單元05-指數函數

74

甲

指數函數及其圖形

　　如同引言所說，生物族群在環境阻力小，養分、空間充足的情況下，短時間 內生物數目會以指數的方式成長，最常見的例子是實驗室中培養的細菌，若每₁ 小時會分裂 _{1 次，其數量會變為原來的 2 倍；經過 2 小時後，其數量會變為原來} 的_{4 倍…，以此類推。} 　　一般而言，經過_{x 小時後，其數量 y 會變為原來的 2}x倍，也就是說，_{y = 2}x 會形成函數關係，說明如下。 　　給定任意實數 _{x，指數 2}x的值都隨之唯一確定，也就是說，_{x 與 2}x之間的 對應關係 x → 2x 形成函數 y = f (x)=2x，稱為「以2 為底數的指數函數」。 　　一般而言，設_{a > 0 , a≠1 , f} (_x)=ax為以 _{a 為底數的指數函數。} 　　實驗室中常進行細菌培養與研究，其中一個原因是 因為其繁殖速度極快，在短時間內細菌的數量會以指數 方式成長。若某細菌每1 小時會分裂 1 次，其數量會變 為原來的2 倍；經過 2 小時後，其數量會變為原來的 4 倍…，以此類推，可得「時間（小時）」與其數量「倍 數」的關係圖如圖1 所示。 　　本單元將探討形如圖1 這樣的函數關係及其圖形， 並介紹它在生活上的應用。 ▲ _圖1

指數函數

5

75

5

指數函數 設 _{a > 0 , a≠1，且 x 是任意實數，函數} y = f (x)= ax 稱為以_{a 為底數的}指數函數。

指數函數的定義

　　上面的定義中，特別要求a≠1，原因是：當 a = 1 時，f (x)=1x=1 為常數函數， 其圖形為一條水平直線。 　　接下來利用描點法來描繪前文提及的指數函數 y = 2x之圖形。 描繪指數函數y = 2x的圖形。

例題

1

首先列出一些滿足y = 2x的點(x , y)。 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y =2x ₁₆1 1₈ 1₄ 1₂ 1 2 4 8 16 接著 ，將表列所對應的點逐一畫在坐標 平面上（如右圖中的黑點）。此外 ，可 再描出更多的點，如x= ± 1 2 , ± 32 , ± 52 , ± 7 2所 對 應 的 點 （ 此 時 可 利 用 計 算 機 來求值 ，例如當 x = 1 2時 ，y =2 1 2_{≈ 1.41} 等 ）， 在 繪 製 很 多 個 點 之 後 ， 可 看 出 x 愈 大 ，y 愈 大 。 最 後 ， 如 果 描 點 數 夠 多 ，並用平滑曲線把這些點連接起來 ， 就可得到函數 y =2x 的圖形（如右圖中 的紅色曲線）。 解

76

　　觀察_{y = 2}x的圖形發現：其圖形通過點 (_{0 , 1})，恆在_{x 軸上方，且愈往右邊} 上升愈快，愈往左邊愈貼近_{x 軸。} 描繪指數函數_{y = 3}x的圖形。

隨堂練習

　　事實上，_{y = 3}x的圖形同樣具有類似例題1 中 y = 2x的圖形之特徵。一般而言， 當底數_{a > 1 時，指數函數 y = a}x的圖形都通過點 (0,1)，恆在_{x 軸上方，且愈往} 右邊上升愈快，愈往左邊愈貼近_{x 軸。} 　　其次，再來看看當底數0 < a < 1 時，函數 y = ax的圖形。 描繪指數函數_{y =}

(

1 2

)

x 的圖形。

例題

2

首先列出一些滿足y =

(

1 2

)

x 的點(x , y)。 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y =

(

1 2

)

x 16 8 4 2 1 1 2 1 4 1 8 1 16 解

77

5

指數函數 接著 ，將表列所對應的點逐一畫在坐標 平面上（如右圖中的黑點）。此外 ，可 再描出更多的點，如x= ± 1 2 , ± 32 , ± 52 , ± 7 2所對應的點（此時可利用計算機來 求值 ，例如當 x = 1 2時 ，y =

(

12

)

