槽線洩漏波天線

國 立 交 通 大 學

電信工程學系

碩 士 論 文

槽線洩漏波天線

Slotline leaky wave antenna

研究生：陳志豪 (Zhi-Hao Chen)

指導教授：林育德 博士 (Dr. Yu-De Lin)

中 華 民 國 九 十 七 年 七 月

國 立 交 通 大 學

電信工程學系碩士班

碩士論文

槽線洩漏波天線

Slotline leaky wave antenna

研究生: 陳志豪 (Zhi-Hao Chen) 指導教授: 林育德 博士 (Dr. Yu-De Lin)

槽線洩漏波天線

Sloline leaky wave antenna

研究生: 陳志豪 Student : Zhi-Hao Chen 指導教授: 林育德 博士 Advisor : Dr. Yu-De Lin

國 立 交 通 大 學 電信工程學系碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Department of Communication Engineering College of Electrical Engineering and Computer Science

National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements

For the Degree of Master of Science

In

Communication Engineering June 2008

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

槽線洩漏波天線

研究生: 陳志豪 指導教授: 林育德 博士 國立交通大學 電信工程學系 摘要 一般洩漏波天線具有低成本、高增益和掃頻等優點。在本論文中，我們將會 用 SDA 加上數值分析的方法找出槽線結構的第一高階模的特性，以及含地的介質 波導在高階模的物理關係。其物理關係為當槽線寬度趨近於零時，則槽線結構的 第一高階模的特性就會等同於含地的介質波導在高階模的特性。之後再利用符合 第一高階模的物理特性的饋入結構，激發出我們所想要的模態。 由於槽線結構的第一高階模的基本物理條件為 PMC，所以我們使用微帶線轉 共平面波導的方式來饋入。微帶線轉共平面波導，是由微帶線在下，共平面波導 在上，中間藉由一個耦合轉換的電路，使能量由微帶線經由轉換的電路耦合至共 平面波導，使其達至寬頻的效果，並且用來當作洩漏波天線之基本饋入結構。 在本論文中，我們利用槽線結構的第一高階模的特性，設計不同槽線寬度的 輻射頻帶，進而設計出符合不同槽線寬度的槽線洩漏波天線。理論的數據、模擬 和量測值的結果將會表現在本文中，進而確定槽線結構的第一高階模的存在。

Slotline leaky wave antenna

Student: Zhi-Hao Chen Advisor: Dr. Yu-De Lin

Department of Communication Engineering National Chiao Tung University

In general , the leaky wave antenna has many advantages such as low cost, frequency scaning, and high gain. The relation of the propagation characteristics of the slotline first higher mode and the higher order mode of dielectric slab are

presented in detail in this paper. It is found that the first higher order mode of slotline will be formed the characteristics of the higher order mode of dielectric slab when the width of slotline approachs to zero.

Dependence of the propagation characteristics on structural parameter are analyzed. Two different widths of slotline strcture will be excited by feeding the slotline with a microstrip-to-CPW transition. The reason for this feeding is to make antenna broadband. Experimental results show good agreement with our numerical results, and also confirm the existence of the slotline first higher order mode.

誌謝

首先要感謝林育德博士在碩士生涯這兩年來的指導，給我們一個優良的研究 環境。在研究的過程中，給予正確的方向和經驗上的指導，更教導我們不論是做 研究或做事上有的態度。 再來我非常感謝林烈全學長在碩士兩年中無私的教導，使得研究得以順利的完 成，特別是在程式上的指點，真是讓我獲益良多。另外做我隔壁的程奕翔，是我 的革命戰友，在遇到瓶頸的時候總是給予適當的幫助和鼓勵，也一起度過了許多 的困難。其他的同學如陳建宏、陳鈺、趙家綱和學弟們，我們會互相討論互相的 研究主題，也會互相幫助對方，讓我覺得這一個有良好風氣的實驗室，有了他們 才使得碩士生活變得更加多采多姿。

最後要感謝最支持我的家人，我最親愛的爸爸、媽媽、弟弟還有女朋友，謝 謝你們無條件的支持，讓我能夠沒有後顧之憂完成我的學業

目錄

中文摘要……… i 英文摘要………....ii 謝誌………...iii 目錄………...iv 圖錄………v 表錄………. vii 第一章 導論………..………..1 1.1 動機與目的………..………...1 1.2 章綱大綱………..………...2 第二章 基本原理和數值結果………3 2.1 槽線結構第一高階模數值分析……….3 2.1.1 頻譜分析法...3 2.1.2 Galerkin’s method………..5 2.1.3 積分路徑的選擇………..………..8 2.1.4 第一高階模………....9 2.2 含地介質波導的高階模變化………...10 2.3 槽線結構和含地介質波導的高階模關係………...14 第三章 天線設計及量測結果……….……….16 3.1 槽線寬度為 10mm 的洩漏波天線設計………...16 3.1.1 饋入結構………...………...16 3.1.2 天線部份的設計……...………...18 3.1.3 槽線洩漏波天線實做與量測……… ………….19 3.2 槽線寬度為 15mm 的洩漏波天線設

計

………...28 3.2.1 天線部份的設計……...………...28

3.2.2 槽線洩漏波天線實做與量測………..28 第四章 結論………..37 Appendix-a………...38 Appendix-b………...43 參考文獻………..47

圖錄

圖 2-1 槽線結構的示意圖...3 圖 2-2 槽線結構的橫切面示意圖...5 圖 2-3 E E 基底函數的圖形...6 _Z, _X 圖 2-4 第一高階模的積分路徑...8 圖 2-5 槽線結構的第一高階模ε_r =2.2 h=0.508mm w=15mm...9 圖 2-6 含地介質波導結構的橫切面示意圖...10 圖 2-7 含地介質波導結構色散圖ε_r =2.2 h=0.508mm...11 圖 2-8 含地的介質波導結構TM TM1 0圖ε_r =2.2 h=0.508mm...11 圖 2-9 含地介質波導結構TM 圖1 ε_r =2.2 h=0.508mm...12 圖 2-10 含地的介質波導 TM -1 k_y vs f 關係圖ε_r =2.2 h=0.508mm...12 圖2-11 不同槽線寬度的槽線第一高階模 ε_r =2.2 h=0.508mm...14 圖 2-12 不同槽線寬度和TM 的高階模圖 1 ε_r =2.2 h=0.508mm...15 圖2-13 槽線寬度為0.001mm和TM 的高階模圖 1 ε_r =2.2 h=0.508mm...15 圖 3-1 共平面波導的主模...17 圖 3-2 微帶線轉共平面波導的饋入結構示意圖...17 圖 3-3 微帶線轉共平面波導的饋入結構下層圖...17 圖 3-4 微帶線轉共平面波導的饋入結構上層圖...17 圖 3-5 槽線寬度為10mm的第一高階模之色散圖...18 圖 3-6 實際的槽線天線：槽線寬度為10mm (a)正面...19 (b)反面...19

