商科第三冊夜輔

全文

(1)

商科第三冊

範圍: 第一章 排列組合

排列

重點一、相異物型的直線排列

1. 從 n 件相異物中每次取出 m 件

(n≥m>0)

排成一列之法為

pnm

=

! ! ) m n ( n −

2. 從 n 件相異物中全取排成一列之法為

Pnn =n!

(1) 相鄰的題目:將相鄰的部份視為一體後排列之,再乘以相鄰的

部份之內部排列。

(2) 不相鄰的題目(相間的題目):不相鄰可用插入法解題。

(3) 數字排列的題目:

數字含有 0 時,注意 0 不可排首位。

奇數:末位排「奇數」。

偶數:末位排「0」或「非 0 偶數」。

 5 的倍數:末位排「0」或「5」。

(4) 反面解法:(□□)排法 + (不□□)排法 = (無限制)排法

重點二、含相同物型的直線排列、重複排列

◎重點整理◎

(2)

1. 含相同物型的直線排列:

n 件東西中,若第 1 類有 m

1

件,第 2 類有 m

2

件,……,

則將此 n 件東西全取排成一列的排法共有

  ! ! ! 2 1 m m n

2. 重複排列:

m 個相異物,分給 n 個人(每人可兼得,可不得)之分法:n

m

重點三、環狀排列

1. n 個相異物全取所作之環狀排列數為(n-1)!

2. 環狀排列中,若某些物已定坐,則其餘物的排列為直線排列

組合

重點一、不可重複的組合

1. 符號及公式:

(1)

n m n n m C C = ! ! ! ) m n ( m n 1 2 3 ) 1 m ( m ) 1 m n ( ) 2 n )( 1 n ( n − = × × − + − − − =   

(2)

Cnn =Cn0 =1

C1n =n

(3) 若

n y n x

C

C

=

,則 x = y 或 x + y = n

(4) 巴斯卡定理:

n n 1 n 1 m m 1 m C =C − +C −

2. 不可重複的組合:

從 n 個不同物件中,每次取 m 個

(n≥m)

不同物為一組,稱之為 n 中

(3)

取 m 之組合,

以符號

n m C

表示之。

(1)

由 n 個取 m 個,m 個中必含 r 個之組合:

n r r m C −

(2)

由 n 個取 m 個,m 個中必不含 r 個之組合:

n r m C −

(3)

至少含有一個的組合 = (任意組合) - (不含的組合)

註:平面上有 n 個相異點,設無任何三點共線,則可決定

n 2 C

條直線,

n 3 C

個三角形。

例:凸 n 邊形,共有

n 2 C −n

條對角線。

重點二、重複組合、組合總數

1. 重複組合:

(1)

重複組合之記法:

n( ) ) ( m

H

類件

) ( n ) ( m

H

不同同

1 m n m n m

C

H

=

+ −

(2)

重複組合之應用類型:

n m H

:表 n 類中,選取 m 件的方法數。

n m H

:表 m 件相同物,分給 n 個人的方法數。

n n m H

:表 m 件相同物,分給 n 個人,每人至少得一件的方法

數。

n m H

:表 x

1

+ x

2

+ …… + x

n

= m 的非負整數解的組數。

(4)

n n m H

:表 x

1

+ x

2

+ … + x

n

= m 的正整數解的組數。

2. 組合總數:

(1)

相異物之組合總數:

n 個不同物,任意選取(至少取一個)之方法為 2

n

-1

(2)

含有相同物之組合總數:

n 物中有 m

1

個相同,…,m

k

個相同,任意選取若干個(至少

取一個)之方法為(m

1

+1)(m

2

+ 1)(m

3

+ 1) … (m

k

+ 1)-1

重點三、二項式定理

n (x+y) = n n n r r n n n n 1 n n r 0 1 n r 0 C x −y C x C x −y C y (n N) = = + + + ∈



1. (x + y)

n

展開式不同類項共有 n + 1 項

2. (x + y)

n

展開式之第 r + 1 項為

n n r r rx y C −

3.

