單元八 圓方程式
重點一、圓方程式 1. 圓的標準式： (xh)2 + (yk)2 = r2 ⇔ 圓心為(h，k)，半徑為 r 2. 圓的一般式： x2 + y2 + dx + ey + f = 0，若判別式△= d2 + e2 4f，則 △ > 0：圓心( 2 d − ， 2 e − )，半徑 d e 4f 2 1 2 + 2 − 之實圓。 重點二、圓的切線 1. 已知點(x0，y0)在圓上：只有一條切線 若圓：x2 + y2 + dx + ey + f = 0 則切線為 f 0 2 y y e 2 x x d y y x x 0 0 0 0 + = + ⋅ + + ⋅ + + 2. 已知斜率 m：有兩條切線 若圓(xh)2 + (yk)2 = r2 ，則切線 2 y k− =m(x− ±h) r 1 m+ 3. 已知點(x0，y0)在圓外：有兩條切線 設切線為 yy0 = m(xx0)，利用「圓心到切線的距離等於半徑」求 出 m (若只求出一個 m1，則另一個 m2不存在，即垂直線 x = x0) 重點三、切線段長與弦長 1. 過圓 x2 + y2 + dx + ey + f = 0 外一點(x0，y0)的 切線段長 2 2 0 0 0 0 x y dx ey f = + + + + 2. 如圖所示，弦 AB 之長 2 2 d r 2 − = B A r d精選歷屆試題
1. 由圓(
x+2) (
2+ y−6)
2 =16所圍成之面積等於 Ⓐ 4π Ⓑ8π Ⓒ12π Ⓓ16π 。 2. 若圓的方程式為 2 2 6 5 0 x +y − x+ = ，則下列敘述何者正確？ Ⓐ圓心為(0,3) 甲、Ⓑ半徑為 3 Ⓒ點(3,2)在圓上 Ⓓ點(2,3)在圓上 Ⓔ點(0,0)在圓內。 3. 圓方程式 2 2 0 x +y +dx+ey+ = 通過三點(-1,2)，(0,0)，(3,-2)，則 Ⓐf 9 d = ，e= Ⓑ7 d = − ，9 e= Ⓒ7 d = ，9 e= − Ⓓ7 d = − ，9 e= − 。 7 4. 設 k 為實數，若方程式 2 2 2 2 5 0 x +y + kx− y+ = 的圖形表一圓，則 k 的範圍在 Ⓐk> 或2 k< − Ⓑ 22 − < < Ⓒk 2 k< − Ⓓ2 k> − 。 2 5. 方程式(
x−1)(
x−2) (
+ y−3)(
y−4)
=0之圖形為一圓，則圓心坐標為何? (A) 甲、(0,0) (B)(1,3) (C)(2,4) (D) 2 7 , 2 3 。 6. 如右圖，已知圓 O 的直徑為 a ，則圓 O 的內接正 ABC∆ 之面積為 Ⓐ3 2 8a Ⓑ 2 3 3 16 a Ⓒ 2 3 16a Ⓓ 2 3 8 a 。 7. 設點 A (3,-1)到圓 2 2 4 4 1 0 x +y + x− y− = 之最遠距離為 M ，最近距離為 m ， 則 M m× = ? Ⓐ 3 34 Ⓑ43 Ⓒ 25 3 Ⓓ25。 8. 試求圓x2+ y2+2x+4y−11=0之參數方程式=? (A) + = + = θ θ sin 4 2 cos 4 1 y x (B) + − = + − = θ θ sin 4 2 cos 4 1 y x (C) + = + = θ θ sin 2 4 cos 4 y x (D) − = − = θ θ sin 2 4 cos 4 y x 。 9. 設 x , y 都是實數 ,在x2+ y2 =1的條件下，則x+ 的最大值=? (A)1 (B)2 y (C) 2 (D) 3 。10.動點 ( , )P x y 的參數方程式為x=sint+cost− ，2 y=sint−cost+ ，t R1 ∈ ，則 動點 P 之軌跡方程式是 Ⓐ
(
x+2) (
2+ y−1)
2 = Ⓑ2(
x+2) (
2+ y−1)
2 = 1 1. Ⓒ(
x−2) (
2+ y−1)
2 = Ⓓ0(
) (
2)
2 2 1 2 x− + y+ = 。 11..在坐標平面上，直線x− = 與圓y 1 x2+y2−4x+8y+ = 之關係為 Ⓐ相交於4 0 一點Ⓑ相交於相異兩點 Ⓒ相交於相異三點 Ⓓ不相交。 12.假設直線 : 3L x+4y+10= ，若點 P 在單位圓上移動，假設點 P 與 L 的最長0 距離為a，最短距離為 b ，則 a b− 等於 Ⓐ1 Ⓑ2 Ⓒ3 Ⓓ4 Ⓔ5。 13.平面上圓C:(
x−2) (
2+ y−1)