圖 3-7 槽線寬度為10mm槽線天線結構設計參數示意圖...20 圖 3-8 槽線寬度為10mm槽線天線電流分佈圖（a）14G...22 （b）16G...22 （c）18G...23 圖 3-9 槽線寬度為10mm槽線天線之反射損失(S11)量測圖...23 圖 3-10 槽線寬度為10mm槽線天線 14G 輻射場型...24 圖 3-11 槽線寬度為10mm槽線天線 16G 輻射場型...24 圖 3-12 槽線寬度為10mm槽線天線 18G 輻射場型...25 圖 3-13 槽線寬度為10mm槽線天線 20G 輻射場型...25 圖 3-14 槽線寬度為10mm槽線天線 22 輻射場型...26 圖 3-15 槽線寬度為10mm槽線天線 24 輻射場型...26 圖 3-16 槽線寬度為10mm增益對頻率關係圖...27 圖 3-17 實際的槽線天線：槽線寬度為15mm (a)正面...28 (b)反面...29 圖 3-18 槽線寬度為15mm槽線天線結構設計參數示意圖...29 圖 3-19 槽線寬度為15mm槽線天線電流分佈圖（a）10G...31 （b）12G...31 （c）14G...32 圖 3-20 槽線寬度為15mm槽線天線之反射損失(S11)量測圖...32 圖 3-21 槽線寬度為15mm槽線天線 6G 輻射場型...33 圖 3-22 槽線寬度為15mm槽線天線 8G 輻射場型...33 圖 3-23 槽線寬度為15mm槽線天線 10G 輻射場型...34 圖 3-24 槽線寬度為15mm槽線天線 12G 輻射場型...34 圖 3-25 槽線寬度為15mm槽線天線 14G 輻射場型...35 圖 3-26 槽線寬度為15mm槽線天線 16G 輻射場型...35 圖 3-27 槽線寬度為15mm槽線天線 18G 輻射場型...36

圖 3-28 槽線寬度為15mm增益對頻率關係圖...36

表錄

Table1

...45

Table2

...20

Table3

...46

Table4

...30

第一章 序論

(

Introduction

)

1.1 動機與目的

在現在和未來的高科技應用上，微波和毫米波頻帶的應用將會越來越重要， 舉凡汽車防撞雷達、RFID 、數位電視和衛星通訊等等…在這些應用中重要的一 個元件就是天線。所以期望能設計出符合上述產品規範的天線，是全世界的天線 設計者共同努力的目標。近幾年平面式的天線受到設計者的青睞，因為它具有低 成本、易整合、重量輕和容易大量製造等特點。在天線設計上，頻寬和增益是最 重要的兩個參數，所以如果能將平面式天線做至高增益、寬頻，則天線的價值性 將會大增。由於洩漏波天線一般都是平面式的架構，而且它屬於行波式 （traveling wave ）的天線，故它具有寬頻的特性。而且由於洩漏波天線的特殊 模態，所以具有增益方向隨著頻率而改變(frequency scaning )和高增益等優點。 洩漏波天線首先由W. Menzel 成功激發微帶線洩漏波天線，但他只有實驗數據 卻沒有解釋其物理意義[1]。隨後由A. A. Oliner 解釋微帶線洩漏波天線的物理意 義[2][3]。接下來P. Nyquist 發表了在微帶線洩漏波天線輻射頻譜的基本原理和 選擇分支切割(branch cut)在頻譜分析法的清楚物理意義[4]。之後不同的平面式 結構的高階模特性相繼被研究[5][6]。 在本論文中，我們發現槽線結構(slotline structure)的高階模特性比起微帶線結 構，具有更寬的輻射頻帶[7][8]，而且當槽線寬度趨近於零時，他的高階模特性 將會和含地介質波導（dielectric slab）的高階模有相同的特性。而本文主要的目 的是激發槽線結構的第一高階模態在天線的應用。不同的材料參數和物理尺寸將 會影響到高階模所操作的頻帶，進而會限制了洩漏波天線的頻寬。饋入電路是能 不能激發出正確的第一高階模的重要因素，一但饋入電路設計不當，將會激發出 符合相同物理架構下的其它模態。 我們可以使用各種不同的饋入結構來激發槽線洩漏波天線。例如：微帶線

(microstrip )饋入、共平面波導( coplanar waveguide )的饋入。而在本論文中，我 們提供一個新的饋入方式，就是微帶線轉共平面波導(microstrip-to-cpw )的饋入 電路[9]，進而達到更寬頻和激發出較純的槽線第一高階模。最後在此研究中， 我們將設計兩個不同槽線寬度的槽線洩漏波天線，並使其分別操作在不同的輻射 頻帶。

1.2

章節大綱

本論文第二章介紹槽線洩漏波天線的基本原理數值分析結果，第三章介紹槽線 洩漏波天線的設計及量測結果，第四章為結論。

第二章 基本原理和數值分析結果

本章我們將會介紹槽線結構(slotline structure)的第一高階模數值分析，和含地 介質波導(dielectric slab)的高階模數值分析結果，來了解槽線第一高階模的特 性。

2.1 槽線結構的第一高階模數值分析

2.1.1頻譜分析法（spectral domain approach ）

圖2-1為槽線結構(slotline structure)的示意圖，這個小節我們會先用頻譜分 析法（SDA）[10][11]建立槽線結構(slotline structure)的解方程式。

圖2-1: 槽線結構的示意圖

在推導過程中，我們使用SDA的方法建立TM-to-y 和 TE-to-y 在不同介質中 的解[12]，因此我們可以得到y=h 金屬上的電流和槽線內的電場的α −domain 關係矩陣（2.1.3）。這些推導的過程我們附在Appendix-a 。下列的式子，為推 導後的結果。 2 2 2 2 0 k0 γ =α +β − （2.1.1） 2 2 2 _k2 γ =α +β − （2.1.2） （2.1.1）和（2.1.2）為槽線結構的波數（wavenumber）關係式。（2.1.1）為在空

氣中，而（2.1.2）為在介質裡。因為切線波數必須連續，所以在不同介質的水平 方向的波數如（2.1.1）、（2.1.2）的_α2 _+β2_要相同。 sz zz zx z sx xz xx x J Y Y E J Y Y E ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ （2.1.3） 0 0 0 0 , z z j j γ γ γ γ ωμ ωμ = = （2.1.4） 0 0 0 , y y j j γ γ γ γ ωε ωε = = （2.1.5）