(x+1)n =C0nxn +C1nxn−1+Cn2xn−2 ++Cnn (n∈N)

註:

n n n n 2 n 1 n 0 C C C 2 C + + ++ =

C0n −C1n +Cn2 −C3n +=0

n n 1 4 n 2 n 0 n 5 n 3 n 1 C C C C C 2 C + + += + + += −

n n 1 n n 3 n 2 n 1 2C 3C nC n 2 C + + ++ = × −

(5)

精選試題

( ) 1. 設大禮堂共有 10 個門,老張由不同的門進出禮堂,共有方法 (A)100 (B)90 (C)20 (D)19 種。 ( ) 2. 7 5 P = (A)1260 (B)1440 (C)2520 (D)5040。 ( ) 3. 5 件不同的獎品任意分給甲、乙、丙、丁四個人,其中甲至少分得 1 件的方 法有 (A)1024 (B)781 (C)630 (D)243 種。 ( ) 4. 用 0、1、2、3、4、5 排成數字相異的三位數,其中 5 的倍數有 (A)52 (B)48 (C)40 (D)36 個。 ( ) 5. 5 男 3 女圍一圓桌而坐,女生全部相鄰的坐法有 (A)720 (B)840 (C)1440 (D)2160 種。 ( ) 6. 一家族 7 人分乘二部車,每部車限乘 5 人,則乘車方法有 (A)108 (B)112 (C)114 (D)120 種。 ( ) 7. 學校福利社賣 3 種飲料:牛奶、果汁、咖啡,高二勇班 35 位同學一起前往 福利社。若已知至少有3 人想喝咖啡,至少有 2 人不想喝任何飲料,問福利 社阿姨可端出幾種情形? (A)3486 (B)4864 (C)5456 (D)6278。 ( ) 8.「 pallmall 」一字的字母重新排列,若限制首位必排「l 」,則其排法有 (A)420 (B)360 (C)120 (D)105 種。 ( ) 9. 自然數 5040 的所有正因數中,無法被 21 除盡的有多少個? (A)20 (B)30 (C)40 (D)50。 ( )10. 設 a 為 540之質因數的個數,b 為540 之正因數的個數,則 a+b= (A)25 (B)26 (C)27 (D)28。 ( )11. 某汽車模型店賣十種款式的模型車,問小明要購買 3 個的選法有幾種? (A)100 (B)180 (C)220 (D)260。 ( )12. 三位數(正整數)中,末位數為 6 者,共有若干個? (A)89 個 (B)90 個 (C)91 個 (D)100 個。

(6)

( )13. 某鐵路共 21 站,其中有 4 個大站,其餘為小站,今大站與大站間所用車票 為紅色,小站與小站間車票為灰色,其餘車票為白色,若往返車票以不同種 計算,則白色車票有幾種? (A)136 (B)128 (C)184 (D)196。 ( )14. 在(x– x 1 )9之展開式中,x3之係數為 (A)84 (B)36 (C)–36 (D)–84。 ( )15. 5 男 4 女排成一列,男女相間的排法有 (A)5760 (B)2880 (C)1440 (D)1080 種。 ( )16. 令 C(n,m)表由 n 件不同事件中取出 m 件之組合數,若 C(n–1,r):C(n,r): C(n+1,r)=10:15:21,則下列何者為正確? (A)n=3,r=1 (B)n=12,r=4 (C)n=9,r=3 (D)n=6,r=2。 ( )17. 用 1、2、3、4 四個數字排成一四位數(數字不可重複),則全部四位數之 總和為 (A)44440 (B)55550 (C)66660 (D)77770。 ( )18. (x2+1)+(x2+1)2+……+(x2+1)12展開式中,x4項之係數為 (A)143 (B)286 (C)386 (D)486。 ( )19. 若 2 2 9 7 n n C =C ,則 3 n P = (A)504 (B)336 (C)210 (D)120。 ( )20. 用「0,1,2」可以組成多少個不同的六位數?(數字可重複使用) (A)729 (B)728 (C)504 (D)486 個。 ( )21. 滿足 x+y+z+u ≤ 6 的正整數解有 (A)10 (B)15 (C)84 (D)210 組。 ( )22. 設 n、r 為自然數,r ≤ n,若 n r P =720,Cnr=120,則 n+r = (A)12 (B)13 (C)14 (D)15。 ( )23. 由「1,2,3,4,5,6,7,8,9」中,任取兩個數相加,其和為偶數的情 形有幾種? (A)14 (B)16 (C)18 (D)20。 ( )24. 下圖由兩組平行線所構成,共可決定 (A)30 (B)36 (C)45 (D)60 個平行 四邊形。

