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師資培育生之小數除法概念及其相關教學知識的現況探究

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Academic year: 2021

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國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系 碩 士 班 碩 士 論 文

指導教授:謝闓如 博士

師資培育生之小數除法概念及其相關

教學知識的現況探究

研究生:吳亭頤 撰

(2)

I

摘 要

本研究旨在探討師資培育生對於小數除法教學之相關知識的瞭解,主 要目的有三:(一)分析師資培育生的小數除法概念,(二)探討師資培育生對 於國小學生在小數除法學習的瞭解情形,(三)調查師資培育生在小數除法 教學知識的理解情形。本研究採問卷調查法,以自編問卷詴題進行資料蒐 集,研究對象為全國五所教育大學 462 位四年級師資培育生,主要研究發 現有: 一、師資培育生對於餘數為一位小數的問題多能成功解題。在除法直式計 算過程中,部分師資培育生不瞭解被除數與除數進行相同的單位量轉 換後,商不變,但餘數會隨之改變的現象;甚至認為移動小數點之目 的只為方便計算,而不瞭解其數學意義。 二、多數師資培育生瞭解學生的小數除法學習發展情形,但仍有少數師資 培育生無法明確指出學生解題過程中的錯誤,或不清楚進行小數除法 運算時,學生普遍會遇到的困難。 三、多數師資培育生在安排小數教學序列時,忽略相關概念之先後順序及 學生的學習發展程序;部分師資培育生採取以口訣或算則方式進行教 學。 四、師資培育生在開放式問題的填答意願低,答題情形亦不甚理想;部分 師資培育生描述其想法及教法時,出現表達不完整、以簡略字詞敘 述,或以程序性知識回答的情況。 研究結果顯示師資培育生在小數除法概念、對學生答題過程的解讀及 教學相關知識皆有需要加強的部分,希望此議題能為小學師資培育機構提 供一些建樹。 關鍵字:小數除法、師資培育生、教學知識

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II

A study of Preservice Teachers’

Concepts and Knowledge of

Teaching in Decimal Division

Abstract

The purposes of this study were to investigate preservice teachers’ concepts and pedagogical knowledge regarding division of decimals. The participants were 462 preservice teachers from five university of education. Self constructed survey instrument was used in this study. The main results were as follows:

1. Most participants had no problem solving long division problems with 1-digit remainder. However, some of them did not understand the meaning of the procedure for the division of decimals long division; they thought moving decimal point during the procedure was only for easy calculation.

2. Most participants have enough knowledge regarding students’ concept development of decimal division. However, some participants could not distinguish the types of errors students made regarding decimal division. These preservice teachers could not identify common problems pupils might have, and were unable to provide further instructions.

3. Most participants could not arrange activities and/or concepts in the correct order. Furthermore, many participants expressed that they would teach long division procedure directly, and ignored the meaning of the algorism.

4. Response rates for opening questions were low, and the correct rate was not adequate. Many participants could not express their thought and/or ideas of teaching efficiently.

The results indicated that these participants did not have sufficient knowledge (concept and pedagogical) in teaching decimal division. Teacher educators might need to pay more attention on this topic.

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III

目 次

第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 6 第三節 研究範圍與限制 ... 6 第四節 名詞解釋 ... 6 第二章 文獻探討 ... 8 第一節 小數教學之相關知識 ... 8 第二節 數學教學專業知能 ... 19 第三章 研究方法 ... 31 第一節 研究架構 ... 31 第二節 研究對象 ... 32 第三節 研究工具 ... 34 第四節 資料蒐集 ... 39 第五節 資料分析 ... 40 第四章 研究結果 ... 43 第一節 全體受詴者的得分情形 ... 43 第二節 小數除法數學知識表現情形 ... 44 第三節 對學習者小數除法認知的知識表現情形 ... 57 第四節 小數除法教學知識表現情形 ... 60 第五章 結論與建議 ... 73 第一節 結果與討論 ... 73 第二節 建議 ... 76 參考文獻 ... 79

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IV 一、中文部分 ... 79 二、英文部分 ... 83 附 錄 ... 88 附錄一 九十八學年度各師資培育機構國小教育學程「普通數學」及 「「「「「國民小學數學教材教法」之必、選修情形 ... 88 附錄二 保留預詴卷之問答題及答題表現 ... 89 附錄三 施測說明 ... 95 附錄四 正式問卷之開放式問題答題示例 ... 96 附錄五 正式問卷 ... 112

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V

表 次

表2-1-1 92年九年一貫課程綱要數學學習領域(94學年度實施) ... 10 表2-1-2 97年九年一貫課程綱要數學學習領域(100學年度實施) ... 11 表2-2-1 國內外學者對數學教師知識的定義 ... 26 表3-2-1 研究樣本表 ... 32 表3-3-1 預詴問卷詴題與小數除法教學之相關知識的雙向細目表 ... 35 表3-3-2 預詴問卷第5題答題分析 ... 36 表3-3-3 正式問卷詴題與小數除法教材分配表 ... 38 表4-1-1 全體受詴者得分情形統計表 ... 43 表4-2-1 小數除法數學知識答題表現:選擇題 ... 45 表4-2-2 小數除法數學知識答題表現:開放式問題 ... 51 表4-3-1 對學習者小數除法認知的知識答題表現:選擇題 ... 57 表4-4-1 小數除法教學知識答題表現:選擇題 ... 61 表4-4-2 小數除法教學知識答題表現:開放式問題 ... 67

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VI

圖 次

圖1-1-1 學生在小數加減計算的解題策略 ... 2 圖2-2-1 數學教師的知識模式圖 ... 24 圖3-1-1 研究架構圖 ... 31 圖3-2-1 師資培育生修習數學教育相關課程科目數 ... 33 圖3-3-1 預詴問卷第5題 ... 36 圖3-3-2 修改後詴題 ... 37 圖4-2-1 直式紀錄 ... 52

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1

第一章 緒論

本研究欲探討師資培育生對於小數除法教學之相關知識較為不足的 概念的理解情形,本章將針對研究動機、研究目的、研究範圍與限制及名 詞解釋逐一說明如下:

第一節 研究動機

日常生活中,處處可見數位化科技產品廣泛應用以滿足人類崇尚便利 性的需求,從傳統至現代,從粗估至精準;例如電氣化產品的溫度或時間 顯示面板,普通計算機除法結果以小數呈現而非分數形式,長度、重量、 容量等測量單位如大賣場的汽水 1.25 公升,報章雜誌的統計圖表,皆可用 小數表示較為準確的數字(教育部,2001);各種型態的交易行為、分析報 告等繁雜數據,乃至於現代化科技如超級電腦、積體電路設計、微製程或 飛彈詴射等一切精密運算過程均可見小數在傳達相關的訊息。由此得知小 數扮演不可或缺的角色,若要適應小數在生活中傳達的資訊,增進相關問 題的解決能力,即需透過數學學習以獲得數學知能;而國小數學教材中, 小數的數概念與運算課程內容分布在三至六年級,不僅延續整數的位值概 念、由分數的意義引入,且重視小數四則運算的熟練度(教育部,2003), 因此小數的概念發展更顯其重要性。 雖然生活中所觀察或使用小數的機會不少,但是學生在小數概念的建 立、數學課程的小數與日常使用的小數之連結仍有待加強,例如汽水1.25 公升、體重55.8公斤,通常以1公升多或接近56公斤代替,對小數部分並不 會特別注意,致使學生在小數學習上常常遇到困難。研究發現學生的錯誤

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2 概念包含報讀小數時,將小數點後的數字視為整數,如12.78讀成「十二點 七十八」(杜建台,1996;陳永峰,1998;劉曼麗,1998);小數點後的位 數愈多其值愈小,如0.3>0.09>0.476(郭孟儒,2002);進行小數加減計算 時,將兩數向右對齊如圖1-1-1(艾如昀,1994;周筱亭,1990;陳文利, 2001;郭孟儒,2002;劉曼麗,2002;簡茂發、劉湘川,1993);小數乘除 運算概念與整數乘除法相互混淆,認為乘變大、除變小(劉曼麗,2002; Fischbein, Deri, Nello & Marino, 1985),及餘數小數點位置的擺放亦不甚瞭 解(劉曼麗,2002)。Hiebert和Wearne (1983)更發現學生無法理解小數與分 數的關係,不知道小數位值是整數位值的延伸,並且認為小數是一個新的 系統,和整數、分數沒有關係等現象。此外,2007年國際數學和科學趨勢 研究(Trends International Mathematics and Science Study, TIMSS)發現,我國 八年級學生在小數四捨五入至百分位問題、分數化成小數或小數化成分數 問題、小數大小比較問題等表現依舊存在國小學生學習小數所可能產生的 錯誤概念(李源順、王美娟、蘇意雯、陳怡仲,2009)。 8-3.74=( ) 3.74+8=( ) 圖1-1-1 學生在小數加減計算的解題策略(劉曼麗,2002,頁345) 學生的生活經驗、整數與分數的學習歷程或概念均可能影響小數概念 的建立。教師必頇對小數學習相關之議題有所瞭解,才能協助學生發展正 確的小數概念獲得;若教師本身的數學知識不足、存在錯誤概念或教學法 不適當,均有可能造成學生在小數學習上的困擾;再者,若教師未具備足 夠的數學專業知識,僅使用解題方法或算則進行補救教學,可能難以提升 學生的學習成效,而這也是教師的教學困難之處(劉曼麗,2002)。

