中學生通訊解題第二十四期徵答情形
台北市立建國高級中學 數學科
區 域 學 校 姓 名 指導老師 91240 1 91240 2 91240 3 91240 4 91240 5 總 分 師大附中 榮得傑 李松茂 6 X 1 X X 7 和平高中 劉君勇 6 X X X X 6 建國高中 吳睿 7 X X x X 7 東湖國中 李光宇 0 X 7 0 5 12 景興國中 顏友信 黃瓊誼 6 X 1 0 X 7 金華國中 謝宜庭 6 X X X X 6 金華國中 謝博丞 7 X 7 X X 14 興雅國中 林昭平 林瑜生 6 X 7 7 4 24 南門國中 張鈞傑 陳婉穎 7 X X X 5 12 敦化國中 林敬堯 桂雪萍 6 X 1 X X 7 台北市 敦化國中 曾偉綸 桂雪萍 6 7 7 7 X 27 民生國中 陳奕修 程麗娟 6 X X 7 X 13 民生國中 劉宜杰 王士美 X 7 X X X 7 民生國中 林軒毅 王士美 X 7 X X X 7 民生國中 朱天羽 王士美 X 7 X X X 7 民生國中 翁浩瑜 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 徐智威 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 蔡日昇 王士美 X X 6 X X 6 民生國中 盧佑樺 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 施延勳 王士美 X X 6 X X 6 民生國中 金英喆 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 羅 平 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 羅安琪 王士美 6 X X X X 6 民生國中 鄭禮衛 王士美 X 7 X X X 7 民生國中 黃齡萱 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 陳芷頤 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 蔡睿庭 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 謝天林 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 曾懷德 王士美 0 X 2 X X 2 民生國中 何昶毅 程麗娟 X X 6 X X 6 民生國中 余敏嘉 程麗娟 X X 6 X X 6 民生國中 黃天劭 程麗娟 X X 6 X X 6 民生國中 簡文韜 程麗娟 X X 6 X X 6民生國中 洪亘屏 程麗娟 X X 2 X X 2 民生國中 嚴家弘 程麗娟 X X 6 X X 6 民生國中 張育唐 程麗娟 X X 6 X X 6 民生國中 蔡宜臻 程麗娟 X X 2 X X 2 民生國中 吳季衡 程麗娟 X X 6 X X 6 民生國中 林健智 程麗娟 X X 6 X X 6 民生國中 詹易達 X X 6 X X 6 民生國中 顏經豪 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 陳威霖 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 李茂霖 王士美 6 X 7 X X 13 民生國中 陳怡潔 王士美 X 7 X X X 7 民生國中 江肖樊 王士美 X 7 X X X 7 民生國中 游雅婷 王士美 X 7 X X X 7 民生國中 陳韻竹 王士美 X 7 X X X 7 積穗國中 蕭屹宏 林秀美、郭旭訓 6 X 7 7 4 24 五峰國中 黃飛揚 曾國棟 X X 0 X X 0 福和國中 劉倢伶 鄭釧鋒 6 6 7 X X 19 福和國中 周宣宇 鄭釧鋒 6 7 2 X X 15 福和國中 張銘博 鄭釧鋒 X 7 X 7 X 14 台北縣 福和國中 林東岳 鄭釧鋒 7 7 1 7 X 22 福和國中 林昇誼 鄭釧鋒 6 7 0 X 0 13 福和國中 沈彥汝 鄭釧鋒、陳明貴 6 7 7 7 0 27 福和國中 沈貽婷 鄭釧鋒、陳明貴 6 7 3 7 X 23 福和國中 彭瑋翔 鄭釧鋒 6 X 6 7 X 19 福和國中 史美圻 鄭釧鋒 6 7 5 7 X 25 福和國中 張銘博 鄭釧鋒 6 X 2 X X 8 福和國中 吳霽庭 鄭釧鋒、陳明貴 7 7 2 7 0 23 福和國中 王絲郁 鄭釧鋒、陳明貴 6 X X 7 X 13 福和國中 林育任 鄭釧鋒、陳明貴 6 7 7 7 3 30 福和國中 張引碩 鄭釧鋒 6 X X 7 X 13 永和國中 吳俊諭 王亮穎 6 X 2 7 X 15 永和國中 吳建澄 陳永福 6 4 2 7 X 19 江翠國中 楊硯騰 陳彩鳳 X X X 0 X 0 江翠國中 李意婷 陳彩鳳 6 X 0 5 X 11 江翠國中 李宛軒 陳彩鳳 6 X 3 X X 9 江翠國中 吳宗儒 陳彩鳳 6 X X X X 6 江翠國中 李侑桂 陳彩鳳 0 X X X X 0 江翠國中 李威霆 陳彩鳳 0 X 0 X X 0 江翠國中 黃豪平 陳彩鳳 6 X X X X 6
