活動 4 學習單

微分幾何

₍

一

₎

課程學習單

活動

₄

學號: 姓名: 你的伙伴_:

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單元介紹與學習目標



確實理解曲率與扭率的幾何意義以及曲率與扭率的一般公式。

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預備知識

例題 1. 討論以下兩個外積公式的意義:

(A) (u ∧ v) · w = det(u, v, w) (B) (u ∧ v) ∧ w = (u · w)v − (v · w)u。

解_.

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曲率與扭率的刻劃

例題 _2. 試求半徑為 R 的圓之曲率。 解_. 將圓置於 xy 平面上, 並圓心為坐標中心, 則圓可用參數化 α(s) = 表 示_, 其中 s 為弧長參數。 則 α′(s) = , α′′(s) = ⇒ κ= 。 例題 _{3 (}第 19 頁_). 若 α(s) 是 平面曲線 (plane curve), 也就是曲線的軌跡包含於空間中的某個平 面, 則該平面與其密切平面一致, 因此 τ(s) ≡ 0。 反之, 若一個曲線滿足 τ(s) ≡ 0 與 κ(s) 6= 0, 則 b_{(s) = b是一個處處有定義並且與s 無關的向量。 因為} t_{⊥ b, 所以 (α(s) · b)}′ _{= α}′_{(s) · b = 0,} 得 知α(s) · b 為常數。 所以位置向量 α(s)是包含於某一個以 b 為法向量的平面。 上面兩個例子的結論_: 。 1

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曲率與扭率的公式

前面的活動, 利用弧長參數 s 定義曲線的曲率與扭率。 這個活動將回答另一個問題, 若用其他的參數 α(t) 表示時, 如何直接得到曲率與扭率? 定理 _{4 (}第 26 頁_). 給定正則的光滑參數曲線 α(t) , (A) α(t) 的曲率公式為 κ(t) = kt ′_(t)k kα′_(t)k = kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k kα′_(t)k3 。 (B) α(t)的扭率公式為 τ(t) = −(α ′_{(t) ∧ α}′′_{(t)) · α}′′′_(t) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k2 = − det(α′_{(t), α}′′_{(t), α}′′′_(t)) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k2 。 注意到上述公式的微分都是對於變數 t 而言求導。 證明.

(A) 由鏈鎖律 _{(chain rule)} 得知

κ 定義= dt(s) ds = dt(t(s)) ds = dt dt     dt ds     = kt′(t)k 1 ds_dt   = kt′(t)k 1 kα′_(t)k = kt′_(t)k kα′_(t)k, 因為 α′(t) = t(t)kα′(t)k,所以 α′′(t) = t′(t)kα′(t)k + t(t)d dtkα ′_{(t)k, 並且} α′(t) ∧ α′′(t) = kα′(t)k2 t(t) ∧ t′(t)。 注意到因為 kt(t)k = 1, 所以 t_{(t) 與}t′_(t) 互相垂直_, 故 kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k kα′_(t)k3 = kα′_(t)k2_kt(t)kkt′_(t)k kα′_(t)k3 = kt′_(t)k kα′_(t)k = κ(t)。 (B) 因為 t_{(t) =} α′(t) kα′_(t)k 與b(t) = α′(t)∧α′′(t) kα′_(t)∧α′′_(t)k,由外積關係 (u ∧ v) ∧ w = (u · w)v − (v · w)u得 n_{(t) = b(t) ∧ t(t) =} kα ′_(t)k kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)kα ′′_{(t) −} α′(t) · α′′(t) kα′_(t)kkα′_{(t) ∧ α}′′_(t)kα ′_(t), 由鏈鎖律 _{(chain rule)} 知道 b′_{(t) =} db ds ds dt, 所以 α′(t) ∧ α′′′(t) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k + d dt  1 kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k  (α′(t) ∧ α′′(t)) = τ (t) n(t)ds dt. 上面等式兩邊與 n_{(t) 內積後得到} τ(t)ds dt = (α′_{(t) ∧ α}′′′_{(t)) · n(t)} kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k + d dt  1 kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k  (α′_{(t) ∧ α}′′_{(t)) · n(t)} = −kα ′_(t)k(α′_{(t) ∧ α}′′_{(t)) · α}′′′_(t) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k2 因為 ds dt = kα′(t)k,所以 τ(t) = −(α ′_{(t) ∧ α}′′_{(t)) · α}′′′_(t) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k2 = − det(α′_{(t), α}′′_{(t), α}′′′_(t)) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k2 。 2

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曲率公式的重新理解

討論 5. 討論以下公式為什麼不可能會是曲率公式。 (1) α′(t) ∧ α′′(t) α′(t)3 (2) kα ′_{(t) · α}′′_(t)k kα′_(t)k3 (3) kα(t) ∧ α ′_(t)k kα′_(t)k3 (4) kα ′_{(t) ∧ α}′′_(t)k kα(t)k3 (5) kα ′_{(t) ∧ α}′′_(t)k kα′_(t)k 3

討論 _6. 討論以下公式為什麼不可能會是扭率公式。 (A) −det(α(t), α ′_{(t), α}′′_(t)) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k2 (B) −det(α ′′_{(t), α}′′_{(t), α}′′′_(t)) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k2 (C) det(α ′_{(t), α}′′_{(t), α}′′′_(t)) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k2 (加負號的意義) (D) −det(α ′_{(t), α}′′_{(t), α}′′′_(t)) kα′_{(t) ∧ α}′′_(t)k 4