式 檢 驗 法 ， 例 如 f(5) 0= 173 22% 利 用 因 式 分 解 或 餘 式 定 理 393 49% 完 全 正 確 480 60%

第2 小題是利用第 1 小題算出的兩正根 3,5，代入得AC=3、BC=5，或AC=5、 3 BC= ，再求∆CDE的面積，此題的解法可分為三步驟： (1) 求∆CAB的面積 (2) 利用餘弦定理求AB (3) 求出DE 第1 步驟求∆CAB的面積，最直接的方法就是正弦定理，當然也可利用海龍公式。 表三為分析800 份考生作答結果，約 22%知道求∆CAB的面積，其中約83%的考生利用 正弦定理作答。至於第2 步驟利用餘弦定理得AB ，由表三可知約 39%的考生知道利用 餘弦定理算出AB 的長度，其中約 9 成可以完全作對。正弦、餘弦定理是高中三角函數 課程必學的基本數學知識，觀察抽樣卷考生的作答情形，結果發現約16%的考生會用餘 弦定理，但不會用正弦定理或是公式記錯，約 3%的考生會用正弦定理，但不會用餘弦 定理或公式記錯，顯示考生較熟悉餘弦定理甚於正弦定理，可能因為餘弦定理容易流於 程序性知識，正弦定理則著重於觀念的應用。對照歷年試題，評量餘弦定理試題的答對 （得分）率多數高於正弦定理。至於第3 步驟則利用試題所給條件AE= AC，BD BC= ， 與 由 餘 弦 定 理 算 出 的 AB ， 推 得 DE= ， 再 加 上1 ∆CDE 與 ∆CAB 異 底 同 高 ， 得 1 7 CDE DE CAB AB ∆ _{= =} ∆ 。 由 表 三 得 知 約 14% 的 考 生 能 正 確 算 出 DE= ， 並 推 得1 1 7 CDE CAB ∆ = ∆ ，約12％的考生雖能得出DE= ，卻無法推得1 ∆CDE與∆CAB的關係。 能完全作對的考生約19%。事實上，本題的解法有很多種，以下列出除上述作法以外， 考生抽樣卷所採用的作法：

(1) 利 用 餘 弦 定 理 算 出 cos A 、 cos B ， 再 算 出 sin A 、 sin B 後 ， 利 用

CDE BCD ACE ABC

∆ = ∆ + ∆ − ∆

(2) 利用餘弦定理算出cos A後求出CE，cos B求出CD，再求出cos CED∠ ，再算 1 sin 2 CDE CE DE CED ∆ = × × ∠ 這兩個作法均用到二次以上的餘弦定理，計算量不少，一不小心，很容易計算錯誤。

表 三 、 第 一 大 題 之 第(2)小 題 考 生 的 作 答 情 形 統 計 表 第(2)小 題 作 答 情 形 人 數 百 分 比 未 答 160 20% 不 知 如 何 下 筆 作 答 ， 或 是 隨 意 亂 答 89 11% 知 道 求∆CAB的 面 積 221 28% (1)利 用 正 弦 定 理 ， 且 計 算 正 確 183 23% (2)利 用 海 龍 公 式 ， 或 其 他 方 法 ， 且 計 算 正 確 10 1% (3) sin120D_{算 錯 或 是 面 積 公 式 算 錯，例 如 例 如 少} 1 2 或 是 海 龍 公 式 背 錯 ， 與 其 他 錯 誤 26 4% 知 道 利 用 餘 弦 定 理 算 得 AB 的 長 度 311 39% (1)利 用 餘 弦 定 理 ， 且 計 算 正 確 284 36% (2)餘 弦 定 理 公 式 背 錯 或 是 cos120D_{算 錯 ， 與 其 他} 錯 誤 26 3% 能 正 確 算 出DE= ， 並 推 出1 1 7 CDE CAB ∆ = ∆ 111 14% 能 正 確 算 出DE= ， 但 無 法 推 出1 1 7 CDE CAB ∆ = ∆ 94 12% 計 算 ∆CDE的 面 積 183 23% 利 用 ∆CAB的 面 積 125 16% 算 出 ∆CAB的 高 47 6% 完 全 正 確 152 19%

