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運用新興科技進行高中數學函數教學之操作介紹

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Academic year: 2021

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運用新興科技進行高中數學函數教學之

操作介紹

陳香妘

國 立 彰 化 師 範 大 學 科 學 教 育 研 究 所 博 士 生

壹、前言

讓 學 生 經 由 「 動 手 做 」 方 式 學 習 , 不 但 能 培 養 學 生 動 手 解 決 問 題 的 技 能 , 且 能 讓 學 生 透 過 與 實 際 生 活 環 境 類 似 的 經 驗 歷 程 , 理 解 主 要 學 習 概 念 , 亦 能 增 加 學 生 在 上 課 時 的 參 與 感(Xiang,Kong,Chen , Huang & Luo,2017)。現 代 科 技 發 達,有 許 多 與數 學 學 習 有 關 的 電 腦 軟 體 或 手 機 應 用 軟 體 (APP)出 現,並 且平 版 電 腦 或智 慧 型 手 機上 網 普 及 , 能 即 時 互 動 , 因 此 筆 者 提 出 運 用 新 興 科 技 , 進 行 高 中 數 學 函 數 教 學 , 以 協 助 學 生 將 部 分 抽 象 概 念 透 過 新 興 科 技 幫 助 學 習 並 且 加 深 印 象 。 本 文 以 「 函 數 作 圖 」 為 例 介 紹 手 機 應 用 程 式 APP 數 學 軟 體 Mathway 及 電 腦數 學 軟 體 Geogebra,當學 生 學 習 函 數 作 圖 時 , 不 僅 可 以 利 用 透 過 科 技 清 楚 看 見 函 數 圖 形 的 呈 現,更 可 結 合 3D 列 印 機 將 函 數 圖 形 列 印 成 實 體 作 品。再 者, 學 生 把 螢 幕 上 的 二 維 圖 形 具 體 的 以 3D 列 印 出 來 , 落 實 數 學 教 育 與 創 客 教 育 結 合 , 達 成 數 學 科 教 學 與 科 技 跨 領 域 整 合 的 目 的 。

貳、函數作圖及軟體說明

一、手機

APP 數學軟體 Mathway

首 先 介 紹 手 機 APP 應 用 軟 體 M athway, 只 需 要 輸 入 數 學 公 式 就 能 使 用 , 可 以 算 基 礎 數 學 、 初 級 代 數 、 代 數 、 初 級 微 積 分 、 微 積 分 和 三 角 函 數 等 各 種 數 學 細 分 的 題 目 , 甚 至 是 圖 表 題 目 都 可 以 處 理 , 解 題 過 程 和 步 驟 陳 述 相 當 詳 細 , 有 中 文 簡 體 字 版 及 英 文 版 。 在 高 中 數 學 教 材 中 關 於 函 數 作 圖 的 單 元 計 有 第 一 冊< 多 項 式 函 數 > 單 元 的 一 次 函 數 及 二 次 函 數 作 圖,第 三 冊<直 線 與圓 > 單 元 的 直 線 方 程 式 及 其 圖 形 , 第 四 冊<二 次 曲 線>單 元 的 拋 物 線 、 橢 圓 及 雙 曲 線 等 圖 形 探 討 。 教 師 可 教 導 學 生 下 載 並 使 用 手 機 數 學 應 用 軟 體 Mathway, 進 行 作 圖 相 關 教 學 , 並 且 能 夠 讓 學 生 對 於 函 數 的 性 質 迅

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速 加 以 驗 證 , 如 : 一 次 函 數 直 線 方 程 式 的 斜 率 、 截 距 , 二 次 函 數 拋 物 線 函 數 的 開 口 方 向 , 橢 圓 長 軸 、 短 軸 及 雙 曲 線 的 焦 點 分 布 、 漸 近 線 … 等 。 說 明 操 作 過 程 如 下 : (一 ) 高 中 數 學 第 一 冊 <多 項 式 函 數 >單 元 1. 一 次函 數 作 圖 例 1: 畫 出 y=x+2 的 圖 形 說 明 圖 示 1.在 輸入 列 輸 入:y= x+2 2.選 擇畫 圖(曲 線圖) 3.出 現 y= x+2 圖 形

(3)

