１－２指數函數

１－２．指數函數

[多選題] 　　１.y＝f(x)＝3x_{的圖形Γ 具有下列何種性質？ (A)Γ 恆在 x 軸上方 (B)Γ 過點(0 , 1) (C)Γ 對稱於 y 軸} (D)Γ 與直線 y＝t（t 為任意實數）恰有一交點 (E)Γ 與直線 x＝t（t 為任意實數）恰有一交點。 　　２. Γ 右圖的曲線為函數y_＝a|x|_{的圖形的一部分，點}P_為曲線與y_{軸的交點，下} 列敘述何者為真？(A)a_＞1(B)OP_＝1(C)y_＝a|x| 的圖形對稱於y_軸 (D)y_＝a|x| 與y_＝a－|x| 的圖形對稱於x_軸(E)_當x_＞0_時，y_＝a－x Γ 的圖形恆在 的上方。 　　３. Γ 圖中的曲線為函數y＝ax的部分圖形，p_{為曲線Γ與}y_{軸的交點，下列各敘} 述何者為真？(A)a_＞1(B)op_＝1(C)y＝ax的圖形對稱於y_軸 (D)y＝ax與y＝－ax的圖形對稱於x_軸(E)_方程式ax_＝3_－x2 的實根有2 個。 　　４.若 a>0 且 a≠1，則下列各圖形中，何者可能是指數函數 y=_ax _{的部分圖形？} 　　５. 設y＝f(x)＝2x的圖形為1，y＝g(x)＝3x的圖形為2，則下列 敘述何者為真？ (A)_1與_{2恰有一個交點} (B)x_＞0_時，_1在 2 _的下方 (C)x_＜0_時，_1在_2的上方 (D)_1與_{2有共同的} 漸近線 (E)_水平線L：y＝k(k＞0)與)₁_{2的交點分別為}P_， Q_，則P_在Q_的右方。 　　６.設_f(x)＝ax_{(a＞0，a≠1)，則下列何者恆成立？　(A)f(x)f(y)＝f(x)＋f(y)　(B)} ) y x ( f ) y ( f ) x ( f  ＝ － 　(C)_(f(x))y_{＝f(xy)＝(f(y))}x_{(D)x＞ y f(x)＞f(y)　(E)} ) x ( f y＝ 的圖形與x 軸沒有交點。

　　７. (_如圖)_{為某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係} 圖，假設其關係為指數函數，試問下列何者為真？(A) 此指數的底數為2 (B_)在第5_{月時，布袋蓮的面積就} 會超過30m2 (C_{)布袋蓮從}4m2_蔓延到12m2_只需1.5 個月 (D)_{設市袋蓮蔓延到}2m2_，3m2_，6m2_，所需的 時間分別為t1，t2，t3，則t1+t2=t3 (E)布袋蓮在第1到 第3_{個月之間蔓延平均速度等於在第}2_到第4_個月之 間蔓延平均速度。 　　８.若 a>0，且 a



0，則下列各圖形中，何者可能是指數函數 y=ax_{的部分圖形？} [計算題][１－２．指數函數] 　　１.設 x＞0，試求方程式_xx2 3 _{( x)}4x ＝ － _的解。 　　２.設 x  0 , y  0 , x＋y＝1，試求 2x_＋2y_{的最大值與最小值。} 　　３.設 x＞0，試解不等式 2x2 5x 3 x － ＋ _＞x。 　　４.設曲線 Γ1：y＝ 5 3 3x_＋ －x 與曲線Γ2：y＝ _{x x} 3 3 a － ＋ 相交於A , B 二點，且AB＝2，試求 a 值？ 　　５.設 f(x)=a+bxn_{，若f(2)=17，f(4)=47，f(8)=167，求 a，b。} 　　６.設 a>1，f(x)=ax_{，若f(2x)=3，求} ) x ( f ) x ( f ) x 3 ( f ) x 3 ( f     之值。 　　７.設 f(x)= _xx _xx 2 2 2 2     ，x



R，x≠0，若 f(a)= 15 17 ，f(b)=－ 63 65 ，求f(a+b)之值。 　　８.定義二函數如下﹕f(x)= 2 e ex _ x ，g(x)= 2 e ex _ x 。試將f(x+y)及 g(x+y)分別以 f(x)，g(x)，f(y)，g(y)表示之。 　　９.比較大小﹕a=3 _5，b=125 4 1 ，c= ₅3 ₅ ，d=25 6 1 　１０.設 0<a≠1，n



