E B A D C
臺南市
2014 年公私立國民中學暨完全中學數學競賽複賽試題
第壹部分:
(第 1 題到第 20 題每題 3 分,共 60 分)
1. 計算5860.766280.343140.765860.68 ? (A) 58 (B) 64 (C) 72 (D) 80 2. 若 1005 2014 x ,則 x1 x2 x3 x4 (A) 2 (B) 1005 4028 (C) 4 (D) 10 3. 在某次數學測驗中,參加的學生不超過 50 人,分數不低於 90 分的人數占全部的 7 1 ,得80 至 89 分的人數占全部的 2 1 ,得70 至 79 分的人數占全部的 3 1 , 那麼得 70 分以下的學生有多少人? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4. 已知n
是270的因數,在計算270n時,誤將270看成720,導致所得到的答案比正確的答案多了30 ,請問 ? n (A) 15 (B) 20 (C) 25 (D) 30 5. 已知正三角形 ABC 的邊長為 3,在AB邊及 BC 邊上,分別取一點D及E,使BD1,與BE1, 那麼四邊形 ADEC 的周長是多少? (A) 11 (B) 10 (C) 9 (D) 86. 如下圖,AC 與BD互相垂直,若 ADE 面積為36,CDE 面積為45, ABE 面積為60,則BCE面積為多少? (A) 65 (B) 70 (C) 75 (D) 80 7. 將417525乘開後是多少位數? (A) 27 (B) 28 (C) 29 (D) 30 8. 設a b c, , 為正整數,如果 a 為15 的倍數,b 為 12 的倍數, c 為 21 的倍數,則下列何者恆為正確? (A) a b c 必為 2 的倍數 (B) a b c 必為 9 的倍數 (C) 2 (a b c ) 必為 9 的倍數 (D) a2b2 c2 必為 18 的倍數
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9. 已知 n 為三位數,且它的各個位數的數字相加總和為 24,試問滿足這樣條件的 n 共有幾個? (A) 9 個 (B) 10 個 (C) 11 個 (D) 12 個 10. 大華在全校籃球冠亞軍決賽中,其記錄如下:上場 40 分鐘,沒有獲得罰球,總共出手投籃 30 次,分別投中二分 球及三分球各若干,其三分球的命中率為20%,二分球的命中率為 30% 。試問大華在此次比賽中總共得到多少分? (A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 36 11. 將蘋果 66 個,梨子 88 個,水蜜桃 100 個,平均分給若干人,結果蘋果剩下 3 個,梨子剩下 4 個,水蜜桃卻不夠 5 個,則每人平均最多可分得多少個水果? (A) 12 (B) 21 (C) 35 (D) 36 12. 將 1 2 3 ... 99 100100 6 化為最簡分數 n m,其中 ,m n 為互質的正整數,如果分母 m 的標準分解式表示為 2 3 a b m , 則 a b ? (A) 52 (B) 53 (C) 54 (D) 55 13. 設 a 、b 、 c 、 d 為四個相異的數,且 (a c a d )( ) 1 ,(b c b d )( ) 1 ,則 a b c d 之值為何? (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 14. 滿足不等式 n2005300 的最大整數 n 為何? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 15. 若 x 、y x 、0 y0且滿足方程式 x 2 y 2 x y ,則 xy? (A) 1 4 (B) 1 2 (C) 2 (D) 4 16. 已知
n
為正整數,使得8n49為2n1的倍數,則滿足這樣條件的所有n
值的個數有多少個? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 17. 設 n 為正整數,如果乘積(1 1)(1 1)(1 1) (1 1) 2 3 4 n 為9 的倍數,則將 n 除以 6 後,餘數為何? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 18. 從54到199的所有整數中,每一個位數的數字都不同的整數共有多少個? (A) 112 (B) 113 (C) 114 (D) 123 19. 計算 2 1 3 2 4 3 100 99 2 6 12 9900 =? (A) 1 10 (B) 1 2 (C) 9 10 (D) 1 20. 設a b0且 a b a b 2 5 ,則 b a 的值為下列何者? (A) 2 21 5 (B) 2 21 5 (C) 2 21 7 (D) 2 21 7第 2 頁
D E O B A C P E F G D A B C
第貳部分:
(第 21 題到第 30 題每題 4 分,共 40 分)
21. 已知 9t且 t 12 ,其中t 為一數,若 t 16 ,則 2 2 ? (A) 1 (B) 2 5 (C) 5 (D) 2 5 22. 如圖的九宮格中,每一行,每一列以及每條對角線上的三個數之和均相等,其中a,b,c,d,e, f 均為整數,試問下 列何者錯誤? (A) a 1 (B) c39 (C) d 24 (D) f 22 23. 已知x 1 3, 將 1 21 1 2 4 2 x x x 化簡為最簡根式,結果為下列者? (A) 3 2 (B) 1 2 (C) 1 2 (D) 32 24. 如圖,正方形ABCD 之面積為 64 平方公分,正方形CEFG 之面積為 36 平方 公分,DE與BF交於 P 點,若BDP之面積為a c b 平方公分(帶分數), 其中a b c, , 為正整數,c b ,且b c, 互質,則a b c 之值為多少? (A) 68 (B) 69 (C) 70 (D) 71 25. 設a b c, , 均為正數,且滿足a2b2c2 0的關係;試問: c a b 的最小值為多少? (A) 3 3 (B) 22 (C) 1 2 (D) 2 26. 已知有 13 個相異的數a1,a2,a3,…,a13,其中至少有 3 個正數,且正好有n
個負數。今將這 13 個數中任意二個數 相乘,共有 91 個乘積;如果其中正好有 22 個數是負數,則n
? (A) 2 (B) 3 (C) 10 (D) 11 27. 已知 a 、b 、 c 、 d 皆為正數,若 a 1 bcd , 1 4 b acd , 1 9 c abd , 1 16 d abc ,則 ac bd ? (A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13 28. 如圖所示,以O 點為圓心,AB為圓O 的直徑,弦CD 垂直AB且與AB交於E點; 如果AB的長度為二位整數,而 CD 的長度正好是此二位數的個位數字與 十位數字互換位置;若已知OE的長度為正分數,則AB的長度為多少? (A) 65 (B) 74 (C) 83 (D) 92第 3 頁
a c e -8 7 f b d 15Q S R P G F C B A D H E 29. 如圖,正方形ABCD 中,其邊長為 1,將每邊作 n 等分,其中 n 為正整數, 且點E F G H, , , 都是各邊上的等分點,使得BE CF DG AH 1 n ; 分別作AF CH BG DE, , , ,此四線段分別交於P Q R S, , , 四點。 如果四邊形PQRS的面積為 1 421,試問 n 值為多少? (A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17 30. 在矩形ABCD 的較長邊AB上取一點Q,又在較短邊AD上取一點P,使得PAQ,QBC和CDP的面積皆相等, 則 AQ QB =? (A) 1 2 2 (B) 1 3 2 (C) 5 1 2 (D) 1 5 2