單元12-三角比的性質

218

2015年數學家發現一個新的可以無縫密鋪平面的凸 五邊形，如圖1所示。我們不禁想了解這個凸五邊形的 邊長、角度與對角線的長度；而用來探討這些問題的工 具－三角形的邊角關係，正是本單元學習的重點。

三角比的性質

12

▲ 圖1

甲

三角形面積公式

國中學過：已知三角形的「兩邊長及其夾角」時，三角形就會確定，那麼該 如何求此三角形的面積呢？如 圖 2 所 示 ， 在3ABC中 ， 不 論3ABC的 A+ 為銳 角、直角或鈍角， AB 邊上的高都等於 sinb A 。 A + 為銳角 + 為直角A + 為鈍角A 高=bsinA 高=bsin90

c

sin b A = 高=bsin^180

c

-Ah sin b A = ▲ 圖2

12

三角比的性質

219

因此， ABC3 的面積可表為 ABC 3 的面積 c bsinA bcsinA 2 1 2 1 2 1 # # = ^底 高h= ^ h= 。 用同樣的方法可得 ABC 3 的面積 casinB absinC 2 1 2 1 = = 。 將三角形面積公式整理如下。 若a,b和c分別表 ABC3 三內角 A+ , + 和 CB + 的對邊長，則 ABC

3 的面積 bcsinA casinB absinC

2 1 2 1 2 1 = = = 。 三角形面積公式 此後，只要知道三角形的「兩邊長及其夾角」，便可用以上公式算出此三角 形的面積。 求下列各 ABC3 的面積： 1 AC=10, BC= ,8 + =C 135

c

。 2 AC= , BC2 = , C1 + =40

c

。（四捨五入到小數點以下第1位） 解 利用三角形面積公式，得

1 ABC3 的面積 absinC sin 2 1 2 1 8 10 135 # # #

c

= = 2 1 8 10 2 2 20 2 # # # = = 。

2 ABC3 的面積 absinC sin sin 2 1 2 1 1 2 40 40 # # #

c

c

= = = 。 利用計算機，可得 ABC3 的面積=sin 40

c

.0 6. 。

例題

1

220

隨堂練習

求下列各 ABC3 的面積： 1 BC= ,4 AB= ,3 + =B 120

c

。 2 AB= ,5 AC= ,6 + =A 37

c

。（四捨五入到整數位） 面積公式也可以解決較為複雜的問題。 如 右 圖 所 示 ， 已 知 AB=5, AC= 4, CAD 30

c

+ = , +DAB=90

c

，求 AD 的 長度。 解

因為 ABC3 面積= ABD3 面積+ ACD3 面積，所以 sin AB AC 2 1 90 30 # # # ^

c

+

c

h sin sin AB AD AC AD 2 1 90 2 1 30 # # #

c

# # #

c

= + ， 即 AD AD 2 1 5 4 2 3 2 1 5 1 2 1 4 2 1 # # # = # # # + # # # ， 解得 AD 7 10 3 = 。

例題

2

在 3ABC 中 ， 已 知 AB=1 , AC=2 , A 120

c

+ = ，且 A+ 的內角平分線交 BC 於D，求 AD 的長度。

隨堂練習

12

三角比的性質

221

乙

正弦定理

將三角形面積公式 ABC

3 的面積 bcsinA casinB absinC

2 1 2 1 2 1 = = = 同除以 abc 2 1

，得 sin sin sin

a A b B c C = = ，即

sinA sin sin

a B b C c = = 。 事實上，上述這個比值恰等於 ABC3 外接圓的直徑，這個性質稱為正弦定理。 若a,b和c分別表 ABC3 三內角 A+ , + 和 CB + 的對邊長，且R表其外接圓 半徑，則

sinA sin sin

a B b C c R 2 = = = 。 正弦定理 證明： 不失一般性可設 A+ #+B#+C。因為

sinA sin sin

a B b C c = = ，所以只需要證明 sin A a R 2 = 。 將 ABC3 依銳角、直角、鈍角三種三角形來討論：作 ABC3 的外接圓，令其半徑 為R，如圖3所示。 ▲ 圖3 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形