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學生的學習成就與教師的教學模式息息相關,若教師缺乏相關的數學 教學知識,將會影響教學品質與學生的數學認知思考(Boero, Dapueto & Parenti, 1996; Fennema & Franke, 1992)。劉伍貞(1996)歸納 Sutton 和 West、 Head 及 Blosser 等研究得知,教師在教學過程多以講述方式進行,雖然學 生認為教師有足夠的數學學科內容知識,卻表示教師在上課時較少呈現數 學與生活應用或社會發展的關聯(陳美如,2003)。若教師傳遞數學知識的 方式僅只書本內容,鮮少融入生活體驗及運用,所培養出的學生可能不會 將所學知識應用至生活情境中,或是降低對數學學習的興趣;因此具備良 好的數學素養與教學知能是成為數學教師的必要條件,而正確的數學概念 及有效的數學教學之建立,在數學師資培育養成階段是一個非常重要的環 節。 師資培育是教育成功的基石(楊朝祥,2002),教師素質的良窳亦是教 育成功之關鍵。我國1994年通過《師資培育法》後,大幅改變原有的師範 教育制度,一般公私立大學只要符合國小教育學程設立標準,即可培育小 學師資。綜觀現今的小學師資培育制度,師資培育生只要修滿40個教育學 分,便可進入小學教育實習,並有機會成為小學教師。然而依據全國各師 資培育機構在九十八學年度國小教育學程的課程規劃,數學教育相關課程 為「普通數學」及「國民小學數學教材教法」,其中只有四成的師資培育 機構將這兩門科目列為必修課程(如附錄一);在此規劃下,可能會有師資 培育生未曾修過普通數學及國民小學數學教材教法兩科的情況,或者即使 此兩科皆修習也只有4學分的修課經驗。 我 國 在 2008 年 參 加 由 國 際 教 育 成 就 評 量 委 員 會 (The International Association for the Evaluation of Educational Achievement, IEA)主辦,針對中 小學數學師資培育生進行的「數學教師培育跨國研究」(Teacher Education

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and Development Study in Mathematics 2008, TEDS-M 2008)初步調查結果 指出,雖然我國師資培育生的數學成績、數學教學知識成績在十五個參與 國家中分別排名第一及第二,但是結果亦發現受調查者成績落差大,即目 前我國師資培育生的數學與數學教學知識之水準參差不齊,且修習數學教 育科目的機會排名第十三名,明顯落後其他參與國(教育部,2010)。 除了修課機會缺乏外,目前我國教師檢定規則亦沒有評量師資培育生 的數學能力。陳伯璋在九十八學年度師資培育大學主管聯席會議中提出, 國小教育學程的數學教育專門科目明顯不足,而現行教師檢定考詴卻只考 國語文及教育專業科目,缺少對小學教師數學能力的檢定;亦有學者表示 部分大學未設立學力基本測驗數學考科之門檻,使得少數師資培育生學測 考 60 級分,數學考科僅 2、3 級分(陳智華,2009 年 11 月 25 日)。於是一 位即將進入教育現場的師資培育生透過修讀的數學教學相關科目,其所擁 有的數學教學專業知能是否足夠(李源順、邱春根,2007)為一值得深入探 討的議題。 小學數學師資培育在過去許多研究中顯示,師資培育生及在職教師的 數學教學專業知能表現不甚理想(呂玉琴,1998;張英傑,1990;劉好,1991; 鍾靜、譚寧君,1991;Chang, 1997; Thipkong, 1988; Vistro, 1991),且數理 科系學生的數學知識能力普遍優於非數理科系學生(林福來、黃敏晃、呂玉 琴,1992;劉曼麗,2000;簡紅珠,1996)。鍾靜與譚寧君(1991)探討改制 為師範學院第一屆畢業生之數學能力,發現少數師資培育生在算術與統計 圖表方面較弱,數學能力以機械性運算居多且缺乏推理思考的訓練。許秀 玉(2002)分析師資培育生的分數教學相關知識,結果顯示多數師資培育生 能瞭解分數的基本意義,四則運算卻使用背公式的解題技巧;部分師資培 育生能將分數教學序列與課程安排序列相一致,在教學方法、布題能力的

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5 表現則有待加強;多數師資培育生能依據分數問題情境,判斷學生概念發 展的順序,但較無法察覺學生的解題策略。林業泰(2003)研究教師對學生 分數概念的瞭解狀況,指出有教師高估學生學習表現的情形,亦發現教師 若存有錯誤的數學知識,可能會認為學生的錯誤答案是正確的。劉曼麗 (2000)發現師資培育生在整數四則運算、分數加法等概念多能成功解題, 卻不清楚餘數為小數的除法性質以及小數除法算則的數學意義。Thipkong (1988)、Widjaja、Stacey和Steinle (2011)分別研究師資培育生對於正、負小 數在數線單位的瞭解情形,認為在數學師資培育課程應強調在小數的記數 系統是十進位值及負小數的標記位置之概念。Graeber、Tirosh和Glover (1989)探討除數大於被除數的問題情境時,發現部分師資培育生雖能正確 計算,卻受到整數除法的影響致使其認為除數應比被除數小,且存在「結 果變大就使用乘法,結果變小就使用除法」的迷思觀念。經由上述發現, 各研究針對師資培育生在各數學知識領域的表現、在學生數學學習認知的 狀況或解題情形能否瞭解等方面皆提出需要加強之處,亦指出教師若存在 不正確的數學概念,可能難以判斷學生的學習表現。 數學師資培育課程的修習可能會影響師資培育生的數學教學專業,教 師擁有的數學教學知識亦可能影響學生的數學學習成效;儘管師資培育生 的數學教學能力漸受重視,但其與國小學生數學學習認知等相關影響、研 究並未蓬勃發展。另外小數概念在學生學習歷程中產生的困擾亦延伸至國 中階段,甚至是大學,雖然具有小數除法運算能力卻對其數學意義不甚理 解;由此本研究目的主要探討師資培育生在小數除法教學之相關知識較為 不足的概念的理解情形,不討論大多數師資培育生皆已具備之小數除法數 學概念或教學相關知識,期望研究結果為未來的數學師資培育課程提供一 些想法。

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第二節 研究目的

基於研究動機提出本研究的目的,主要探討師資培育生在小數除法教 學之相關知識較為不足的概念的理解情形,包含下列幾項: 一、師資培育生在小數除法數學知識的表現情形。 二、師資培育生對於學習者小數除法認知知識的表現情形。 三、師資培育生在小數除法教學知識的表現情形。

第三節 研究範圍與限制

本研究以九十九學年度就讀國立臺北教育大學、臺北市立教育大學、 國立新竹教育大學、國立臺中教育大學及國立屏東教育大學共五所大學四 年級學生,並且正在修習「國民小學教學實習」課程之師資培育生為研究 對象,探討師資培育生在國小小數除法教學之相關知識較為不足的理解情 形。本研究參考國小數學教材分析-小數的數概念與運算(教育部,2001)、 國小數學課本及國內外文獻的研究,採問卷調查法進行資料蒐集,未進行 個案訪談等其他方式;施測對象僅教育大學之師資培育生,施測工具為自 編問卷,此為本研究較不完善之部分;另在施測時,協助施測者可能因主 客觀因素而影響師資培育生作答,亦為研究者無法控制的部分。基於上述 各條件的限制,本研究所呈現的現象推廣至其他師資培育機構的學生可能 有限。

第四節 名詞解釋

為使本研究中使用的名詞及概念意義明確,茲將界定如下:

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一、小數除法教學之相關知識

本研究所指的小數除法教學之相關知識為教學者在教授小數除法應 具備的相關知識,如小數除法數學知識、對學習者小數除法認知的知識及 小數除法教學知識。

二、小數除法數學知識

教學者在小數除法數學知識包含小數除法的數概念及運算等學科內 容知識。

三、對學習者在小數除法認知的知識

教學者對學習者小數除法認知的知識包含對學習者在小數除法概念 之理解情況,瞭解並分析學習者在學習小數除法認知發展所產生的迷思概 念。

四、小數除法教學知識

教學者在小數除法教學知識包含小數教材知識、教法知識及對課程順 序的瞭解與掌握。

五、師資培育生

本研究之師資培育生係指九十九學年度必修「國民小學教學實習」課 程之四年級學生,於修課期間至國小參加集中實習且實際教學,未來有機 會進入國小現場的儲備教師。

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第二章 文獻探討

根據本研究之研究動機與目的,研究者蒐集國內外與小數教學相關研 究,師資培育生與教師在數學教學知識表現之文獻資料加以整理、分析。 本章分成二節說明之,第一節為小數教學之相關知識,瞭解學生迷思概念 以進行教學;第二節為數學教學專業知能,探討師資培育生與教師在數學 知識及數學教學知識之相關研究。

第一節 小數教學之相關知識

小數是國小數學課程重要概念之一,然而學生在小數學習過程中卻倍 感困擾;教師若存在正確的小數概念,才能有效引導學生學習小數並瞭解 學生學習困難的部分以深入探討。

一、小數的數概念

國小數學課程中的小數知識,其意義可從兩層面著手:一是分數層面 的部分與全體關係(Kieren, 1988),二是整數層面的多單位記數系統(甯自 強,1997)和位值概念(劉曼麗,1998),意即小數的意義是由分數與整數概 念之延伸與統整所建立起來的。從分數的意義來看,當一個單位量被等分 成十份、百份、千份…時,其中的幾份可以小數記之,例如小數0.abc為 分數 1000 abc 的另一種記法,記錄千分之幾的分量。從十進位制記數系統來 看,小數的記數系統承襲了整數的十進位結構與記數規則,亦是以 0~9 十 個數字配合位值概念來記錄,例如小數 bcda. 表示為 a 個 1、b 個 0.1、c 個 0.01 和 d 個 0.001 的總合,即「a.bcda1b0.1c0.01d0.001」,

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b 所在的位置稱為十分位,記錄「0.1」的個數,c 所在的位置稱為百分位, 記錄「0.01」的個數,d 所在的位置稱為千分位,記錄「0.001」的個數(教 育部,2001)。

從學習的角度來看,Hiebert (1992)將小數知識分成三種:(1)符號系統 知識(knowledge of the notation):用符號表示小數,如3.08是小數,3.0.8及

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皆不是小數。(2)運算規則知識(knowledge of the symbol rules):操作小 數運算規則以產生正確答案的知識,例如小數加減要對齊小數點。(3)數量 表 示 知 識 (knowledge of quantities) : 瞭 解小 數所 代表 的數 量 可 以 單 位 (units)、十分單位(tenths)等測量,如0.3杯水大約是這一杯中裝多少水的量。 然而Hiebert發現學生在三種小數知識的連結並不佳,如學生可能知道小數 的記法卻不瞭解其意義,會利用紙筆計算卻不會解釋計算的理由…等,因 此Hiebert非常強調「連結」的觀念。 「數概念」及「運算」是學生學習小數知識的重點。綜合上述學者的 觀點,小數的意義是由分數與整數發展而來,符號的標記亦源自位值概 念;小數基本意義的知識若正確建立,其運算的學習可能較易掌握與理 解,意即在教學時強調小數意義與小數運算間的連結之重要性,如此會減 少錯誤概念的產生。

二、小數教材內容

國小數學課程中,小數的認識包含一、二位及多位小數,概念分為小 數的意義、小數的位值與化聚、小數比較大小、度量衡單位的換算(單複名 數之間的換算)、小數稠密性、小數與分數的關係等;小數的運算及應用為 小數的加、減、乘、除法及其應用題。現行的 92 年九年一貫課程綱要(教

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10 育部,2003)將小數的課程內容安排在整數與分數概念建立之後(表 2-1-1), 因此學生自三年級開始接觸小數。雖然將於 100 學年度實施的 97 年課程 綱要(教育部,2008)有小幅度的調整(如表 2-1-2),但差異不大,如「能力 指標」部分,分別舉列小數乘、除法意義的理解(N-3-09、N-3-10),增加小 數與整數在數線上之比較及互換(N-2-15);除增列能力指標之外,92 年課 程綱要將二、三位小數的學習安排在四年級(4-n-09、4-n-11),97 年課程綱 要將二位小數安排在四年級(4-n-11、4-n-12),五年級始進入多位小數的學 習(5-n-10)。 表2-1-1 92年九年一貫課程綱要數學學習領域(94學年度實施) 能力指標 分年細目 N-1-10 能認識一位小數,並作比較 與加減計算。 3-n-10 能認識一位小數,並作比較 與加減計算。 N-2-10 能認識多位小數,理解其比 較,及用直式處理加、減與 整數倍的計算,並解決生活 中的問題。 4-n-09 能認識二、三位小數與百分 位、千分位的位名,並作比 較。 4-n-10 能 用 直 式 處 理 整 數 除 以 整 數,商為三位小數的計算。 4-n-11 能用直式處理二、三位小數 加、減與整數倍的計算,並 解決生活中的問題。 5-n-08 能認識多位小數,並作比較 與加、減的計算,以及解決 生活中的問題。 N-2-12 能用直式處理乘數是小數的 計 算 , 並 解 決 生 活 中 的 問 題。 5-n-09 能用直式處理乘數是小數的 計 算 , 並 解 決 生 活 中 的 問 題。 N-2-13 能做分數與小數的互換,並 標記在數線上。 4-n-08 能理解等值分數,進行簡單 異分母分數的比較,並用來 做簡單分數與小數的互換。 5-n-11 能將分數、小數標記在數線 上。 N-3-04 能用直式處理除數為小數 的計算,並解決生活中的問 題。 6-n-04 能用直式處理除數為小數 的計算,並解決生活中的問 題。 註:數學領域將九年國民教育區分為四個階段:階段一為一至三年級,階段二為四、五年級,階 段三為六、七年級,階段四為八、九年級。能力指標之第二碼即表示階段。

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11 表2-1-2 97年九年一貫課程綱要數學學習領域(100學年度實施) 能力指標 分年細目 N-2-13 能認識一位與二位小數,並 做比較、直式加減及整數倍 的計算。 3-n-12 能認識一位小數,並做比 較與加減計算。 4-n-11 能認識二位小數與百分位 的位名,並做比較。 4-n-12 能 用 直 式 處 理 二 位 小 數 加、減與整數倍的計算, 並解決生活中的問題。 N-2-15 能在數線上做整數與小數 之比較與加、減的操作。 3-n-09 能由長度測量的經驗來認 識數線,標記整數值與一 位小數,並在數線上做大 小比較、加、減的操作。 N-2-16 能在數線上標記小數,並 透過等值分數,標記簡單 的分數。 4-n-09 能認識等值分數,進行簡 單異分母分數的比較,並 用來做簡單分數與小數的 互換。 N-3-08 能認識多位小數,並做比 較、直式加減及整數倍的 計算。 5-n-10 能認識多位小數,並做比 較與加、減與整數倍的計 算,以及解決生活中的問 題。 N-3-09 能理解分數(含小數)乘法 的意義及計算方法,並解 決生活中的問題。 5-n-11 能用直式處理乘數是小數 的計算,並解決生活中的 問題。 N-3-10 能理解分數(含小數)除法 的意義及計算方法,並解 決生活中的問題。 6-n-06 能用直式處理小數除法的 計算,並解決生活中的問 題。 N-3-11 能用直式處理小數的乘除 計算(不含循環小數)。 5-n-11 能用直式處理乘數是小數 的計算,並解決生活中的 問題。 5-n-12 能用直式處理整數除以整 數,商為三位小數的計算。 6-n-06 能用直式處理小數除法的 計算,並解決生活中的問 題。 N-3-13 能做分數與小數的互換, 並標記在數線上。 5-n-13 能將分數、小數標記在數 線上。 註:數學學習領域將九年國民教育區分為四個階段:第一階段為國小一至二年級,第二階段為國 小三至四年級,第三階段為國小五至六年級,第四階段為七至九年級。能力指標之第二碼即 表示階段。

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12 由92年及97年課程綱要可知,小數內容在數學學習過程中占有相當重 要的地位。雖然坊間教材設計乃依據課程綱要編排之,不過教材內容之良 窳可能會影響學生的學習效果。梁文鎮(2007)分析某坊間教材發現小數教 學內容的處理並不完善,如安排的教學活動與對應的能力指標不相符等情 形,然而教師在進行數學布題時亦深受教材內容分量之限制(劉祥通、周立 勳,2001),如此也許會影響學生的學習成效。教師在進行小數教學前,若 清楚小數學習歷程以及課程綱要中所要教授給學生的先後順序與內容,便 能明確進行教學活動與指導,補充課本或教科書內容不足之處以加深學生 對小數意義的瞭解。