江翠國中 黃予誠 陳彩鳳 6 X 7 7 X 20 江翠國中 林謙盈 陳彩鳳 6 X X X X 6 江翠國中 簡志達 陳彩鳳 6 X 0 X X 6 江翠國中 陳建彰 陳彩鳳 7 3 5 7 4 26 江翠國中 林志嘉 高麗華 6 3 7 7 4 27 江翠國中 呂亞軒 陳彩鳳 6 3 6 7 0 22 江翠國中 陳建宏 陳彩鳳 0 0 X 7 0 7 江翠國中 林怡嫺 陳彩鳳 0 X 3 X X 3 江翠國中 黃逸鵬 陳彩鳳 6 X X X X 6 江翠國中 吳師豪 陳彩鳳 X 0 X X X 0 江翠國中 駱韻文 陳彩鳳 0 X X X X 0 江翠國中 莊智涵 吳明標 6 X 1 7 4 18 江翠國中 吳哲瑋 林正吉 0 X 7 7 X 14 江翠國中 黃俊嘉 吳明標 6 0 1 7 4 18 江翠國中 陳昱璇 陳彩鳳 X X 0 X X 0 江翠國中 丁羚 陳彩鳳 6 X 0 X 1 7 江翠國中 李孟翰 陳彩鳳 7 X 2 X 0 9 江翠國中 林易徵 陳彩鳳 6 0 6 X 0 12 基隆市 銘傳國中 楊昀達 張麗珠 6 7 7 7 X 27 銘傳國中 楊昀琪 劉鄭文德 6 7 7 0 5 25 銘傳國中 馬浩鈞 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 連昶昶 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 陳冠融 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 何彥興 宋佩玉 0 X 1 X X 1 銘傳國中 李孟竹 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 林昱航 宋佩玉 6 X X X X 6 銘傳國中 張瓊文 宋佩玉 0 0 1 7 0 8 銘傳國中 蔡瀚霆 宋佩玉 X X 0.5 X X 0.5 銘傳國中 黃怡潔 宋佩玉 X X 2 X X 2 銘傳國中 朱哲成 宋佩玉 X X 0 X X 0 銘傳國中 陳昭宇 宋佩玉 X X 1 X X 1 銘傳國中 林京灝 宋佩玉 6 X X X X 6 銘傳國中 吳達軒 宋佩玉 0 X X X X 0 銘傳國中 黃仲豪 宋佩玉 0 X 1 X X 1 銘傳國中 易啟亞 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 黃品澈 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 藍心貝 宋佩玉 6 X X X X 6 銘傳國中 許書穆 宋佩玉 X X 2 7 X 9 銘傳國中 安真漢 宋佩玉 X X X 7 X 7
銘傳國中 陳玟琪 宋佩玉 0 X X 7 X 7 銘傳國中 邱楹翔 宋佩玉 X X 1 7 X 8 銘傳國中 王宏銘 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 楊瑩綺 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 曾智雅 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 鄭宇宏 劉鄭文德 6 X 1 7 X 14 銘傳國中 高蕭國帆 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 王裕仁 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 陳慶安 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 程奕翔 宋佩玉 X X 0 7 X 7 銘傳國中 許煌鑫 宋佩玉 X X X 6 X 6 銘傳國中 游崴舜 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 許閔翔 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 陳威東 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 陳毅隆 宋佩玉 6 X X 7 X 13 銘傳國中 柯 競 宋佩玉 6 X X 7 X 13 銘傳國中 杜宇晨 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 潘頻余 宋佩玉 6 X X 7 X 13 銘傳國中 吳誌軒 宋佩玉 X X 7 7 X 14 銘傳國中 蔡春暉 宋佩玉 6 X X 7 X 13 銘傳國中 簡群育 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 