222

過C點作直徑 CD 並連接 BD 。因為 CD 為直徑，即 CBD+ =90

c

，所以 BCD3 為 直角三角形，且 sin D CD BC R a 2 = = 。 又因為 A+ =+D（同弧所對的圓周角相等），所以 sinA sinD R a 2 = = 。故 sin A a R 2 = 。 因此，只要知道三角形的「某邊長及其對角的度數」，就可以利用正弦定理 求出此三角形的外接圓半徑。 1 在 ABC3 中 ， 已 知 A+ =45

c

, + =B 60

c

, BC= 2 ， 求 AC 的 長 度 與 ABC 3 的外接圓半徑。 2在 ABC3 中，已知 A+ =25

c

, BC= ,1 AC= 2，求 B+ 的角度。（四捨 五入到小數點以下第1位） 解 1 利用正弦定理，得 sin sin AC R 45 2 60 2

c

=

c

= ， 解得 sin sin AC 45 2 60 2 2 2 2 3 3 #

c

c

= = = ， 且 R=1，即外接圓半徑為1。 2 利用正弦定理，得 sin25 sin B 1 2

c

= ，

例題

3

12

三角比的性質

223

即 sinB=2sin25

c

。利用計算機，依序按下 2 25 即可得+ .B 57 7.

c

。

隨堂練習

在 ABC3 中，已知 A+ =30

c

_,+ =C 45

c

_, BC= 2，求 1 AB 的長度。　　2 3ABC的外接圓半徑。 由正弦定理

sinA sin sin

a B b C c = = 可知

: : sin :sin :sin

a b c= A B C， 即三角形的三邊長比等於其對應的三內角正弦值之比。 在 ABC3 中，已知+A:+B:+ =C 1 4 1: : ，求 : :a b c 。 解 因為 ABC3 三內角和為180

c

，所以 A 1 4 1 1 180 30 #

c

c

+ = + + = , B 1 4 1 4 180 120 #

c

c

+ = + + = , C 1 4 1 1 180 30 #

c

c

+ = + + = 。 利用正弦定理，得

: : sin :sin :sin sin :sin :sin

a b c= A B C= 30

c

120

c

30

c

: : : : 2 1 2 3 2 1 1 3 1 = = 。

例題

4

224

隨堂練習

在3ABC中 ， 已 知 BC=9， 且sinA:sinB:sinC=3 5 4: : ， 求3ABC的 周 長。 測量上常用方位來描述物體所在的位置。除了東南 西北四個主要方位之外，將其他描述法舉例介紹如下： 在圖4中， 1 P點位於O點的北 30

c

東（或東 60

c

北）； 2 Q點位於O點的北 75

c

西（或西15

c

北）； 3 R點位於O點的南 45

c

東（或東南方）。 我們可利用正弦定理來解決測量的應用問題。 有一艘船從碼頭O出發，往東北方前進10公里到A地後，再往正西方前 進至B地，於B地停船測得碼頭在南 60

c

東。 1 選出 ABO+ _{的度數。　(A) 30}

_c

_{(B) 45}

_c

_{(C) 60}

_c

_{(D) 75}

_c

。 2 試求B地與碼頭的距離。 3 問：船從A地到B地的航程中與碼頭最近的距離為多少？ 解 1 依題意畫圖，可得 ABO+ =30

c

。故選(A)。 2 在 OAB3 中，利用正弦定理，得 sin sin BO 30 10 45

c

=

c

， 解得 BO=10 2。故B地與碼頭的距離10 2 公里。 3 當船航行至C點（ OC= AB ）時與碼頭距離最近，此時 sin OC 10 45 10 2 2 5 2 #

c

# = = = 。 故船從A地到B地的航行中與碼頭最近的距離為 5 2 公里。

例題

5

▲ 圖4

12

三角比的性質

225

隨堂練習

由南向北行駛的汽車上，在A地看到西北方有一座摩天輪，車子繼續行 駛10公里至B地後，摩天輪變成在南 75

c

西的方位，試求B地與摩天輪 的距離。

丙

餘弦定理

國中學過：已知直角三角形的兩股長時（此時兩股夾 90

c

），可利用畢氏定 理求得斜邊的長度；但如果是一般的三角形，只知道「兩邊長及其夾角」時，要 怎麼求第三邊的長度呢？ 先討論 A+ ，以銳角三角形ABC為例，如圖5所示， sin CD=b A, AD=bcosA。 因此， cos BD= -c b A。 在直角三角形BCD中，利用畢氏定理，得 sin cos a2=^b Ah2+^c-b Ah2