另外，此題的試題設計類似TRML(Taiwan Regions Mathematics League 台灣區高中 數學競賽)或 ARML(American Regions Mathematics League 美國高中數學聯盟)接力賽的 命題方式，一題分成二個不相關的小題，將第1 小題的答案寫成已知條件，再傳給第 2 小題。由考生抽樣卷，亦發現有些考生不是不會寫，而是沒注意試題的第一句話「 a b, 是方程式 f x( ) 0= 的兩正根」，而求得_{AB= a}2_{+ab b+} 2 _， 3 4 ABC ab ∆ = 。答案討論會 議時，與會的大學教授與高中老師認為第2 小題主要評量考生是否能依題意畫出相關圖 形，並找出相關解題策略，例如正弦、餘弦定理等解決問題，與第1 小題是否會解方程 式的根並不相同。試題的接力賽設計方式導致考生即使第2 小題的觀念正確，但仍因第 1 小題錯誤而沒有拿到分數。非選擇題以題組方式命製的用意為提示某個關鍵的解題步 驟，鼓勵考生盡量作答非選擇題，但此題並非如此，抽樣卷結果亦呈現放棄第1 小題與 第2 小題的人數差不多，約 20%。

圖一列出此題的成績分佈圖，以得0、3、6、9 與 11 分的考生居多，依據今年非選 擇題試題研發計劃的研究，將各分數所對應的考生能力群如下： 得0 分者：不知如何下手作答 得3 分者：可以正確解方程式的根、或正確利用正弦定理、或正確利用餘弦定理解 題 得6 分者：可以正確解方程式的根、利用正弦定理、利用餘弦定理中的兩項 得9 分者：可以正確解方程式的根、利用正弦定理、利用餘弦定理 得11 分者：能夠確實且完整作答整個解題過程 由以上敘述可知此題對於鑑別考生各群能力方面，相當不錯。得零分的考生約 25%，3 分考生約 30%，約 19%能完全作對。 非選第一題 0 5 10 15 20 25 30 35 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 分數 百 分 比 圖 一 第 一 題 的 考 生 成 績 分 佈 圖

【第 二 題 題 目】 設 ∆ABC 的 三 頂 點 坐 標 分 別 為 A( 2 , 7 ,15)− 、 B(1,16 , 3)、C(10 , 7 , 3)。 (1) (5 分 ) 試 求 通 過 A 、 B 、C 三 點 的 平 面 方 程 式 。 (2) (5 分 ) 試 求 ABC∆ 的 外 心 坐 標 。 【 說 明 】 第二題評量空間三角形的外心坐標。有關外心為三角形三邊中垂線交點的定義屬於 國中課程的範疇，坊間參考書籍或前幾年試題常出現評量平面一三角形的外心坐標，很 少看見求空間中一三角形的外心坐標。考生若仿平面上解外心坐標的方法，如外心到三 頂點等距離，可能會忽略外心坐標必須在該三角形所在平面的性質，命題者可能想要提 示這個關鍵的解題概念，因此第1 小題是求通過 A、B 、C三點的平面方程式，第2 小 題才是求 ∆ABC 的外心坐標。 第1 小題有以下幾個方法求出平面方程式： (1) 設平面法向量為JKN =

(

l m n, ,

)

，利用平面上的直線向量與法向量垂直的性質， 寫出JJJK JKAB N⋅ =0與JJJK JKAC N⋅ =0，解聯立方程式得JKN =

(

1, 1, 1

)

，或是利用外積得 3 4 4 1 1 3 ( , , ) 0 1 1 1 1 0 N = − − − − JK 。 (2) 設平面方程式為 ax by cz d+ + = ，將 A、B、C三點代入解聯立方程組。 (3) 設通過 A、B、C三點的平面方程式為 ( 2) 7 15 1 ( 2) 16 7 3 15 0 10 ( 2) 7 7 3 15 x− − y− z− − − − − = − − − − (4) 觀察 A、B、C三點的坐標分量和即是 20，所以通過 A、B、C三點的平面方 程式為x y z+ + =20 分 析 800 份 考 生 抽 樣 卷 （ 見 表 四 ） 發 現 ， 約 57% 是 直 接 寫 出 法 向 量 為 3 4 4 1 1 3 ( , , ) 0 1 1 1 1 0 − − − − ，這群考生中，約20%作答錯誤，其原因歸類如下： (1) 不 會 向 量 的 基 本 運 算 或 是 粗 心 算 錯 ， 例 如 將 JJJKAB=

(

3, 9, 12

)

寫 成

(

3, 9, 12

)

