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彰化市私立精誠中學 108 學年度上學期第二次段考高中部一年級數學科試卷
班級:_______ 座號:_______ 姓名:__________________ 共四頁/第一頁一、多選題 :
( 每題 5 分。錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項 0 分 )1.
( ) 機器人在坐標平面上沿著一直線等速前進，剛開始觀察時，此機器人的位置在點 A ( 2，1 )，一小時後，已經來到點 B ( 11，13 )。關於此機器人的動線，下列敘述 哪些是 正確 的? (A) 機器人前進路線為一次函數 𝑓(𝑥) = 4 3𝑥 −
5 3 圖形的一部分。 (B) 機器人前進路線為一次函數 𝑓(𝑥) = 5 3𝑥 −
4 3 圖形的一部分。 (C) 20 分鐘後，機器人的位置在 ( 5，5 ) (D) 30 分鐘後，機器人的位置在 ( 7，7 ) (E) 40 分鐘後，機器人的位置在 ( 8，9 )2.
( ) 心理學家研究發現，一般情況下，學生的注意力隨著教師講課時間的變化而變化， 講課開始時，學生的注意力逐步增強，中間有一段時間學生的注意力保持較為理想 的狀態，隨後學生的注意力開始分散，經過實驗分析可知，學生的注意力 y 隨著時 間 t (分鐘)的變化規律有如下關係式： (A) 講課開始後，學生第 5 分鐘時注意力比開始後第 25 分鐘時的注意力更集中。 (B) 講課開始後第 10 分鐘，學生的注意力開始達到最集中，能持續 10 分鐘。 (C) 講課開始後第 12 分鐘，學生的注意力開始達到最集中，能持續 12 分鐘。 (D) 此堂課程中注意力集中的最高值與最低值的差是 140。 (E) 一道數學難題，需要講解 24 分鐘，為了使學習效果較好，需在學生的注意力至 少達到(包含)180 的期間內講解完，故老師需安排在講課開始後第 4 分鐘開始進入 講解該題，如此才能在學生注意力達到所需的狀態下，在這堂課內講解完這道題。3.
( ) 已知二次函數 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 的圖形通過四個象限，則下列選項中各數值 哪些必為 正數 ? (A)𝑎 (B) 𝑏 (C) 𝑐 (D) 𝑏
2− 4𝑎𝑐 (E)
𝑐 𝑎4.
( ) 下列敘述那些是 正確 的? (A) 直線 3𝑥 + 𝑦 + 6 = 0 的 𝑥 截距是 −2， 𝑦 截距是 −6 。 (B) 直線 y = 1 的斜率為 1 。第 2 頁/共四頁。
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(C) 若 𝑓(𝑥) 是一次函數，每當 𝑥 值增加 1 個單位時，對應的 𝑓(𝑥) 值就會減少 4 個單位，表示函數 𝑓(𝑥) 的圖形為斜率 −4 的直線。 (D) 函數 𝑓(𝑥) = −3(𝑥 + 2)2− 5 在閉區間 −3 ≤ 𝑥 ≤ 2 的最小值是 𝑓(−2)。 (E) 已知二次函數 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2，則 𝑓(−2𝑥) 圖形的開口比 𝑓(𝑥)圖形的開口小。5.
( ) 下列敘述那些是 正確 的? (A) 三次函數 𝑓(𝑥) = 2𝑥3− 3𝑥 在 𝑥 = 2 處的一次近似為 y = 21(𝑥 − 2) + 10 (B) 三次函數的圖形中，只有在對稱中心附近才會有一次近似。 (C) 已知三次函數 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 3)3− 5(𝑥 − 3) + 7，若將 𝑓(𝑥) 的圖形向上平移 3 單位，向左平移 7 單位，則新圖形會對稱於原點。 (D) 若三次函數 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3+ 𝑝𝑥 滿足 f(−5) > 0，f(−2) < 0，則可由圖形判知 𝑎 < 0，𝑝 > 0。 (E) 三次函數 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 的圖形經過適當的水平方向和鉛直方向 的平移，與 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥3 的圖形可以完全疊合。6.