sin cos cos

b2 2A c2 2bc A b2 2A

= + - + sin A+cos A cos

b2 2 2 c2 2bc A = _ i+ -cos b2 c2 2bc A = + - 。 至於其他的情形，以上的推論亦成立，證明請參考本書的附錄。 利用同樣的方法討論 B+ 與 C+ 可得 cos b2=c2+a2-2ca B, c2=a2+b2-2abcosC。 這就是餘弦定理。 ▲ 圖5

226

若a,b和c分別表 ABC3 三內角 A+ , + 和 CB + 的對邊長，則 cos a2=b2+c2-2bc A, cos b2=c2+a2-2ca B, cos c2=a2+b2-2ab C。 餘弦定理 當 C+ 是 直 角 時 ， 即 cos C=0， 代 入 餘 弦 定 理c2=a2+b2-2abcosC 可 得 c2=a2+b2。這就是國中學過的畢氏定理。 當我們知道三角形的「兩邊長及其夾角」時，可藉助餘弦定理來求得第三邊 的長度。 在 ABC3 中，已知 AB= ,8 AC= ,3 + =A 60

c

，求 BC 的長度。 解 利用餘弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得 cos BC2=32+82-2# # #3 8 60

c

9 64 24 49 = + - = ， 解得 BC=7。

例題

6

在 ABC3 中，已知 AB= ,3 AC= ,5 + =A 120

c

，求 BC 的長度。

隨堂練習

12

三角比的性質

227

餘弦定理的三個等式也可移項寫成 cos A bc b c a 2 2 2 2 = + - , cos B ca c a b 2 2 2 2 = + - , cos C ab a b c 2 2 2 2 = + - 。 因此，當已知三角形的「三邊長」時，就可以利用這些等式計算出各內角的 餘弦值，並進而求得其角度。 1 在 ABC3 中，已知 AB= ,8 BC= 13, AC= 7，求 A+ 的度數。 2 在 ABC3 中，已知 AB=5, BC=6, AC=7，求最大角的度數。（四 捨五入到小數點以下第1位） 解 1 利用餘弦定理，得 cos A bc b c a 2 2 7 8 7 8 13 2 1 2 2 2 2 2 2 # # = + - = + - =- 。 故 A+ =120

c

。 2 因為 AC 為最長的邊長，所以其對角 B+ 為 最大角。利用餘弦定理，得 cos B ca c a b 2 2 5 6 5 6 7 5 1 2 2 2 2 2 2 # # = + - = + - = 。 利用計算機，可得+ .B 78 5.

c

。

例題

7

1 在 ABC3 中，已知 AB= ,7 BC= ,5 AC_{= ，求 C}3 + 的度數。 2 在 ABC3 中，已知 AB=5, BC=6, AC=7，求最小角的度數。（四 捨五入到小數點以下第1位）

隨堂練習

228

餘弦定理也可以解決圖形比較複雜的情形。

如右圖所示，已知 AB= ,3 AC= ,7 BD= ,3

CD=5，求 AD 的長度。

解

在 ABC3 與 ABD3 中，分別利用餘弦定理來求 cos B 的值： 1 在 ABC3 中，可得 cos B AB BC AB BC AC 2 2 3 8 3 8 7 2 1 2 2 2 _{2 2 2} # # # # = + - = + - = 。 2 在 ABD3 中，可得 cos B AB BD AB BD AD AD AD 2 2 3 3 3 3 18 18 2 2 2 _{2 2} 2 2 # # # # = + - = + - = - 。 由12得 AD 2 1 18 18 2 = - ，解得 AD=3。