N，n>1，試比較下列各數之大小﹕n1_an _，n1_an1 _，n _an1 _，n _an1 _， 1 n _an1 _，n1_an _。 　１１.a= 2 2 2 4 1 ，b= ₃ 3 4 2 4 4 1 ，c= ₅ 5 8 2 8 4 1 ，試比較a，b，c 之大小順序。 　１２.(1) x x x ) x x ( x  ,其中 x>0 (2)10x _52_2x _22_5x _100_0 ₍₃₎₆x _43x _32x _{120 (4)} 0 2 2 7 22x _{ } x _ 3 _{ (5)} 0 1 2 31 4 2 x 2 1 x       ₍₆₎₂2x _32y _{55,x,yN (7)}

0 10 ) 2 2 ( 7 ) 4 4 ( 2 x _ x _ x _ x _{ } 　１３.解方程組﹕        2 3 3 1 y 2 x y x 　１４.設 4x_－3‧2x+2_{+8=0 之二根為 α，β，求 α+β 之值。} 　１５.求一切實數 a，使方程式 5x_－ x 5 1 a 2  =2a 有實數解。 　１６.x 的方程式 22x₊₂x+1_{a+3－2a=0 有相異的兩個實根，求實數 a 之範圍。} 　１７.解不等式﹕(1)_(0.3)x2_3x _(0.09)2x_4  (2)₄x2_6x_3 _{8 2}12x_5   。 　１８.解不等式﹕ x 2 1 2  + 2 x 1 2  >3。 　１９.設－2x2，求 y=4x_－2x+1_{之最大，最小值及當時之x 值。} 　２０.設 a>0，求(ax₊₂₎2_+(a－x₊₂₎2_{之最小值。} 　２１.設 2 2 2 ) x ( f x x_－ － ＝ ， f(a)＝6；則f(3a)的值為何？ 　２２.設 x_{x x}x 3 3 3 3 ) x ( f _－－ ＋ － ＝ ，且 2 1 ) ( f  ＝ ， 3 1 ) ( f  ＝ ，求 f(＋)的值。 　２３.設 f(x)_＝9x_－6_3x_＋5_{，0 x2，求f(x)的最大值與最小值？} 　２４.試求方程式6x_－4_3x_－3_2x_＋12_＝0_的解。 　２５.設 12 1 3 6 a＝ － ， 3 3 72 1 9 6 b  ， 5 5 864 1 27 6 c  ，試比較a，b，c 的大小。 　２６.解方程式_{3 2 3}2 _{255 0} x 1 x＋_{－  － ＝} 。 　２７.方程式x2_－2ax_＋aa_＝0_{有實根，求正數a 的範圍？} 　２８.設 a、b、c



R，abc≠0，₂a_＝3b_＝6c_(1)求 b c ac ＋ 的值 (2)求 b) 1 a 1 ( c ) a 1 c 1 ( b ) c 1 b 1 ( a － ＋ － ＋ ＋ 的值。 [單選題][１－２．指數函數] 　　１.下列何者為 ₎x 2 ( y＝  的略圖？ 　　２.設 f(x)＝_ax_{(a＞0，a≠1)，則下列何者恆成立？ (A)f(x)＋f(y)＝f(x＋y) (B)} ) y x ( f ) y ( f ) x ( f － ＝ － (C)f(x)f(y)＝f(xy) (D) ) y x ( f ) y ( f ) x ( f  ＝ _(E)[f(x)]y_＝f(xy)_。 　　３.設1：y＝2x，2： )x 2 1 ( y＝ ，則有關1，2兩圖形的敘述下列何者為真？ (A)1與 2  不相交 (B)1與2 對稱於x 軸 (C)1與2 均在x 軸上方 (D)1恆在2 的上方 (E) 2 恆在1的上方。 　　４.設 0＜a＜1，則y_ax_－1_的圖形_{有下列何種性質？ (A)}_{過點(0，1) (B)}_{對稱x 軸 (C)} 對稱y 軸 (D)x 軸為的漸近線 (E)恆在x 軸上方。

　　５. 右圖是某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖，假設其關係為指 數，試問下列何者不真？(A)_{此指數函數為以}2_為底數的(B)_在第5 月時，布袋蓮的面積就超過30m2(C)_{布袋蓮從4m}2 蔓延到12m2_，只 需1.5_個月(D)_{設布袋蓮蔓延到2m}2 ，3m2_，6m2 ，所需的時間分別為 1 t_，t_2，t_3，則t_1＋t_2＝t₃(E)_{布袋蓮在第}1_到第3_{個月之間的蔓延平} 均速度大於在第2_到第4_{個月之間的蔓延平均速度。} 　　６.設 x , y , z  R 且 2x_＝3y_＝5z_{＞1 則 2x , 3y , 5z 的大小關係為 (A)2x＞3y＞5z (B)3y＞2x＞5z} (C)3y＞5z＞2x (D)5z＞3y＞2x (E)5z＞2x＞3y。