三、學生小數迷思概念的相關研究

國小學生在正式學習小數前已具備整數、分數的概念與運算,並且利 用相關概念回答教師授課的內容,若學生的概念與數學本質意義、教師的 教學內容或專家的觀點不同時即可能產生錯誤概念,亦稱之為迷思概念 (misconception)。根據相關研究結果發現,學生在小數學習上的表現並不 理想(吳金聰、劉曼麗,2000;杜建台,1996;劉曼麗,2001),因此為進 行有效的小數教學,應先對學生的迷思概念有充分瞭解。 (一)小數概念的迷思 1.小數基本概念 學生受到舊經驗─整數概念的影響,在讀小數時會將小數點後的數字 讀成整數(林麗雲、姚如芬,2002;杜建台,1996;劉曼麗,1998;Frobisher et al., 2002),如0.21讀成零點二十一;引入小數數詞序列時,遇到進位則 容易類比整數,如0.9之後就是0.10(林麗雲、姚如芬,2002;楊德清,2000; 劉曼麗,1998;Frobisher et al., 2002);在數線上點數刻度線或標示小數點

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時,會從0開始數起或不清楚兩小格之間的單位(杜建台,1996;劉曼麗、 楊明樺,2009;Thipkong, 1988; Wearne & Hiebert, 1986),如2和3之間分成 十小格,卻將每一小格間隔0.1當作1,或是將0.1當作0.01,更有學生忽略 參考點「2」,將其當作原點「0」(劉曼麗、楊明樺,2009)。 2.單複名數的轉換 由於學生不熟練度量衡單位的換算或未能掌握等分割概念,將大單位 當成整數部分、小單位當成小數部分,例如「1公尺5公分=1.5公尺」;另 外將小數點前的數字當作大單位,小數點後的數字當作小單位,例如「50.4 公升=50公升又4毫升」或「50.4公升=50公升又0.4毫升」(梁惠珍,2003; 陳文利,2001;陳永峰,1998;郭孟儒,2002;劉曼麗,2001;戴政吉, 1999;Bell, Swan & Taylor, 1981)。由上述可知學生瞭解答案一定與題目的 數字有關,但是無法判斷兩單位的相對關係致使不能順利的進行單位轉 換。 3.分數轉換為小數 將分數化為小數時,部分學生認為 8 5 的答案為 8.5 (分母當成整數,分 子當成小數),或 5.8 (分子當成整數,分母當成小數),第三種是 0.5,即不 管分母的數字,直接把分子當成小數部分(艾如昀,1994;Kouba et al., 1988; Wearne & Hiebert, 1986)。

4.比較大小

比較小數大小方面,有些學生認為0.615>0.09>0.2,即以小數點後的 數字視為整數處理;或認為0.2>0.09>0.615,以小數點後的數字視為分割 數(艾如昀,1994;吳昭容,1996;杜建台,1996;林麗雲、姚如芬,2002; 梁惠珍,2003;陳文利,2001;陳永峰,1998;郭孟儒,2002;簡茂發、

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劉 湘 川 , 1993 ; Resnick, Nesher, Leonard, Magone & Omanson, 1989; Sackur-Grisvard & Léonard, 1985; Wearne & Hiebert, 1986)。

我國學生參加2007年國際數學和科學趨勢研究(TIMSS 2007)發現, 22%的八年級學生選擇2.5<2.25<2.75;在另一題大小比較問題亦只有 62.5%的答對率,並有29.2%的學生認為0.3<0.32<0.332<0.233 (李源順等 人,2009)。 (二)小數運算的迷思 1.小數加減法 學生進行小數加減直式運算時,容易混淆位值概念致使計算錯誤(周筱 亭,1990),其中以未對齊小數點的現象居多(艾如昀,1994;陳永峰,1998; 劉曼麗,1998);劉曼麗(2001)亦指出學生會以整數的加減經驗類推,而將 數字「向右對齊」來計算,即使到了高年級仍有少數學生認為要對齊右邊 (郭孟儒,2002)。 2.小數乘除法 部分學生在小數乘除法運算也有困難,不僅將整數的乘除概念用在小 數上,且產生「乘法使結果變大」和「除法使結果變小」的錯誤想法(林原 宏,1994;陳永峰,1998;劉曼麗,2001;Fischbein et al., 1985)。劉曼麗 (2004)進一步指出,在進行小數乘以整數「1.8×16=28.8」的教學活動中, 多數學生認為積的小數點應對齊被乘數小數點,但是若未充分瞭解小數乘 法的意義時,即使正確計算出1.8×16,卻可能在0.18×1.6的計算過程中產生 錯誤。 學生在有餘數的小數除法題型中常會忽略餘數小數點,或將餘數小數

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15 點對齊移位後的被除數小數點等錯誤想法。劉曼麗(2004)發現在小數除以 整數問題中,多數學生能正確計算求商的部分卻無法解釋理由,僅記住除 法算則並直接以算式說明解法(艾如昀,1994;陳永峰,1998;簡茂發、劉 湘川,1993;Hart, 1981)。另外,許多學生在小數除法學習過程容易受到 「大的數÷小的數」的影響(楊德清,2000;劉曼麗、侯淑芬,2008),尤其 是除數為純小數的題型更為明顯,導致除法文字題列式上產生困難。 Chien (1998)認為,若小數的程序性知識缺乏小數概念性知識的支持就 會產生學習困難。李源順等人(2009)研究我國學生在TIMSS 2007的數學表 現指出,除小數比較大小有待加強之外,有34.6%的八年級學生將小數 78.2437四捨五入到百分位時選擇78.244,而在分數化成小數或小數化成分 數的大小比較問題只有60.2%的答對率。 Okazaki 和 Koyama (2005)以某大學附屬實驗小學之 38 位五年級學生 為研究對象,進行六堂課的小數除法教學;進行教學實驗前,學生已學習 過小數相關單元如「以整數乘或除以小數」、「小數的乘法」等。將近 80% 的學生難以解釋「116÷0.8」的單位量為什麼是 1;即使知道「116÷0.8」可 以轉換成另一個數學式如「1160÷8」,卻不清楚轉換的用意。透過教學觀 察發現教學者並未討論除以 0.8 本身的意義,學生的除法概念亦無法解釋 出「1160÷8」或「116÷8×10」與「116÷0.8」的關係;另外部分學生受「乘 變大,除變小」概念影響,認為由 0.8 轉換至單位量為 1 的運算較難處理, 又因「除以 0.8 等價於乘以 1.25」且乘以 1.25 比除以 0.8 簡單許多,故選 擇使用乘法運算。 Tsao (2005)訪談師資培育生中發現,小數運算的熟練並不代表具有良 好的數感,若國小學生過於依賴公式、算則,可能會抑制其數感的發展、

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16 靈活運用與解釋小數。因此學生在學習小數時,從基本的讀法到四則運算 都 可 能 會 產 生 迷 思 概 念 , 而 概 念 未 經 導 正 便 會 影 響 到 往 後 的 學 習 。 Gelman(1991)表示,若學生的數學學習一旦產生錯誤概念,便可能有持續 性的錯誤進而導致學習低落。

四、小數教學相關研究

劉曼麗(2002)透過問卷調查並輔以訪談、教學札記及查閱學生習作等 方式,研究 19 位國小四年級數學科教師在「小數的認識」與「小數的加 減」兩部分的教學情形。雖然所有參與研究的教師在教學前皆會參考教學 指引,但是有 6 位教師完全依賴教學指引,且約 10 位教師的授課模式較 不重視以教具輔助教學。劉曼麗整合教師在小數教學中感到困難的部分包 含:(1)小數點在單複名數轉換之間的位置,(2)單位小數之間的化聚關係, (3)小數的數線(每一小格表示的單位),(4) 0 在小數記法中的角色(何時該 有、何時該省略)。另外教師多以強調演算方法與解題程序,如學生將 0.35 讀成零點三十五時,就直接告訴學生小數點後的數字要略讀;3.74+8 寫 成直式時,便直接告訴學生 8 要和 3 對齊,卻皆未說明其中的原理與意義。 研究發現教師的數學知識有待加強,課程中若只使用定位板進行小數教 學,而學生位值概念不佳時可能會產生錯誤想法;且當教師缺乏對學生數 學認知的相關知識,只得直接說明解法卻無法深入瞭解學生學習的困難 點。因此劉曼麗認為教師在小數概念教學部分,應強調等分割概念、多階 單位間的換算關係及小數點的意義;在計算部分應強調多階單位間的換算 關係及在計算結果中如何決定小數點及其理由;教師更需留意學生數學表 徵是否與真實生活情境的表徵脫離,並利用關鍵性問話製造學生認知衝突 的教學策略。