1 2_{≈ 0.71} 等）。最後 ，如果描點數夠多 ，並用平 滑曲線把這些點連接起來 ，就可得到函 數 y =

(

1 2

)

x 的圖形（如右圖中的綠色曲 線）。 　　觀察_{y =}

(

1 2

)

x 的圖形發現：其圖形通過點 (0 , 1)，恆在 _{x 軸上方，且愈往右} 邊愈貼近 _{x 軸，愈往左邊上升愈快。} 描繪指數函數_{y =}

(

1 3

)

x 的圖形。

隨堂練習

78

　　 事 實 上，_{y =}

(

1 3

)

的 圖 形 同 樣 具 有 類 似 例 題 2 中 y =

(

1 2

)

x 的 圖 形 之 特 徵。 一 般 而 言， 當 底 數 0 < a < 1 時，指數函數 y = ax的圖形都通過點(_0,1)， 恆在_{x 軸上方，且愈往右邊愈貼近 x 軸，愈往左邊} 上升愈快。 　　 再 將_{y = 2}x和 _{y =}

(

1 2

)

x 的 圖 形 放 在 同 一 坐 標 平 面上，如圖2 所示；觀察發現兩圖形對稱於 y 軸。 　　一般而言，指數函數_{y = a}x和_{y =}

(

1 a

)

x 的圖形對稱於_{y 軸（證明請見附錄三）。} 　　將指數函數_{y = a}x的圖形整理如下。 設 a > 0 , a≠1，指數函數 y = ax的圖形如下： 　　　　

指數函數的圖形

　　指數函數_{y = a}x的圖形有以下的特徵： 1 因為 a0=1，所以圖形會過點(0 , 1)。 2 圖形都在 x 軸上方。 3 ① 當 a > 1 時，圖形由左往右逐漸上升，即 x 愈大，y 愈大（也就是說，若 a > b，則aa>ab），並稱這樣的函數為嚴格遞增函數。 ② 當 0 < a < 1 時，圖形由左往右逐漸下降，即 x 愈大，y 愈小（也就是說， 若 a > b，則_aa<_ab），並稱這樣的函數為嚴格遞減函數。 4 函數 y = ax和 y =

(

1 a

)

x 的圖形對稱於y 軸。 ▲圖₂

79

5

指數函數 5 圖形上任相異兩點所連成的線段都在函數圖形的上方，稱函數圖形的凹口向 上，如圖_{3 所示。} 　　　　 ▲圖₃ 　　由圖_{3 觀察發現：指數函數 y = a}x的定義域為全體實數 R，且值域為所有正 實數。 已知函數_f (_x) 的圖形與_g(_x)=

(

1 5

)

x 的圖形對稱於 _{y 軸，求 f} (_x)。

隨堂練習

80

　　利用指數函數的特徵來做一道與底數有關的題目。 指數函數 y = ax, y = bx, y = cx的圖形如右所示。選出所有正確的選項。 1 a > 1 2 b > 1 3 c > 1 4 b > a。

例題

3

由圖形可知： 1 因為 y = ax為嚴格遞增函數，所以 a > 1。 2 因為 y = bx為嚴格遞增函數，所以 b > 1。 3 因為 y = cx為嚴格遞減函數，所以 0 < c < 1。 4 作直線 x = 1 分別與 y = ax和 y = bx交於A(1 , a), B(1 , b) 兩點，如右圖所示；因為 B 點在 A 點的上方，所以 b > a。 故選124。 指數函數 _{y = a}x, y = bx, y = cx的圖形如右所示，其中 y = ax與 _{y = c}x的圖形對稱於 _{y 軸。選出所有正確的} 選項。 1 a > 1 2 OP =1 3 ac = 1 4 c > b。 解

隨堂練習

81

5

指數函數

乙

指數函數的應用

　　引言提到細菌的數量會以指數的方式成長，常見的研究對象為大腸桿菌，它 每過 _{30 分鐘，其數量會變為原來的 2 倍；經過 60 分鐘後（2 個 30 分鐘），其} 數量會變為原來的_{4 倍。一般而言，經過 x 分鐘後（ x} 30個30 分鐘），其數量會 變為原來的2 x 30_{倍。假設經過一段時間後，發現細菌數量變為原來的 1024 倍，} 那麼是經過了多少分鐘呢？也就是說，指數方程式 2 x 30₌₁₀₂₄ 的解為何呢？ 　　在解指數方程式的過程中，經常會用到第一冊學過的指數律：設_{a , b 為正} 實數，_{r , s 是任意實數，則} 1 aras=ar+s。　　　　2

