1-2指數函數

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(1)

1-2.指數函數

[多選題]   1.y=f(x)=3x的圖形Γ 具有下列何種性質? (A)Γ 恆在 x 軸上方 (B)Γ 過點(0 , 1) (C)Γ 對稱於 y 軸 (D)Γ 與直線 y=t(t 為任意實數)恰有一交點 (E)Γ 與直線 x=t(t 為任意實數)恰有一交點。   2. Γ 右圖的曲線為函數ya|x|Py 列敘述何者為真?(A)a1(B)OP1(C)ya|x| 的圖形對稱於y (D)ya|x| 與ya-|x| 的圖形對稱於x(E)x0ya-x Γ 的圖形恆在 的上方。   3. Γ 圖中的曲線為函數y=ax的部分圖形,pΓy 述何者為真?(A)a1(B)op1(C)y=ax的圖形對稱於y (D)y=ax與y=-ax的圖形對稱於x(E)ax3x2 的實根有2 個。   4.若 a>0 且 a≠1,則下列各圖形中,何者可能是指數函數 y=ax 的部分圖形?   5. 設y=f(x)=2x的圖形為1,y=g(x)=3x的圖形為2,則下列 敘述何者為真? (A)12 (B)x01 2  (C)x012 (D)12 漸近線 (E)L:y=k(k>0)與)12P QPQ   6.設f(x)ax(a>0,a≠1),則下列何者恆成立? (A)f(x)f(y)f(x)f(y) (B) ) y x ( f ) y ( f ) x ( f  = -  (C)(f(x))yf(xy)(f(y))x (D)x> y f(x)f(y) (E) ) x ( f y= 的圖形與x 軸沒有交點。

(2)

  7. () 圖,假設其關係為指數函數,試問下列何者為真?(A) 此指數的底數為2 (B)在5 會超過30m2 (C)布4m212m21.5 個月 (D)2m23m26m2 時間分別為t1,t2,t3,則t1+t2=t3 (E)布袋蓮在第1到 第324 間蔓延平均速度。   8.若 a>0,且 a

0,則下列各圖形中,何者可能是指數函數 y=ax的部分圖形? [計算題][1-2.指數函數]   1.設 x>0,試求方程式xx2 3 ( x)4x = - 的解。   2.設 x  0 , y  0 , x+y=1,試求 2x+2y的最大值與最小值。   3.設 x>0,試解不等式 2x2 5x 3 x - + >x。   4.設曲線 Γ1:y= 5 3 3x -x 與曲線Γ2:y= x x 3 3 a - + 相交於A , B 二點,且AB=2,試求 a 值?   5.設 f(x)=a+bxn,若f(2)=17,f(4)=47,f(8)=167,求 a,b。   6.設 a>1,f(x)=ax,若f(2x)=3,求 ) x ( f ) x ( f ) x 3 ( f ) x 3 ( f     之值。   7.設 f(x)= xx xx 2 2 2 2     ,x

R,x≠0,若 f(a)= 15 17 ,f(b)=- 63 65 ,求f(a+b)之值。   8.定義二函數如下﹕f(x)= 2 e ex x ,g(x)= 2 e ex x 。試將f(x+y)及 g(x+y)分別以 f(x),g(x),f(y),g(y)表示之。   9.比較大小﹕a=3 5,b=125 4 1 ,c= 53 5 ,d=25 6 1  10.設 0<a≠1,n

N,n>1,試比較下列各數之大小﹕n1an n1an1 n an1 n an1 1 nan1 n1an  11.a= 2 2 2 4 1 ,b= 3 3 4 2 4 4 1 ,c= 5 5 8 2 8 4 1 ,試比較a,b,c 之大小順序。  12.(1) x x x ) x x ( x  ,其中 x>0 (2)10x 522x 225x 1000 (3)6x 43x 32x 120 (4) 0 2 2 7 22x x 3 (5) 0 1 2 31 4 2 x 2 1 x       (6)22x 32y 55,x,yN (7)

(3)

0 10 ) 2 2 ( 7 ) 4 4 ( 2 x x x x  13.解方程組﹕        2 3 3 1 y 2 x y x  14.設 4x-3‧2x+2+8=0 之二根為 α,β,求 α+β 之值。  15.求一切實數 a,使方程式 5x x 5 1 a 2  =2a 有實數解。  16.x 的方程式 22x+2x+1a+3-2a=0 有相異的兩個實根,求實數 a 之範圍。  17.解不等式﹕(1)(0.3)x23x (0.09)2x4  (2)4x26x3 8 212x5   。  18.解不等式﹕ x 2 1 2  + 2 x 1 2  >3。  19.設-2x2,求 y=4x-2x+1之最大,最小值及當時之x 值。  20.設 a>0,求(ax+2)2+(a-x+2)2之最小值。  21.設 2 2 2 ) x ( f x x - = , f(a)6;則f(3a)的值為何?  22.設 xx xx 3 3 3 3 ) x ( f - + - = ,且 2 1 ) ( f  = , 3 1 ) ( f  = ,求 f(+)的值。  23.設 f(x)9x63x50 x2,求f(x)的最大值與最小值?  24.試求方程式6x43x32x120的解。  25.設 12 1 3 6 a= - , 3 3 72 1 9 6 b  , 5 5 864 1 27 6 c  ,試比較a,b,c 的大小。  26.解方程式3 2 32 255 0 x 1 x 。  27.方程式x22axaa0有實根,求正數a 的範圍?  28.設 a、b、c