( )

coth t C = γh （2.1.6）

(

2 2

)

(

2 2

)

1 zz e h Y β Y α Y α β = − + + （2.1.7）

(

2 2

)

(

)

zx e h Y αβ Y Y α β − = + + （2.1.8）

(

2 2

)

(

)

xz e h Y αβ Y Y α β − = + + （2.1.9）

(

2 2

)

(

2 2

)

1 xx e h Y α Y β Y α β = − + + （2.1.10） 0 2 2 0 0 0 0 0 2 2 = , = y y t y y t z z z z e h t y y t z z C C Y Y C C γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ + + + + + + （2.1.11） （2.1.3）的矩陣關係，是 y=h 金屬上的電流和槽線內的電場的在α −domain關係 矩陣，也就是Green function。而這個矩陣我們將應用在下小節，建立數值分析 的結果。

2.1.2

Galerkin's method

Galerkin's method簡單的說：如果有一方程式為Lf = ，而將欲求解的函數，q

用適當的基底做展開，如：f =c_n

∑

φ_n，再用基底當權函數（weighting function ） 對方程式做內積，即<φ_n,Lf >=<φ_n,q> ，求出係數，得到解函數。

利用這樣的概念第一步我們選擇符合槽線為PMC架構的基底（basis），利用 傅利葉轉換讓基底在space domain− 轉換到α −domain，來展開槽線中未知的電 場。 圖2-2: 槽線結構的橫切面示意圖 Basis: x 2 w <

(

)

2 2 1 cos ( ) , 1, 2, 2 1 zm m x w E x m N x w π − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} （2.1.12）

(

)

2 2 1 sin ( ) , 1, 2, 2 1 xm m x w E x m M x w π − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = = ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （2.1.13） （2.1.12）和（2.1.13）是我們PMC槽線架構所選擇的兩組基底，選擇這樣的基 底的原因為，在PMC平面的兩側的切線電場（E ）要同向，且在槽線的邊緣處_z （x= ±w/ 2）切線電場要為零。而在PMC平面的兩側的垂直電場（E ）要反向， _x

且在槽線的邊緣處（x= ±w/ 2）垂直電場要為最大。 圖2-3: E E 基底函數的圖形 _Z, _X 圖2-3為E E 基底函數的圖形，在不同階數的變化。我們可以看到這些基底， _Z, _X 都有符合PMC槽線架構的邊界條件。接下來我們利用這些基底來展開未知的電 場函數，再經由傅利葉轉換如（2.1.14）所示。 1 1 ( ) ( ) N z m zm m M x m xm m E c E E d E α α = = = =

∑

∑

（2.1.14） 其中 0 0 2 1 2 1 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 4 2 2 2 2 zm m m E α =πω_⎢⎡J ωα + − π +J ωα − − π ⎤_⎥ ⎣ ⎦ （2.1.15） 0 0 2 1 2 1 ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 4 2 2 2 2 xm m m E α =πω_⎢⎡J ωα + − π −J ωα − − π ⎤_⎥ ⎣ ⎦ （2.1.16） 由2.1.1小節的y=h 金屬上的電流和槽線內的電場的在α −domain關係矩陣 （2.1.3），將（2.1.3）乘開可以得到下列式子。 1 1 ( ) ( ) N M sz zz z zx x zz m zm zx m xm m m J Y E Y E Y c E α Y d E α = = = + =

∑

+

∑

（2.1.17） 1 1 ( ) ( ) N M sx xz z xx x xz m zm xx m xm m m J Y E Y E Y c E α Y d E α = = = + =

∑

+

∑

（2.1.18）

再來我們根據Parseval's theorem 計算出在α −domain基底跟電流相乘的積分等 於零（2.1.19）所示，原因在於在y=h 的平面上金屬的切線電場為零，槽線內沒 有電流。所以在y=h 平面上不管在哪個位置基底跟電流相乘都為零。

-parseval theorem E_zk( )α J_sz( )α αd 2π E x J_zk( ) _sz( x dx) 0 ∞ ∞ ∞ −∞ ⋅ = ⋅ − =

∫

∫

（2.1.19） ( ) ( ) 0 1.... ( ) ( ) 0 1.... zk sz xl sx E J d k N E J d l M α α α α α α ∞ −∞ ∞ −∞ ⋅ = = ⋅ = =

∫

∫

（2.1.20）

我們可以用上面的式子，建立一個Ax=0（homogeneous matrix ）的矩陣，大小 由N
、M決定。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1,1 1,2 1 1 2,1 2,2 1 1 0 , 1... 0 , 1... N M km m km m m m N M lm m lm m m m Y c Y d k N Y c Y d l M = = = = + = = + = =

∑

∑

∑

∑

（2.1.21） ( )1,1 _{( )}

_{( )}

_{( )} km zk zz zm Y E α Y α E α αd ∞ −∞ =

_∫

⋅ ⋅ （2.1.22） ( )1,2 _{( )}

_{( )}

_{( )} km zk zx xm Y E α Y α E α αd ∞ −∞ =

_∫

⋅ ⋅ （2.1.23） ( )2,1 _{( )}

_{( )}

_{( )} lm xl xz zm Y E α Y α E α αd ∞ −∞ =

_∫

⋅ ⋅ （2.1.24） ( )2,2 _{( )}

_{( )}

_{( )} lm xl zx xm Y E α Y α E α αd ∞ −∞ =

_∫

⋅ ⋅ （2.1.25） 由於c_m ,d_m ≠ ，知 det( ) 00 A = ，且矩陣 A 中未知的變數只有一個，應用找根過程 （root-seeking process ）找到我們所要的傳波常數β。

2.1.3 積分路徑的選擇

由上兩小節我們已經基本建立找傳播常數β的方法，接下來我們要如何找

到槽線第一高階模的β呢？重點在於α -複數平面上的積分路徑，我們在積分路

徑上必須包含含地的介質波導（dielectric slab）的表面波極點，而且要選擇適當 的分支切割（branch cut）和分支點(branch point )如圖2-4所示。然後我們再利 用上兩小節的方法去找出傳播常數。在此因為方便性我們將上述符號β以k 代換_z

α 以k 代換。_x k_z = −β jα β : propagation constant : leakage constantα 。γ = jk_y

圖2-3:基底函數的圖形 圖2-4:第一高階模的積分路徑 z k = −β jα （2.1.26） x xr xi k =k + jk （2.1.27） 2 2 2 2 0 0 y x z k =k −k −k （2.1.28） 分支點:kxb = k02 −

(

β − jα

)

2 （2.1.29） TM0極點：kxp = ks2 −

(

β − jα

)