(

ar

)

s=ars。　　　　3 arbr=(ab)r。 　　再者，因為指數函數為嚴格遞增函數或嚴格遞減函數，其圖形與x 軸上方的 水平線僅有唯一的交點（如圖4 所示），也就是說， 若_aa=ab ，則 a= b。 　　　　　　 ▲圖₄ 　　利用這個性質來看一道例題。

82

解下列各方程式： 1 3x=3 3。　　2

(

3

)

3x+1=27 3。　　3 9x+3x+1-18 = 0。

例題

4

1 將方程式化為 3x=3 3 = 332_， 又因為y =3x為嚴格遞增函數，可知其圖形與 y = 3 3 僅有唯一的交點，如右圖所示， 所以 x = 3 2。 2 因為

(

3

)

3x+1=

(

312

)

3x+1₌₃3x+12 _{且27 3 = 3}3_×312₌₃72_， 所以方程式可化為 3 3x+1 2 ₌₃72_， 可得 3x+1 2 = 72 ，解得x =2。 3 設 t = 3x。因為 9x=

(

32

)

x=

(

3x

)

2=t2且3x+1=3x×3 = 3t， 所以方程式可化為 t2+3t - 18 = 0， 即 (t - 3) (t + 6)=0，解得 t = 3 或 t = - 6。但因為 t = 3x>_{0，所以 t = - 6} 不合。 故 t = 3，即 3x=3 = 31，解得x = 1。 解

83

5

指數函數 解下列各方程式： 1 2 x 30_{=1024。　　　　2 2}3x2_=4×25x_{。　　　　3 4}x+1_-9×2x_{+2 = 0。}

隨堂練習

　　根據指數函數嚴格遞增或嚴格遞減的特徵，可以比較給定實數指數的大小。 觀察 _{y =}(_0.3)x的圖形，比較_{a = 0.3 , b =}(_0.09)0.5_{, c =}

(

10 3

)

- 3 2_{三數的大小} 關係。

例題

5

將以上三數都化成以0.3 為底數的指數： a = 0.3 =(0.3) 1 2_, b =(0.09)0.5=

(

(0.3)2

)

0.5=(0.3)1, c =

(

10 3

)

- 3 2₌

(

_(0.3)-1

₎

- 3_2=(0.3)3₂ 。 因為y =(0.3)x是嚴格遞減函數（即x 愈大，y 愈小），所以 a > b > c。 觀察_{y = 2}x的圖形，比較 _{a =} 2 , b = 4 , c = 8 三數的大小關係。 解

隨堂練習

3 4

84

　　指數函數嚴格遞增或嚴格遞減的特徵也可以用來解決指數不等式的問題。 解下列各不等式： 1 (0.7)x2> (_0.49)x。　　　　2 4x-2x+1-8 > 0。

例題

6

1 因為 0.49 =(0.7)2，所以不等式可化為 ₍0.7)x2> (_0.7)2x， 又因為 0 < 0.7 < 1，可知以 0.7 為底的指數函數為嚴格遞減函數，所以 x2<_2x， 即 x(x - 2)< _{0，解得 0 < x < 2。} 2 設 t = 2x。因為 4x=

(

22

)

x=

(

2x

)

2=t2且2x+1=2x×2 = 2t， 所以不等式可化為 t2-2t - 8 > 0， 即 (t - 4) (t + 2) >_{0 ，解得 t > 4 或 t < - 2。但因為 t = 2}x> _{0 ，所以} t < - 2 不合。 故 t > 4，即 2x>4 = 22，解得x > 2。 解下列各不等式： 1 32x+1_{> 13 。} 2 21 - 2x-9×2-x+4 ≤ 0。 解

隨堂練習

85

5

指數函數 　　來看一個按比例衰退的應用情形。半衰期是指放射性物質衰變至原來數量 的一半所需的時間。例如：碘_{131 的半衰期為 8 天，表示該元素經過 8 天後數量} 剩下原來的 12 ；經過 16 天後，剩下原來的14 =

(

12

)

