96年數學統測試題B(含解答)

(

Ｃ

) 1. 在坐標平面上，若 a > 0 且 b < 0，則點

( ,ab b a )

在第幾象限內？　(A)一　(B)二

(C)三　(D)四。

【96 統測 B】 解 ∵a ，0 b 0 ab ，0 b a  　∴點 ( ,0 ab b a )為 ( , )  在第三象限

(

Ｂ

) 2. 若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，點 A、B、C 的坐標分別為(5,2)、

(1,3) 、 (4,3) ， 則 D 點 之 坐 標 為 何 ？ 　 (A)(1,8) 　 (B)(0,2) 　 (C)(2,7) 　 (D)

(3,9)。

【96 統測 B】 解 由平行四邊形對角線互相平分性質知： BD 的中點 AC 的中點  1( ,3 ) (5 ( 4) 2 3, ) 2 2 2 2 x y        1 5 ( 4) 2 2 x  _   ，3 2 3 2 2 y  _  _ 0 x ，y2 ∴ ( , )D x y 的坐標為 (0,2)

(

Ｂ

) 3. 已知

a2log 42

，

1₂

8

b



，

clog 102

，則此三數的大小關係為何？　(A)a > b > c

(B)a > c > b　(C)c > a > b　(D)c > b > a。

【96 統測 B】 解 ∵a2log 42  ，4 1 1 3 3 2 2 2 8 (2 ) 2 2 2 b    ≒2.828

又∵log 2₂ 3log 10 log 2₂  ₂ 4 3  　∴ a c bc 4  

(

Ｃ

) 4. 試問

₃11

_除以

₃2_{ 3 1}

_{之餘數為何？　(A)1　(B)3　(C)9　(D)12。}

_{【96 統測 B】}

解 設x ，則原式可視為：求3 _{x 除以}11 _x2_{  之餘數x 1}

∵_(x1)(x2_{  x 1) x}3_{ ，令1 x}3_{  1 0 x}3_1

又∵_x11_{( )x}3 3_x2 _(1)3_x2_x2 _{ 即表示x 除以}11 _x2_{  之餘數為x 1 x}2

令x 3 _x2_{ 為其餘數9}

(

Ａ

) 5. 設 a > 0 且

a1

， 若

log 3 log 7 3_a  _a 

， 則 a  ？ 　 (A)

3₂₁

_(B)

₂₁

_(C)3

(D)7。

【96 統測 B】

解 log 3 log 7 log (3 7) log 21_a  _a  _a   _a  log 21 3_a  _a3_{21　∴a}3₂₁

(

Ｃ

) 6. 設

x 3 1

，則

_x3_{6x 1}

_{？　(A)1　(B)2　(C)3　(D)4。}

_{【96 統測 B】} 解 ∵x 3 1  x 1 3 _(x1)2 _{( 3)}2_{ x}2_{2x 2 0} (即將x 3 1 代入_x2_{2x ，其結果為 0)2} 由除法定理可得：_x3_{6x1(x}2_{2x2)(x2) 3  0 3 3} A ( 5 , 2 ) D x y( , ) B ( 1 , 3 ) C ( 4 , 3 ) M

(

Ｄ

) 7. 以

_x2_2x2

_除

_x4_3x3_2x2_{ x 1}

_的餘式為

_{ax b}

，則 a  b ？　(A)0　(B)1

(C)  1　(D)  2。

【96 統測 B】 解 利用分離係數法 1 3 + 2 1+ + + 1 1 2 + 2+ 1 + 0 1+ 1 + 2 2+   2 1 + 1 1 1+ 2 1 2 + 2+   2 4 4 3 + 5 可得餘式為 3x 5 a3 ， 5 b 　∴ 2 a b  

(

Ａ

) 8. 若

_{f x( ) 5 x}2_6x1

在 x  a 時有最小值 b，則 a  b ？　(A)

1

5

　 (B)0　(C)

3

5



　(D)

4

5



。

【96 統測 B】 解 _{f x( ) 5 x}2_{6x1 5(} 2 6 _{) 1} 5 x x    ₅₍ 3₎2 ₍ 4₎ 5 5 x      當 3 5 x  時有最小值 4 5   3 5 a  ， 4 5 b  　∴ 3 ( 4) 1 5 5 5 a b     

(

Ｃ

) 9. 已知點 M 為 A、B 兩點的中點，若 M 及 B 的坐標分別為(2,1)及(1,3)，則點 A

到點(3,0)的距離為何？　(A)