( ) 坐標平面上有A( −4，7 )、B( 0， − 5 )、C( 𝑘 − 1，4 ) 三點，則下列敘述 那些是 正確 的? (A) 直線 AB 的斜率是 −3 (B) 當 𝑘 = −2 時，則直線 BC 的斜率是 −3 (C) 當 𝑘 = −2 時，A、B、C 三點共線。 (D) 當 𝑘 = 8 時，C 點在 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的垂直平分線上。(E) 當 𝑘 = 28 時，△ABC 是直角三角形，且∠ABC = 900。
7.
( ) 設三直線 𝐿1: 𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0，𝐿2: 2𝑥 − 3𝑦 + 4 = 0，𝐿3: 𝑎𝑥 + 𝑦 = 0，不能圍成一 個三角形，則 𝑎 可能的值是 ? (A)−
2 3(B)
1 2
(C)
2 (D) − 3 2 (E) 1 3
二、選填題 :
( 每題 5 分。全對才給分。 )1.
已知直線 L 與2𝑥 + 𝑦 + 4 = 0 垂直且直線 L 通過 𝑦 = −1 與 3𝑥 + 2𝑦 + 5 = 0 的交點， 則此直線 L 的方程式為___________________第 3 頁/共四頁。
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2.
解不等式 (3 − 𝑥)(𝑥 + 2)12(𝑥 − 1)13(2𝑥2+ 3𝑥 + 4)14 ≥ 0 _________________________3.
試問不等式 (3𝑥 − 5)(𝑥2− 11𝑥 + 28)(𝑥2+ 10𝑥 + 25) ≥ 𝑥2(𝑥2+ 𝑥 − 20)(𝑥2− 2𝑥 − 35) 共有_____________個整數解。4.
已知對所有的實數 𝑥，(𝑎 + 1)𝑥2− (2𝑎 − 1)𝑥 + (𝑎 + 3) > 0 ，𝑎 + 1 ≠ 0 均成立，則 𝑎 的範圍為______________________________5.
已知當 𝑥 的值增加時，函數 𝑓(𝑥) = ( 2𝑚 − 3𝑚2− 2𝑚3) 𝑥 + 𝑚 + 5 的值也會隨之增 加，則 𝑚 的範圍是_________________________6.
已知平行四邊形 ABCD 的四頂點為 A( 5，2 )、B( 1，−2 )、C( 3，−4 )、D( 7，0 )，過 E 點 ( 6，5 )且能將此平行四邊形的面積平分的直線方程式為______________________7.
設𝑎
、
𝑏
為實數，若拋物線 y = −3𝑥2+ 24𝑥 + 5 − 6𝑏2 與 y = a𝑥2− 𝑥 + 1 有相同的 頂點，則此頂點為____________________8.
已知直線 𝐿1 ∶ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 與直線 𝐿2 ∶ 3x + y − 9 = 0 對於 𝑥 軸成對稱。今有另一直線 M 與直線 𝐿1 平行，又直線 M 與兩軸所圍的三角形面積為 24，則此直線 M 的方程式為 _________________________9.
若已知三次函數 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥2− 6𝑥 + 8 有 (𝑥 + 𝑎)、(𝑥 − 2𝑎) 兩個因式，則 𝑓(1 − 3𝑥) < 0 的解為________________________10.
函數 𝑓: 𝑅 → 𝑅 滿足下列條件 : 存在一實數 𝑎 ，使得對所有實數 𝑥 ，不等式 𝑓(𝑎𝑥 + 3) + 5 ≤ 𝑥 ≤ 𝑓(𝑥 + 5) + 3 恆成立。試寫出所有這種函數𝑓。__________三、混合題 :
( 15 分 = 3 分 X 5 格 )1. 若三次函數 𝑓(𝑥) = −𝑥3+ 6𝑥2 = 𝑎(𝑥 − ℎ)3+ 𝑝(𝑥 − ℎ) + 𝑘，則 : (1) 𝑓(𝑥) 圖形的對稱中心是______________ (3%) (2) 計算 𝑓(1.9995) =____________________ (取近似值到小數點後第二位) (3%)
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