(7)

( )25. 山路 5 條,甲、乙 2 人由不同的路上、下山,且每人都不由原路下山,則 全部方法有 (A)260 (B)280 (C)320 (D)400 種。 ( )26. 10 3 P +

P

54= (A)840 (B)810 (C)780 (D)750。 ( )27. 若 12 1 m C =C122m+4,則 12 m C 之值為 (A)66 (B)120 (C)220 (D)495。 ( )28. 5 朵不同顏色的花,作成一花圈,其作法共有幾種? (A)8 (B)10 (C)12 (D)24。 ( )29. 用五種不同顏色塗下圖各區域,顏色可重複使用,但相鄰區域不能同色,則 全部塗法共有 (A)720 (B)560 (C)540 (D)480 種。 ( )30. 用 100 元購買 5 元、10 元及 20 元的郵票,每一種郵票至少買 1 張,100 元 全部用完,則購買方法有 (A)16 (B)20 (C)27 (D)35 種。 ( )31. 設由甲地到乙地有 6 條路可走,由乙地到丙地有 4 條路可走,某人由甲地 經乙地到丙地,共有 (A)10 (B)16 (C)20 (D)24 條不同的路可走。 ( )32. 由 10 顆不同的寶石,任意選取 6 顆串成一項鍊,其不同的串法共有 (A)14400 (B)12600 (C)10800 (D)9600 種。 ( )33. (x+y)n的展開式中,第7 項的係數與第 15 項的係數相等,則 2 n C = (A)253 (B)231 (C)210 (D)190。 ( )34. 平面上有 8 條直線,其中 3 條互相平行,但無 3 線共點及其他平行情形, 則此8 條直線可構成的三角形共有幾個? (A)84 (B)50 (C)40 (D)30。 ( )35. 設 n m C 代表自n 個相異物件中,每次不可重複的取 m 件為一組的組合數, 則 10 2 C +C108 之值為 (A)45 (B)90 (C)10! 2! ×2 (D) 10! 8! ×2。 ( )36. 依下列各條件將甲、乙、丙、丁、戊等五人排成一列,何種條件下的排法最 多? (A)甲、乙相鄰 (B)丙、丁不相鄰 (C)戊排首位 (D)乙不排首位。

(8)

( )37. 12 個選舉人,4 個候選人,以不記名投票方式,每人一票,無廢票情形,則 可能的結果有 (A)495 (B)487 (C)455 (D)378 種。 ( )38. 桔子 5 個、蘋果 4 個、鳳梨 3 個,全部分給甲、乙 2 人,若每人至少得 1 個,則方法有 (A)119 (B)118 (C)60 (D)59 種。 ( )39.

(

)

8 x+ + +y z u 展開共可得 (A)252 (B)220 (C)165 (D)126 個不同的 項。 ( )40. 10 2 3 2 x x      展開式中, 5 x 項的係數為 (A) 960− (B)960 (C) 180− (D)180。 ( )41. 由甲、乙、丙……等 10 人中,選出 6 人出國旅遊,則必含甲,但不含乙、 丙的選法有多少種? (A)21 (B)42 (C)84 (D)168。 ( )42. 使用 , , , , ,H E I G H T 任意排成一列,共有幾種不同排法? (A)120 (B)180 (C)360 (D)720。 ( )43. 自AB