例 2: 比 較 y=x+2 與 y=x+3 的圖 形 差 異 說 明 圖 示 教 學 時 可 讓 學 生 在 輸 入 列 輸 : y=x+2, y=x+3 可 同 時 畫 出 y=x+2 與 y=x+3 的 圖 形 進 行 比 較 。 可 藉 此 圖 進 行 直 線 方 程 式 之 y 截 距 名 詞 教 學 2. 二 次函 數 作 圖 例 3: 畫出y x 4x 4的圖形 說 明 圖 示 1.輸 入y x 4x 4

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說 明 圖 示 2.選 擇 3. 出 現 圖 形 4.如 果將 步 驟 2 改 成 選 擇「 求 頂點 」,則 出 現 圖 形 並 只 標 示 頂 點 位 置,學 生 可 以 藉 此 檢 視 經 過 配 方 成 形 如y (x 2 , 所 找 頂 點 (-2,0)的 正 確 性 。 (二 ) 高 中 數 學 第 三 冊 <直 線 與 圓 >單 元 1. 斜 截式 : y=mx+b, 斜 率 為 m, y 截 距 為 b 例 4: 畫 出 y=3x+2 的 圖 形

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說 明 圖 示 1.輸 入y 3x 2

2.求 斜率 和 y 截 距

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說 明 圖 示 4.出 現圖 形 教 學 應 用 時 可 以 讓 學 生 畫 出 其 他 斜 截 式 圖 形 , 比 較 斜 率 與 y 軸 截 距 改 變 後 圖 形 的 差 異 。 此 外 , 也 可 進 行 X 軸 截 距 教 學 。 2. 點 斜式:y-y0=m(x-x0),斜 率 為 m,過 (x0,y0) 例 5: 畫出 斜 率 為 4, 過(2,3)的圖 形 說 明 圖 示 1.輸 入 2. 出 現 圖 形

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(三 ) 高 中 數 學 第 四 冊 <二 次 曲 線 > 1. 拋 物線 方 程 式 例 6: 畫出y (x 2 3的圖形 在 輸 入 列 輸 入y (x 2 3 ,也會顯示開口方向、頂點、焦點、對稱軸、準線。 例 7: 畫出y x 4x 7的圖形 在 輸 入 列 輸 入y x 4x 7, 因為y x 4x 7 (x 2 3 所 以 也 會 出 現 如y (x 2 3的圖形。

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2. 橢 圓方 程 式 例 8: 畫出 橢圓 4x 9 144 的圖形 若 在 輸 入 列 輸 入4x 9 144,除了出現圖形外,也會顯示中心、頂點、焦點。 3. 雙 曲線 方 程 式 例 9: 畫出 雙 曲線4x 9 36的圖形 若 在 輸 入 列 輸 入4x 9 36, 選 擇 曲 線 圖 , 也 會 顯 示 中 心 點 、 頂 點 、 焦 點 、 離 心 率 、 漸 近 線

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特 別 說 明:若 只 選 擇 漸 近 線,出 現 圖 形 會 把 漸 近 線 特 別 標 示 出 來 。 在 教 學 時 , 教 師 可 以 先 詢 問 方 程 式 相 關 問 題 如 求 出 中 心 點 、 頂 點 、 焦 點 、 離 、 漸 近 線 。 請 同 學 以 紙 筆 求 出 答 案 後 , 再 畫 圖 驗 證 , 以 加 深 印 象 。

二、數學軟體

Geogebra

數 學 軟 體 Geogebra 是 一 動 態 數 學 軟 體,師 生 都 能 輕 易 取 得,涵 蓋 幾 何、代 數、 試 算 表 、 繪 圖 、 統 計 以 及 微 積 分 功 能 。 高 中 數 學 內 容 包 含 直 角 坐 標 轉 換 成 極 坐 標 , 但 是 沒 有 極 坐 標 函 數 作 圖 。 其 實 利 用 電 腦 軟 體Geogebra,畫 出極 坐 標 函 數作 圖 之 輸 入 並 不 困 難 。 以 畫 出r=3 sin4θ 的 圖 形 說 明如 下 : (一 ) 畫 面 改 成 極 坐 標 1. 繪 圖區 空 白 處按 右 鍵 出 現選 單 2. 選 擇繪 圖 區 出現 設 定 畫 面 3. 點 「格 線 」 4. 選 「極 座 標 」 5. 選 線的 樣 式(可自 行 挑 選) 6. 關 閉設 定 畫 面 (二 ) 工 具 列 選 擇 角 度 1. 按 一下 下 列 標示