R,abc≠0,2a3b6c(1)求 b c ac + 的值 (2)求 b) 1 a 1 ( c ) a 1 c 1 ( b ) c 1 b 1 ( a - + - + + 的值。 [單選題][1-2.指數函數]   1.下列何者為 )x 2 ( y=  的略圖?   2.設 f(x)=ax(a>0,a≠1),則下列何者恆成立? (A)f(x)f(y)f(xy) (B) ) y x ( f ) y ( f ) x ( f - = - (C)f(x)f(y)=f(xy) (D) ) y x ( f ) y ( f ) x ( f  = (E)[f(x)]yf(xy)   3.設1:y=2x,2: )x 2 1 ( y= ,則有關1,2兩圖形的敘述下列何者為真? (A)1與 2  不相交 (B)1與2 對稱於x 軸 (C)1與2 均在x 軸上方 (D)1恆在2 的上方 (E) 2 恆在1的上方。   4.設 0<a<1,則yax1的圖形有下列何種性質? (A)過點(0,1) (B)對稱x 軸 (C) 對稱y 軸 (D)x 軸為的漸近線 (E)恆在x 軸上方。

(4)

  5. 右圖是某池塘中布袋蓮蔓延的面積與時間的關係圖,假設其關係為指 數,試問下列何者不真?(A)2(B)5 月時,布袋蓮的面積就超過30m2(C)4m2 蔓延到12m2 需1.5(D)2m2 ,3m26m2 ,所需的時間分別為 1 tt2t3t1t2t3(E)13 均速度大於在第24   6.設 x , y , z  R 且 2x=3y=5z>1 則 2x , 3y , 5z 的大小關係為 (A)2x>3y>5z (B)3y>2x>5z (C)3y>5z>2x (D)5z>3y>2x (E)5z>2x>3y。

  7.設 a>0 , a  1,x1 , x2為相異二正數,則下列何者恆大於0 (A)ax1-ax2 (B)ax1-x2 (C) 2 a a a 1 2 1 2 x x 2 x x + - + (D)ax1.x2-1 (E)ax1.ax2-1。   8.函數 y= )x 5 3 ( +1 之圖形為下列為者? [填充題][1-2.指數函數]   1. 3+1 3-2 3= ) 2 ( 2  。   2.設 a,b

R,(13.25)a1000(0.01325)b100,則 b 2 a 3 。   3.設 a>0,a≠1, 2 a a ) x ( f x x - = ,則f(2x)2[f(x)]2=   4.2-xx230的實根有 個。   5.設25x+212452x+1

x

R,則 x= 。   6.指數不等式(0.2)x2 2x 5 0.008 < - - 的解為 。   7.設

x

R,f(x)2(9x9-x)12(3x3-x)18,則f(x)的最小值為 。   8.設1:y=4x,2:y=23x+2,則1與2之交點坐標為 。   9.函數f(x)32x53x-11x ,則 f(x)的最小值為    。R  10. 20 ) 3 ( , 9- 5 , 31+ 5=        。  11.設 f(x)= 2 7 7x -x , f()=5,則 f(3)=        。  12.若 , 為 4x+1-a.2x+32=0 的二根,則+=        。  13.設 x  R 且 22x+1+2-2x+1-7(2x+2-x)+9<0,則 2x+2-x的範圍為        。  14.設 f(x)= xx xx 3 3 3 3 - - + - ,若f(a)= 3 1 , f(b)= 4 1 ,則f(a+b)=        。  15.設 f(x)=9x-6.3x+5 , 0  x 2,則 f(x)的最小值為        。  16.設 a , b , c  R , abc≠0 且 2a=3b=6c,則 b c a c + =        。

(5)

 17.設 a=3 5 , b= 7 2 ) 6 2 ( , c= 10 3 25 ,則a , b , c 的大小關係為        。  18.設 f(x)=2(9x+9-x)-5(3x+3-x)-7 , x  R,則 f(x)的最小值為        。  19.試比較 6,315 19 之大小次序    。  20.設x 729 =y 3y2 24x+3y=8xy,則x=   ,y=    21.設 f(x)=(4x+4-x)+(2x+2-x)+5,x

R,令 t=2x+2-x,(1)f(x)=      (以 t 表之)。 (2)f(x)之最 小值為 。  22.設 a≧0,b≧0 且 a+b=1,則 2a+2b之最大值為 ,最小值為 。  23. xx xx 2 2 2 2 ) x ( f     ,x 為實數,x

0,若f

 

a 4,f

 

b3,則

   