例題

8

在 ABC3 中，已知 AB= ,5 BC=6, AC=7，且M 為 BC 邊上的中點，求中線 AM 的長度。

隨堂練習

來看引言的應用問題。

12

三角比的性質

229

在2015年數學家再度發現可以無縫密鋪平面 的凸五邊形，如右圖所示。選出正確的選項。 1 AD=2 2 2 BD=2 3 3 BAD+ =60

c

4 ABD+ =30

c

5 此五邊形的面積為 5 3 3+ 。 解 1 連接 AD ，在 ADE3 中，利用畢氏定理，得 AD = 22+22 =2 2。 2 連接 BD ，在 BCD3 中，利用餘弦定理，得 cos BD2=42+22-2# # #4 2 60

c

16 4 16 2 1 # = + -12 = ， 因此 BD= 2 3。 3 因為 ADE3 為等腰直角三角形，所以 EAD+ =45

c

，可得 BAD 105

c

45

c

60

c

+ = - = 。 4 在 ABD3 中，利用正弦定理，得

sin ABD sin 2 2

60 2 3

c

+ = ， 解得 sin ABD sin

2 3 2 2 60 2 3 2 2 2 3 2 2 #

c

# + = = = 。 因此 ABD+ = 45

c

或135

c

（因為135

c

+60

c

2180

c

，所以135

c

不合）。

例題

9

230

5 五邊形的面積 = ADE3 的面積+ ABD3 的面積+ BCD3 的面積 sin sin 2 2 2 2 1 2 2 6 2 60 2 1 4 2 60 # # # #

c

# # #

c

= + ` + j + 2 3 3 2 3 = +` + j+ 5 3 3 = + 。 故選1235。 荷蘭版畫藝術家艾薛爾的作品「貝殼與海星」運 用 了 可 以 無 縫 密 鋪 平 面 的 凸 五 邊 形 ， 如 右 圖 所 示。試求 A+ 的度數。

隨堂練習

在實際測量上，當兩點的距離受限於地形影響而無法直接測得時，可適當地 選取第三點，再利用餘弦定理求得兩點之距離。 湖的兩端各有一座電塔A與B，因架設電纜 需測出這兩座電塔的距離。今在C點成立觀 測站，測得 AC=80公尺， BC=50公尺， C 60

c

+ = 。試求電塔A與B的距離。

例題

10

12

三角比的性質

231

山丘的兩端各有城市A與B，因開鑿隧道需 測量出這兩座城市的距離，今在C點成立觀 測站，測得 AC=30公里， BC=50公里， C 120

c

+ = 。試求城市A與B的距離。

隨堂練習

解 如圖所示，在 ABC3 中，利用餘弦定理，得 cos AB2= AC2+BC2-2#AC#BC# C cos 802 502 2#80#50# 60

c

= + -4900 = 。 故電塔A與B的距離 AB= 4900=70（公尺）。 由兩個不同位置觀測某物的仰角以求其高度亦是常見的問題。 自塔的正東方A點測得塔頂仰角為 30

c

；而在 塔的正南方B點測得塔頂仰角為 45

c

。已知A 與B相距50公尺，且設塔高為h公尺。 1 選出 OA 的長度。 (A) _h 3 3 　　(B) h 　　(C) 2 　　(D)h 3 。h 2 求塔高h的值。 3 已知在A,B兩點連線上之C點測得塔頂仰角為 45

c

，求B,C兩點的距 離。

例題

11

232

解 1 在 PAO3 中，因為 tan OA h 30

c

= ，所以 tan OA h h 30

c

3 = = 。 故選(D)。 2 在 PBO3 中，因為 tan OB h 45

c

= ，所以 tan OB h h 45

c

= = 。 在 OAB3 中，利用畢氏定理，得 OA OB h h 502 3 2 2 2 2 = + =` j + ， 化簡解得 h= 25。 故塔高為25公尺。 3 在 PCO3 中， OC=h=25。在 OAB3 中， cos ABO AB OB 50 25 2 1 + = = = 。 在 OBC3 中，利用餘弦定理，由 cos OC2=OB2+BC2-2#OB#BC# +ABO 可得 BC BC 25 25 2 25 2 1 2 2 2 # # # = + - ， 解得 BC= 25。 故B,C兩點的距離為25公尺。

12

三角比的性質

233

隨堂練習

空中的消防直升機發現：其正西方俯角 60

c

的地 面A處有火警發生，而在其正南方俯角 30

c

的地面 B處有消防車。已知直升機的飛行高度為300公 尺，求A,B之間的距離。 例題11中的 POAB 稱為三角錐。當三角錐的四個面為正三角 形時，稱為正三角錐（或稱正四面體），如圖6所示。有關正四 面體的更多介紹，將於第四冊課程會有更進一步的說明。