AB= − − JJJK 。 (2) 求外積時計算算錯，例如算成JJJK JJJKAB AC× =

(

3, 5, 3

)

。 (3) 能正確算出JJJK JJJKAB AC× ，但將其中一點代入求平面方程式時，卻計算錯誤或誤認平 面必過原點，例如寫出x y z+ + = 或0 x y z+ + =14。 少數考生會假設方程式為ax by cz d+ + + = ，但不會解0 a、b、c、d或代入 A、B 、 C三點時，計算錯誤。以上這些考生並不是不曉得如何解題，而是知道該從哪個方向及 用哪些概念或技巧解題，但因不熟悉各概念的基本定義，而作答錯誤，真是可惜。由表 四亦得知約24%考生放棄作答，約 50%能完全作對。

表 四 、 第 二 大 題 之 第(1)小 題 考 生 的 作 答 情 形 統 計 表 第(1)小 題 作 答 情 形 人 數 百 分 比 未 答 191 24% 不 知 如 何 下 筆 作 答 或 亂 答 _{98 12%} (法 一 )利 用 法 向 量 ， 即 寫 出 AB NJJJK JK⋅ =0及 JJJK JKAC N⋅ =0 _{12 2%} 利 用 法 向 量 ， 但 法 向 量 算 錯 _{3 25%} (法 二 )利 用 外 積 ， 即 寫 出 法 向 量 為

(

3 4 0 1 − − , 4 1 1 1 − − ,

)

1 3 1 0 453 57% 利 用 外 積 ， 但 答 案 算 錯 _{98 12%} (法 三 )將 A、B、C三 點 代 入 ， 得 聯 立 方 程 組 _{28 4%} 將 A、B、C三 點 代 入 ， 但 答 案 算 錯 _{12 2%} (法 四 )直 接 用 行 列 式 ， 即 2 7 15 3 9 12 0 12 0 12 x+ y− z− − = − 26 3% 直 接 用 行 列 式 ， 但 答 案 算 錯 7 1% 利 用 其 他 做 法 _{9 1%} 完 全 正 確 _{396 50%} 第2 小題求外心坐標的方法有以下 2 種： (1) 直接用外心到三頂點等距離，寫出OA OB OC= = 的數學式。 (2) 利用外心在三角形三邊中垂線所構成平面的交線上，推得 AB 的中垂線為 3x+4y−4z= ，0 AC的中垂線為x z− = −5，或是寫出 1 2 2 AZ AB⋅ = AB JJJK JJJK JJJK 分析800 份抽樣卷結果，約 70%放棄作答或不知如何下手作答。能下筆作答者，多 半是利用外心到三頂點等距離的觀念，有些考生會列出OA OB OC= = ，但化簡時計算 錯誤。事實上，不管是採取哪一個作法，最後還需加上x y z+ + =20才能解出答案。觀 察抽樣卷考生的作答狀況，發現知道如何下筆作答的考生中，約42%沒有考慮外心在過

表 五 、 第 二 大 題 之 第(2)小 題 考 生 的 作 答 情 形 統 計 表 第(2)小 題 作 答 情 形 人 數 百 分 比 未 答 _{186 23%} 不 知 如 何 下 筆 作 答 或 亂 答 _{361 45%} (法 一 )利 用 外 心 到 3 點 距 離 相 等 132 17% 利 用 外 心 到 3 點 距 離 相 等 ， 但 答 案 算 錯 40 5% (法 二 )利 用 中 垂 面 的 做 法 ， 或 是 線 之 中 點 到 外 心 的 向 量 與 直 線 垂 直 45 6% 利 用 中 垂 面 的 做 法 ， 但 答 案 算 錯 _{22 3%} (法 三 )利 用 投 影 ， 得 1 2 2 AZ AB⋅ = AB JJJK JJJK JJJK 17 2% 利 用 投 影 ， 但 計 算 錯 誤 _{10 1%} 算 成 重 心 坐 標 、 內 心 坐 標 或 垂 心 65 8% 缺 x y z+ + =20 _{105 13%} 完 全 正 確 _{44 6%} 本題將考生所熟悉的平面幾何概念推廣到三度空間，評量考生是否能將平面上所用 的解題概念推廣到三度空間，由考生的作答反應可發現空間圖形的思考及空間平面與直 線間的關係仍是高中課程難度較高的部分。 圖二列出此題的成績分佈圖，以得 0、5、7 與 10 分的考生居多，依據今年非選擇 題試題研發計劃的研究，將各分數所對應的考生能力群如下： 得0 分者：不知如何下手作答 得5 分者：可以求出正確的平面方程式 得7 分者：可以求出正確的平面方程式，並能用正確數學式表達外心坐標的定義 得10 分者：能夠確實且完整作答整個解題過程 由以上敘述可知此題對於鑑別考生各群能力方面，相當不錯。得零分的考生約 40%，5 分考生約 30%，僅約 6%能完全作對。