3

　(B)2　(C)

5

　(D)

6

。

【96 統測 B】 解 設 ( , )A x y ， M 為 A 、 B 兩點的中點 ( ( 1), 3) (2,1) 2 2 x  y _{ } 5 x ，y1 得 (5, 1)A  　∴ (5, 1)A  到點 (3,0) 的距離_{ (5 3) ( 1 0)} 2_{  } 2_{ 5}

(

Ｄ

) 10. 設方程式

2 2 2

log (x 5x12) 1 log  x

的根為 a、b，則 a b ？　(A)  5　(B)5

(C)  7　(D)7。

【96 統測 B】 解 驥真數_x2_{5x12 0 　纜真數x0} 2 2 2 log (x 5x12) 1 log  x  2 2 2 2

log (x 5x12) log 2 log  x

 2 2 2 log (x 5x12) log 2 x  _x2_{5x12 2 x}  _x2_{7x12 0}  (x3)(x4) 0 　∴ x  3 或 4(均合，代入驥纜均符合真數 0 )，故a b 7

(

Ｂ

) 11. 若

_{(2 )}m 2 _16

_且

₃

1

27

n m

_

_{，則 m n ？　(A)5　(B)1　(C)  5　(D)  1。}

【96 統測 B】 解 _{(2 )}m 2 _{16 2}2m _24 2_m 　∴_{4 m}₂ 1 3 27 n m _{  3} 3n m _3 _{ n m   　∴3 n  ，故1 m n 1}

(

Ａ

) 12. 設

 為實數，若

sin

cos

1

3









，則

sec



csc





？　(A)

3

4

　(B)

4

3

　(C)

4

5

(D)

5

4

。

【96 統測 B】 解 sin cos 1 3   兩邊平方 _{(sin cos )}2 _{( )}1 2 3      1 2sin cos 1 9      2sin cos 8 9      

∴sin cos 4 9   ， seccsc 1 1 cos sin   1 sin cos ₃ 3 4 sin cos 4 9         

(

Ｂ

) 13. 設

0 x 2



， 則

2 ( ) sin cos 1 f x  x x

的 最 大 值 為 何 ？ 　 (A)

1

2

　 (B)

1

4

　 (C)

1

4



　(D)

1

2



。

【96 統測 B】

解 利用配方法得 _{f x( ) sin} 2_{xcosx1 (1 cos}2_{x) cos x1} 2 cos x cosx    _(cos 1₎2 1 2 4 x     ∵ 0 x 2  1 cos  x 　∴當1 cos 1 2 x 時  ( )f x 有最大值1 4

(

Ａ

) 14. 設級數

2 1

99

n i i

a

n









，則

10 6 i i

a







？　(A)75　(B)64　(C)60　(D)51。

【96 統測 B】 解 10 10 5 2 2 6 1 1 (10 99) (5 99) 75 i i i i i i a a a          

  

(

Ｂ

) 15. 等差級數共有 25 項，公差為

3

4



，又知第 17 項為 21，則此等差級數的和為

何？　(A)550　(B)600　(C)625　(D)650。

【96 統測 B】 解 由a_n a₁(n1)d  _{17 1} 16 ( 3) 4 a    a 21 ₁ 16 ( 3) 4 a     　∴a₁33 又 _{25 17} 8 ₁₇ 8 ( 3) 21 8 ( 3) 15 4 4 a a  d a         由 ( ₁ ) 2 n n n S  a a  ₂₅ 25(33 15) 600 2 S   

(

Ｃ

) 16. 若直線

4x3y 4 0

的斜角為 ，則

cos





？　(A)

3

5

　(B)

4

5

　(C)

3

5

 　(D)

4

5



。

【96 統測 B】 解 tan 4 0 3 a m b        90   180 ∴ cos  3 5 

(

Ａ

) 17. 已知一直線的 x 截距與 y 截距分別為 2 與 3，則此直線方程式為何？ 　(A)

3x2y6

　(B)

2x3y6

　(C)

3x2y1

　(D)

2x3y1

。

【96 統測 B】 解 a ，2 b 由截距式：3 x y 1 a b 可得直線L 的方程式為 1 2 3 x y    3x2y6 O x 5 _θ 4  3

(

Ｄ

) 18. 滿 足 聯 立 不 等 式

0 ,

0

20

10

x

y

x y

x y







  



   



