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單元02-式的運算

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Academic year: 2021

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(1)

22

用符號來代表數時,往往更容易看出式子間的 規律。圖1藉由矩形面積的分割來呈現乘法對加法 的分配律,即 a+b c+d =ac+ad+bc+bd ^ h^ h 。 透過分配律,我們可導出許多的乘法公式,從而可 以在式與式之間快速的進行運算與化簡。

式的運算

2

圖1

乘法公式

國中時,我們曾學過的二次乘法公式如下: 1 a b^ + h2=a2+2ab+b2 【和的平方公式】 2 a b^ - h2=a2-2ab+b2 【差的平方公式】 3 a b a b^ + h^ - h=a2-b2 【平方差公式】 透過分配律也可得到三數和的平方公式: a+ +b c 2= a+ +b c a+ +b c ^ h ^ h^ h a2 ab ac ba b2 bc ca cb c2 = + + + + + + + + , 整理得 4 a b c^ + + h2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac。 【三數和的平方公式】

(2)

2

式的運算

23

利用乘法公式,展開下列各式: 1 ^a-2bh2+^2a+bh 。 22 ^a- +b 1h^a- -b 1h 。 3^a-2b+3ch 。2 解 1 a 2b 2 2a b 2 a2-4ab+4b2 4a2+4ab+b2 5a2 5b2 - + + = + = + ^ h ^ h _ i _ i 。 2 a b^ - +1h^a- -b 1h=7^a-bh+1A7^a-bh-1A a b 2 12 a2 2ab b2 1 =^ - h - = - + - 。 3 a^ -2b+3ch2=7a+ -^ 2bh+^3chA2 a2 2b 2 3c 2 2a 2b 2 2b 3c 2 3a c = + -^ h +^ h + ^- h+ ^- h^ h+ ^ h a2 4b2 9c2 4ab 12bc 6ca = + + - - + 。

例題

1

利用乘法公式,展開下列各式: 1 ^a+1h2+^a-1h 。  22 ^a- -b c ah^ + +b ch 。  3 ^a- +b 2h 。2

隨堂練習

透過和的平方公式及分配律,可導出和的立方公式: a+b 3= a+b a+b 2 ^ h ^ h^ h a +2ab+b a b 2 2 =^ + h_ i a3 2a b2 ab2 ba2 2ab2 b3 = + + + + + a3 3a b2 3ab2 b3 = + + + 。

(3)

24

利用和的立方公式,將b置換成 b- ,也可導出 a b^ - h 公式如下:3 a-b 3= a+ -b 3 ^ h 7 ^ hA a3 3a2 b 3a b 2 b 3 = + ^- h+ ^- h + -^ h a3 3a b2 3ab2 b3 = - + - 。 將和與差的立方公式整理如下。 1 a b^ + h3=a3+3a b2 +3ab2+b3 【和的立方公式】 2 a b^ - h3=a3-3a b2 +3ab2-b3 【差的立方公式】 和與差的立方公式 透過上述的立方公式來練習一道題目。 利用乘法公式,展開下列各式: 1 ^a+2bh 。    23 ^2a-3bh 。3 解 1 a^ +2bh3=^ah3+3^ ^ah2 2bh+3^ ^ah h2b 2+^2bh3 a3 6a b2 12ab2 8b3 = + + + 。 2 a^2 -3bh3=^2ah3-3 2^ ah2^3bh+3 2^ ^ah h3b 2-^3bh3 a a b ab b 8 3 36 2 54 2 27 3 = - + - 。

例題

2

利用乘法公式,展開下列各式: 1 ^3a+2bh 。    23 ^2a-1h 。3

隨堂練習

(4)

2

式的運算

25

事實上,除了和與差的立方公式外,透過分配律還可以驗證兩個與立方相關 的乘法公式。 1 a3+b3=^a+bh_a2-ab+b2i 。 【立方和公式】 2 a3-b3=^a-bh_a2+ab+b2i 。 【立方差公式】 立方和與立方差公式 以下來練習一道題目。 利用乘法公式,展開下列各式: 1 ^a+2bh_a2-2ab+4b2i 。    2^2a-bh_4a2+2ab+b2i 。 解 1 ^a+2bh_a2-2ab+4b2i=^a+2bh9a2-a:^2bh+^2bh2C a3 2b 3 = +^ h a3 8b3 = + 。 2 ^2a-bh_4a2+2ab+b2i=^2a-bh9^2ah2+^2ah:b+b2C a b 2 3 3 =^ h -a b 8 3 3 = - 。