2 k ：含地介質波導的s TM0模波數 （2.1.30）

下一小節我們用圖2-4的積分路徑和找根過程root-seeking process，來找到特定尺 寸的槽線第一高階模。

2.1.4 第一高階模（first higher order mode）

圖2-5:槽線結構的第一高階模 εr =2.2 h=0.508mm w=15mm 一般在微帶線的洩漏波模，我們通常把它分成四個區域分別如下： 0 0 0 0

1. ( ) , =0 , bound mode region

2. , small , surface wave leakage region

3. , small , surface wave and space wave leakage region 4. , large , cutoff region

s s k TM k k k k β α β α β α β α > > > > > 由此我們可知槽線洩漏波天線的輻射頻帶如上圖所示，定義在β <k₀ ， <α β 的範圍。槽線洩漏波天線的波束寬度跟α 值有關。假設α 值小，表示說有較小的 輻射比率，可等效視做一較長的線源天線，因此可得到較窄的波束寬度。較大的 α 值，表示說有較大的輻射的比率，將可等效視做一較短的線源天線，因此可得 到較大的波束寬度，波束的寬度Δθ 跟α κ/ ₀有線性相關。而其主波束的方向我們 可以用一個近似公式來推估： 0 cos k β θ ≈ 。天線的場型主要可以用三個特性來表 示: 主波束的指向角度，3dB波束寬及旁波束的分佈。在洩漏波天線中，主波束

的指向角度θ _≅cos ( /−1 β κ₀)_{，θ 為由天線表面算起的仰角。由於洩漏波天線本身} 為一行波天線，它的輻射波束會隨行進方向呈現半錐形分佈，而且由於β κ/ ₀會 隨頻率改變，所以主波束會隨頻率而掃描。

2.2 含地介質波導（

dielectric slab ）高階模的數值分析

圖2-6:含地介質波導結構的橫切面示意圖 上圖為含地介質波導（dielectric slab）的示意圖。首先我們將場的解分成TM 和TE 兩成份，而在這個結構下它有相對應的超越方程式（2.1.32）、（2.1.33）。 這些推導的過程我們將附在Appendix-b 。 2 2 2 0 0 2 2 2 y z y z k k k k k k + = + = （2.1.31） 0 : _{y r} tan _y TM jk ε = k h （2.1.32） 0 : TE k_y = jk_ycotk h_y （2.1.33） 如果我們假設k_z <k k₀, _z = ∈β real，則我們可以利用上面兩個式子做出含地介質 波導色散特性如圖2-7所示。

圖2-7:含地介質波導結構色散圖ε_r =2.2 h=0.508mm 在2-7圖的截止頻率下，還有高階模的存在，此時k_z = −β jα，且為一複數。 圖2-8:含地的介質波導結構TM TM1 0圖ε_r =2.2 h=0.508mm 圖2-8中的TM 黑色虛線為藍色實線的共軛複數解，此時黑色虛線為 1 ; 0 z k = +β jα α > 但此解不合物理，因為這樣會使得波往傳播方向振幅成指數 型增加。所以我們只要討論其中一種合乎物理的情況。圖2-9為k_z = −β jα對頻 率的關係圖，圖2-10為k_y =k_yr + jk_yi對頻率的關係圖。

2-9圖：含地介質波導結構TM 圖1 ε_r =2.2 h=0.508mm

2-10圖：含地的介質波導 TM -1 k_y vs f關係圖ε_r =2.2 h=0.508mm 由於k_y =k_yr + jk_yi，我們可以知道如果k_yi > ，則波會往空氣中成指數成長，圖0 2-9的nonspectral的意義在此。在頻率小於a之下，我們稱這一段頻帶為洩漏波

模（leaky mode ）或者稱作高階模（ higher mode ），在頻率大於c之上，我們稱 這一段頻帶為束縛模（bound mode），而介於a跟c之間的頻帶我們稱之為

2.3 槽線結構和含地介質波導高階模關係

首先我們可以看到，當槽線寬度變小，輻射頻帶往高頻移動，當槽線寬度變大， 輻射頻帶往低頻移動，如下圖所示： 2-11圖：不同槽線寬度的槽線第一高階模 ε_r =2.2 h=0.508mm 由圖2-11我們可知，我們可知當槽線寬度變小輻射頻帶往高頻移動，但當槽線線寬度 趨近於零會有什麼現象呢？圖2-12為槽線寬度變化至1mm與TM1的高階模圖，圖2-13 為槽線寬度變化至0.001mm與TM1的高階模圖，由此圖我們可以看到，當寬度變小至 零，會有一個收斂現象，那也就是槽線的第一高階模會變成含地介質波導的TM1的高 階模。由直觀的想也是如此，當槽線寬度為零時，其結構的型態變為含地介質波導，故 槽線的第一高階模有這樣的變化也不會感到意外。如果我們由電流分佈來了解的話，如 圖3-8所示，電流方向大致都為縱向的，橫向的電流很小，這樣有什麼意義呢？這樣表 示說幾乎沒有縱向的磁場，也就是槽線的第一高階模近似TM 模，所以我們可以更加的 確定槽線第一高階模和地介質波導的TM1的高階模的關係。

2-12圖：不同槽線寬度和TM 的高階模圖 1 ε_r =2.2 h=0.508mm

第三章 天線的設計及量測結果

本章我們將會設計槽線天線來激發洩漏波模。首先我們會先介紹我們使用的饋 入電路，然後計算出天線部份所需的長度使得能量能洩漏完畢。在本章我們會將 設計出兩種不同槽線寬度的洩漏波天線，他們分別操作在不同的輻射頻帶。模擬 和量測結果，將會展現在本文中。

3.1 槽線寬度為10mm的洩漏波天線設計

首先我們會先介紹饋入電路的機制，再利用寬度為10mm的槽線第一高階模特 性來設計天線所需要的長度，最後我們展示出所設計天線量測和模擬的結果。

3.1.1饋入結構

一般要激發槽線的洩漏波模，最重要的是饋入電路的設計。由於共平面波導的 架構在一般的模態下的電場分佈如圖 3-1 所示。跟理論推導第一高階模的 PMC 對稱平面一樣，他們具有相同的物理邊界條件（boundary condition）。故我們 使用共平面波導來饋入槽線結構，希望能激發較純的第一高階模。如果只有單純 的共平面波導激發的話，不容易將頻寬做的很寬。但我們又希望饋入電路能達到 寬頻的效果，所以將原本共平面波導的電路，做了一些變化，如圖 3-2 所示，饋 入電路變為微帶線轉共平面波導的形式[9]。 我們使用這種饋入結構，主要的利用它寬頻耦合的機制，來使得設計天線時達 到更寬的頻寬。我們由圖 3-1 我們可以看到微帶線轉共平面波導，中間有一重疊 的轉換電路，其實它是一種上下耦合的耦合傳輸線（coupling transmission line）。由微波工程和電磁理論我們可以知道，頻寬跟耦合量成正比。而耦合量 又跟耦合的面積有關，為甚麼呢？我們可以這樣想假設在上下兩個板子之間，有 一串聯電容，當電容值越大，耦合係數也會大，則頻寬也跟著變大。