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17 梁文鎮(2007)利用行動研究方式探討任教班級共 30 名五年級學生在小 數教學前後的表現是否有差異。以「小數除法」為例,梁文鎮發現某版本 教材設計與現階段課程綱要(九年一貫暫行綱要含銜接補充教材)的安排順 序有些出入,更有課程銜接的問題;於是嘗詴利用教學過程以瞭解學生在 除法的學習情況,例如帄分的意義是什麼?小數除法的概念是否充足?前 測調查發現,學生對於小數除以整數的處理方式是將它視為整數除法來處 理,小數點則按照小數加減法的方式,將商的小數點對齊被除數的小數 點,所以此部分的答對率高達 70%。但是學生進行整數除以整數運算時, 按照舊經驗計算至餘數小於除數便停止不算(如:10÷8=1…2),加上對於 商和餘數意義的不瞭解,部分學生將商當作答案,另一部分學生則將商當 成整數部分、餘數當成小數部分相互結合而產生答案,少數學生取餘數或 同時呈現商和餘數當作答案。因此梁文鎮以學生學習的困難點著手,設計 符合學生認知發展的教學活動,例如將教材內容前後挪動,透過舊經驗、 教學問話澄清答案,增加數線關係、分數化小數及離散量的布題等。經過 後測結果分析發現學生的答題表現顯著提高,但仍有學生存在大數除以小 數的迷思。 張淑萍(2006)以行動研究實踐五年級小數乘、除法單元的教學,以解 決面臨的教學困境及所因應的解決策略。學生的小數學習深受分數及整數 概念的影響,且產生的迷思概念及問題大多來自分數的概念;以小數的除 法為例,「當被除數÷除數不夠除時,必頇先在商的個位記0,再把被除數 補0。」的計算規則提供給學生時,學生透過模仿便能計算卻不明白計算 的意義。張淑萍先以小數的基本意義進行補救教學,強調位值及小數的化 聚,透過問題情境澄清商的合理性,從晤談中瞭解學生的想法等。經前測 與後測答對率的對照,多數學生的錯誤概念已獲得澄清;卻發現某些錯誤 概念依然存在,如後測題目:「8人吃3公斤的荔枝,帄均1個人吃幾公斤?

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18 剩下幾公斤的荔枝?商計算到小數第一位,並寫出餘數。」答對率僅 29.1%,可知有餘數的問題對學生而言仍是較為困擾的部分。 劉曼麗和侯淑芬(2008)針對國小學生的迷思概念,提供小數除法教學 之建議。由於部分學生不易判別除法文字題的數字何者應作為被除數與除 數,而除數為小數時亦會讓學生誤以乘法計算,因此在小數除法意義的教 學方面:(1)以學生較能接受的乘法概念,設計單位量未知的純小數倍問 題,如「哥哥的錢的0.2倍是100元,哥哥有多少錢?」利用乘除互逆引導 學生列出除法算則。(2)除數為純小數的除法問題,如「0.4公斤重的麵粉賣 20元,買1公斤麵粉要付多少錢?」以小數倍的概念(0.4公斤是1公斤的0.4 倍)幫助學生列出正確的除法算式。(3)利用單位量的差異透過線段圖讓學 生了解「除以整數」與「除以純小數」意義的不同。學生學習小數除法計 算時感到困擾的便是小數點的處理,不清楚單位的轉換,因此在小數除法 計算的教學方面:(1)經由學生操作具體物如錢幣、積木以表示除法問題中 的數值,引導學生將大單位換成同樣的小單位才方便解題。(2)以定位板連 結具體操作過程與直式算則,且在直式紀錄過程需逐步解釋數字的意義, 協助學生理解商和餘數小數點的處理原則。 小數知識在國小數學教育上是一個很重要的教學單元,然而教師認為 理所當然的概念,學生可能不是真的理解。藉由小數教材的分析、各學者 的研究發現,學生在小數概念或運算的學習上存在多樣性的迷思,致使學 者專家及教師紛紛探討學生迷思概念的解決策略,透過教師小數教學的歷 程,以提升教師數學教學知識,增進學生的學習成效。就小數除法運算而 言,教師進行教學時所遇到的困難點如被除數與商、餘數之間的單位概 念,對部分學生來說即使能成功解題,但是在運算背後的原理並非全盤瞭 解,故本研究以小數除法為探討之重點。

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第二節 數學教學專業知能

我國小學採包班制,除少數科任教師外,多數在職教師均有機會教授 國小數學課程。因此教師教授給學生的數學教學專業知能是否充足,以及 未來有機會成為教師的師資培育生,其數學教學相關知識的養成皆值得深 入瞭解。

一、師資培育生與在職教師的數概念相關研究

(一)師資培育生的數概念相關研究 林福來等人(1992)研究三所師範學院數理教育系及初等教育系共197 位新生的初等數學能力。結果發現師資培育生表現欠佳的部分,包含電算 器的使用能力、周長與面積的基本概念、正比與反比的推理能力,及小數、 分數與百分率之間的換算能力;並發現數理教育系學生在分數、比例、幾 何及代數等數學知識的整體表現優於初等教育系學生。 劉曼麗(2000)以問卷及訪談方式研究國立台北師範學院(數教系、語教 系、美教系)、國立嘉義師範學院(數教系、初教系、音教系)和國立屏東師 範學院(數教系、語教系、美教系)309位師資培育生,在「數與計算」、「量 與實測」、「圖形與空間」及「統計圖表」等領域的表現。「數與計算」 領域之結果發現,師資培育生對於整數乘法的意義、整數除法運算與連減 的關聯瞭解不足,例如單位量的倍數「4的3倍」會與「3的4倍」的意義混 淆;經由訪談得知,少數師資培育生認為「將12每次減去3,需連減4次」 的列式應為「12÷4」、「3×4」或「12-3-3-3-3」,卻不是「12÷3=4」 的意義。另在小數相除的答題表現中,有76%的師資培育生將餘數的小數 點與移位後被除數的小數點對齊,即不甚清楚餘數為小數的除法性質。整

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20 體而言,理組(數教系)學生在各領域的答題表現皆優於文組(語教系、初教 系)及藝能組(美教系、音教系)的學生;且這三組在各領域表現中,以「數 與計算」領域的表現較為不理想。 陳秀雯(2002)探討師資培育生在不同的乘數類型下,如整數×整數、整 數×純小數、整數×帶分數、整數×真分數及整數×帶小數等,設計乘法文字 題的表現。該研究利用紙筆測驗調查三所師院之理組、文組與藝能組三類 系別共305位四年級師資培育生,並從中抽取17位進行一對一半結構性晤 談。結果發現師資培育生之布題率是63.4%,尤其是乘數為帶小數類型的 布題率最低;形成布題率表現差異可能是師資培育生認為乘數不是整數 時,較無法與生活中的具體事物連結,並且乘數是小數或分數時,師資培 育生無法瞭解其乘法概念也難以適當情境解釋乘法的意義。 Chang (1997)以紙筆測驗評量某師院全體共417位四年級學生的乘法 結構知識及其教學知識,並有30位進行半結構訪談。研究發現雖然80%的 師資培育生在乘法結構之數學知識的表現尚佳,仍有少數師資培育生使用 不正確的數學知識進行解題,且沒有意願解釋解題所需的公式;在乘法結 構之教學知識的理解程度僅有35%的答對率,除教學法知識的不足,師資 培育生多以程序性知識解讀題意而非真正瞭解其意義。另外全體受詴者的 答題表現依系別比較發現,乘法結構知識及其教學知識皆呈顯著差異,且 數理教育相關科系之師資培育生表現最好。 (二)在職教師的數概念相關研究 劉好(1991)採用隨機抽樣法選取九所師院進修之1077位小學教師施行 筆詴測驗及28位級任教師個別訪談,調查其在小學數學教學相關知識方面 的表現,探討錯誤的數學概念及原因。研究結果發現,約28%的教師在「整

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21 數和小數的積商性質」部分如8÷0.4與8×0.4,或0.8×0.4與0.8÷0.4等之間的 概念尚不熟悉;約26%的教師在「分數的大小比較」不清楚以符號(丙/甲、 丙/乙)如何進行教學與說明;約42%的教師在「設計四則運算之應用問題」 部分無法依照給定算式設計問題情境。而教師的困難或缺失來自於概念或 原理不清楚、未深入分析題意或不理解數學公式的關係及特性所致,且有 些教師只會使用算則解題方式幫助學生學習數學,不會應用數學符號、概 念及技巧,更缺乏布題經驗。 呂玉琴(1998)研究國立台北師範學院國小教師暑期學士班的136位在 職教師對分數教學相關知識的瞭解,發現在職教師在數學及其教材教法的 知識、學生數學學習的知識兩部分的知識皆佳者占7.4%,只有數學及其教 材教法知識佳者占16.9%,只有學生數學學習知識佳者占26.5%;整體而 言,75.7%的教師之分數教學相關知識有待加強。 (三)國外師資培育生及在職教師的數概念相關研究 在面積及體積概念方面,Vistro (1991)發現大多數師資培育生依賴公式 以運算周長、面積、體積和表面積,卻經常混淆面積與表面積的概念。在 小數概念方面,Widjaja、Stacey 和 Steinle (2011)針對負小數的數線概念進 行探討,認為師資培育生在標記負小數位置的表現不佳,亦發現師資培育 生存在小數稠密性的迷思概念(Widjaja, Stacey & Steinle, 2008)。