丁

三角比的應用

（一）海龍公式 國中學過：已知三角形的「三邊長」時，三角形就會確定。因此，三角形的 面積應可由其三邊長計算得到，這就是有名的海龍公式，推導如下。 在 ABC3 中，若a,b,c分別表示三內角 A+ , + ,B + 的對邊長，C 令 s a b c 2 = + + ，則 ABC 3 的面積 bcsinA bc cos A 2 1 2 1 2 = = -bc bc b c a 2 1 2 2 2 2 2 = -f + - p （餘弦定理） b +c -a bc 4 1 2 2 2 2 2 2 = ^ h -_ i bc b c a bc b c a 2 + + - 2 - - + 4 1 2 2 2 2 2 2 = _ i_ i ▲ 圖6

234

a -a -b c b c 4 1 2 ₂ 2 2 = a^ + h ka ^ - h k b c a b c a a b c a b c 4 1 = ^ + + h^ + - h^ + - h^ - + h a b c b c a a b c a c b 2 # 2 # 2 # 2 = ^ + + h ^ + - h ^ + - h ^ + - h s s a s b s c = ^ - h^ - h^ - h 。 若a,b和c分別表 ABC3 三內角 A+ ,+ 和 CB + 的對邊長，令 s a b c 2 = + + ， 則 ABC 3 的面積= s s^ -a sh^ -b sh^ -ch 。 海龍公式 因此，只要知道三角形的「三邊長」，便可利用海龍公式求此三角形的面 積。 求三邊長分別為9,10,17的三角形之面積。 解 令 s 2 9 10 17 18 = + + = 。利用海龍公式，得 三角形的面積= s s^ -a sh^ -b sh^ -ch 18# 18 9 # 18 10 # 18 17 18# # #9 8 1 36 = ^ - h ^ - h ^ - h= = 。 故三角形的面積為36。

例題

12

求三邊長分別為4,13,15的三角形之面積。

隨堂練習

12

三角比的性質

235

（二）直線的斜角 接下來，我們介紹直線的斜角與其三角比的應用。 對坐標平面上不平行也不垂直x軸的直線L，以x軸正向為始邊，逆時針或 順時針旋轉至直線L，且旋轉的角度不超過90度；這個旋轉的有向角（逆時針旋 轉為正，順時針旋轉為負）稱為直線L的斜角。例如圖7(a)中，直線 L₁的斜角為 30

c

；而圖7(b)中，直線 L₂的斜角為 30-

c

。 ▲ 圖7 (a) (b) 當直線L為水平線時，規定其斜角為 0

c

，且當直線L為鉛直線時，規定其斜 角為 90

c

。因此，直線的斜角 i 之範圍為 90-

c

1 #i 90

c

。 直線斜角的概念可連結之前學過的直線斜率。 ▲ 圖8 觀察圖8，可得直線L的斜率 tan m x x y y AC BC 2 1 2 1 i = -= = 。 也就是說，當直線L的斜角為 i （i!90

c

）時，其斜率等於 tan i 。例如：若直 線 :L y= 3x的斜角為 i 時，則 tani = 。3 圖8雖僅畫出 i 為銳角（ 0

c

1 1i 90

c

）的情形，但事實上，當 90-

c

1 #i 0

c

時，這個性質仍然成立。（請參見附錄）

236

來看一題利用這個性質求兩直線夾角的範例。 在坐標平面上，已知兩直線L y₁: = 3x與L y₂: =- + 的斜角分別為x 1 1 i 與i ，求₂ 1 tani 與 tan₁ i 的值。　　　　2₂ 直線 L₁與 L₂夾角的度數。 解 1 依題意，直線 L₁與 L₂的斜率分別為 3 與 1- 。又因為直線斜角的 tan 值與其斜率相等，所以 tani =₁ 3, tani =- 。₂ 1 2 由1可得，兩直線 L₁與 L₂的斜角分別為i =₁ 60

c

與i =-₂ 45

c

，即兩直 線 L₁與 L₂與x軸所夾的銳角分別為 60

c

與 45

c

，如下圖所示。 由圖可知，兩直線的其中一個夾角為 180

c

45

c

60

c

75

c

i = - - = ， 而另一個夾角為 180

c

-75

c

=105

c

。 故 L₁與 L₂的夾角為 75

c

或105

c

。

例題

13

例題13中直線的斜角為特殊角，當直線的斜角非特殊角時，可以借助計算 機的反正切鍵來計算斜角。

12

三角比的性質

237

隨堂練習

在坐標平面上，已知兩直線L x₁: +3y=0與L x₂: -2y=0的斜角分別為 1 i 與i ，求₂ 1 tani 與 tan₁ i 的值。₂ 2 直線 L₁與 L₂夾角的度數。（四捨五入到整數位）

