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3-1-2向量-向量的基本應用

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Academic year: 2021

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(1)第三冊 1-2 向量-向量的基本應用 【問題】. 1 BC 。 2 2. 試證平行四邊形定理:平行四邊形中兩對角線的平方和等於四邊形的平方 1.. 在 ∆ABC 中,設 D, E 分別是 AB, AC 的中點,試證: DE // BC 且 DE =. 和。(即 2(| a |2 + | b |2 ) =| a + b |2 + | a − b |2 ) 3.. 試證:設 a, b 均不為零向量,且 a, b 不平行,則對任意向量 c 而言,恆存在唯 一一組實數對 ( x, y ) 使 c = x a + yb (稱 c 為 a, b 的線性組合)。. 4.. 5.. 試證分點公式:設 P 為 ∆OAB 中 AB 邊上一點,且 AP : PB = m : n ,則 n m n m OP = OA + OB 。(注意: + = 1) m+n m+n m+n m+n 試證:若 A, B, P 三點共線的充要條件為能找到二數 s, t ,使得 s + t = 1 ,且. OP = sOA + t OB 。(註:利用三點共線則任兩點之間所組成的向量互相平行 證明。) 2. 2. 2. 6.. 試證:於 ∆ABC 中,若 AC = AB + BC ,則 ∠B 為直角。. 7. 8.. 試證:於 ∆ABC 中, BC = AB + AC − 2 AB AC cos A 試證:三角形的三中線交於一點(此點稱為此三角形的重心且重心到任一點 2 點的距離等於該中線長的 )。 3 ∆ABC 中, O 為任意點 1 (1)若 G 為 ∆ABC 的重心,試證: AG = ( AB + AC ) 。 3 1 (2)證明: OG = (OA + OB + OC ) 3. 9.. 2. 2. 2. (3)試證: G 為 ∆ABC 的重心 ⇔ GA + GB + GC = 0 。 10. 試證:三角形的三高交於一點(此點稱為此三角形的垂心)。 11. 設任意 ∆ABC 之三內角平分線 AD, BE , CF 交於 I (此點稱為此三角形的內心) 且三邊長 AB = c, BC = a, CA = b 為已知,則 b c (1) AI = AB + AC 。 a+b+c a+b+c a b c (2) OI = OA + OB + OC ,其中 O 為任意點。 a+b+c a+b+c a+b+c 12. ∆ABC 中, AB = 4, BC = 6, CA = 2 7 , H 為 ∆ABC 之垂心, (1)試證: AH ⋅ AB = AH ⋅ AC = AB ⋅ AC 。 (2)若 AH = x AB + y AC ,則 x, y = ?. 5.

(2)

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