非選第二題 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 分數 百 分 比 圖 二 第 二 題 的 考 生 成 績 分 佈 圖 由以上分析可知，今年非選擇題零分較往年人數多的原因在於第一題雖為題組，但 評量兩個不同概念，對考生而言是兩個不同的問題，難度較高，第二題則是空間觀念的 試題，由歷年研究顯示空間單元的難度較高，再加上考生多數不知如何下筆作答以及第 1 小題的提示並未發生功效，使得放棄作答的比例較前兩年多。不過，由考生作答結果 亦發現，部分考生知道需用哪些基本概念或技巧解題，但卻不熟悉或不熟練其概念的定 義，而導致作答錯誤，實在可惜，建議學生在修習數學時，應確定了解課程中所牽涉的 數學各詞的定義及技巧，並於平時多做練習，避免考試時因觀念不清楚而失分。不過今 年數甲試題雖然零分較前兩年多，但滿分亦較前兩年多，故對於鑑別考生程度上相當不 錯，間接達到協助大學選才的功用。

數學乙

表六列出 91 至 96 年數學乙非選擇題得零分的考生人數及人數百分比（92 年表示” 無”，是因為 SARS 取消非選擇題），由表六可看出 96 年的零分人數為 31953 人，百分比 為 37%，可明顯看出零分人數百分比為 91 年至 96 年中最高，可能原因為今年非選擇題 所評量的概念，如：直線的投影仍為直線，與有理數的推論等概念，皆是考生較不熟悉 所致。

表 七 、91 至 96 年 數 學 乙 非 選 擇 題 滿 分 人 數 統 計 表 年 度 人 數 人 數 百 分 比 91 931 1% 92 無 93 9081 9.24% 94 773 0.8% 95 9709 10% 96 2203 3% 另外，由表七可知，今年數學乙中非選擇題得滿分人數為2203 人，人數百分比 3%， 與95 年相比亦減少許多。以下將針對 96 年數學乙非選擇題做分析： 【 第 一 題 題 目 】 某 別 墅 有 一 個 由 四 塊 正 方 形 的 玻 璃 拼 成 的 田 字 形 窗 戶 ， 窗 外 路 燈 的 光 線 ( 假 設 路 燈 是 一 個 點 光 源 ) 透 過 窗 戶 在 地 板 上 形 成 一 個 變 形 的 田 字 形 光 影 。 在 地 板 上 建 置 一 個 直 角 坐 標 系 ， 發 現 田 字 形 光 影 外 框 的 四 個 頂 點 的 坐 標 分 別 為 ( 4, 40) − ， (16,0) ， (16, 40) 和 (28,16) 。 求 田 字 形 窗 戶 的 中 心 投 影 在 地 板 上 的 坐 標 。（ 1 3 分 ） 【 說 明 】 數學乙非選擇題第一題是評量考生能否運用直線的投影仍為直線之性質，來求得田 字形窗戶的中心投影在地板上的坐標M （如圖三）， 考生對於此題的解法有下列三種： (1) 利用四邊形之兩條對角線（AC與BD ）求交 點； (2) 利用等腰梯形性質，求某一對角線（AC 或 BD ）與兩底中點連線 PQ 求交點； (3) 利用內分比求交點坐標（如：求出AM MC: 之 比後，再利用分點公式求交點坐標）。 表八是從96 年數學乙考生群中，抽樣 876 名考生 的答案卷進行分析，表中可看出有二成多的考生連下 筆作答都不願意就直接放棄；另有一成五的考生則寫一些與答案無關的內容。但有24.7% 的考生能完全作對，其中大多數的考生（約23%）是利用此四邊形之兩對角線（AC與 BD ）來求交點。 圖三