　　７.設 a＞0 , a  1，x1 , x2為相異二正數，則下列何者恆大於0 (A)ax1－ax2 (B)ax1－x2 (C) 2 a a a 1 2 1 2 x x 2 x x ＋ － ＋ (D)_ax1．x2－₁ (E)ax1．ax2－1。 　　８.函數 y= ₎x 5 3 ( +1 之圖形為下列為者？ [填充題][１－２．指數函數] 　　１. 3＋1 3－2 3＝ ) 2 ( 2  。 　　２.設 a，b



R，(13.25)a_＝1000_，(0.01325)b_{＝100，則 － ＝} b 2 a 3 。 　　３.設 a＞0，a≠1， 2 a a ) x ( f x x_＋ － ＝ ，則_f(2x)－_2[f(x)]2＝ _。 　　４.2－x_＋x2_－3_＝0_{的實根有 個。} 　　５.設₂₅x＋2_＝124＋52x＋1_且

x



_{R，則 x＝ 。} 　　６.指數不等式(0.2)x2 2x 5 0.008 ＜ － － _{的解為 。} 　　７.設

x



R，f(x)_＝2(9x_＋9－x)_－12(3x_＋3－x)_－18_{，則f(x)的最小值為 。} 　　８.設1：y＝4x，2：y＝23x＋2，則1與2之交點坐標為 。 　　９.函數f(x)_＝32x_－5_3x－1_＋1_{，x ，則 f(x)的最小值為　　　　。R} 　１０. 20 ) 3 ( , ₉－ 5 _{, 3}1＋ 5_{＝　　　　　　　　。} 　１１.設 f(x)＝ 2 7 7x_－ －x , f()＝5，則 f(3)＝　　　　　　　　。 　１２.若 , 為 4x＋1_－a．2x_{＋32＝0 的二根，則＋＝　　　　　　　　。} 　１３.設 x  R 且 22x＋1_＋2－2x＋1_－7(2x_＋2－x_{)＋9＜0，則 2}x_＋2－x_{的範圍為　　　　　　　　。} 　１４.設 f(x)＝ _xx _xx 3 3 3 3 － － ＋ － _{，若f(a)＝} 3 1 , f(b)＝ 4 1 ，則f(a＋b)＝　　　　　　　　。 　１５.設 f(x)＝9x_－6．3x_{＋5 , 0  x 2，則 f(x)的最小值為　　　　　　　　。} 　１６.設 a , b , c  R , abc≠0 且 2a_＝3b_＝6c_，則 b c a c ＋ ＝　　　　　　　　。

　１７.設 a＝3 _{5 , b＝} 7 2 ) 6 2 ( , c＝ 10 3 25 ，則a , b , c 的大小關係為　　　　　　　　。 　１８.設 f(x)＝2(9x_＋9－x_)－5(3x_＋3－x_{)－7 , x  R，則 f(x)的最小值為　　　　　　　　。} 　１９.試比較 6，3_{15， 19 之大小次序　　　　。} 　２０.設x ₇₂₉ =y ₃y2 _且24x+3y₌₈xy_{，則x= 　 ，y= 　 。} 　２１.設 f(x)=(4x₊₄－x₎₊₍₂x₊₂－x_)+5，x



_{R，令 t=2}x₊₂－x_{，(1)f(x)=　　　　　　(以 t 表之)。 (2)f(x)之最} 小值為 。 　２２.設 a≧0，b≧0 且 a+b=1，則 2a₊₂b_{之最大值為 ，最小值為 。} 　２３. _xx _xx 2 2 2 2 ) x ( f _     ,x 為實數,x



0,若f

 

a 4,f

 

b 3,則

   

1 f 2a  ,

  

2 f a b



 。 　２４._f

 

_{x a}x _ax_,g

 

_{x a}x _ax_{,其中 a>0,a≠1,若f}

   

_{x f y 4,g}

   

_{x g y 8,求(1)g(x+y)=} ,(2)g(x-y)= 。 　２５. _xx _xx 3 3 3 3 ) x ( f _     ,x



0,以 f

 

x 表₉x _{得 又若 f(a)=} 4 5 , 則 a=



　２６. 2 10 10 y : G x x 1    , 2 10 10 y : G x 2 x 2 2    ,此二圖形G1,G2之交點為p,則點 p 之坐標為 。 　２７.方程式₂x _x2_{有幾個解 。} 　２８.函數_y4x_與y23x2_{的圖形交點坐標為______。} 　２９.2x2, f

 

x =₉x _3x1_{,則 x=_______時, f}

 

_{x 有最大值_______。} 　３０.f

 

x =4x_32_2x1_50_{則x=______時， f}

 

_{x 有最小值} 　３１.