師資培育生在處理乘除法文字題時亦會出現國小學生常發生的錯 誤,以預期答案作為選擇文字題運算的依據,例如結果變大就使用乘法, 結果變小就使用除法。在 Graeber 等人(1989)的研究發現,當文字題涉及純 小數且答案預期變小時,如「從 1 公斤的小麥中可以得到 0.75 公斤的麵粉, 那麼可以從 15 公斤的小麥中得到多少麵粉?」有 25%的師資培育生誤以

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22 除法代替乘法(15÷0.75);接受晤談的 33 位師資培育生在除數大於被除數 的問題中,有 22 位認為除數應比被除數小,更有 2 位表示「不可能以小 的數除以大的數」。 Ball (1990) 研究發現大多數的師資培育生雖能正確的計算除法 如 「134÷12」,卻無法以此算式設計適當的問題情境,可見師資培育生對除 法概念的瞭解有待加強。Simon (1993)的研究指出,70%的師資培育生缺乏 布題技巧之相關知識,即對於融入生活情境的除法布題感到困擾;而在分 數 除 法 運 算 方 面 , 經 常 會 錯 誤 解 釋 餘 數 或 者 商 的 分 數 部 分 如 「35÷ 8 3 =93 3 1 =93… 8 1 」的文字題,30%的師資培育生誤認 3 1 為剩餘的量, 或是單位判斷錯誤。另外,有 12%的師資培育生在「利用計算機找出 98473947 除以 98762 的餘數」題目中,以為商的小數部分即為餘數,12% 的師資培育生將商的小數部分除以除數,甚至有 15%的師資培育生不知道 商與餘數的答案。 有關教師在數學概念的研究方面,Ubuz 和 Yayan (2010)探討 63 位小 學教師在小數領域的學科內容知識,如小數的稠密性、小數的加減運算等 共 18 個部分。結果顯示教師的答題表現分布在 3 至 18 分之間,帄均分數 為 12 分,而教師在小數概念所面臨到的困難與國小學生、師資培育生所 面臨的困難相似,並發現教師之數學學科知識與教學豐富或教學多年的經 歷較無相關。 「數概念」對於師資培育生與在職教師來說,可以由從小到大的數學 學習經驗獲得,但是有些研究卻指出師資培育生及在職教師的數學知識與 國小學生遭遇到同樣的困難,甚至存在錯誤概念;亦有部分學者分析數理 相關科系的師資培育生,其答題表現較優於非數理相關科系的師資培育

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23 生。因此由數概念相關研究中得知,國內外學者皆重視教師的數學知識表 現且認為教師的職前訓練十分重要。

二、數學教師的教學知識及其相關研究

(一)數學教師的教學知識 教師的數學專業知能與教學知識密不可分,然而教師需有足夠的相關 知識才能協助學生學習數學。Shulman (1986)提出教師知識的七大領域 中,特別強調學科教學知識(pedagogical content knowledge)的重要性,並將 其定義為教師在考慮不同教學方法與學生特性後,運用教學方法如畫圖、 說明、舉例及示範等,將基本概念與事實知識相結合,把已知的學科知識 轉變成學生真正能夠理解、學習的知識,再傳授給學生。Fennema和Franke (1992)認為數學教師不僅應掌握學生目前的數學學習內容,還應瞭解學生 未來可能學習的數學學習內容,只有對數學教材全盤瞭解,教師始能建構 自己的教學方法,進而幫助學生學習數學。Fennema和Franke建立的數學教 師發展模式中(如圖2-2-1),認為數學教師有三類重要的數學教學知識:數 學知識(knowledge of mathematics)、學習者數學認知知識(knowledge of learners’ cognitions in mathematics)、教學知識(pedagogical knowledge),在 特定的脈絡中交互作用著,其中教師的信念(beliefs)是教師建立數學教學之 相關知識的主要來源。

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圖2-2-1 數學教師的知識模式圖[Fennema & Franke (1992, p.162)]

雖然學者對於數學教師的教學專業知能之重視程度不盡相同,然而在 學科知識、教學知識及對學生學習認知的知識等領域均有一致的觀點,可 知上述三項數學專業知識應為教師數學教學專業發展不可或缺的重要成 分。 Ernest (1989)認為影響數學教師教學實務最主要的因素,乃是教師對 於數學本質、數學教學、學生數學學習的觀點。Thompson (1992)針對數學 教師信念的相關研究文獻進行分析後指出,因為知識和信念是無法分割 的,若要增進數學教學與學習的效果,必頇要針對教師的數學信念、數學 教學信念、數學學習信念三方面作更深入的探討與研究。Cochran、DeRuiter 和 King (1993)則以建構主義的觀點,修正 Shulman 的學科教學知識,提出 情境知識,強調教師必頇具備學科內容、學科專門知識及教學知識外,另 應 融 合 情 境 知 識 以 發 展 學 科 教 學 知 識 。 Cooney (1994) 以 數 學 能 力 (mathematics power)及教學能力(pedagogical power)等觀點,類比教師的學 習和學生的學習;數學能力是解題時抽取數學知識的能力,教學能力是在 特定 脈絡 知識 學習者數學 認知知識 教學知識 數學知識 信念

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25 解決教學問題時抽取教學知識的能力,即學生學習數學是學習如何解決數 學問題,教師學習如何教數學是學習如何解決數學的教學問題。在教學即 為解題之觀點下,教師首先要發現教學問題並分析問題的已知資訊,再提 出有效解決策略,最後評定其教學成效。 國內學者對於數學教師專業發展研究方面,李源順與林福來(2000)的 研究發現數學的知識、學生認知的知識及教學法的知識是教師數學教學專 業發展之重要成分。吳明崇(2002)對國中數學專家教師教學專業知識內涵 的個案研究中,提出數學教師專業知識內涵有:數學知識、數學教學知識、 課程知識、運用情境知識、了解學生如何思維數學的知識及一般教學知 識。林碧珍(2001)認為數學教學知識是數學知識和教學知識的整合,其整 合的知識並不是單純將數學知識和教學知識相加在一起,數學教學知識包 含數學內容、數學的教學和學習知識。許德田與張英傑(2004)綜合文獻研 究,一位教師的數學教學知能包括:數學知識、教學法知識、學生認知知 識、評量知識及情境脈絡知識等方面,這些專業知識深切地影響教師的教 學規劃與實施,且教師的教學行為及活動會隨著教師數學教學信念的不同 而有差異。劉曼麗(2006)利用大慧調查法發展一套國小數學科職前教師之 專業基準,包括「基本理念」、「內容知識」、「學科教學知識」與「教 師專業成長」四個面向之內容與定義…等評分規準。 綜合上述國內外學者所主張的數學教師應具備數學專業知識之觀 點,以數學內容知識、對學習者數學認知知識、以及數學教學知識三方面 為多數學者共同的看法(表 2-2-1)。

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26 表2-2-1 國內外學者對數學教師知識的定義(依時間序排列) 主張學者(年代) 數學內 容知識 一般教 學知識 數學教 學知識 數學課 程知識 學習者 數學認 知知識 情境脈 絡知識 教學評 量知識 數學教 師信念 Ernest (1989) V V

Fennema & Franke

(1992) V V V V Thompson (1992) V V Cochran, DeRuiter, & King (1993) V V V V Cooney (1994) V V V 李源順、林福來 (2000) V V V 林碧珍(2001) V V V 吳明崇(2003) V V V V V V 許德田、張英傑 (2004) V V V V V V V 劉曼麗(2006) V V V V V V V (二)數學教學知識的相關研究 國小學生在數學學習的興趣及數學成就的表現,大部分來自教師之教 學模式。除了探討學生在某數學單元的學習情形或相關概念等,近年來亦 針對師資培育生與在職教師的數學教學知識進行研究,如黃幸美(2002)研 究數學教師的數學教學相關知識,黃一峰(2004)探討數學師資培育的歷程 及其影響,李靜雯(2004)調查不同師資培育機構的師資培育生在分數教學 知識的差異,陳怡方(2010)依據教師教學年資多寡探討其在數學知識、對 學習者數學認知的知識及教學知識是否有差異,Azim (1995)、Tirosh和 Graeber (1990)則透過教學改善師資培育生的錯誤概念;依據上述諸位學者 在各領域的研究調查討論如下。