3-1圖：共平面波導的主模

3-2 圖：微帶線轉共平面波導的饋入結構示意圖

3-3 圖：微帶線轉共平面波導的饋入結構下層圖

3.1.2 天線部份的設計

3-5 圖：槽線寬度為10mm的第一高階模之色散圖： 2.2 h=0.508mm w=10mm r ε = 第一步我們先了解槽線第一高階模的α 跟β得特性如圖 3-5，一般我們將第一 高階模分成下列三個區域。 ( ) reactive region: f < 9.5G ( ) radiation region: 9.5G <f < 22G ( ) bound region: f >22G Ι ΙΙ ΙΙΙ 0 / α κ 與β κ/ ₀的值和頻率、基板厚度、介電常數、槽線寬度有關。圖3-5所示的 三個區域，分別代表α 與β在不同頻率下的變化。在(I) 區，由於衰減的特性， 能量不會被輻射出去，反而會快速的衰減掉。在(II) 區為輻射區域，起始點為相 位常數β 等於損耗常數α 的交點(β α= )，到相位常數β 等於自由空間波數 0

κ (β κ= )為終點。在 (III) 區，₀ β κ> 進入 bound mode region 。 洩漏波天線本₀ 身的能量衰減跟α κ/ ₀有關，能量的衰減呈現一指數的變化。所以當我們想將天 線的能量幾乎都洩漏出來，我們必須要有足夠的天線長度來將能量衰減完，避免 能量會從天線的另一端反射回來。選擇天線長度的標準，通常為_e−2αL _<0.001_時

的L，也可以選擇衰減更多時的L。所以在設計天線長度我們利用圖3-5的α 值來 找到在輻射區域的頻帶內，都能把能量衰減完的長度。經由Table-1我們可以計 算出要使輻射區域的所有頻率能量洩漏完畢，長度至少需要55.23mm。

3.1.3 槽線洩漏波天線實做與量測

我們利用 3.1.2 和 3.1.3 小節設計概念，設計出如 3-6 圖實際的槽線天線，圖 3-7 為槽線天線結構設計參數示意圖，而Table-2為設計參數的整理。 (

a

) (b) 圖 3-6: 槽線實體俯視圖(a)正面(b)反面。 (b) 3-6 圖 實際的槽線天線：槽線寬度為10mm (

a

)正面（b）背面

圖 3-7: 槽線寬度為10mm槽線天線結構設計參數示意圖 Table-2 槽線寬度為

10mm

槽線天線設計參數 基板介電係數 ： 2.2 w : 10mm 基板厚度 ： 0.508mm ws ： 80mm wid: 9.5mm Ls ： 167.8mm len: 17mm L : 90mm 2 L ： 17mm 饋入的微帶線寬度為1.6mm設計在 50 歐姆，經由一個transition將能量耦合至 共平面波導，在經由一個緩變寬度(兩個槽線的間距S)的共平面波導轉至槽線部 份。我們希望共平面波導兩個槽線的寬（gap ）為0.2mm，因為我們不希望饋入 電路的輻射影響到主要天線部份的場型，所以共平面波導的gap ，我們希望能儘 量的小，使得傳播的能量束縛在這gap 之中。由於 gap 很小故在共平面波導到槽 線天線部份，需要有一個緩變寬度的變化。一直到天線部分我們共平面波導的寬

度形變成探針的方式激發天線部份。Table-2的wid、len和L 是控制頻寬的重要₂ 參數，經由最佳化的設計我們可以得到最佳尺寸。圖 3-8 為槽線天線的電流分佈 圖，由圖中可明顯看出洩漏波第一高階模特有的電流分佈型態，他們操做的頻率 分別為14G 16G 18G、 、 。在這些圖中我們可以看到電流在激發的端口，振幅最大 之後隨著距離快速的衰減，而且頻率越低，衰減速度越快。每個圖上所標示的長 度為Table-1所計算出能量所洩漏完的最小長度。我們跟使用模擬軟體跑出的電 流分佈做比較，發現理論跟模擬的洩漏長度可以藉由圖 3-8 得到相當的印證。 接下來我們來看看圖 3-9，這個圖為槽線天線之反射損失(S11)量測圖，我們 可以看到在頻率從11.8G~26.5G都在-10dB以下，頻寬有14.7G。跟我們理論上 輻射區域的頻寬9.5G~22G，頻寬12.5G，相去不遠。圖 3-10 到 3-15 依序為 14G~24G的場型圖，他們的增益除了14G的8.97dBi剩下的頻段增益都有10dBi 以上。此外由於圖 3-8 我們可以看到天線主要的電流為縱向，橫向電流很小，所 以橫向的電流所造成的極化，沒有呈現在圖 3-10 到 3-15。 我們可以觀察到槽線天線的場型有兩個主波束，主波束的方向隨著頻率的增 加，越往end-fire方向傾斜，這就是洩漏波天線的隨著頻率而掃頻的特性。而增 益隨著頻率越高，隨之增加，這是因為頻率增加想對的波長越小，在槽線兩側造 成的線源長度越長，所以會有較高的增益和較窄的波束寬。值得注意的是我們看 到24G的場型，兩個主波束幾乎已經合在一起，代表掃頻的角度已接近 90 度， 由圖 3-5 的理論區域來看，這個頻率操作在bound mode region，所以有這樣的結 果是可以預測的。由輻射場型我們可以看到主波束的增益跟最大旁波帶的差距大

約在5~6dB，除了 22G 跟 24G 的最大旁波帶達到10dBi，差距縮短至只有2~3dB。

造成這樣的原因是天線整體的長度，長度越長，旁波帶越多，加上饋入電路所輻 射所造成的整體建設性干涉的影響，導致side lobe level沒辦法降低，但饋入電路 不夠長，匹配會不好，這也是天線設計上的一種trade off。