C

三種不同樣式的玩具中,任意選購 6 件,其方法有幾種? (A)6 (B)14 (C)28 (D)56。 ( )44. 7 個小朋友排成一列,其中 3 姊妹兩兩不相鄰,則排法共有 (A)1440 (B)1560 (C)1680 (D)2160 種。 ( )45. 若相同的玩具 8 個分裝於 3 個相同的箱子,每箱至少 1 個,則共有幾種裝 法? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8。 ( )46. 求(x3+1 x) 30的展開式中,x82項的係數為何? (A)315 (B)385 (C)435 (D)495。 ( )47. 設 n m P 及C 分別表示從mn n 個相異物任取 m 個的排列數與組合數,若 2 2 5 120 4 n n P + = C + ,則n= (A)4 (B)5 (C)6 (D)7。 ( )48. 「我為人人,人人為我」8 個字重新排成一列,若規定任 2 個「人」字均不 相鄰,則排法有 (A)24 (B)30 (C)32 (D)36 種。

(9)

( )49. 棋盤式街道如下圖所示:由 A 取捷徑至 B (只能向上或向右),不經過C 的 走法有 (A)442 (B)420 (C)384 (D)372 種。 ( )50. 可用 7 種不同顏色塗在右圖的 6 個格子內,若規定顏色不重複 使用且同一格子僅塗滿同一色,則共可塗出幾種不同的著色樣 式? (A) 7 6 C (B) 12 6 C (C) 7 6 P (D) 7 6 。

(10)

解答

01.

B 02. C 03. B 04. D 05. A 06. B 07. C 08. A 09. C 10. C

11.

C 12. B 13. A 14. D 15. B 16. D 17. C 18. B 19. B 20. D

21.

B 22. B 23. B 24. D 25. A 26. A 27. C 28. C 29. C 30. A

31.

D 32. B 33. D 34. C 35. B 36. D 37. C 38. B 39. C 40. A

41.

A 42. C 43. C 44. A 45. A 46. C 47. D 48. B 49. A 50. C

(11)

範圍:第二章 機率與統計

機率

重點一、古典機率、條件機率

1. 拉普拉斯(Laplace)的古典機率:

設 S 為樣本空間,若

A⊂S

為一事件,則事件 A 發生機率為

) S ( n ) A ( n ) A ( P =

,n(A)為 A 的元素個數,n(S)為 S 的元素個數。

2. 機率的性質:

(1)

A⊂S

為一事件,則

P(A′)=1−P(A)

(2)

機率的加法性:若 A、B 為 S 的二事件,則

) B A ( P ) B ( P ) A ( P ) B A ( P  = + − 

3. A 和 B 同時發生的機率

P(AB)

)

A

B

(

P

)

A

(

P

)

B

A

(

P

=

重點二、獨立事件

設 A,B 為樣本空間 S 的任二事件,若

P(AB)=P(A)⋅P(B)

,則稱 A,B

為獨立事件,

否則為相關事件。

註:若 A,B 為獨立事件,則下列事件亦為獨立事件

A 與

B′

A′

與 B

A′

B′

重點三、重複試驗、期望值

1. 重複試驗:

若某事件發生的機率為 P,則 n 次重複此試驗

(1)

恰好出現 r 次發生的機率為

n r n r ) P 1 ( P C − −

◎重點整理◎

(12)

(2)

至少出現一次發生的機率為

n ) P 1 ( 1− −

(3)

至少出現 r 次發生的機率為

n n k n k k k r C P (1 P) − = −

2. 期望值:

設事件 A

k

發生的機率為 P

k

,若事件 A

k

發生可得 m

k

(元),

則期望值

= ⋅P m1 1+ ⋅P m2 2++ ⋅Pk mk +

(元)

統計

1.資料整理與圖表編製

母群體與樣本

1. 統計的意義 統計學:是在面對不確定的狀況下,能協助我們作出明智決策的一種 科學。 統計方法:統計方法是一種蒐集資料、整理資料、分析資料,並依據 分析之結果,加以解釋或推論的科學方法 。 統計所研究的是有關於全體不確定現象的通則,而非個別事件發生的 結果。 2. 母群體、樣本與抽樣 母群體:指我們所要研究對象的全體 ,稱為母群體。 樣 本:指全體研究對象中被抽出的某一部分,稱為樣本。 抽 樣:指抽出所需樣本的全部過程 ,稱為抽樣。

2.次數分配表

1. 次數分配表的編製 將所有資料做有系統(大小)的排列,再以表格表示出其次數的分布狀 況,此種統計表稱為次數分配表。其編製方法依資料分類分為下列二種: 離散型資料:

