微分幾何
(
二
)
課程學習單
活動
4
學號: 姓名: 你的伙伴:1
單元介紹與學習目標
推導曲面的高斯曲率與均曲率公式的局部坐標表示法。2
第二基本式的局部坐標表示
(
第
155–158
頁
)
前面的活動是以理論介紹曲面的第二基本式 IIp(v),現在要用局部坐標的方式表達第二基本式。 給定曲面 S, 而 p ∈ U ⊂ S, 令 x(u, v) 為曲面的一個參數化。 取 α(t) = x(u(t), v(t)), α(0) = x(u(0), v(0)) = p 是在曲面 S 上通過 p 的一條曲線。 則曲線 α(t) 在 p 點的切向量為 α′(0) = xu(u(0), v(0))u′(0) + xv(u(0), v(0))v′(0), 而dNp(α′(0)) = d dtN(u(t), v(t)) t=0
= Nu(u(0), v(0))u′(0) + Nv(u(0), v(0))v′(0) (1)
於是 (以下在不引起混淆之情形下省略代點的記號) IIp(α′(0)) = −hdNp(α′(0)), α′(0)i = −hNuu′+ Nvv′,xuu′+ xvv′i = −hNu,xui(u′) 2 − (hNu,xvi + hNv,xui)u′v′− hNv,xvi(v′) 2 = e(u′)2 + 2f u′v′+ g(v′)2 , 其中最後一式利用關係式 hN, xui = hN, xvi = 0 計算每一項, 並用符號註記: e= −hNu,xui = hN, xuui f = −hNv,xui = hN, xuvi = hN, xvui = −hNu,xvi g = −hNv,xvi = hN, xvvi。 在幾何上, 我們會把曲面的第二基本式改寫成 微分形式 (differential form) 的樣子: IIp = e du 2 + 2f du dv + g dv2 討論 1. 試將曲面的第一基本式與第二基本式做一個對照。 解. 1
3
用局部坐標計算高斯曲率與均曲率
若想計算曲面在某一點的高斯曲率與均曲率, 我們試著把高斯映射的微分映射 dNp 這個線性變換求 出來:沿用之前的記號,由(1) 式出發,因為Nu 與Nv 都是TpS 上的向量,故用基底 {xu,xv}展開: Nu = a11xu+ a21xv Nv = a12xu + a22xv (2) 於是 dNp(α′(0)) = (a11u′+ a12v′)xu+ (a21u′+ a22v′)xv, 或寫成矩陣的形式 dN " u′ v′ # = " a11 a12 a21 a22 # " u′ v′ # 。 欲解矩陣 [aij]的每一個量, 透過以下方式求解: (A) 兩邊對 xu 內積: 兩邊對 xv 內積: (B) 兩邊對 xu 內積: 兩邊對 xv 內積: 所以 " a11 a12 a21 a22 # = − " E F F G #−1" e f f g # = − 1 EG− F2 " G −F −F E # " e f f g #(K) 計算高斯曲率: 因為det(AB) = det(A) det(B), 所以 K = 。
(H) 計算均曲率: 因為tr(AB) = tr(BA), 所以 H = 。
討論 2. 試觀察f a21− ea22 這個量。
解.
例題 3 (第163–165 頁). 計算 旋轉曲面 (surfaces of revolution) 的各式幾何量。
解. 考慮旋轉曲面的參數式
x(u, v) = (f (v) cos u, f (v) sin u, g(v)) 其中 U = {(u, v) ∈ R2
,0 < u < 2π, a < v < b}, 假設生成曲線 (f (v), g(v))是以弧長為參數, 即 。計算 xu = xv = xuu= xuv = xvv = N = 所以 E = F = G= e= f = g = 因此高斯曲率與均曲率分別為: 3
例題 4 (第165–166 頁). 計算 函數圖形 (graph of a function) 的各式幾何量。
解. 考慮旋轉曲面的參數式
x(u, v) = (u, v, f (u, v)) 其中 (u, v) ∈ U ⊂ R2
, 直接計算 xu = xv = xuu= xuv = xvv = N = 所以 E = F = G= e= f = g = 因此高斯曲率與均曲率分別為: 4