圖 3-16 為增益對頻率的關係圖，由此圖我們可以更清楚看到，增益隨著頻率 增加的情形。

（a）14GHz

( c ) 18GHz

圖 3-8 槽線寬度為10mm槽線天線電流分佈圖(a)14GHz (b)16GHz (c)18GHz

3-10 圖 槽線寬度為10mm槽線天線 14G 輻射場型

3-12 圖 槽線寬度為10mm槽線天線 18G 輻射場型

3-14 圖 槽線寬度為10mm槽線天線 22G 輻射場型

3.2 槽線寬度為15mm的洩漏波天線設計

本小節的目標為設計槽線寬度為15mm的洩漏波天線，由於寬度從10mm變為 15mm藉由圖2-11、圖2-5，我們可以知道第一高階模的輻射頻帶往低頻偏移， 且理論的輻射頻帶為6~16G。我們使用相同的饋入電路，和相同的天線長度的設 計概念，經過適當得調整得到最佳模擬的結果，最後我們展示出所設計天線量測 和模擬的結果。

3.2.1 天線部份的設計

我們依據3.1.2小節設計天線部份的方法，來設計在第一高階模輻射頻帶 所有頻率，把能量輻射完的最小長度。Table-3為槽線寬度為15mm下每個頻率對 應α 所計算出的最小長度。由圖表的結果得知長度至少需要75mm。

3.2.2 槽線洩漏波天線實做與量測

我們利用 3.2.1 和 3.1 小節設計概念，設計出如 3-17 圖實際的槽線天線， 圖 3-18 為槽線天線結構設計參數示意圖，而Table-4為設計參數的整理。 (a)

(b)

3-17 圖 實際的槽線天線：槽線寬度為15mm (a) 正面 (b) 背面

Table-4

槽線寬度為15mm 槽線天線設計參數

基板介電係數 ： 2.2 w : 15mm 基板厚度 ： 0.508mm ws ： 105mm wid: 12mm Ls ： 205.8mm len: 17mm L : 100mm 2 L ： 33mm

槽線寬度為15mm的天線Table-4的wid、len和L 是控制頻寬的重要參數，經由₂

最佳化的設計我們可以得到最佳尺寸。圖3-19為槽線天線的電流分佈圖，由圖中 可明顯看出洩漏波第一高階模特有的電流分佈型態，他們操做的頻率分別為 10G 12G 14G、 、 。在這些圖中我們可以看到電流在激發的端口，振幅最大之後隨 著距離快速的衰減，而且頻率越低，衰減速度越快。每個圖上所標示的長度為 Table-3所計算出能量所洩漏完的最小長度。我們跟使用模擬軟體跑出的電流分 佈做比較，發現理論跟模擬的洩漏長度可以藉由圖3-19得到相當的印證。 接下來我們來看看圖 3-20，這個圖為槽線天線之反射損失(S11)量測圖，我們可 以看到在頻率從7.75G~16.25G都在-10dB以下，頻寬有8.5G。跟我們理論上輻 射區域的頻寬6.5G~16G，頻寬9.5G，相去不遠。圖 3-21 到 3-27 依序為 6G~ 18G 的場型圖。此外由於圖 3-19 我們可以看到天線主要的電流為縱向，橫向電流很 小，所以橫向的電流所造成的極化，沒有呈現在圖 3-21 到 3-27。場型圖約從10G 才有比較好的形狀，主要原因在低頻下，α 較大，等效的線源較短，造成遠場的 建設性干涉不佳，此外由於整體天線較長所以會有較多旁波帶（side lobe）。我 們可以看到槽線天線的場型有兩個主波束，主波束的方向隨著頻率的增加，越往 end-fire方向傾斜，這就是洩漏波天線的隨著頻率而掃頻的特性。而增益隨著頻 率越高，隨之增加，這是因為頻率增加想對的波長越小，在槽線兩側造成的線源

長度越長，所以會有較高的增益和較窄的波束寬。為增益對頻率的關係圖，圖 3-28 由此圖我們可以更清楚看到，增益隨著頻率增加的情形。

（a）10GHz

(c) 14GHz

圖 3-19 槽線寬度為15mm槽線天線電流分佈圖(a) 10GHz (b) 12GHz (c) 14GHz

3-21 圖 槽線寬度為15mm槽線天線 6G 輻射場型

3-23 圖 槽線寬度為15mm槽線天線 10G 輻射場型

3-25 圖 槽線寬度為15mm槽線天線 14G 輻射場型

3-27 圖 槽線寬度為15mm槽線天線 18G 輻射場型

第四章 結論

我們藉由數值分析的方法，找出槽線結構的第一高階模，藉由槽線寬度的變 化，我們可以知道當槽線寬度越寬，則輻射頻帶往低頻移動，槽線寬度越窄，則 輻射頻帶往高頻移動。此外我們依據含地介質波導高階模特性，可以解到當槽線 寬度趨近於零時，槽線結構的第一高階模會退化成含地介質波導的TM 高階模。 ₁ 在利用第一高階模的特性設計成天線，最重要的是激發電路。我們選擇微帶線 轉共平面波導的饋入來激發，目的是使天線寬頻。在本文中，我們做了兩個槽線 寬度分別為10mm 15mm、 ，他們分別操作在不同輻射區域，我們致力於使實際的 頻寬，跟理論的輻射區域一樣寬。在實際的天線上，雖然沒辦法跟理論一樣，但 兩支天線的頻寬分別為77%和70%，也是相當的寬頻。至於在輻射場型上，場 型通常在輻射區域相對高頻處，才有較好的增益和形狀，原因在於在相對低頻處 的α 太大導致造成等效的線源過短，無法形成有效的建設性干涉所至。

Appendix-a

Maxwell equations 0 0 E j B M H j D J D J j B M ω ω ρ ωρ ∇× = − − ∇× = + ∇ ⋅ = ∇ ⋅ = − ∇ ⋅ = ∇ ⋅ =

(

)

( )

2 2 1. if only J exists

, : electric scalar potential , : electric vector potential 1 e e e e A j k A J A E j A A j H A ωεφ φ ωμ ωε ∇ ⋅ = − ∇ + = − = − + ∇ ∇ ⋅ = ∇ ×

(

)

( )

2 2 2. if only M exists

, : magnetic scalar potential , : magnetic vector potential

1 f f f f F j k F M F E F H j F F j ωμφ φ ωε ωμ ∇ ⋅ = − ∇ + = − = −∇× = − + ∇ ∇ ⋅ Duality (1) (2) E H H -E J M A F Electric magnetic μ ε

( )

( )

(

)

(

)

3. J and M both exist , 1 1 or 1 1 e h e h E E E H H H E F j A A j H A j F F j E F A J j H A F M j ωμ ωε ωε ωμ ωε ωμ = + = + = −∇ × − + ∇ ∇ ⋅ = ∇ × − + ∇ ∇ ⋅ = −∇ × + ∇ × ∇ × − = ∇ × + ∇ × ∇ × −