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2. 繪 圖區 按 一 下 3. 點 角度 4. 點 α 出 現 鍵 盤 5. 選 θ 6. 按 確定 (三 ) 畫 圖 (輸 入 列 在 最 下 方 空 白 處 ) 1. 輸 入 r=3 sin4θ 2. 輸 入 A=(r;θ) 3. 輸 入 Locus〔A,θ 〕 出 現 玫 瑰 線 如 下 圖 , 移 動 滑 桿 可 以 看 出 軌 跡 : 軌 跡 軌 跡 軌 跡 軌 跡

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r=sin kθ 的 k 值改 變 , 則可 得 到 不 同 瓣 數 的 玫 瑰 線,例 如:r=3 sin2θ 圖 形為 4 瓣 玫瑰 線 ,r=3 sin3θ 圖形 為 3 瓣 玫瑰 線 , r=3sin4θ 圖 形 為 8 瓣 玫 瑰 線,r=3sin5θ 圖 形 為5 瓣 玫 瑰線 ,其 原 因與 函 數 週 期有 關 , 可 以 讓 學 生 由 動 態 過 程 自 行 發 現 。 Geogebra 也 有 手機 板 可 以 下載,操 作 更 方 便 。

三、3D 列印

Geogebra 所 得 到的 圖 形,可 以 經 由 轉 換 以3D 列 印 機列 印 成 型 。說 明 如 下 : 1. 將 圖檔 匯 入 小畫 家 做 初 步的 編 輯 。 2. 使用 Vector Magic 做 鋸 齒消 除 及 轉 成 SVG 檔 。 3. SVG 檔匯 入 AUTODESK 123D 軟 體 , 圖 檔 向 上 拉 伸 3mm 成 立 體圖 轉 STL

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檔 。

4. 將 STL 檔 匯 入 CURA 切 片 軟體,設 定 列 印 相 關 參 數 後 輸 出 成gcode 檔 。

5. 將 gcode 檔 讀 入 3D 列 印機 後 開 始 列 印 其 流 程 如 下 :

1.CURA

2.CURA

3.CURA

4.

AUTODESK 123D

5.

AUTODESK 123D

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8.

Vector Magic

9.

Vector Magic

列 印 情 形 及 成 品 如 下 圖 : 以3D 印 表 機 列印 3 瓣、4 瓣 及 5 辦 玫瑰 線 成品 , 為 避 免圖 形 斷 裂 , 圖 形 中 央 加 入 圓 形 。

參、討論

筆 者 曾 經 請 服 務 學 校 之 一 名 數 學 老 師 與 一 名 資 訊 科 教 師 實 施 約 12 小 時 協 同 教 學 , 過 程 中 發 現 : 一 、 在 手 機 使 用 過 程 中 , 當 手 機 螢 幕 結 果 出 現 時 , 表 情 是 喜 悅 及 驚 訝 聲 連 連 。 讓 學 生 具 備 使 用 手 機 APP 軟 體 解 決 數 學 問 題 之 經 驗,日 後 遇 到 相 關 問 題, 就 會 嘗 試 適 當 使 用 手 機 APP 軟體 。 二、在 Geogebra 操 作 過 程 中,學 生 對 於工 作 列 輸 入 指 令 部 分 , 能 力 較 強 學 生 可 以 及 時 完 成 , 能 力 較 差 學 生 略 顯 不 能 順 利 。 但 是 當 電 腦 螢 幕 結 果 出 現 時 , 表 情 均 是 驚 喜 , 特 別 是 參 數 改 變 使 瓣

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數 變 化 時 , 學 生 於 心 得 中 多 數 表 示 有 興 趣 。 三 、 在 3D 列 印過 程 中 , 學生 看 到 作 品印 出 非 常 開 心 。 部 分 作 品 因 為 印 表 機 調 整 問 題 , 造 成 成 形 失 敗 , 但 是 學 生 仍 是 正 向 有 興 趣 。

肆、建議

一、在手機

APP 軟體教學上的建議

手 機 APP 軟 體 關 於 數 學 方 面 的 有 許 多,除 了 本 文 所 提 之Mathway 以 外,其 他 有 部 分 APP 說 明 為 英 文 , 教 師 進 行 教 學 前 , 則 需 先 翻 譯 成 中 文 說 明 。

