中二年級試卷連答案 2013

(1)

1

第十一屆“走進美妙的數學花園”全國青少年數學論壇

數學解題技能展示

八年級初賽 A 卷

1.方程 1 2 2 4 8 2 _ _x  x 的解是 . 【答案】x4. 【解析】去分母化簡，得 2

2

8

0 x



x

 

.解得x4或x2(舍去). 2.記

5 1





的整數部分為 a，小數部分為 b，則 2 2

1

2 a



b



ab



. 【答案】5. 【解析】因為

5 1

1



3

5



2

1



5 1



2

2 5 1







 



，





1 2,

5 1

2 a



b





，所以 2 2

1 



1



 

1



4

1

4 5 1

5 1

4 1 5

2

2 a



b



ab

 

b b

  

 

   

. 3.已知△ABC 中，



A



45 

,



B



30 

,

AD

是中線，則ADC的大小是 . 【答案】45. 【解析】如圖，作CE AB，利用直角三角形和等腰三角形的性質，易知ADC45. 15° 15° 30° 45° 45° 30° 30° x x x x x D A E B C 4.如圖，將邊長為 4 cm 的正方形 ABCD 沿其對角線 AC 剪開，再把△ABC 沿著 AD 方向平移，得到△ ' ' ' A B C ，若兩個三角形重疊部分的面積是 4cm2 ，則△ABC 移動的距離等於 cm. 【答案】2. 【解析】設AA'CC'x，則

CF



x B C

,

'

 

4 x

. 平行四邊形CFA E' 的面積x



4x



4，解得x2. 即△ABC 移動的距離等於 2cm. 5.在直角坐標系中，有三個點 A(－4，－2)，B(0，2)， C(a，a)，當△ABC 的周長最短時，實數 a 的 值是 . 【答案】



1

. 【解析】作點 B(0，2)關於直線

y



x

的對稱點B' 2, 0

 

，當點 C 為直線AB'與直線

y



x

的交點，即線段

AB

'

的中點



 1, 1



時，△ABC 的周長最短. A' F E D C' C B' A D C B A

(2)

2 6.從邊長為 1 的正方形的中心和頂點這五個點中，隨機選取兩點.兩點之間的距離為 2 2 的概率是 . 【答案】

2

5

. 【解析】五個點隨機選取兩點，有 10 種選法，其中兩點之間距離為 2 2 的選法有 4 種，故所求概率為

2

5

. 7.已知對任意的正整數n，



1 

2



n都能寫成

m



m



1

的形式，其中m是正整數.則當n4，對應的m . 【答案】288. 【解析】



1 

2

 

4

 

3 2 2



2



17 12 2





289 

288

，故m288.

8.已知方程 x4－2ax2_－x＋a2_{－a＝0 有兩個實根，則實數 a 的取值範圍是 .}

【答案】 1 3 4 a 4    . 【解析】方程左邊分解因式，得(x2 ＋x＋1－a)(x2 －x－a)＝0. 若 x2 ＋x＋1－a＝0，當 a＜3 4時，該方程無實根；當 3 4 a 時，該方程有兩個實根. 若 x2 －x－a＝0，當 a＜ 1 4  時，該方程無實根；當 1 4 a  ，該方程有兩個實根. 因此，當 1 3 4 a 4    時，原方程恰有兩個實根. 9.如圖，在“飛鏢”形 ABCD 中，

AB



4

3

，BC8，ABC30，則 AD= . D C B A D E F C B A 【答案】2. 【解析】延長

AD

，交BC於點

E

，作

EF



AB

，垂足為

F

. 由    A B 30 ，知△ABE 是等腰三角形，

AE



BE

，

AF



BF



2 3

. 由△BEF 是含30角的直角三角形，知

EF



2,

BE



4

，從而CE4. 由△CDE 中  C 30 ，CED    A B 60， 知△CDE 是含30角的直角三角形，

1

2

2 DE



CE



. 從而

AD



AE



DE



BE



DE



2

. 10.已知

a



b

,

a



b



2

，則

b

a

b

a





2 2 的最小值是 . 【答案】2. 【解析】設

a

 

1 t b

,

 

1 t

，其中t0.