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27 黃幸美(2002)以201位國小高年級教師為對象,使用問卷調查及教師晤 談以探討高年級教師在該年段之數學教材知識、對學生學習數學困難的認 知及數學教學觀點,並分析此三類知識之間的關係。其中數學教材知識包 含數與計算類、統計類、圖形與空間類及量與實測類等四類別;學生常見 的學習困難分為對數學的概念理解困難、不易將實物操作經驗與數學概念 作連結、模仿解題但未明確瞭解問題所包含的觀念等三項;常見的數學教 學觀點為由教師說明概念與實物操作、學生分組討論與實作、提供解題練 習以求精熟等三項。研究結果發現12%的教師答對題數未達詴題總數的一 半;對學生學習數學困難的認知方面,教師認為數學概念抽象以致學生不 易理解,能模仿解題但未瞭解概念等現象是學生學習困難的部分;多數教 師同意讓學生分組討論與實物操作或提供解題練習,讓學生精熟解題方法 的教學觀點。而數學教材知識高、低分組之教師對學生學習數學困難的認 知與數學教學觀點未達顯著影響。 黃一峰(2004)採質性研究包括參與觀察、晤談與文件分析,描述師資 培育生修習國小數學教材教法課程之內涵及實施過程,探討師資培育生學 習數學教學的歷程及其影響,並瞭解師資培育生在駐校實習的教學方式。 研究對象為北部某所師資培育機構之自然科學教育學系三年級某班全體 學生;研究歷程分兩階段:一學期課堂學習階段以及三週駐校實習階段, 並追蹤該班一名師資培育生。研究結果發現,師資培育生對於數學的本 質、數學學習與教學的看法深受過去的學習影響,但與現今數學教學觀點 出現些微落差。黃一峰透過「國民小學數學教材教法」課程,運用合作學 習方式,以及反省思考的內涵和精神重塑師資培育生的數學與教學觀,擴 展其對於數學本質的看法、學習方式的瞭解及數學教學的體認,並加以瞭 解學生數學思考的過程。另外,研究一名師資培育生的數學教學模式發 現,雖深受學習歷程的影響,但經過一學期的課堂學習後,該名師資培育

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28 生在駐校實習階段的教學會鼓勵學習者用自己的方法來解題,幫助學習者 和別人溝通自己的解題方法,且嘗詴讓學習者透過小組討論方式合作解題 及協助學習者發展小組學習機制,促進學習者產生數學對話。 李靜雯(2004)藉由問卷蒐集149位師資培育生的分數教學知識,比較並 分析不同類型師資培育機構培育之學生是否有所差異。結果發現,在「分 數知識」的表現皆無顯著差異,可能是大部分的師資培育生皆有機會修習 普通數學課程的因素;在「瞭解學生分數學習知識」的表現上,師範校院 之學生顯著優於非師範校院之學生,可能是師範校院安排教育實習課程的 時數在國小見習與接觸國小學生的機會較多;在「分數教材教法知識」部 分則發現,私立師資培育機構之師資培育生顯著優於非師範校院之師資培 育生,李靜雯認為可能是前者的學習情況比後者好,且前者的任教意願亦 較後者高。 陳怡方(2010)採用個案研究法以探討初任及資深各一位教授國小四年 級教師之分數教學知能,透過測驗工具、訪談及教室觀察等進行比較。結 果發現,兩位教師在分數知識方面皆忽略題目的單位導致運算結果出現錯 誤判讀,對於分數教學知識有基本的掌握與瞭解,但資深教師的分數課程 知識更有組織與連貫性。對學生學習分數的知識方面,兩位教師在教學中 有關分數具體情境之操作部分較少;資深教師比初任教師更瞭解學生分數 概念的發展順序,較易察覺學生學習困難的概念,以及等值分數的學習 等;而初任教師的學生較無法清楚掌握單一個物「幾個中的幾個」到多個 個物「幾份中的幾份」。分數教學知識方面,因為兩位教師不瞭解專有名 詞的意義進而影響辨別教材差異的判斷;資深教師較初任教師瞭解分數教 材的編排,更清楚學生學習的困難點以助其將舊經驗與新的分數知識相結 合,且資深教師教導學生的方式是先理解題意再進行解題,初任教師則教

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29 導學生使用關鍵字解題。 Azim (1995)探討 50 位師資培育生在接受數學方法課程前與課程後之 分數乘法概念的差異,及分數乘法概念的建構與再建構過程;研究分為三 階段,第一階段實施個別面談(1-4 週),第二階段進行有關整數與分數的乘 法教學(5-10 週),第三階段再進行個別面談(11-16 週)。研究發現,第一階 段有 16%的師資培育生能以乘法算式寫出一個整數乘法與三個分數乘法 的文字題;36%的師資培育生無法對任一個分數乘法的算式寫出文字題; 且 36%的師資培育生能以整數的分數乘法算式(如 7× 4 1 )寫出文字題;而有 8%的師資培育生無法依據整數乘法算式寫出文字題。進行教學後之面談 (即第三階段)發現所有師資培育生皆能建構新的分數乘法概念。另有 48 位 師資培育生瞭解乘法的單位元素是 1,在某數乘以小於 1、或大於 1 的分 數後,某數會變小或變大,但是仍有 2 位師資培育生感到困惑;約有三分 之一的師資培育生對於「積」的單位存有困難,例如「 4 3 × 2 1 = 8 3 」解釋成 「 2 1 個單位的 8 3 」,卻不是「 8 3 個單位」。 Tirosh 和 Graeber (1990)針對 28 位師資培育生進行除法問題的紙筆測 驗,探究其中 21 位能正確計算小數除法(除數小於 1),卻認為「商一定小 於被除數」的師資培育生以實施認知衝突的教學模式,再予以後測並比較 其表現差異;教學過程採用晤談方式,其問題情境以問答題為主。多數師 資培育生認為商總是小於被除數,例如有些師資培育生表示除法是分割的 概念且帄分後一定會小於總數;有些師資培育生認為除法是乘法的相反, 因為乘變大、所以除變小;亦有師資培育生計算「10÷0.5」時,將其等價 轉換成「100÷5」,誤認為商(20)小於被除數(100),卻忽略原始問題的被除 數(10)。經由衝突教學與後測的結果發現,大部分的師資培育生能對商和

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30 被除數之大小關係有更正確的概念,且在乘法、除法文字題書寫算式的表 現也有改善。 近年來有諸多學者在師資培育生及在職教師的數學教學專業知能投 入心力,探究不同科系的師資培育生、進修教師、初任教師及資深教師的 數概念與教學是否會影響學生在數學學習認知的表現。經由師資培育生與 在職教師的數學能力、教學知識及相關研究中發現,其數學教學相關知識 的表現不盡理想,其中分數與小數概念相關知識為國內外學者深入探討的 主題。目前已有多位學者針對分數教學相關知識進行研究,亦有在職教師 以行動研究方式進行分數補救教學等策略,在小數教學相關知識的研究卻 略顯不足。 小數意義與運算研究以國小學生的小數概念進行探討部分,顯示多數 學生對於小數學習感到困難,尤其是小數除法運算概念尚難釐清,相關研 究亦發現師資培育生與在職教師的小數知識有類似的困難。教育現場的小 數教學以行動研究歷程進行小數教學省思,在職教師與師資培育生之教學 知識的研究則較少,且未曾探討教學者對於小數教學序列的瞭解,學生在 小數學習的認知發展程序,或是解讀學生答題情形等相關能力。教師的數 學教學知識愈來愈受重視,未來有機會成為教師的師資培育生在數學師資 培育之重要性亦不容忽視,至今卻少有學者研究師資培育生針對小數除法 教學之相關知識較為不足的概念做進一步瞭解,包含對於學生在小數除法 認知的知識、學生的不當解題、使用何種教學策略以澄清學生的錯誤概念 及問題情境的設計與引導等。故師資培育生的小數除法教學之相關知識是 否充足,為本研究進行探討之部分。

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第三章 研究方法

本研究旨在探討師資培育生在小數除法教學之相關知識較為不足的 概念的理解情形,包含下列幾項: 一、師資培育生在小數除法數學知識的表現情形。 二、師資培育生對於學習者小數除法認知知識的表現情形。 三、師資培育生在小數除法教學知識的表現情形。

第一節 研究架構

本研究主要探討師資培育生缺乏的小數除法數學知識、教學知識,以 及對於國小學生在小數除法學習的知識之理解情形,經由文獻蒐集、分析 及歸納各教育大學師資培育機構的課程內容及小數除法教學之相關知 識,進行問卷編製,並將蒐集之資料做分析及比較;本研究依據研究動機 與目的,規劃研究架構如圖 3-1-1。 圖3-1-1 研究架構圖 教學知識 對學習者數學 認知的知識 數學知識 小數除法 教學