二、在電腦數學軟體教學上的建議

因 為 Geogebra 軟 體是 下 載 網路 版,教 學 前 應 先 讓 學 生 建 立 Google 之 Gmail 帳 號 以 利 教 學 進 行 ﹔ 指 令 步 驟 較 多 , 應 該 一 步 一 步 進 行 , 以 免 學 生 無 法 完 成 。

三、在

3D 列印教學上的建議

因 為 列 印 需 要 較 多 時 間 完 成 , 可 讓 學 生 於 課 後 完 成 , 以 利 教 學 進 行 。 玫 瑰 線 圖 形 列 印 , 必 須 中 間 加 入 圓 形 才 能 成 功 。 資 訊 科 教 師 也 是 實 際 列 印 發 現 不 能 成 型 , 才 予 以 改 進 調 整 。

四、學生用科技輔助學習,還需要其

他相關知識學習

應 讓 學 生 在 玫 瑰 線 學 習 時 , 複 習 函 數 週 期 概 念,才 能 理 解 為 什 麼r=3sinNθ,N 為 奇 數 與 偶 數 之 圖 形 變 化 。 並 可 藉 由 θ 的 變 動 以 動 態 變 化 , 觀 察 圖 形 軌 跡 。

伍、結論

Ausubel(1968)提 出 意 義 學習 理 論, 強 調 所 學 的 事 物 必 須 對 學 習 者 具 有 意 義 , 才 能 夠 產 生 學 習 , 並 認 為 學 習 者 的 先 備 知 識 是 意 義 學 習 產 生 的 必 要 條 件 。 學 習 不 是 被 動 的,不 僅 需 要「 眼 到 」,也 需 要「 手 到 」 和「 心 到 」( 郭 文 金、梁 惠 珍、柳 賢, 2015) 。 動 手 做 活 動 可 促 進 學 生 參 與 學 習 數 學 的 動 機,培 養 其 解 題 的 信 心,增 進 學 習 的 效 能, 提 升 數 學 作 業 的 成 就 ( 易 正 明 ,2004; 簡 佳 雯 ,2003)。 許 多 與 數 學 相 關 的 手 機 APP 或 電 腦 軟 體 是 免 費 即 可 取 得 , 加 上 3D 列 印 機在 台 灣 高 中 已 經 非 常 普 及 。 筆 者 希 望 透 過 本 文 , 引 起 高 中 數 學 教 師 嘗 試 結 合 新 興 科 技 教 學 , 以 增 進 學 生 動 手 做 的 方 式 學 習 , 提 升 數 學 學 習 興 趣 。 科 技 時 代 的 數 學 課 應 與 科 技 發 明 結 合 , 讓 學 生 上 學 課 使 用 手 機 、 電 腦 和 3D 列 印機 等 科 技 發明 , 除 了 讓數 學 學 習 能 與 新 興 科 技 結 合 , 也 能 增 加 學 生 對 科 技 產 品 的 熟 悉 及 透 過 科 技 驗 證 數 學 內 容 。

陸、參考文獻

易 正 明(2004)。有 趣 的 數 學活 動。國 教 輔 導 ,44( 1),14- 20。 郭 文 金 、梁 惠 珍、 柳 賢 (2015) 。數 學 動 手 做 活 動 對 六 七 年 級 女 學 生 數 學 學 習 自 我 效 能 影 響 之 初 探 。 屏 東 大 學 科 學 教 育 ,1,54-82。 簡 佳 雯(2003)。國 民 教 育 與 科 普 讀 物 的 邂 構 - 閱 讀 科 普 讀 物 的 啟 示 看 數 學 教

(15)

育 。國 教 新 知 ,50( 1),122-127。

Ausubel, D. P. (1968).Educational

psychology : a cognitive view.New York : Holt, Rinehart and Winston,

Inc.

Xiang T.R., Kong , G.W. Chen , George Q. Huang & Hao Luo(2017).Ubiquitous auction learning system with TELD (Teaching by Examples and Learning by Doing) approach: A

quasiexperimental study. Computers & Education ,111 , 144-157.

致謝

本 文 感 謝 國 立 岡 山 高 級 農 工 職 業 學 校 顏 技 文 老 師 提 供 3D 列 印 指導 、 吳 鐵 國老 師 進 行 數 學 教 學 及 宋 維 哲 老 師 提 供 數 學 教 學 意 見 。

參考文獻

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