2 =25與直線 : 3L x+4y+ = 的交點為 A 和 B ，5 0設圓 C 的圓心為 O ，則三角形 OAB 之面積為 Ⓐ8 Ⓑ12 Ⓒ16 Ⓓ20 Ⓔ24。 14.點 P (2,-4)到圓 2 2 : 4 2 4 0 C x +y − x+ y+ = 之切線段長為 Ⓐ 2 Ⓑ 2 2 Ⓒ4 Ⓓ 3 2 。 15. P (2,0)為圓 2 2 2 6 0 x +y − x+ y= 上一點，則過 P 點的切線方程式為 Ⓐ 3 2 0 x− y− = Ⓑx+3y− = Ⓒ 22 0 x−3y− = Ⓓ 24 0 x+3y− = 。 4 0 16.從點(2,1)至一圓 2 2 1 x +y = 之切線方程式的斜率為 Ⓐ0 或4 3 Ⓑ1 或 3 4 Ⓒ 4 5 或 2 Ⓓ1 或 2。 17.已知斜率為 3 且與圓 2 2 25 x +y = 相切之直線方程式為 Ⓐy=3x±5 10 Ⓑ 3 10 5 y= x± Ⓒy=3x± Ⓓ5 y=3x±10。 18.設直線 :L y =mx+ 與圓2 C x: 2+y2 = 相切，則 m 值為 Ⓐ1 m< − 3或m> 3 甲、Ⓑ− 3< <m 3 Ⓒm= 3 Ⓓm= ± 3。 19.過點 A (1,2)向圓 2 2 4 x +y = 作二切線，令二切點為 P 、Q ，圓心為O ，則四 邊形 APOQ 的面積為 Ⓐ8 Ⓑ 2 5 Ⓒ4 Ⓓ2。 20.通過二圓 2 2 9 x +y = ，
(
) (
)
2 2 2 2 4 x− + y− = 之交點之直線方程式為 Ⓐ 9 0 2 2 x+ −y = Ⓑ 9 0 2 2 x+ +y = Ⓒ 4 0 2 2 x+ −y = Ⓓ 4 0 2 2 x+ +y = 。試題解析：
1. 所圍成之面積等於圓的面積 2 16 r π π = = 2. 圓心 (3, 0)O ，半徑r= ，點 (3, 2) 符合圓方程式，∴(3,2)在圓上，而點(2,3)2 及點(0,0)與圓心 (3, 0)O 的距離均大於半徑，∴兩點均在圓外 3. 依題意 1 4 2 0 9 0 0 0 0 0 7 9 4 3 2 0 0 d e f d d e f e d e f f + − + + = = − ⇒ + + + + = ⇒ = − + + − + = = 4. D=2k，E= − ，2 F = ，5 D2+E2−4F >0，∴解得k > 或2 k < − 2 5. 以 A(1,3)與 B(2,4)為直徑端點的圓心坐標為 2 7 , 2 3 6. 1 3 3 2 3 3 3 2 2 4 16 a a ABC OBC a ∆ = ∆ = × × × × = 7. 圓心 ( 2, 2)O − ，半徑r= ，點 A 與圓心的距離3 d = 34， 34 3 M d r ∴ = + = + ，m= − =d r 34− ，3 ∴ × =M m 34 9− =25 8. 圓之參數式為 + = + = θ θ sin cos r k y r h x (h,k)=(-1,-2) r=4 代入 9. ⇒ + = + = + ⇒ = = ) 4 sin( 2 sin cos sin cos π θ θ θ θ θ y x y x y x+ 的最大值為 210.
(
x+2) (
2+ y−1) (
2 = sint+cost) (
2+ sint−cost)
2 = 211. 圓心 (2, 4)O − ，半徑r= ，圓心到直線的距離4 2 2 2 4 1 5 ( , ) 4 2 1 1 d O L = − − = < =r + 甲、∴圓與直線相交於相異兩點 12. 圓心 (0, 0)O ，半徑r= ，1 2 2 0 0 10 ( , ) 2 3 4 d O L = + + = + ， 甲、a=d O L( , )+ = + = ，r 2 1 3 ( , ) 2 1 1 b=d O L − = − = ，r ∴ − = − = a b 3 1 2 13. 圓心 (2,1)O ，半徑r= ， 5 甲、圓心至直線 L 的距離 2 2 6 4 5 ( , ) 3 3 4 d O L = + + = + 乙、 2 2 2 5 3 8 AB ∴ = − = ， 1 3 8 12 2 OAB ∴∆ = × × = 14. 所求之切線段長 2
( )
2( )
2 4 4 2 2 4 4 8 2 2 = + − − ⋅ + ⋅ − + = =15. (2,0)為圓上一點，∴所求方程式為2 0 2 2 6 0 0 3 2 0 2 2 x y x+ −y + + + = ⇒ + − =x y 16. 點(2,1)在圓外，設切線斜率為 m ，則切線 :L mx− −y 2m+ = ，又圓心1 0 (0, 0) O ，半徑r= ，再利用 ( , )1 d O L = 解得r m= 或0 4 3 17. 設切線為y=3x b+ ，又圓心 (0,0)O ，半徑r= ，再利用 ( , )5 d O L = 解得r 5 10 b= ± ，∴所求的切線方程式為y=3x±5 10 18. 由 ( , )d O L = 解得r m= ± 3 19. 2 2 1 2 4 1 PA= + − = ，OP= = ，又知r 2 ∠APO=90 甲、∴四邊形 APOQ 的面積 2 2 1 1 2 2 2 APO = ∆ = × × × = 20. 二圓方程式相減得：2 2 2 2 9 9 0 2 2 x+ y= ⇒ + −x y =