(13)

分類別, 劃記,計算次數 上述三個步驟用來製作次數分配表,其最常用的圖形畫法:長條圖。 連續型資料:製作分組次數分配表的步驟如下: 求全距(

R

): 統計資料中最大數值與最小數值之差 ,稱為全距,即 全距(

R

)=最大數值

最小數值。 定組數: 將統計資料進行分 類 , 叫做分組 ; 分組 的 數目叫做組數 。 分 組 組 數過多或過少均不 宜 , 若組數過多 , 資 料 會分的太散 , 無法 顯 現 資料集中的趨勢 , 若 組數過少 , 又無法 顯 現資料散布的特性 , 故 通常分 7~15 組為適當,而定組數的方法亦可由下公式求出。 組數 1 3.3 log n= + (

n

表全部資料總數) 定組距: 指每一個分組的區 間 長度 , 叫做該組的 組 距 。 一般常用相同 的 組 距分組,而組距可取全距除以組數的近似值。即組距≒ 全距 組數。 定組限: 每一組上 下兩端的 界 限 , 稱為該組的 組 限 , 數值較大的組限 叫 做 上限,數值較小的叫做下限,而上限與下限的平均數稱為 組中點。 在訂定組限時 , 務 必 使最小一組的下限 小 於或等於實際資料 的 最 小值,而使最大一組的上限要大於或等於實際資料的最大值 。 附 註 : 相 鄰 兩 組 中 , 若 前 一 組 的 上 限 等 於 後 一 組 的 下 限 時 , 一 般 採 用 各 組 含 下 限 但不 含 上限 的 規則。 例 10~ 20 這 一 組的 範 圍, 若 以 x的 不 等式 表 示即為10≤ <x 20。 例 若資料分組為:第一組 10~20,第二組 20~30,…,最後一 組 90~100,則表示第一組的下限為 10,上限為 20,組中點為 15,但數值資料 20 屬於第二組,另數值資料 100 則屬於最後 一組。 歸類劃記: 將每一筆資料分類填入其所對應的組內,通常以「正」字或「 」

(14)

表之,以便計算。 計算次數: 歸類劃記之後,計算各組次數。

3.次數分配曲線圖

1. 常用的統計圖 長條圖:利用分隔的長條,並以長條之長短來表示各分類資料次數的 分布情形,此稱為長條圖,一般而言,適用於表示 離散型資料分布。 直方圖:一種用來表示分組後各組數值分布的圖形,圖中長方形的高 度即表示該組的次數。 次數分配曲線圖:依序將直方圖中的中點以線段連接,就形成一個折 線圖,稱為次數分配折線圖。通常我們假設全部資料共分成

k

組,而 且各組的組中點依序為x 、1 x 、2 x 、…、3 x ,其所對應的次數分別kf 、1 f 、2 f 、…、3 f ,依此可在坐標平面上標出k (x1,f 、1) (x2, f2)、 3 3 (x ,f )、…、 (xk, fk)等

k

個點,同時可設想在折線圖左右兩端(即 第一組前面和最後一組之後 )各加一組次數均為 0 的資料,其組中點 分別為(x1−d1, 0)、 (xk+dk, 0),d 、1 d 分別為最小一組及最大一組的組k 距 , 最後再依 序將此k+2個點連接 , 所 得之折 線圖 , 稱為 次 數分配 曲線圖。 直方圖 次數分配 曲線圖

(15)