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第二節 研究對象

本研究取樣學校皆為師範院校體系改制之教育大學,即國立臺北教育 大學、臺北市立教育大學、國立新竹教育大學、國立臺中教育大學及國立 屏東教育大學共五所(以下以 A 校、B 校…代號依序稱之)。師資培育生升 上四年級前應已修習大部分必修課程,包含普通數學、國民小學數學科教 材教法…等;由於師資培育課程在大學四年級安排「國民小學教學實習」 必修科目,因此本研究以九十九學年度上學期修習該門科目之學生為研究 對象。 該學期開設的「國民小學教學實習」課程有 32 班,每班人數為 10 至 45 人不等,經詢問授課教師協助施測之意願,共有 20 班參與本研究,問 卷發放數為 505 份,回收數 503 份,扣除問卷填答不完全或重複填寫者 3 位、非師資培育生 8 位、非大四應屆學生 30 位,有效問卷共計 462 份, 其中男生 113 人,女生 349 人,詳細的樣本人數如表 3-2-1。 表3-2-1 研究樣本表 教育大學 發放數 回收數 無效樣本 有效 樣本 填答不完全或 重複填寫者 非師資 培育生 非大四 應屆學生 A 校 75 74 1 3 0 70 B 校 13 12 1 0 7 4 C 校 75 75 1 1 3 70 D 校 227 227 0 0 1 226 E 校 115 115 0 4 19 92 總計 505 503 3 8 30 462

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33 分析受詴者的數學教育相關課程之修課情形,可分為國小教育學程與 非國小教育學程兩部分,國小教育學程之數學教育相關科目包含普通數學 及國民小學數學教材教法,其中修習普通數學共 260 位,國民小學數學教 材教法共 370 位;非國小教育學程之數學教育相關科目,修習數學課程通 論共 14 位、數學教育研究法共 13 位、數學科教學評量共 15 位、數學詴 題編製共 5 位、數學學習心理學共 5 位、數學課程設計共 15 位及兒童數 學概念發展共 16 位。 另以受詴者選擇修習數學教育相關課程之科目數來看,未曾修習者為 48 位,占全部的 10%;修習一科者為 174 位,占全部的 38%;修習二科者 為 208 人,占全部的 45%;修習三至七科者為 32 位,占全部的 7% (如圖 3-2-1)。 圖3-2-1 師資培育生修習數學教育相關課程科目數

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第三節 研究工具

本研究工具採用自編問卷,探討五所教育大學四年級之師資培育生對 於小數除法教學之相關知識較為不足的概念的理解情形。

一、詴題編製

本研究自編問卷以國小數學課程「小數除法」探討師資培育生小數除 法教學之相關知識。內容參考國民小學九年一貫課程綱要數學學習領域及 教育部審訂通過的國小數學課本等相關文獻,以「數學知識」、「對學習 者數學認知的知識」、「教學知識」三部分設計之。

二、預詴問卷

本研究以問卷調查作為蒐集研究資料的方法,為提高研究工具的適切 性與可行性,先進行預詴。由於預詴問卷詴題皆為開放式問題,主要蒐集 受詴者在小數除法教學較缺乏之相關知識的理解情形,故無檢驗其信度, 效度部分以建構效度分析受詴者的答題內容;詴題內容主要參考劉曼麗與 侯淑芬(2004、2008)等人之研究結果,翰林教科書(2009)及九年一貫課程綱 要(教育部,2003、2008)編製而成,題目包含餘數的意義、單位轉換、小 數除數與餘數的關係、除數為小數的教法、小數除法的布題、解讀學生的 解題策略及小數四則運算的教學序列等概念。 由於研究者考量正式施測時,問卷詴題若全為開放式問題,所需作答 時間較長,部分受詴者可能沒有耐性完成整份詴卷且造成無效問卷增加; 然而若完全依研究者之想法自編選擇題選項,恐與受詴者的想法落差過

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35 大,故先利用預詴問卷彙整受詴者對於小數除法教學之相關知識的瞭解情 形與想法,再分析篩選受詴者的答題類型,以作為正式問卷選擇題選項之 參考。預詴問卷設計為 22 題開放式問題,分為小數除法數學知識相關詴 題、對學習者小數除法認知的知識相關詴題及小數除法教學知識相關詴題 三部分,除小數除法數學知識相關詴題為 8 題外,其餘兩部分各 7 題。詴 題與小數除法教學之相關知識的雙向細目表如表 3-3-1: 表3-3-1 預詴問卷詴題與小數除法教學之相關知識的雙向細目表 小數除法內容 小數除法 數學知識 對學習者小數 除法認知的知識 小數除法 教學知識 除數與 1 的大小比較關係 5 小數除法問題情境 3 單位轉換概念 6、13 題意與餘數的意義 9 12 小數除數與餘數的關係 7 直式紀錄解題過程 17 18 小數除法學習的認知發展 4 解題策略 14 常見錯誤概念 19 8 16 學習困難 15 21 概念教學 22 1、10 如何布題 20 2 小數四則運算教學重點與序列 11 考量受詴者無法在短時間內完成所有的開放式問題,及為使受詴者能 完整表達想法,除 1 題共同問題外,其餘 21 題問題依小數除法數學知識、 對學習者小數除法認知的知識及小數除法教學知識三部分,帄均分配於三 份詴卷,每份皆有 8 題問題;填答時間為 30 分鐘。 預詴研究樣本以九十八學年度第二學期就讀中部某大學四年級師資 培育生為對象,共發放 130 份,回收 119 份,回收率約 91%。答題結果篩

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36 選過程分為二部分,研究者先針對受詴者之文字作答情形加以歸納、分 類,再統計作答類型以選取不正確的概念,編製成正式問卷之選擇題選 項。以問卷第 5 題為例: 由上述題意,您認為本題可以測得什麼概念?

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圖3-3-1 預詴問卷第5題 本題(圖 3-3-1)探討受詴者在商與被除數的關係中,能夠發現除數比 1 小時、被除數比商小,除數大於 1 時、被除數比商大等概念;受詴者的答 題情形分析如表 3-3-2: 表3-3-2 預詴問卷第5題答題分析 答題類型 受詴者答題內容 人數 累計人數 原理 被除數=除數×商,當被除數相同時,除 數與商成反比 13 13 小數除法 乘變大,除變小 8 21 被除數和商 的關係 除數大小會影響商比被除數大或小 6 27 計算 整除的概念 2 29 其他 除數小於被除數時,得到的商一樣,但 餘數不同 5 34 未答 4 38 註:本題應答人數 38 人,答題者 34 人,未填答者 4 人。 完成下表,並比較小數除法中,商和被除數的關係: 被除數 1.8 2.7 1.5 2.1 除數 1.5 0.9 1 0.3 商 ○1 2 3 4

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37 受詴者答題類型占多數之內容為「當被除數相同時,除數與商成反比」 共 13 位、「乘變大,除變小」共 8 位、「除數大小會影響商比被除數大或 小」共 6 位,並依此答題類型進行編修;若答題內容較為相近則再選擇其 他答題類型作為選擇題選項。預詴問卷第 5 題經修改後如圖 3-3-2: ( )由上述題意,您認為本題可以測得下列哪一個概念? ○1 被除數=除數×商,當被除數相同時,除數與商成反比 ○2 除數在>1、=1 或<1 時,觀察商與被除數的大小變化 ○3 經由整數除法延續至小數除法,得知「除法會使結果變小」的概 念 ○4 其他(請說明)___________________________________________ 圖3-3-2 修改後詴題

三、正式問卷

將預詴之有效問卷逐題篩選後,發現全體受詴者在第 8 題(理解學生常 見的錯誤概念)、第 10 題(小數除法概念教學)、第 13 題(被除數與除數單位 轉換)、第 19 題(錯誤概念)及第 21 題(學習困難點)之答對率均達 70%以上, 表示多數受詴者在上述詴題答題表現較佳且存在正確的教學相關知識;由 於本研究主要探討受詴者在小數除法教學之相關知識較為不足的概念及 需要加強的部分,故刪除此 5 題詴題。 其餘 17 題詴題答對率低於 70%,也就是難度較低或受詴者概念較為 不清楚之詴題,依前述方式歸納答題類型並篩選作為正式問卷之選擇題選 項,除了 1 個正確選項外,篩選較高比例之不適答案或錯誤概念,作為正 完成下表,並比較小數除法中,商和被除數的關係: 被除數 1.8 2.7 1.5 2.1 除數 1.5 0.9 1 0.3 商 ○1 ○2 ○3 ○4

參考文獻

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