陳明緯 宋佩玉 X X X 0 X 0 銘傳國中 顏煜洋 宋佩玉 6 7 1 X X 14 銘傳國中 王光仁 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 曾昭雄 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 陳逸菁 宋佩玉 6 X X X X 6 銘傳國中 蕭皓文 宋佩玉 X X 2 X X 2 銘傳國中 邱憲永 宋佩玉 X X 2 X X 2 銘傳國中 陳俊成 宋佩玉 X X 2 X X 2 銘傳國中 陳昭元 宋佩玉 6 X X X X 6 銘傳國中 簡湘庭 宋佩玉 X X 2 X X 2 銘傳國中 郭懿潔 宋佩玉 X X 1 X X 1 銘傳國中 黃智揚 宋佩玉 X X X 7 X 7 銘傳國中 林劭安 張麗珠 6 X X 7 X 13 銘傳國中 楊逸傑 宋佩玉 X X 1 X X 1 銘傳國中 陳立淳 宋佩玉 0 X X X X 0 銘傳國中 何亭豫 張麗珠 X 0 0 X X 0 銘傳國中 黃柏凱 宋佩玉 0 X X X X 0 銘傳國中 楊芳懿 宋佩玉 6 X X X X 6
銘傳國中 張凱翔 宋佩玉 X X 0 X X 0 銘傳國中 楊超宇 宋佩玉 6 X X 7 X 13 銘傳國中 謝尹騰 宋佩玉 6 X X 7 X 13 銘傳國中 林柏境 宋佩玉 X X 2 X X 2 銘傳國中 高子能 宋佩玉 X X 7 X X 7 銘傳國中 趙又萱 宋佩玉 0 X 2 X X 2 銘傳國中 張任鋒 宋佩玉 X 0 0 X X 0 銘傳國中 王怡靜 劉鄭文德 6 X X 7 X 13 銘傳國中 黃冠霖 宋佩玉 0 X 0 5 X 5 新竹市 光華國中 范祐維 高東獻 6 X 0 0 7 13 台中市 衛道國中 廖振廷 陳祐哲 0 7 1 7 X 15 答 題 人 數 93 34 94 71 20 312 全 對 人 數 7 22 27 62 1 119 平 均 得 分 4.91 5.09 3.64 6.34 2.5 22.48
＊提醒徵答同學們：務必以一題一張
(或多張)來作答，切勿多題
一張，以便使我們作業能夠更加順暢，謝謝！
中學生通訊解題第二十四期參考解答與評析
問題編號 912401 比較(2002！)2與20022002之間的大小關係。 ( 定義：n！=n ×(n─1) ×(n─2) ×… ×2 ×1 , n 為自然數 ) 參考解答一： 令 k= 則 k=xxx…x 每一項的分母可表示為 n(2003-n)，1≦n≦2002，n 屬於 N ∴ -n2+2003n = -(n2-2003n) =-(n-)2+()2 又∵1≦n≦2002 ∴n(2003-n)的最小值為 2002，最大值 1004003 ∴≦1 即 k<1 ∴(2002！)2>20022002。 參考解答二： 20022002=(20021001)2(2002！)2=[2002x(2002-1)x(2002-2)x
…x1
]2 ={[2002x1]x[(2002-1)x2]x[(2002-2)x3]x…x[(2002-1000)x1001]}2 即 2002！所代表之 2002 項之乘積可重組為 1001 項之乘積，且每一項可以 (2002-m)x(m+1)表示，其中 m=0、1、2、…、1000 (2002-m)x(m+1)=2002m-m2+2002-m=2002+(2001-m)m ∵m=0、1、2、…、1000 ∴(2001-m)m≧0 ∴(2002-m)x(m+1)≧2002 ∴2002！>20021001 ∴(2002！)2>20022002。 解題重點：重排後比大小。 評析：本題徵答人數共有93 人，其中全對者共 7 人，如徵答情形所列。平均得分為 4.91 分。其中答題優良或解法富參考價值者有福和國中吳霽庭同學、福和國中林 東岳同學、南門國中張鈞傑同學。 問題編號 912402 如圖，直線表公路，A、B 兩黑點位置表遠處的兩棵樹，現在攝影師於公路上想要取景 將兩棵樹入鏡，且希望取景角度∠ACB 最大，那麼應該如何決定 C 點位置？試敘述取 法並證明之。 B․ A․ 公路 參考解答： (1)作法：如圖過 A、B 作圓，並與直線相切，則切點即為所要求之點。 公路L (2)證明： 如上圖： C․ P․ Q․ C ․ D․ ․ E A․ B․作圓C1 過 A、B、C 三點，圓心為 P， 圓C2 過 A、B 兩點且交直線 L 於兩點 E、D，圓心為 Q， 則兩圓之圓心必都在AB 線段的中垂線上， 得∠ACB=∠APB 且∠ADB=∠AQB 又∠APB > ∠AQB 故∠ACB > ∠ADB。 解題重點：能知道圓心角與圓周角的關係，或用圓之切線性質求之。 評析：本題徵答人數共有34 人，答對者共 22 人，如徵答情形所列。平均得分為 5.09 分 其中答題優良或解法富參考價值者有福和國中吳霽庭同學，銘傳國中顏煜洋同 學。 問題編號 912403 解2x2 ─11[x]+12=0 。 ([x]為小於等於 x 的最大整數，例：x=3.8→[x]=3；x=-0.4→[x]=-1；x=7→[x]=7) 參考解答一： 1.定義： ∵[x]為小於等於 x 的最大整數 ∴x-1<[x]≦x 2.計算： 求 x 的範圍：2x2-11[x]+12=0 =>2x2+12=11[x] =>[x]= 狀況一：x-1< 11x-11<2x2+12 =>2x2-11x+23>0 ∵(-11)2- 4•2•23<0 ∴狀況一沒有限制 狀況二：≦x ∵2x2+12=11x =>2x2-11x+12≦0 =>(2x-3)(x-4)≦0 ∴≦x≦4 (1)若 1.5≦x<2 => [x]=1 代入 2x2-11[x]+12=0 =>2x2+1=0(無實數解) (2)若 2≦x<3 => [x]=2 代入 2x2-11[x]+12=0 =>2x2-10=0 => x2=5 =>x=±(負不合) ∴x=(第一個解) (3)若 3≦x<4 => [x]=3 代入 2x2-11[x]+12=0 =>2x2-21=0 => x2= => x=±(負不合) ∴x=(第二個解) (4)若 x=4 =>[x]=4 代入 2x2-11[x]+12=0 =>2x2-32=0 => x2=16=> x=±4(負不合) ∴x=4 (第三個解) 3.計算結果：本題解為 x=、、4 參考解答二： 1. 2x2-11[x]+12=0=> 2x2=11[x]-12
又 0<2x2=11[x]-12=>11[x]-12>0 =>[x]>又[x]為整數 =>[x]≧2 2.由定義，x≧[x] ∴11x≧11[x]=2x2+12>2x2 =>>1 =><1 =>x<1 =>x<=5.5 又[x]≦x =>[x]≦x<5.5 且 x 是整數 =>[x]≦5 3.由 1、2，2≦[x]≦5 將[x]=2、3、4、5 代入求解([x]為整數) [x]=2， x=(-不合) =3， x=(負不合) =4， x=4(負不合) =5， x=±(均不合) 即 x=、、4 解題重點：利用夾擊或[x]的範圍求 x 值。 評析：本題徵答人數共有 94 人，其中全對者共 27 人，如徵答情形所列。平均得分為 3.64 分。答題優良或解法富參考價值者有福和國中林育任同學，東湖國中李光宇 同學，江翠國中吳哲瑋同學，金華國中謝博丞同學。 問題編號 912404
四邊形 ABCD 滿足 AB= BC=10，∠ABC=1000，∠CDA=1300，則 BD=？
參考解答一： 以 B 為圓心，AB為半徑畫一個圓 ∵∠ABC=1000 ∴∠ABC 所對的弧是 1000 ∵AC 弧=2600，∠CDA=1300 ∴D 點在圓周上 BD為半徑 BD=10。 參考解答二： 圖一： 1.依題意作上圖圖一
2.過 A、D、C 作一圓，在圓上取一點 E，連EA、EC，則 A、D、C、E 四點共圓， ∴∠AEC+∠ADC=1800，∴∠AEC=500
3.在圓中，∠AEC 與∠ABC 對的弧相同，且∠ABC=2∠AEC， =>B 點是這個圓的圓心， ∴BD為圓 B 的半徑 ∴AB=10=BD。 解題重點：能畫出輔助圓並利用角度關係發現答案。 評析：本題徵答人數共有71 人，其中全對者共 62 人，如徵答情形所列。平均得分為 6.34 分。其中答題優良或解法富參考價值者有興雅國中林昭平同學、銘傳國中林 1300 C A ․ B D 10 10 1000 1300 C A B D 10 10 1000 B 1300 C A ․ D 10 10 1000 E
劭安同學、衛道國中廖振廷同學。 問題編號 912405 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 圖中表某城市的街道地圖，其中六個黑點位置表示住家位置，黑線表示道路位置，若 現在要設置一購物中心於某兩黑線交叉位置處： 1. 若此購物中心到每個黑點距離要最短，則應設置在何位置，試以所附座標標示？ 2. 設置位置有幾種可能情形？ 3. 若再加入一點於(1,8)後，購物中心位置是否還需要作調整？ 4. 若購物中心到每個黑點的距離中的最大值定義為最佳距離，如原來的圖中，則購 物中心設置在何處時，最佳距離之值為最小？ 參考解答： 1.分成 x,y 軸個別討論，總距離和最小即求 8 7 6 4 3 2 x x x x x x 7 6 4 3 1 0 y y y y y y 之最小值，故當x=4 或 5 或 6，y=3 或 4 時皆可使總距離和最小。 2.共有326種可能情形。若不含住家(6,4)位置，則有 5 種。 3.分成 x,y 軸個別討論，總距離和最小即求 8 7 6 4 3 2 1 x x x x x x x 以及 y0 y1 y3 y4 y6 y7 y8 之最小值，故當x=4，y=4 時皆可使總距離和最小。 4.購物中心設置在(5,3),(6,3),(7,4)等位置時，最佳距離均為 6，為最小。 解題重點：了解街道距離與直線距離之不同意義，了解求最大中的最小值之方法。 評析：本題徵答人數共有20 人，其中全對者共 1 人。平均得分為 2.5 分。其中答題優良 或解法富參考價值者有光華國中范祐維同學。