例題

3

利用乘法公式,展開下列各式: 1 ^a-3bh_a2+3ab+9b2i 。    2^a+1h_a2- +a 1i 。

隨堂練習

透過乘法公式也可以用來處理一些特殊多項式的因式分解。

(5)

26

利用乘法公式,因式分解下列各式: 1 x3+1。    227x3-1。    3 x3+9x2+27x+27。 解 1 x3+ =1 x3+13=^x+1h_x2-x#1+12i=^x+1h_x2- +x 1i 。 2 27x3- =1 ^3xh3-13=^3x-1 3h9^ xh2+^3xh#1+12C x x 9 +3 +1 x 3 1 2 =^ - h_ i 。 3 x3+9x2+27x+27=x3+3#x2#3+3# #x 32+33=^x+3h 。 3

例題

4

因式分解下列各式: 1 8x3+1。    2 x3-125。    3 x3-6x2+12x- 。8

隨堂練習

透過乘法公式,有時可以處理一些分式的求值問題。 已知 x x 1 3 + = ,求下列各式的值: 1 x x 1 2 2 + 。    2 x x 1 3 3 + 。 1 x x x x x x 1 1 2 1 3 2 9 2 7 2 2 2 2 : + =e + o - = - = - = 。 2 x x x x x x x x 1 1 1 1 3 7 1 3 6 18 3 3 2 2 : # # + =e + of - + p= ^ - h= = 。

例題

5

(6)

2

式的運算

27

隨堂練習

已知 x x 1 2 - =- ,求下列各式的值: 1 x x 1 2 2 + 。    2 x x 1 3 3 - 。

根式與分式的運算

(一)根式的化簡與分式的有理化 給定a為正實數或0,當實數x滿足 x2= 時,稱a xa的平方根。例如:3有 兩個平方根,分別為 3 與- 3(其中 3 為正平方根,- 3為負平方根)。含有 根號的式子稱為根式,來複習一下國中學過的兩個性質:設 a$ 且 b0 $ ,則0 1 a# b = ab。  2 b a b a = , b! 。0 習慣上,我們會將平方根寫成 p q n 的形式,其中 p q 為最簡分數,n為大於1 的正整數,且不是任何完全平方數的倍數。例如: 25 12 25 12 5 2 3 5 2 3 2 2 # = = = 。 化簡下列各式: 1 12+ 75。    2` 7+ 2j` 7- 2j。    3 2 3 1 12+ 75= 22#3+ 52#3 =2 3+5 3 =7 3 。

例題

6

(7)

28

化簡下列各式: 1 3 5+6 3- 45+ 75。  2 3 1 3 1 2 2 + + -` j ` j 。  3 5 4

隨堂練習

2 利用平方差公式,可得 7 + 2 7- 2 = 7 2- 2 2= -7 2=5 ` j` j ` j ` j 。 3 2 3 4 6 4 6 2 6 = = = 。 一般而言,我們會將根式的分母化成正整數,這個過程稱為有理化分母, 以下面的例子來說明。 化簡下列各式: 1 3 2 1 - 。    2 2 3 1 3 1 2 + + - 。 解 1 利用平方差公式,得 3 2 1 3 2 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 # - = - + + = -+ = + ` ` ` ` ` j j j j j2 2 3 1 3 1 2 2 3 2 3 2 3 3 1 3 1 2 3 1 + + - = + -+ - + + ` ` ` ` ` j j j j j 1 2 3 2 2 3 1 2 3 3 1 3 = - + ` + j = - + + = 。

例題

7

(8)

2

式的運算

29

隨堂練習

化簡下列各式: 1 6 2 6 2 + -。    2 5 2 1 5 2 1 - - + 。 比較下列各數的大小: a= 2+ 11, b= 3+ 10,c = 6+ 7 。 解 分別將各數平方,得 a2=` 2+ 11j2=` 2j2+2# 2# 11+` 11j2=13+2 22, b2=` 3 + 10j2=` 3j2+2# 3 # 10+` 10j2=13+2 30, c2=` 6 + 7j2=` 6j2+2# 6 # 7+` 7j2=13+2 42。 因為 42 2 302 22,所以 a21b21c2,即 a1 1 。b c

例題

8

比較下列各數的大小: a 6 4 2 = - ,b 8 3 5 = - ,c 12 2 10 = - 。

隨堂練習

例題8的各數也可以利用計算機得到其近似值來比較大小。 (二)雙重根式 對任意實數k,恆有 , 。 , , k k k k k 0 0 2 1 $ = -*

(9)

