北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 一○三學年 上學期 招生甄試考題 考試時間:一○三年9月28日, 13:30 – 16:30,計三小時 試題若有疑問, 請於考試開始後的三十分鐘內, 舉手提交 「提問單」詢問;之後不再接受詢 問。 A4 白紙為答案紙與計算紙, 考試結束請將答案排序, 然後提問單與計算紙排在最後 面,再由監考人員裝訂。 答案限用黑色或藍色筆書寫, 僅作圖可使用鉛筆, 不得使用修正液 (帶),不得使用電子計算器。 每題七分,答題的“推演過程”為評分的依據。 1. 試求所有正整數數對(a, b)使得 ab = gcd(a, b) + lcm(a, b)成立, 其中gcd(a, b)與lcm(a, b)分別表示a, b的最大公因數與最小公倍數。 2. 變色龍有黃、 綠、 紅三種顏色, 剛開始黃色有 16 隻; 綠色有 18 隻; 紅色有 20 隻。 當兩隻變色龍相遇時, 如果彼此顏色相異,則它們都會變成第三種顏色;如果顏色相 同, 則保持原來的顏色。 請問: 是否有可能經過幾次相遇之後, 所有變色龍的顏色都 一樣?若可能,請寫出達成的步驟;若不可能,證明為何不可能。 3. 已知數列{Fn}為Fibonacci數列滿足F1 = 1, F2 = 1且 Fn= Fn−1+ Fn−2, 對於n ≥ 3. 試求所有正整數數對(m, n)使得 Fm· Fn= m · n成立。 4. 設等比數列{an}∞n=1是以a為首項,t為公比,其中t 6= 1.對於任意正整數n,令 bn = 1 + a1+ a2+ · · · + an 且 cn= 2 + b1+ b2+ · · · + bn. 試問: 甚麼樣的實數數對(a, t)能夠讓數列{cn}∞n=1 成為等比數列? 5. 任選十個整數(可重複),並將其填入下面的圓圈中。 請問: 可否發生以下狀況? 相連的兩個圓圈的“數字差” (只考慮正的差值)形成了14個連續的整數。 若可能,請寫出一個例子;若不可能,請證明之。
一○三學年 北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 上學期 招生甄試考題 參考解答 一○三年9月28日 1. 試求所有正整數數對(a, b)使得 ab = gcd(a, b) + lcm(a, b)成立, 其中gcd(a, b)與lcm(a, b)分別表示a, b的最大公因數與最小公倍數。
解: 因 gcd(a, b)|a, a|ab, a| lcm(a, b). 另一方面, gcd(a, b) ≤ a (因a 為正整數)。 故 gcd(a, b) = a.同理可得gcd(a, b) = b. 因此a = b. 故題設等價於
a2 = a + a ⇒ a(a − 2) = 0. 故,上述方程式的正整數解為a = 2. 因此b = 2.
2. 變色龍有黃、 綠、 紅三種顏色, 剛開始黃色有 16 隻; 綠色有 18 隻; 紅色有 20 隻。 當兩隻變色龍相遇時, 如果彼此顏色相異,則它們都會變成第三種顏色;如果顏色相 同, 則保持原來的顏色。 請問: 是否有可能經過幾次相遇之後, 所有變色龍的顏色都 一樣?若可能,請寫出達成的步驟;若不可能,證明為何不可能。 解: 答案是:不可能。 黃、 綠、 紅三種顏色分別以 0, 1, 2 來替代。 剛開始的總數字和為 0 × 16 + 1 × 18 + 2 × 20 = 58 ≡ 1 (mod 3).過程中,會有三種相遇會影響到總和: 黃遇到綠→兩隻紅 : 0 + 1 = 1 → 2 + 2 = 4; 黃遇到紅→兩隻綠 : 0 + 2 = 2 → 1 + 1 = 2; 綠遇到紅→兩隻黃 : 1 + 2 = 3 → 0 + 0 = 0. 但是考慮模3之後,所有都沒有變;也就是: 無論如何安排相遇,總數字和 (mod 3) 永遠是1. 因為總共又54隻變色龍,若是發生顏色都一樣,則總數字和必定是3的倍數;所 以這樣的狀況不可能發生。
3. 已知數列{Fn}為Fibonacci數列滿足F1 = 1, F2 = 1且 Fn= Fn−1+ Fn−2, 對於n ≥ 3. 試求所有正整數數對(m, n)使得 Fm· Fn= m · n成立。 解: 答(1, 1), (1, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 5), (6, 4). 對n作數學歸納法,得Fn> n,當n ≥ 6與Fn > 2n,當n ≥ 8. 所以,若m ≥ 6與n ≥ 6則Fm· Fn > m · n.不失其一般性,假設m ≤ 5 (其餘的 解可由m與n互換而得)。 (1)若m = 1,則1 · Fn = 1 · n ⇒ Fn = n. 由此可得 n = 1與5且滿足題設之數 對為 (1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5). (2)若m = 2,則1 · Fn = 2 · n ⇒ Fn= 2n. 由此可得: 當n < 8時,無解。 (3)若m = 3,則2 · Fn = 3 · n ⇒ Fn= 32n.因 32n < 2n,故無解。 (4)若m = 4,則3 · Fn= 4 · n ⇒ Fn = 43n. 由此可得唯一解n = 6且滿足題設之 數對為 (4, 6), (6, 4). (5)若m = 5,則5 · Fn = 5 · n ⇒ Fn= n.依據上述(1),可得滿足題設之數對為 (1, 1), (1, 5), (5, 1), (5, 5).
4. 設等比數列{an}∞n=1是以a為首項,t為公比,其中t 6= 1.對於任意正整數n,令 bn = 1 + a1+ a2+ · · · + an 且 cn= 2 + b1+ b2+ · · · + bn. 試問: 甚麼樣的實數數對(a, t)能夠讓數列{cn}∞n=1 成為等比數列? 解: 答(1, 2). 因為t 6= 1, bn= 1 + a 1 − t − atn 1 − t ,所以 cn = 2 + (1 + a 1 − t)n + a 1 − t(t + t 2+ · · · + tn) = 2 + (1 + a 1 − t)n − a(t − tn+1) (1 − t)2 = 2 − at (1 − t)2 + 1 − t + a 1 − t n + at n+1 (1 − t)2. 已知{cn}是等比數列,則 2 − at (1 − t)2 = 0, 1 − t + a 1 − t = 0. 解得a = 1, t = 2.
5. 任選十個整數(可重複),並將其填入下面的圓圈中。 請問: 可否發生以下狀況? 相連的兩個圓圈的“數字差” (只考慮正的差值)形成了14個連續的整數。 若可能,請寫出一個例子;若不可能,請證明之。 解: 答案是不可能。 所有“數字差”的總和為 X 每條邊 |邊的一端的數字-邊的另一端的數字| = X 每條邊 ±(邊的一端的數字-邊的另一端的數字). 然而每個圓圈相鄰兩條或四條邊, 所以上面的總和之中, 每個數字都是以 0 倍、±2 倍、 或是±4倍的方式出現;所以總和一定是偶數。 如果“數字差”形成了連續的14整數,可假設為k, k + 1, k + 2, . . . , k + 13,則 總和為14k + 91,為奇數;所以如果不可能發生。
