6-2-1極限的應用-導數的基本概念
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(2) y L. f (c + ∆x) − f (c). P. ∆x. x. 4.. (1)對於一次函數,可以斜率描述它的傾斜程度,以縱坐標對橫坐標的變化 率表示。 (2)對於二次函數,函數的傾斜程度隨時變化,以導數表示圖形上該點附近 縱坐標對橫坐標的變化率。 【問題】 1. 連續函數上是否每一點的切線斜率都存在? 2. 是否從左側逼近求得的切線斜率與從右側逼近求得的切線斜率都會相同? 【定義】 1. 平均速度: 一個質點在質線上運動時,所走的距離 S 隨著時間 t 而改變,也就是距離 S 為 S (t 0 + h) − S (t 0 ) 。 時間 t 的函數,則此質點在某一時間點 t 0 的平均速度為 (t 0 + h) − t 0 2.. 瞬時速度: 一個質點在質線上運動時,所走的距離 S 隨著時間 t 而改變,也就是距離 S 為 S (t + h) − S (t 0 ) 。 時間 t 的函數,則此質點在某一時間點 t 0 的瞬時速度為 lim 0 h →0 (t 0 + h) − t 0. 3.. 平均變化率: 設函數 y = f (x) 在 x = a 處及鄰近有意義,我們稱. f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) 為函數 y = f (x) 由 x = a 至 a + h 之間的平 = ( a + h) − a h 4.. 均變化率(或稱為差商)。 瞬時變化率: 設函數 y = f (x) 在 x = a 處及鄰近有意義,當 h 趨近 0 時,若. f ( a + h) − f ( a ) h. f ( a + h) − f ( a ) f ( a + h) − f ( a ) 存在,我們稱 lim 為 h →0 h →0 h h 函數 y = f (x) 在 x = a 處的瞬時變化率(或稱為函數 y = f (x) 在 x = a 處的導 的極限值存在,也就是 lim. 數),以 f ' (a) 表示,即 f ' (a) = lim h →0. f ( a + h) − f ( a ) 。亦可表成為 h.
(3) f ( x) − f ( a ) 。 x→a x−a 5. 切線方程式: 以 P (a, f (a)) 為切點的切線方程式為 y − f (a) = f ' (a)( x − a) 。 f ' (a) = lim. 6.. 法線方程式: 以 P (a, f (a)) 為切點的法線方程式為 y − f (a) =. 【討論】 1. 切線是否與曲線必只交於一點?. 2.. 直線與曲線交於一點是否必為切線?. −1 ( x − a) 。 f ' (a).
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