(3)

3 則



 







2 2 2 2 2

₁

2

₁

1

2

2 t

t

a

b

t

a b

t



 





_



_

_{ }



. 當且僅當

t



0,

a

 

b

1

時，

b

a

b

a





2 2 的最小值是 2. 11.已知恒等式 2 2 ( 3)( 2) 3 2 x x A B C x x x x x x   _ _ _     ，則 ABC= . 【答案】 32 225  . 【解析】去分母，得 2 2 ( 3)( 2) ( 2) ( 3) x   x A x x Bx x Cx x . 當 x  0 時，2   6A，得 1 3 A  ； 當 x  3 時，8  15B，得 8 15 B ； 當 x  2 時，8 10C，得 4 5 C ． 故 ABC= 32 225  .

12.如圖，四邊形 ABCD，四邊形 BEFG，四邊形 PKRF 均是正方形，若正方形 BEFG 的邊長是 2，則

△DEK 的面積是 .

【答案】4.

【解析】如圖，由DB GE// //FK ，知

S

__DEK



S

__DGE



S

__EGK



S

__BGE



S

__EGF



S

_BEFG



4

.

13.設

a b

,

是不全為零的相異實數，已知方程 2

0 x



ax b

 

的兩根恰好為

a b

,

，則ab ．【答案】



2

. 【解析 1】由條件知 2 2 2

0,

a

b

ab b

 

 







 



即





2

2 ,

1

0. b

a

b b

a

  





  



若b0，則a0，與已知條件矛盾. 故b0，b  a 1 0，這表明方程 2

0 x



ax b

 

有一根為 1，即a1或b1. 因 2

2

0 b

 

a



，故只能是a1，從而b 2. 所以ab



2

. 【解析 2】由條件知 2 2 2

0,

a

b

ab b

 

 







 



即





2

2 ,

1

0. b

a

b b

a

  





  



若b0，則a0，與已知條件矛盾. 故b0，b  a 1 0，



2 a

2



a



1 

0

，解得a1或

1

2 a

 

.

(4)

4 從而

1,

2 a

b





  



或

1 ,

2

1

2 a

b

  





  



（舍去）. 故

a

 b

1 ,





2

，ab



2

. 14.若實數

m

,

n

,

p

,

q

滿足條件

m



n



p



q



22

，

mp

 nq



100

，則



mn



np



pq



qm



的值是 . 【答案】220. 【解析】由已知條件消去

p q

,

，得

m

p



100

，

n

q



100

，



100 

100 

22 n

m

n

m

，





1

100 



22 







 



mn

n

m

，

n

m

mn





100

22

1

，所以



mn



n p



pq



qm







100

100 m

n

m

n











_



_



_



_











2

1

100

100 m n

n

1 m

n

mn



 







_



_{ }



_{ }



_



 







2

1

22

100 m n

mn

m

n

m n















_



_

_

_

_













2 2

100

22 



，故原式=220. 【說明】上述解答過程中三處 2

100

應改為 100. 15.已知正整數

x y z s

, , ,

滿足x  y z s xy, zs，且存在一個邊長為整數的直角三角形，其面積為

4xy

.試寫出一組這樣的正整數



x y z s, , ,



： . 【答案】如



2, 3,1, 6



，全部答案為



2 , 3 , , 6n n n n



或



3 , 2 , , 6n n n n



，其中n為任意正整數. 【解析】由 2

xz



yz



z



zs



xy

，得 2





0 z  xy zxy . 因該方程有整數解

z

，故

 



x



y



2



4 xy

為完全平方數. 記





2 2

4 x



y



xy



k

，其中k為正整數，且

k

 

x

y

. 不妨設

x y

,

互質 ( 否則 , 假定

x



mx y

',



my

',

其中

m x y

, ', '

均為正整數， m

 

x y, ，則





2 2 ' ' 4 ' ' m  x y x y    _   _為完全平方數，