ˆ ˆ Source free (J=0,M=0) z= jωμ , y= jωε

( )

to y 2 2 2 2 2 ˆ TM : ( , , ) , 0 1 ˆ ˆ 1 , ˆ 1 , 0 ˆ 1 , ˆ e y e e x x y e y e e z z A x y z a F E z A A y H A E H y x y z E k H y y E H y z y x ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = = = = − + ∇ ∇ ⋅ = ∇× ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂ ⎞ + = ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

( )

to y 2 2 2 2 2 ˆ TE : ( , , ) , 0 1 ˆ ˆ 1 , ˆ 1 =0 , ˆ 1 , ˆ h y h h x x y y h h h z z F x y z a A E F H yF F z E H z z x y E H k z y E H x z z y ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = = = −∇ × = − + ∇ ∇ ⋅ ∂ ∂ = = ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂ ⎞ = _⎜ + _⎟ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂ to y to y 2 2 2 2 2 2 e h 2 2 2 TE TM 1 1 , =- + ˆ ˆz 1 1 = , = ˆ ˆ y z 1 1 = - , = + ˆ ˆ y z e h e h x x y y e h e h z z E H y x y z z x y E k H k y y E H z y x x z y ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ + ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂ ₊ ⎞ ⎛ ∂ ₊ ⎞ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Fourier transform pairs

( ) ( ) 1 ( ) ( ) 2 i x i x F f x e dx f x F e d α α α α α π ∞ −∞ ∞ − −∞ = =

∫

∫

. . ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ) , F T i z i z e e e e F T i z i z h h h h x y z x y e y z y e x y z x y e y z y e j j x z β β β β ψ ψ α α ψ ψ α α α β − − − − = Ψ ⎯⎯→ = Ψ = Ψ ⎯⎯→ = Ψ ∂ _{⇒ −} ∂ _{⇒ −} ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 e h 2 2 2 F.T , = ˆ ˆz 1 1 = , = ˆ ˆ y z = , = ˆ ˆ y z e h x h x e y y e h z h z e j j E j H j y y y E k H k y y j j E j H j y y ψ ψ α _{βψ βψ} α ψ ψ ψ ψ β _{αψ αψ} β ⇒ ∂ ∂ − = − − ∂ ∂ ⎛ ∂ ₊ ⎞ ⎛ ∂ ₊ ⎞ ⎜_∂ ⎟ ⎜_∂ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂ − _{+ − −} ∂ ∂

1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 3

0 ,

,

1 , 2 ,3

,

sinh(

)

cosh(

) ,

sinh(

)

cosh(

)

ei i i i hi y h y h e h e h e e h h e h e e

k

i

y

A e

A e

B

y

C

y

B

y

C

y

D

γ γ

γ

γ

α

β

γ

γ

γ

γ

− − − −

⎛

⎞

⎛

∂

₋

⎞ Ψ

₌

₌

₊

₋

₌

⎜

⎟

⎜

_∂

⎟

_Ψ

⎝

⎠⎝

⎠

Ψ =

Ψ =

Ψ =

+

Ψ =

+

Ψ =

3( ) 3( ) 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 2 3

,

assume

,

,

ˆ

ˆ

ˆ

,

,

ˆ

ˆ

ˆ

y h h y h h y y y z y y

e

D e

y

y

y

z

z

z

γ γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

−

_{Ψ =}

−

=

=

=

=

=

=

x y 2

ε

1

ε

3

ε

w h

Slotline structure

(

2 2

)

(

2 2

)

2 2 2 _. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 , ( , , ) ( , ) , ( , , ) ( e h F T j e _z e h h e i z e e h h h A k k F k k x y z y y z y e y z y β β ψ ψ ψ ψ α β ψ ψ ψ γ ψ α α ψ α α ψ ∂ + =− ∂ − ⎛ ⎞ _{⎛ ⎞} ∇ + ⎜ ⎟_{⎜ ⎟}= ⇒ ∇ + _{⎜ ⎟}= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ ₊ ∂ ₊ ∂ ₊ ⎞⎛ ⎞_{= ⎯⎯⎯⎯⎯→}⎛ ∂ _{− − +} ⎞⎛ ⎞₌ ⎜_{∂ ∂ ∂} ⎟⎜ ⎟ ⎜_∂ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ ₋ ⎞⎛ ⎞_{= = Ψ = Ψ} ⎜_∂ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 neglect 2 2 2 2 2 2 , ) 0 , i z i z e e h y e k y β β γ γ α β − − ⎛Ψ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎯⎯⎯⎯→_⎜ − _{⎟⎜ ⎟}= = + − ∂ Ψ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

1 1 3 3 1 3 ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1

sinh cosh cosh sinh

1 ˆ 1 sinh cosh ˆ 1 ˆ y h y h e h x z e e h h x z y y e h x z y h h y h h y y h y z H j A e j A e H j B y C y j B y C y H j D e j D e H k A e z H k B y C y z H k D e z H γ γ γ γ γ γ β αγ β γ γ αγ γ γ β αγ γ γ γ γ γ − − − − − − = + = + − + = − = + = + + = + =

(

)

(

)

1 1 3 3 ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 3 3

sinh cosh sinh

y h y h e h z e e h h z z y y e h z z j A e j A e H j B y C y j B cosh y C y H j D e j D e γ γ γ γ α βγ α γ γ βγ γ γ α βγ − − − − − + = − + − + = − −

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)

1 1 3 3 1 3 ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3

cosh sinh sinh cosh

1 ˆ 1 sinh cosh ˆ 1 ˆ y h y h e h x y e e h h x y y y e h x y y h e y e e y y e y z E j A e j A e E j B y C y j B y C y E j D e j D e E k A e y E k B y C y y E k D e y E γ γ γ γ γ γ αγ β αγ γ γ β γ γ αγ β γ γ γ γ γ − − − − − − = − = − + − + = − − = + = + + = +

(

)

(

)

1 1 3 3 ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3

cosh sinh sinh cosh

y h y h e h y e e h h z y y y e h z y j A e j A e E j B y C y j B y C y E j D e j D e γ γ γ γ βγ α βγ γ γ α γ γ βγ α − − − − = + = − + + + = − + z=0 assume

( )

1 3 0 2 1 2 3 0 1 3 0 2 1 3 0 2 1 3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 at y=h = = , , , , , , , coth y y y y y z z z z z z z y y t j j j j k k C h ε ε ε ε ε μ μ μ μ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ ωμ ωμ γ γ γ γ ωε ωε γ α β γ α β γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = + − = + − =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 1 1 2 2 = , = sz zz zx z sx xz xx x zz e h zx e h xz e h xx e h y y t y y t z z z z e h t y y t z z J Y Y E J Y Y E Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y C C Y Y C C β α α β αβ α β αβ α β α β α β γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = − + + − = + + − = + + = − + + + + + + + + 1 2 2 3 1 2 2 3 2 1 F.T Boundary condition

at y=h ( domain) at y=0 x x x x z z z z x x zs E E E E E E E E H H J α ⇒ = = = = − = _{2 3} 2 1 2 3 - x x z z xs z z H H H H J H H = − = =