2 ；一般而言，經過_{x 天後，} 其數量會變成原來的

(

1 2

)

x 8_。 　　圖5 為國立臺灣博物館的左鎮人骨，曾被誤測距今有兩、 三萬年之久，後來透過碳14 的鑑定後，才推翻了這個說法。 碳14 定年法是考古學上常用的技術：生物還活著時，因為呼 吸作用，所以體內的碳 14 數量大致不變；當生物死去後，體 內的碳14 就會放射衰變減少。考古學家們可利用這個衰變特 性來推斷生物的死亡時間。 已知碳14 的半衰期約為 5700 年，且該骨頭原來碳 14 的數量為 m，問： 該人類死亡 x 年後，碳 14 的數量變為下列哪一個選項？ 1 x

(

1₂

)

m 5700_{2 m}

(

1 2

)

5700 x 3 m

(

1 2

)

x 5700_{4 x}

(

1 2

)

5700 m _。

例題

7

因為碳14 的半衰期約為 5700 年，表示該元素經過 5700 年後數量剩下原 來的 1 2 ，所以經過x 年後，碳 14 的數量變為原來 m 的

(

12

)

x 5700_倍，即 m

(

1 2

)

x 5700_。 故選3。 ▲圖₅ 解

86

藥物在人體血液中的剩餘量會隨著時間遞減，且經 過_{x 小時後，血液中的藥物濃度為指數函數} f (x)=max， 其中_{m , a 是常數。已知右圖是 y = f} (_x)的部分圖形， 求_{m , a 的值。}

隨堂練習

　　再來看一個按比例成長的應用情形。同學過年領到的壓歲錢常被存入銀行， 而銀行常提供的利息計算方式有單利與複利兩種，這兩種的不同在於：單利是將 所獲得的利息與本金分開，每期所領取的利息固定，如銀行的「存本取息」制； 複利則是把每期所獲得的利息加上本金，一起當作下一期的本金，如「整存整付」 制。例如：某定存年利率為10％，已知本金為 10 萬元，以一年為一期，不同期 數的本利和如下表（單位：萬元）。 時間 以單利計算本利和 以複利計算本利和 1 年後 10(1 + 10%)=11 10(1 + 10%)=11 2 年後 10(1 + 10%×2)=12 11×(1 + 10%)=10(1 + 0.1)2=12.1 3 年後 10(1 + 10%×3)=13 12.1×(1 + 10%)=10(1 + 0.1)3=13.31 … … … n 年後 10(1 + 10%×n) 10(1 + 0.1)n 　　以單利計算時，本利和隨著時間以線性成長；而以複利計算 時，本利和隨著時間以指數成長，如圖6 所示。愛因斯坦曾說： 「複利的威力勝過原子彈！」不少信用卡的循環利率都是複利計 算。指數成長的複利，其威力不容小覷。 　　一般而言，設本金為_{P 元，每期的利率為 r%，單利與複利} 的本利和的計算方法如下表。 時間 以單利計算的本利和 以複利計算的本利和 n 期後 P(1 + r%・n) P(1 + r%)n ▲圖₆

87

5

指數函數 　　來看一道單利與複利比較的應用問題。 某銀行推出青年創業優惠貸款方案如下：貸款100 萬元、年利率為 3%、 每年計息一次，十年後期滿一次還清本利和。 1 以單利計息，期滿還款時須還多少錢？ 2 以複利計息，期滿還款時須還多少錢？ （四捨五入到整數位）

例題

8

1 十年後單利的本利和為 100(1 + 3%×10)=100(1 + 0.3)=130（萬元）。 2 十年後複利的本利和為 100(1 + 3%)10=100(1.03)10（萬元）。 利用計算機依序按下 1.03 10 1000000 可得 100(1.03)10（萬元）≈ 1343916（元）。 某銀行推出六年儲蓄專案如下：一次存_{100 萬元、年利率為 2.5%、每年} 計息一次，六年後期滿一次領回本利和。問：六年期滿領回本利和時， 複利計息比單利計息多領多少錢？（四捨五入到整數位） 　　之前提到，複利的本利和會隨著時間以指數成長，那麼如果是在一年內的計 息次數愈多，本利和會不會無上限的愈來愈大呢？我們以本金1 萬元、年利率 100% 的情形下，以一年複利一次（此時利率為 100% = 1）、每半年複利一次（此 時利率為100%÷2 = 0.5）、每季複利一次（此時利率為 100%÷4 = 0.25）…，一 年後得到的本利和列出如下表（單位：萬元）。 解