30

利用這個結果可以化簡 5 2 6- 的值,說明如下: 因為 5 2 6 5 2 3 2 3 2 2 # - = - =` - j , 所以 5-2 6 = ` 3- 2j2= 3 - 2。 像這種 5 2 6- 的式子,我們稱為雙重根式。這種雙重根式有時可以透過 平方公式來進行化簡,說明如下:當 a$b$ 時,由平方公式可知0 a- b 2= a 2-2 a: b+ b 2= a+b -2 ab ` j _ i ` j ^ h , 即 a+b -2 ab = a- b 2 = a- b ^ h ` j 。 同理可得 a+b +2 ab = a + b ^ h 。 以下來練習雙重根式的化簡。 化簡下列各式: 1 4+2 3 。    2 7- 40。    3 8-4 3 。 解 1 4 2 3 3 1 2 3 1 3 1 2 # + = ^ + h+ = ` + j 3 1 3 1 = + = + 。 2 7- 40 = 7-2 10 = ^5+2h-2 5#2 = 5- 2。

例題

9

(10)

2

式的運算

31

化簡下列各式: 1 6-2 5 。    2 8+ 28 。    3 12+4 5 。

隨堂練習

3 8 4 3- = 8-2 12 = ^6+2h-2 6#2 = 6- 2。 接著作一道不同形式的練習。 已知 3+2 2 的整數部分為a,小數部分為b,求 a b 1 - 的值。 解 仿照例題9的作法,可得 3+2 2 = ^2+1h+2 2#1 = 2+ 1 = 2+1。 因為11 2 1 ,所以 22 1 2+113,即 a= ,2 b=` 2+1j-2= 2-1。 故 a b 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 - = -- = -` + j= - 。

例題

10

已知 6 2 5- 的整數部分為a,小數部分為b,求 a+ b1 的值。

隨堂練習

(11)

32

以上雙重根式的例題,我們都是透過觀察與平方公式來化簡;當數字比較複 雜,且無法透過觀察來化簡時,可以利用解方程式的概念來處理。例如:當我們 要化簡 20+2 75 時,先設 a b 20+2 75 = + (其中a,b不含根號), 將等式兩邊平方,可得 a b ab 20+2 75= + +2 , 因此, …… …… a b ab 20 75 + = = * , , 將式移項得 b=20-a,代入式可得 a^20-ah=75, 移項整理得 a2-20a+75=0, 利用因式分解得 a-5 a-15 =0 ^ h^ h 。 解得 a=5或15,因此, 20+2 75 = 15+ 5。 單元1學過使用計算機上 的按鍵來求形如 a (a不含根號)的近似 值,因此,當我們想要求雙重根式的近似值時,其中一個方法是先嘗試將雙重根 式化簡成 a! b(其中a,b不含根號)的型態,再使用計算機求其近似值。然 而,並非每個雙重根式都可化簡成 a! b 的型態,例如 2+ 2 就不能再進一 步化簡(因為當我們設 2+ 2 = a+ b 時,無法解出a,b的值)。這時只要 使用計算機依序按下 ,即可得其值約為1.8478。

(12)

33

33

2

一、觀念題

以下各小題對的打「○」,錯的打「×」。 1 93-3#92#8+3# #9 82-83= 。1 2 a^ +bh3+^a-bh3= 2a3。 3 ` 3 - 5j2= 3 - 5。 4 6 5 1 7 6 1 2 - - 。

二、基礎題

利用乘法公式,展開下列各式: 1 ^a+2b+3h 。2 2 ^3a-2bh 。3 3 a b a + ab + b 2 3 4 6 9 2 2 -e of p 。 利用乘法公式,因式分解下列各式: 1 27x3-y3。 2 x3+8y3。 3 x3+3x2+3x+ 。1

(13)

2

34

已知 x=2- 3,求下列各式的值: 1 x x 1 + 。 2 x x 1 2 2 + 。 3 x x 1 3 3 + 。 化簡下列各式: 1 3+ 12-2 48。 2 7 41 1 41 33 1 33 5 1 + + + + + 。 3 3 6 3 6 3 6 3 6 -+ + + -。 已知a為實數且 a- 5 = 10,求最接近a的整數。 化簡下列各式: 1 8-2 15 。 2 7+ 24 。 3 11-6 2 。 已知 4+2 3 的整數部分為a,小數部分為b,求 a b 1 - 的值。

(14)

35

三、進階題

已知 a3= ,求2 ^a-1h^a+1h_a2- +a 1i_a2+ +a 1i 的值。

參考文獻

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