1 f 2a  ,

  

2 f a b

 。  24.f

 

x ax ax,g

 

x ax ax,其中 a>0,a≠1,若f

   

x f y 4,g

   

x g y 8,求(1)g(x+y)= ,(2)g(x-y)= 。  25. xx xx 3 3 3 3 ) x ( f     ,x

0,以 f

 

x9x 得 又若 f(a)= 4 5 , 則 a=

 26. 2 10 10 y : G x x 1    , 2 10 10 y : G x 2 x 2 2    ,此二圖形G1,G2之交點為p,則點 p 之坐標為 。  27.方程式2x x2有幾個解 。  28.函數y4xy23x2的圖形交點坐標為______。  29.2x2, f

 

x =9x 3x1,則 x=_______時, f

 

x 有最大值_______。  30.f

 

x =4x322x150x=______時, f

 

x 有最小值  31.

 

xx xx 2 2 2 2 x f     ,若 f

 

a =3, f

 

b =4,則f

ab

=______。  32.4x 32x280之二根為

=______則

=______。  33.t 2x2x, f(x)

4x4x

 

82x 2x

25(1)以 t 表 f

 

x _______。(2)設

x

時, f

 

x 有最小 值,則α=______, =_______。  34.a>1,且f

 

xa2x4ax25a4,若 f

 

x 0恒成立,則x 之範圍為_____。  35.x,y,z 皆為正數,且2x 3y 5z,則2x,3y,5z的大小為______。  36.2x122x17

2x2x

90,求2x 2x的範圍 。  37.a0,b0,a+b=1,則2a 之最大值為______,最小值為______。2b  38.22x52x110,則x 之範圍為______。  39.x>0,y=0,x+2y=12,則 3x9y之最小值為______。 [證明題][1-2.指數函數]   1.設 2 5 5 ) x ( f x x - = , 2 5 5 ) x ( g x x - = ,試證:f(x)f(y)+g(x)g(y)=f(x+y)。   2.設三相異實數 x1,x2,x3成等差,令y1=ax1y2=ax2y3=ax3,(a>1),試證﹕(1)y1‧y3=y22 (2) 2 y y13 >y2。   3.設 f(x)=ax axa>0,a≠1,試證﹕(1)f(x)2 (2)f(x+y)f(x-y)=f(2x)+f(2y)。   4.指數函數f

 

x ax(a0,a1),試證函數 f(x)具有凹口向上的性質,即

 

   

2 x f x f 2 x x1 2 1 2

f

 。   5.(1)作y2x 圖形(2)方程式 1 2 x 2 x 有幾個解?請說明理由?   6.a≧0,b≧0,a+b=1,證明2 2 2a2b3

(6)

[多選題][1-2.指數函數]   1.ABCE  2.BCE  3.ABCDE  4.AC  5.AD  6.BCE  7.ABD  8.AC [計算題][1-2.指數函數]   1.x=3 或 x=1  2.最大值 3,最小值2 2  3.x>2 或 2 1 <x<1  4. 9 20   5. 7, 2 5   6. 3 13   7. 3 5    8.f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x),g(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)   9.a=d<c<b 10.(1)若 a>1,則n1an1 >n1an >n an1 >n1an >n an1 >n1an1 (2)若 0<a<1,則n1an1 <n1an <n an1 <n1an <n an1 <n1an1  11.a>c>b 12.(1)1 或 4 9 (2)2 (3)1 或 2 (4)3 (5)-3 (6)(3,1) (7)0 13.(1,0) 14.3 15.a> 2 1   16.a<-3 1 7.(1)x-1 或 x8 (2)x<-1 或 x>1 18.x< 2 1  或x> 2 1  19.x=2 時,M=8;x=0 時, m=-1 20.18 21.882 22. 7 5  23.32,-4 24.x=2 或 x=1 25.b>c >a 26.x=4 27.1a2 28.(1) 1 (2) 1 [單選題][1-2.指數函數]   1.D  2.E  3.C  4.C  5.C  6.E  7.B  8.D [填充題][1-2.指數函數]   1.4 2  2.3  3.-1  4.2  5. 2 1 -   6.x>4 或 x<-2  7.-40  8.(-2, 16 1 )  9. 36 11  10.3 11.515 12.3 13.22x+2-x 2 5  14. 13 7  15.-4 16.1 17.c>a>b 18.-13 19.315> 6> 19  20. 3,2 21.t2+t+3,t2,9 22.3,2 2 23. 8 17 ) 1 ( 7 13 ) 2 (  24.(1) 6 (2) 2 25. 1 ) x ( f 1 ) x ( f   ,1 26.

0,1

 27.3 28.(-2, 16 1 ) 29.2,54 30.3,14 31.137   32.3 33.

 

1 t28t23t2

 

2 2 3,7 34.x2 35.5z>2x>3y 36. 2 5 2 2 2 x x  37.3, 2 2  38.-1<x<1 39.1458 [證明題][1-2.指數函數]   1.略  2.略  3.略  4.略  5.略  6.略

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