表 八 、 第 一 大 題 非 選 擇 題 的 作 答 類 型 作答類型 人數 百分比 未答 203 23.2 有寫一些跟答案無關的內容，可看出不知該如何作答 _{131 15} (法一)利用兩對角線求解 _{243 27.7} 利用兩對角線求交點，但方程式不正確。 24 2.7 利用兩對角線求交點，方程式正確，但交點計算錯誤。 12 1.4 完全正確，利用兩對角線求交點。 _{207 23.6} (法二)利用等腰梯形性質，求某對角線與兩底中點連線之交點 _{3 0.3} 完全正確，利用等腰梯形性質，求某一對角線與兩底之中點連線之 交點。 2 0.2 (法三)利用分點公式來求交點座標 16 1.8 完全正確，利用內分比來求交點坐標。 8 0.9 求出兩組對邊中點連線後，求二中線交點 97 11.1 求出某對邊之兩中點後，再求二中點之中心點 _{94 10.7} 計算四點之重心，即_{( , ) (} 1 2 3 4_, 1 2 3 4₎ 4 4 x x x x y y y y x y = + + + + + + _{33 3.8} 算出某對角坐標之中心點 32 3.6 其他 20 2.3 關於解法一的部分，知道要利用四邊形二條對角線求交點的考生比例約為28%，但 只有23.6%能完全作對。有 2.7%考生求二條對角線方程式時，不慎將方程式寫錯；另有 1.4%考生可得此二條對角線的方程式，卻在解方程式時不小心計算錯誤，以致無法得到 正確的交點坐標。 關於解法二的部分，知道利用等腰梯形性質來求解，且以兩底中點連線PQ ，與某

點。因此，11.1%的考生會利用圖形的兩組對邊中點連線求交點；或有 3.8%的考生則直 接將此四點坐標中的x坐標相加後除以4， y 坐標相加後亦除以 4，來求出投影在地板上 的坐標；亦有10.7%的考生會先求得某組對邊之兩中點後，再求這兩中點的中心點。但 這些方法皆因概念不甚正確，故無法正確求得田字形窗戶的中心投影在地板上的坐標。 至於在其他作法中，有考生會假設中心點到四頂點等距離來求解，或在坐標平面中 作圖後，再以尺量得長度求坐標…等方法，亦無法得到正確答案。 數學乙非選擇題第一題 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 分數 人 數 百 分 比 圖 四 數 學 乙 非 選 擇 題 第 一 題 成 績 分 佈 圖 圖四為數學乙全體考生於非選擇題第一題的得分情形，其中得零分的考生約58%， 可知此群的考生屬於不知該如何作答，或寫一些跟答案無關的內容。約10%考生各得 3 分或 6 分。另有約 1%的考生得 9 分，可知這群考生可能是在解方程式時計算錯誤。此 題得13 分的人數百分比為 25%，即約四分之一的考生可得滿分。 【 第 二 題 題 目 】 設 r,s為 整 數 ， 已 知 整 係 數 多 項 式 x3+ +rx s的 因 式 分 解 是 3 _{( ) (}2 ₎ x + + =rx s x a+ x b+ ， 其 中 a,b為 相 異 實 數 ， 求 證 a,b都 是 有 理 數 。（ 1 3 分 ） 【 說 明 】 第二題是評量考生能否將x3+ + =rx s (x a+ ) (2 x b+ 展開，經比較係數後得三個聯立) 方程式；或由題目中看出− − − 為a a b, , _x3_{+ + 之根，再利用根與係數的關係得聯立方rx s} 程式。之後再將a、b整理成以r 、s形式，進而推證a、b都是有理數。

表 九 、 第 二 大 題 非 選 擇 題 的 作 答 類 型 作答類型 人數 百分比 未答 326 37.2 有寫一些跟答案無關的內容，可看出不知該如何作答。 _{70 8} 利用展開比較係數(或根與係數的關係)，但在展開_{(x a+ ) (}2 _{x b+ 發生錯誤。 )} 43 4.9 利用根與係數的關係，但在寫入根與係數之方程式時符號寫錯，故無法得到 二個以上的方程組。 15 1.7 只做到將方程式展開，但卻未比較係數 10 1.1 將___、___數值代入方程式中，但無法得到二個以上的方程組，其中某數值 為− − -，1，-2 或 2…等。 a b, 12 1.4 得到二個以上的方程組後，看不出在整理什麼，或就直接下結論 160 18.8 得 到 二 個 以 上 的 方 程 組 後 ， 可 看 出 想 將 方 程 組 整 理 成       − = − = = = ) 3 ( 3 ) 3 2 ( 2 3 s br r s b s ar r s a 或 或 ，但卻因計算錯誤，使得無法得到 ( 3 ) 2 3 r s b r s a= 或 =− 15 1.7 得到二個以上的方程組後，可看出想將方程組整理成     = − = − 2 3 3 2 s a r a (或      = = − s b r b 3 2 4 14 3 )等型式，但卻只能整理出_−3a2 _{= 或r −2a}3 _=s 31 3.5 可得 ( 3 ) 2 3 r s b r s a= 或 = − ，故a 為有理數，但卻未說明同理 b 為有理數 _{1 0.1} 可得     = − = − 2 3 3 2 s a r a (或      = = − s b r b 3 2 4 14 3 )，但未說明由_{a 與}3 _{a 都是有理數，得 a 為有}2 理數；或未將兩式相除得a 為有理數，同理 b 為有理數 66 7.5 直設假設a、b 為無理數，或某數如：a= 2,b= ；1 a=2,b= − 來證明 4 _{18 2}