Appendix-b

2 2 2 2 2 2 2 source free , rule 1 1 1 1 z z z z x c z z y c z z x c z z y c c E j H H j E E H E H H j j y x k E H H j j x y k E H E j j x y k E H E j j y x k k k ωμ ωε ωε β ωε β β ωμ β ωμ β ∇ × = − ∇ × = − ∂ ∂ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = _⎜− − _⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = _⎜− − _⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ ⎛ ⎞ = _⎜− + _⎟ ∂ ∂ ⎝ ⎠ = −

(

)

2 2 2 2 2 2 2 : 0 , ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 , z x y z x x x y z TM H H y z E y z E y z k H k H y z H j E H H j j E E z y ωε ωε ωε = ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∇ + = ⇒_⎜ + + _⎟ = ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∇ × = ∂ ∂ − ⇒ = = ∂ ∂ ∵ 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 , y>h cos , 0<y<h , y>h cos , 0<y<h , y>h sin , 0<y<h y z z y z z y z z jk y h jk z x jk z x y jk y h jk z z y jk z z y y jk y h y jk z z y jk z z y H Ae e H B k ye k E Ae e k E B k ye k E Ae e jk E B k ye ωε ωε ωε ωε − − − − − − − − − − − − = = − = − = = − = 0 0 0 Boundary condition , , tan x x z z y r y y y h H H E E jk k h k ε = = = ⇒ = 2 2 2 0 0 2 2 2 0 (1) (2) tan (3) y z y z y r y k k k k k k jk ε k h + = − − − − + = − − − − = − − − − 0 0 0 2 2 0 0 cutoff: 0 (3) 0 =0,1, 2 (2) (1) ( 1) =0,1, 2 1 =0,1, 2 y y y k y r c r k N k N h k k N k k N h Nc f N π ε π ε = = = ⇒ = − ⎯⎯⎯→ = − = = − = … … …

(

2 2

)

2 2 2 2 2 : 0 , ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 , z y x z x x x y z TE E H y z E y z H y z k E k E y z E j H E E j j H H u z y ωμ ω ωμ = ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∇ + = ⇒_⎜ + + _⎟ = ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∇ × = − ∂ − ∂ ⇒ = = ∂ ∂ ∵ 0 0 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 0 , y>h sin , 0<y<h , y>h sin , 0<y<h , y>h cos , 0<y<h y z z y z z y z z jk y h jk z x jk z x y jk y h jk z z y jk z z y y jk y h y jk z z y jk z z y E Ae e E B k ye k H Ae e k H B k ye k H Ae e jk H B k ye ωμ ωμ ωμ ωμ − − − − − − − − − − − − = = = = − = − = 0 0 0 Boundary condition , , cot z z x x y y y y h H H E E k jk k h = = = ⇒ = 2 2 2 0 0 2 2 2 0 (1) (2) cot (3) y z y z y y y k k k k k k k jk k h + = − − − − + = − − − − = − − − − 0 0 0 2 2 0 0 cutoff: 0 1 ( ) 2 (3) 0 =1, 2 (2) (1) ( 1) 1 ( ) 2 _{=1, 2} 1 (2 1) =1, 2 4 1 y y y k y r c r c r k N k N h k k N k k N h N c f N h π ε π ε ε = = − = ⇒ = − ⎯⎯⎯→ = − − = = − − = − … … …

Table-1槽線寬度為10mm f (GHz) 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 beta/k0 0.99415 0.96124 0.94033 0.92482 0.92407 0.91318 0.9139 alpha/k0 1.1802 1.0804 0.98122 0.90941 0.83431 0.76805 0.7081 alpha 197.88 192.47 185.08 181.07 174.86 169.02 163.25 L_min(mm) 17.435 17.925 18.64 19.054 19.73 20.412 21.134 11.5 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 0.91024 0.91181 0.913 0.91604 0.91928 0.92345 0.92781 0.93336 0.65214 0.60232 0.55644 0.51506 0.47595 0.44171 0.4118 0.38425 157.18 151.48 145.78 140.33 134.66 129.6 125.14 120.8 21.949 22.775 23.667 24.584 25.62 26.62 27.568 28.56 15.5 16 16.5 17 17.5 18 18.5 19 0.93802 0.94382 0.94904 0.95273 0.95877 0.96841 0.96758 0.9713 0.36017 0.33428 0.30997 0.29329 0.28007 0.25988 0.24104 0.22573 117 112.1 107.19 104.5 102.72 98.04 93.457 89.886 29.487 30.777 32.186 33.015 33.586 35.19 36.915 38.382 19.5 20 20.5 21 21.5 22 22.5 23 0.98309 0.97834 0.98244 0.99083 0.99044 0.99444 1.0028 1.0036 0.20851 0.19917 0.19738 0.18493 0.1765 0.17439 0.16526 0.15563 85.214 83.487 84.802 81.391 79.53 80.408 77.931 75.02 40.487 41.324 40.683 42.388 43.38 42.906 44.27 45.988 23.5 24 24.5 25 1.0056 1.0051 1.0055 1.007 0.145 0.13513 0.12632 0.11921 71.417 67.968 64.862 62.462 48.308 50.759 53.19 55.233

Table-3 槽線寬度為15mm f (GHz) 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 beta/k0 1.0008 0.9815 0.9496 0.9389 0.9251 0.922 0.9188 alpha/k0 1.2625 1.1095 0.9745 0.8602 0.7608 0.6737 0.599 alpha 132.2954 127.8938 122.5442 117.18 111.6126 105.9043 100.431 L_min(mm) 26.078 26.9755 28.1531 29.4419 30.9105 32.5766 34.3519 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12 0.9218 0.9238 0.9297 0.9354 0.9421 0.9532 0.9514 0.971 0.5334 0.4757 0.4261 0.3848 0.3502 0.3115 0.2913 0.2599 95.0141 89.7198 84.84 80.6466 77.0601 71.8124 70.2072 65.3686 36.3104 38.4531 40.6648 42.7792 44.7702 48.0419 49.1403 52.7777 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 0.9628 0.983 0.9718 0.9877 0.9825 1.0036 0.9962 1.0097 0.2372 0.2094 0.2045 0.1871 0.1808 0.1703 0.155 0.1366 62.1502 57.0442 57.8675 54.9039 54.9456 53.545 50.3423 45.8227 55.5106 60.4794 59.6189 62.8371 62.7893 64.4318 68.5309 75.2902

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