的 條 件 下 ， 試 求

3y x

的 最 大 值 ？ 　 (A)10

(B)20　(C)30　(D)40。

【96 統測 B】

解 圖示可行解區域得四頂點坐標為 (0,0) , (0,10) , (5,15) , (20,0) 目標函數為 ( , ) 3f x y  y x ( , )x y (0,0) (0,10) (5,15) (20,0) ( , ) f x y 0 30 40 20 ∴ 3y x 的最大值為 40

(

Ｄ

) 19. 求聯立不等式

8

8

x y

x y

















之 圖 形 區 域 面 積 為 何 ？ 　 (A)64　(B)86　(C)100

(D)128。

【96 統測 B】 解 8 8 x y x y          8 8 8 8 x y x y            8 8 8 8 x y x y x y x y                  作圖如右： ∴菱形面積 1 16 16 128 2    

(

Ｂ

) 20. 設 m、b 為實數，若直線

y mx b 

經過點(1,1)且與圓

2 2 6 2 10 0 x y  x y 

相切，則 m b ？　(A)4　(B)5　(C)6　(D)7。

【96 統測 B】 解 ∵點 ( 1,1) 在圓上　∴由切線公式得( 1) 1 6( 1 ) 2(1 ) 10 0 2 2 x y x y             y2x (與 y mx b3   比較係數)得m ，2 b 　∴3 m b 5

(

Ｄ

) 21. 下列何者為方程式

₍

₎

2

₂₍

3

_{) 2 0}

2

x y





xy



x y



  之圖形？　(A)一點　(B)一

直線　(C)圓心為

(

3

, 2)

2



之圓　(D)半徑為 5

2

之圓。

【96 統測 B】 解 原式  _x2_{2xy y} 2_{2xy3x2y  2 0 x}2 _y2_{3x2y 2 0} 　　 ( 3)2 ( 1)2 2 9 1 5 2 4 4 x  y      ₍ 3₎2 _{( 1)}2 ₍ 5₎2 2 2 x  y  ∴其圖形為圓心( 3,1) 2  ，半徑 5 2 之圓

(

Ｃ

) 22. 可用 7 種不同顏色塗在右圖的 6 個格子內，若規定顏色不重

複使用且同一格子僅塗滿一色，則共可塗出幾種不同的著

色樣式？　(A)

7 6 C

　(B)

12 6 C

　(C)

7 6 P

　(D)

₆7

_。

_{【96 統測 B】} 解 顏色不重複使用，可視為自 7 種不同顏色選取 6 種的不可重複排列  7 6 P

(

Ａ

) 23. 若相同的玩具 8 個分裝於 3 個相同的箱子，每箱至少 1 個，則共有幾種裝法？

　(A)5　(B)6　(C)7　(D)8。

【96 統測 B】 x y O ( 0 , 1 0 ) x + 2 0 y ( 5 , 1 5 ) ( 0 , 0 ) ( 2 0 , 0 ) x    y 1 0 x y O ( 0 , )8 ( 8, 0 ) x   y 8 x + y  8 x + y  8 x   y 8 ( 8 , 0 ) ( 0 , 8)

解 方法一：裝法  (1,1,6)、(1,2,5)、(1,3,4)、(2,2,4)、(2,3,3)共有 5 種 方法二：每箱先各裝 1 個，剩 5 個任意分裝法 　　　　  (0,0,5)、(0,1,4)、(0,2,3)、(1,1,3)、(1,2,2)共有 5 種

(

Ｄ

) 24. 在圓內部任選一點，則此點至圓心的距離小於此點至圓周的距離之

1

2

倍的機

率為何？　(A)

4

9

　(B)

1

3

　(C)

2

9

　(D)

1

9

。

【96 統測 B】 解 設圓的半徑為 r ，所選之點至圓心的距離為 x  此點至圓周的距離 r x 則 1( ) 2 x r x  2x r x  　∴ 1 3 x r　∵所選之點須在圓內部 ∴所求機率 2 2 1 1 ( = ) ( ) ₁ 3 3 ( = ) 9 r r r r   小圓面積 半徑   大圓面積 半徑

(

Ｂ

) 25. 若同時丟擲兩個公正骰子一次，則此兩個骰子出現相同點數的機率為何？

(A)

5

36

　(B)

1

6

　(C)

7

36

　(D)

2

9

。

【96 統測 B】 解 設樣本空間為S _{n S( ) 6} 2 _36 設事件A：表示兩個骰子出現相同點數，則



(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)



A n A( ) 6 ∴ ( ) ( ) 6 1 ( ) 36 6 n A P A n S   