在整理得聯立方程式的部分，有 6.6%考生知道要將方程式展開後，再利用比較係 數或根與係數得方程組，但在開展方程式的整理過程中發生錯誤；另有 1.1%考生只想 到將方程式展開，卻沒想到可利用比較係數得聯立方程式；有考生則是將−a，−b帶入 方程式中，但在計算過程中發生正負號寫錯的問題，因而無法得到二個以上的方程組。 在方程組的整理部分，有18.8%的考生會利用比較係數法，或根與係數得到二個以 上的方程組後，卻不知道應該將a、b整理成r 、s的形式，可能是因為方程組中有四個 未知符號，使得考生找不到任何頭緒來整理式子。另有 5.2%考生會試著將方程式作整 理，卻無法完整整理成 3 2 3 s a r s b r  =   ₋  =  ，或 2 3 3 2 a r a s − =   − =  的型式，大都只能整理出某一項，以 致無法做後續的推論。 在推論的部分，有考生已寫出 3 2 s a r = ，也推論出a為有理數，但卻未說明同理b為 有理數，使得說明上未盡完善，而失去部分分數。亦有約7.5%考生已推論至 2 3 3 2 a r a s − =   − =  ， 但未說明a 與3 _{a 都是有理數，直接下結論得}2 _{a為有理數；或未想到可將兩式相除得a為} 有理數，同理b為有理數，可知考生對有理數的定義不甚清楚，導致無法完整推論出a、 b皆為有理數。另有2%考生會想要利用反証法來推論a、b為有理數，會先假設a、b為 無理數，但後續的證明卻不知該如何推論到錯誤的假設。 從表九的作答類型分析可知，約一成的考生能正確推論出a、b皆為有理數。 數學乙非選擇題第二題 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 _{13 分數} 人 數 百 分 比 圖 五 數 學 乙 非 選 擇 題 第 二 題 成 績 分 佈 圖

圖五為數學乙全體考生於非選擇題第二題的得分情形，得零分的考生人數百分比約 54%，與第一題得零分的考生人數相比還較少些，可能是因為考生只要願意將式子展開 整理，再以根與係數或比較係數法來得方程組，皆能得到部分分數。由圖五可知，約有 10%的考生得 2 分；8%的考生得 4 分；約 15%的考生得 6 分，但得 9 分及 13 分的人數 則不到一成，可見多數考生只能做到將方程式展開比較係數，或運用根與係數得聯立方 程式。但接下來因無法想到可將a、b整理成以r 、s型式，使得後續的推論無法順利完 成。 數學乙兩題計算證明題，第一題評量考生直線的投影能為直線的觀念，第二題則評 量有理數的推論，這兩題的計算量並不大，只要對直線投影及有理數的概念清楚，應可 下筆作答。但由於這兩題並無任何小題引導，對部份考生而言，實難有頭緒下筆作答； 又這二題的零分人數百分比，皆在五成以上，為鼓勵這群考生不要放棄作答非選擇題， 可考慮以引導式的小題來設計試題，以幫助考生能下筆作答。 大考中心每年均會針對數學甲、數學乙的非選擇題進行抽樣，並對所抽樣的試卷進 行作答類型分析，是為了想瞭解學生在解題過程中所使用的概念與想法，進而從中發現 學生可能的迷思概念與錯誤類型，以提供給現場高中教師教學上的參考。此外，高中老 師若對此分析，有其教學實務上的補充或意見，亦歡迎老師與我們分享。