隨堂練習

88

計息週期 （多久複 利一次） 一年的 期數_n 每期的利率 100%_n 一年（_{n 期）的} 本利和_1×

(

_{1 + 100%} n

)

n 一　年 1 100% = 1 (1 + 1)1=2 半　年 2 100%÷2 = 0.5 (1 + 0.5)2=2.25 一　季 4 100%÷4 = 0.25 (1 + 0.25)4≈ 2.4414 一個月 12 100%÷12 ≈ 0.0833 (1 + 0.0833)12≈ 2.61207 一　週 52 100%÷52 ≈ 0.01923 (1 + 0.01923)52≈ 2.69249 一　天 365 100%÷365 ≈ 0.00274 (1 + 0.00274)365≈ 2.71484 半　天 730 100%÷730 ≈ 0.00137 (1 + 0.00137)730≈ 2.71669 一小時 8760 100%÷8760 ≈ 0.000114155 (1 + 0.000114155)8760≈ 2.71812 一分鐘 525600 100%÷525600 ≈ 0.00000190259 (1 + 0.00000190259)525600≈ 2.71828 　　由上表可看到，計息次數愈多，本利和愈大，而且會 大約趨近2.718…；事實上，當一年內計息次數愈來愈多次 時，本利和並不會無上限的愈來愈大，而會趨近一個固定 的常數，我們將這個常數記做_{e。利用計算機依序按下} 1 如圖7 所示，就可得到 e≈ 2.718281828。 　　不同的計算機型按鍵的順序可能有些許差別，而計算 機的型號太多，無法一一列舉，同學可自行參照各計算機 的使用說明書。 　　由計算機的畫面，看起來_{e 似乎是循環小數，事實上，利用更複雜的方式可} 以得知_e=2.718281828459045…，並可證明它是一個無理數。它就像圓周率 r 一 樣，是一個小數點以後有無限多個數字且不循環的無理數。因為歐拉是第一位使 用_{e 來表示這個常數的數學家，所以常數 e 又稱為「歐拉數」。} ▲圖₇

89

5

指數函數

5

觀念澄清 下列敘述對的打「」 1 指數函數 y = 7x的圖形過點 (0 , 1)。 2 若點 (-100 , k) 在_{y = 2}x的圖形上，則_{k < 0。} 3 指數函數 y =(0.99)x的圖形與 _{y = 100 不相交。} 4 指數函數 y = 5x與y =

(

1 5

)

x 的圖形都是凹口向上。 5 70.8>70.9。

一、基礎題

連連看：將下列各函數連到所對應的函數圖形： y = 2x • •　 f (x) y =

(

1 2

)

x • • 　g(x) y = 3x • • 　h(x) y =

(

1 3

)

x • • 　k(x) 指數函數 _{y = a}x, y = bx, y = 3x 的圖形如右圖所示 ，其中 y = bx與_{y = 3}x的圖形對稱於_{y 軸。選出所有正確的選項。} 1 a > 1 2 P 點坐標為 (0 , 1) 3 b = 13 4 3 > a。

90

解下列各方程式： 1 25x - 1=

(

5 5

)

3 。 2 4x-7×2x-8 = 0。 比較 _{a =} 125 , b = 25 , c = 5 三數的大小關係。 解下列各不等式： 1

(

4 5

)

x+2 >_1。 2 4x-3×2x+2 < 0。 放射性元素碘 _{131 可用來治療甲狀腺腫瘤，其半衰期為 8 天。已知容器中} 有碘 _{131 共 200 克，經過 x 天後剩下 12.5 克，求 x 的值。} 4 3

91

5

指數函數 某保險公司推出教育基金儲蓄專案如下：在嬰兒出生時存 _{10 萬元、年利率} 為 _{3.5%、以複利計息且每年計息一次，18 年後期滿一次領回本利和。問：} 期滿時可領回多少錢？（四捨五入到整數位）

二、進階題

解不等式 (0.3)x2-x> (_0.09)2x+3。 鉛製容器中有兩種質量相同的放射性物質甲與乙 ，且甲的半衰期為 30 小 時。已知經過 120 小時後甲的質量為乙的兩倍，求乙的半衰期。 半導體產業的摩爾定律認為「積體電路板可容納的電晶體數目每兩年增加 為原來的兩倍」。已知經過 t 年後，電晶體數目為原來的 at倍，求a 的值。