12

238

一、觀念題

在 ABC3 中，若a,b,c分別表示三內角 A+ , + ,B + 的對邊長，以下各小題C 對的打「○」，錯的打「×」。 1 當 A+ =20

c

時， ABC3 的面積 absin 2 1 20

c

= 。 2 當+A:+B:+ =C 2 3 4: : 時， : :a b c= 2 3 4: : 。 3 當3ABC的外接圓半徑為5, + =A 30

c

時， a= 。5 4 當 A+ 為鈍角時， a21b2+c2。 5 當 a= ,5 b= ,6 c=7時， ABC3 為銳角三角形。

二、基礎題

在 ABC3 中，已知 AB= ,8 AC=12, + =A 60

c

，求 1 ABC3 的面積。 2 A+ 的內角平分線長。 在 ABC3 中，已知 AB=2, + =A 60

c

, + =B 75

c

_{，求 BC 的長度及 ABC}3 的 外接圓半徑。

239

在 ABC3 中，已知+A:+B:+ =C 3 4 5: : ，求AC BC 。: 在 ABC3 中，已知 AB= ,4 AC= ,5 cos A 8 1 = ，求 BC 的長度。 在 ABC3 中，設 AB= ,5 BC= ,8 AC=7。 1 求 B+ 的度數。 2 令M為 BC 邊上的中點，求中線 AM 的長度。 賴因哈特（K. Reinhardt,1895∼1941）為第一位 發現可以用來無縫密鋪平面的凸五邊形之數學家； 他 總 共 發 現 五 種 ， 其 中 一 種 的 示 意 圖 如 右 。 已 知 AE= DE= 1，且 AB= BC=CD ，求 AB 的長度。

240

1 當測得 AB=17_{時，求虎口張開角度 i 的度數。} 2 當虎口張開的角度i = 60

c

時，求 AB 的長度。 求三邊長分別為5,7,8的三角形之面積。 從A地看見某建築物在北15

c

東；向北前進20公里至B地後，發現建築物在 東 60

c

南。試求A地與建築物的距離。 如 右 圖 所 示 ， 在 河 邊 A , B 兩 處 分 別 測 得 DAC 30

c

+ = , +DBC=60

c

。已知A,B相距150 公尺，B,C相距50公尺，求C,D的距離。

241

求坐標平面上兩直線L x₁: - 3y= 與2 L x₂: - = 夾角的度數。（兩解）y 5

三、進階題

從山頂上觀測山腳下兩地A與B，測得A地在山的正西方且俯角為 45

c

；B 地在山丘的正南方且俯角為 60

c

。已知A與B相距500公尺，求山高。 在 ABC3 中， AB= ,5 AC=4，且 A+ 的內角平分線 交 BC 於D，如右圖所示。 1 求面積比DABD:DACD及邊長比BD CD 。: 2 已知 BC= 6，求 AD 的長度。 如 右 圖 所 示 ， 設3ABC為 一 直 角 三 角 形 ， 且 四 邊 形 ACDE 為正方形。已知 AB= ,4 BC= 3，求 1 cos BAE+ 的值。 2 BE 的長度。 3 ABE3 的面積。

242

某校欲在校園內設置無線網路基地臺且地點必須與A,B,C三地等距離。已 知A,B,C三地彼此間的距離分別為 AB=70公尺， AC=80公尺與 BC=90 公尺，求 1 cos C 的值。 2 基地臺與三地的距離。 探險隊從沉船上發現一只手錶，僅存鏽蝕的時針痕跡及 12點的刻度，如圖所示。利用直尺量得：手錶中心點與 12點的刻度之距離為5，鏽蝕的時針長度為3且12點的刻 度與時針尖端之距離為7。試求手錶停止的時間。