 

_xx _xx 2 2 2 2 x f _     ,若 f

 

a =3, f

 

b =4,則f



ab



=______。 　３２.4x _3_2x2_8_0_之二根為



_{、 =______則}



_{＋=______。} 　３３._{令t 2}x_2x_{, f(x)}



₄x_4x

 

_82x _2x



_{25(1)以 t 表 f}

 

_{x _______。(2)設}

x





_{時， f}

 

_{x 有最小} 值，則α=______， _{=_______。} 　３４.a>1，且f

 

x ＝_a2x_4ax2_5a4_{,若 f}

 

_{x 0恒成立，則x 之範圍為_____。} 　３５.x,y,z 皆為正數，且₂x _3y _5z_{,則2x,3y,5z的大小為______。} 　３６.2x1_22x1_7



2x_2x



_9_0_，求2x_{ 2}x_{的範圍 。} 　３７.a0，b0，a+b=1，則₂a_{ 之最大值為______，最小值為______。2}b 　３８.22x_5_2x1_1_0_{，則x 之範圍為______。} 　３９.x>0，y=0，x+2y=12，則 3x_9y_{之最小值為______。} [證明題][１－２．指數函數] 　　１.設 2 5 5 ) x ( f x x_＋ － ＝ ， 2 5 5 ) x ( g x x_－ － ＝ ，試證：f(x)f(y)＋g(x)g(y)＝f(x＋y)。 　　２.設三相異實數 x1，x2，x3成等差，令y1=ax1，y2=ax2 ，y3=ax3，(a>1)，試證﹕(1)y1‧y3=y22 (2) 2 y y₁ ₃ >y2。 　　３.設 f(x)=_ax _ax_{，a>0，a≠1，試證﹕(1)f(x)}_{2 (2)f(x+y)f(x－y)=f(2x)+f(2y)。} 　　４.指數函數f

 

x _ax(a_0,a_1)_{,試證函數 f(x)具有凹口向上的性質，即}

 

   

2 x f x f 2 x x_{1 2 1 2}

f





 。 　　５.(1)作_y2x _{圖形(2)方程式 1 2} x 2 x _{ }  _{有幾個解？請說明理由？} 　　６.a≧0，b≧0，a+b=1，證明2 2 _2a_2b_3_。

[多選題][１－２．指數函數] 　　１．ABCE　　２．BCE　　３．ABCDE　　４．AC　　５．AD　　６．BCE　　７．ABD　 ８．AC [計算題][１－２．指數函數] 　　１．x=3 或 x=1　　２．最大值 3，最小值2 2　　３．x＞2 或 2 1 ＜x＜1　　４． 9 20 　　５． 7， 2 5 _６． 3 13 　　７． 3 5  　　８．f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)，g(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)　　 ９．a=d<c<b　１０．(1)若 a>1，則n1_an1 _>n1_an >n _an1 _>n1_an >n _an1 _>n1_an1 _(2)若 0<a<1，則n1_an1 _<n1_an _<n _an1 _<n1_an _<n _an1 _<n1_an1 _{１１．a>c>b　１２．(1)1 或} 4 9 (2)2 (3)1 或 2 (4)3 (5)-3 (6)(3,1) (7)0　１３．(1，0)　１４．3　１５．a> 2 1  　１６．a<－3　１ ７．(1)x－1 或 x8 (2)x<－1 或 x>1　１８．x< 2 1  或x> 2 1 　１９．x=2 時，M=8；x=0 時， m=－1　２０．18　２１．882　２２． 7 5 　２３．32，－4　２４．x＝2 或 x＝1　２５．b＞c ＞a　２６．x＝4　２７．1a2　２８．(1) 1 (2) 1 [單選題][１－２．指數函數] 　　１．D　　２．E　　３．C　　４．C　　５．C　　６．E　　７．B　　８．D [填充題][１－２．指數函數] 　　１．4 2　　２．3　　３．－1　　４．2　　５． 2 1 － 　　６．x＞4 或 x＜－2　　７．－40　 ８．(－2, 16 1 )　　９． 36 11 　１０．3　１１．515　１２．3　１３．22x_＋2－x_＜ 2 5 　１４． 13 7 　１５．－4　１６．1　１７．c＞a＞b　１８．－13　１９．3_{15> 6> 19 　２０．} 3，2　２１．t2_+t+3,t_{2，9　２２．3，2 2　２３．} 8 17 ) 1 ( 7 13 ) 2 ( 　２４．(1) 6 (2) 2　２５． 1 ) x ( f 1 ) x ( f   ,1　２６．



0,1



　２７．3　２８．(-2, 16 1 )　２９．2,54　３０．3,14　３１．137 　 ３２．3　３３．

 

1 _t2_8t_{23，t2}

 

_{2 2 3，7　３４．x2　３５．5z>2x>3y　３６．} 2 5 2 2 2_ x _ x _{ 　３７．3,} 2 2 　３８．-1<x<1　３９．1458 [證明題][１－２．指數函數] 　　１．略　　２．略　　３．略　　４．略　　５．略　　６．略