98 1 四技二專 數學 C 卷解析

共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

九十八學年四技二專第一次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷

98-1-C

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 B A C D C A B C D A D C D B C A B D C B B D A A A 1. 1 0 5 0 10 3 2 − = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = + − = − + a b a b a 、b=4 II P(−1,4)∈ 2. 3 1 1 1 4 3 2 _{=− ⇒ =} + − x x x 代入原式，則 5 2 3 5 3 2 1 3 1 2 1 3 1 ) 1 ( =− − = + × − = − f 3. f(x)=−(x−1)2+7；∵領導係數小於 0 則有最高點(最大值)，當x=1時，有最大值 7 ∴p=1，q=7⇒3p+q=10 4. 1 3 5 1 1 2× − × ₌₋ = x ， 3 3 5 1 2 2× + × ₌ = y 5. (1) 過 C 作CD⊥AB交 AB 於 D ∵ 12 6 3 3 2 60°⇒ = ⇒ = = ∠ CD CD A 又 O 為正 ABCΔ 的外心 也是重心 由重心性質知 3 4 3 6 3 2 3 2 _{= × =} = CD OC 3 2 3 6 3 1 3 1 = × = = CD OD (2) 連接 π 3 2 120°= = ∠ ⇒ AOB OA (3) 弓形面積(斜線區域面積) ) ( ) 3 2 ( − ΔAOB = 一圓心角為 π之扇形 一等腰三角形 3 12 16 3 2 12 2 1 3 2 ) 3 4 ( 2 1_× 2_{× − × × = −} = π π 6. 由根與係數的關係得知 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = × = + ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = × = + 2 1 tan tan 3 tan 1 tan 1 2 cot cot 3 cot cot β α β α β α β α ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = × = + ⇒ 2 1 tan tan 2 3 tan tan β α β α ∴ 3 tan tan 1 tan tan ) tan( = × − + = + β α β α β α 由三角恆等式之平方關係知 ) ( tan 1 1 ) ( sec 1 ) ( cos2 _{2 2} β α β α β α + + = + = + 1 ) ( cos 10 10 1 _⇒ 2 _{+ =} = α β ，因此

原式⇒10cos2(α+β)+cos2(α+β)+sin2(α+β) 2 1 1+ = = 7. θ θ θ θ θ θ sin cos cos sin cot tan + = + 5 3 sin cos 3 5 sin cos 1 _{= ⇒ ⋅ =} ⋅ = θ θ θ θ 代回原式得 5 11 5 6 1 cos sin 2 1 ) cos (sinθ+ θ 2= + θ⋅ θ= + = 8. 由餘弦定理知得b2=a2+c2−2accosθ 7 49 ) 2 1 ( 5 3 2 5 32 2 2 _{= + − × × × − = ⇒ =} ⇒b b 內接圓半徑 2 3 ) 7 5 3 ( 2 1 120 sin 5 3 2 1 = + + ° × × × = Δ = s ABC r 內接圓面積π π π 4 3 ) 2 3 ( 2 2 _{= × =} r 9. 設三邊長為a=5，b=6，c=7 依海龍公式： ( ) 9 2 1 _{+ + =} = a b c s ) 7 9 )( 6 9 )( 5 9 ( 9 ) )( )( ( − − − = × − − − = Δ s s a s b s c 6 6 2 3 4 9× × × = = 10. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ° × × × = = ° × × × × = 2 2 3 4 60 sin ) 3 12 ( ) 3 12 ( 2 1 3 6 60 sin ) 6 12 ( ) 6 12 ( 2 1 6 cm q cm p 3 10 = + ⇒p q 11. 利用正弦定理得知 ° + = ⇒ = 105 sin 1 3 sin 6 sin sin B C AC C AB 4 2 6 1 3 sin 6 + + = ⇒ C 4 ) 1 3 ( 3 2 sin ) 1 3 ( + = + ⇒ C ∴ 2 3 sinC= ，故∠C=60°或120°

共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 但AC>AB，∴∠B>∠C，∴∠C=60° 12. 2 5 5 4 8 2 sinA= R⇒ = R⇒R= a 13. ΔDCA中，∠A=45°⇒AC=DC=5 BCA Δ 中， AC BC A A= °⇒ °= = ∠ 60 tan60 tan ) 1 3 ( 5 1 3 5 5 − = ⇒ = + ⇒ BD BD 14. ∵0°<θ<90°，∴θ∈I 3 1 cosθ = ，代入原式 2 2 3 1 1 3 2 2 cos 1 sin = + = + θ θ

15. cos(−110°)=cos110°=p⇒cos70°=−p

∴ p p2 1 70 tan °=− − 16. ) ( cos ) 2 sin( ) 2 3 sin( ) 2 3 cos( ) ( tan ) sin( 2 2 θ π θ π θ π θ π θ π θ π − ⋅ − − − + + ⋅ + = v 2 2 ) cos ( cos ) cos ( sin tan ) sin ( θ θ θ θ θ θ − ⋅ − − ⋅ − = 1 cos 1 cos sin cos 1 tan _{2 2} 2 2 2 _{+ =− + =} − = θ θ θ θ θ 17. 使用函數疊合性知− a2+b2(minimum) ) ( cos sinx b x a2 b2 Maximum a + ≤ + ≤ 13 cos ) 7 ( sin 24 13 ) 7 ( 242+ − 2− ≤ + − − − x x 13 ) 7 ( 242+ − 2 − ≤ ，∴−38≤ f(x)≤12 12 = ⇒ M ，m=−38⇒M −m=50 18. 原式 3 sec 4 5 sin 4 csc 6 tanπ × π + π × π = 3 2 3 6 2 ) 2 2 ( 2 3 3 − = × − + × = 19. 由餘弦定理知 2 1 80 49 25 64 2 cos 2 2 2 = − + = − + = ac b c a B ° = ∠ ⇒ B 60 20. ， ， ，∴P(−10,3) 21. ， ⇒∴ 22. ， ⋅ 0 30 10 0 ) 2 , 6 ( ) 3 , 4 2 (− + + ⋅ = ⇒− + = ⇒ t t t ∴t=3 23. 依柯西不等式得 41 ) ( ) 4 5 ( ) 4 5 )( (x2+y2 2+ 2 ≥ x+ y 2⇒ x2+y2 ≥ 則最小值為 41 24. ，∴θ= 120°

25. ∵(sinθ+cosθ)2 =1+2sinθ×cosθ

∴( 2)2 =1+2sinθ×cosθ⇒2sinθ×cosθ =1 2

1 cos sin × =

⇒ θ θ

又 =(sinθ,1)−(cosθ,2)=(sinθ−cosθ,−1)

則 _{= (sinθ−cosθ)}2₊₍₋₁₎2 1 1 1 1 1 cos sin 2 1− ⋅ + = − + = = θ θ