4.累積次數分配表與累積次數分配曲線圖

1. 累積次數分配表 以下累積次數分配表 在次數分配表中,從各組的次數最小一組,逐一向次數較大一組依序 累積至最大一組,並分別將累積後的數值記入所對應的組內,所得即 為「以下累積次數分配表」。 以上累積次數分配表 若改由各組的次數最大一組,逐次向次數較小一組依序累積至最小一 組,並分別將累積後的數值記入所對應的組內,所得即為「以上累積 次數分配表」。如下表所示: 組 別 次 數 以下累積次數 以上累積次數 1 LU1 2 LU2k LUk 1 f 2 fk f 1 f 1 2 f + f  1 2 k f + + +ff 1 2 k f + + +ff 2 k f + + fk f 總 計 n 上表中U1 =L2U2 =L3,…,Uk1 =Lk。 2. 累積次數分配曲線圖 將累積次數分配表的分配情形,以曲線圖的方式呈現出來,稱之為累積 次數分配曲線圖。畫法有下列二種: 以下累積次數分配曲線圖 以各組的「上限」為橫坐 標,各該組對應的「以下 累積次數」為縱坐標,定 出各點位置後,將各對應 點 連 同 最 左 端 的 點( , 0)L1 一起連接起來,即得「以 下 累 積 次 數 分 配 曲 線 圖」。 以上累積次數分配曲線圖 以下累積次 數分配圖 Ll Ul U2 U3 ... Uk n f1 f1+f2 f1+ +f2 f3 ... .. .

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5.相對累積次數分配表與相對累積次數分配曲線圖

1. 相對次數是為了讓我們進一步了解百分比分配狀況,所以相對次數分配 是指各組次數占總次數的比例 。相對次數 =各組次數×100% 總次數 。 2. 相對次數分配表:分組整理後,算出各組的相對次數而製成的表稱之為 相對次數分配表。 3. 相對累積次數分配表:將相對次數依「以上累積」或「以下累積」,可 得「以上累積相對次數分配表」及「以下累積相對次數分配表」。 4. 相對 次 數 分配 曲 線 圖 : 將 各 組 相對 次 數 與 各組 中 點 所對 應 的 點 依序描 點,再依序連接各點後所得的圖形。 5. 相對累積次數分配曲線圖:將各組的相對累積次數點到該組上限或下限所對 應的點,再依序連接各點所得到的圖形則稱之以上(以下)相對累積次數分配曲 線圖。

(17)

精選試題

( ) 1. 某校有學生 1000 人參加模擬考。假設此次考試成績合於常態分配,且平均 分數為80 分,變異數為 25 分,則成績高於 85 分的人數大約有幾人? (A)161 人 (B)160 人 (C)159 人 (D)0 人。(四捨五入至整數) ( ) 2. 甲、乙、丙三人各出剪刀、石頭、布猜拳,則樣本空間中的元素有多少個? (A)6 (B)9 (C)18 (D) 27 。 ( ) 3. 某班 50 位學生學期成績其以下累積次數分配曲線圖如下: 其算術平均數為 (A) 69.6 (B) 70.4 (C) 70.6 (D) 71.4 分。 ( ) 4. 已知一群資料群的次數分配表為五組,其組中點分別為 32.5 、36.5 、40.5 、 44.5 及 48.5 ,則此次數分配表的組距為 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8。 ( ) 5. 假設臺灣地區計有都市 2500 千戶,城鎮 1000 千戶,鄉村 900 千戶,今依 比例從都市、城鎮、鄉村中各抽出1% 之樣本戶,則都市應抽出多少千戶? (A)25 (B)20 (C)10 (D)9。 ( ) 6. 設 A={1,2,3,4,5}、B={3,5,7}、C={2,7},則下列敘述何者錯誤? (A)A–B ={1,2,4} (B)A∪B ={1,2,3,4,5,7} (C)B∩C ={7} (D)A∩(B∪C) = {1,2,3,5}。 ( ) 7. 由 1,2,3,4,5 五個數字中任選二數,則其積為偶數的機率為 (A) 1 10 (B) 3 10 (C) 5 10 (D) 7 10。 ( ) 8. 華騰高中全校學生共 60 班,每班家庭背景大致相同,可視為全校的縮影, 現任抽取一班學生作全面訪查,則此種抽樣方法為 (A)簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C)分層隨機抽樣 (D)部落抽樣。

(18)

( ) 9. 一組資料數值如下:6、6、6、7、7、8、2、3、3、5,則眾數為 (A)6 (B)7 (C)8 (D)3。 ( )10. 集合 A={1,{1},{1,{1}}},則 A 的部分集合共有多少個? (A)2 (B)3 (C)4 (D)8。 ( )11. 某高中為了解學生的身高分布情形,從一、二、三年級的全年級學生中,各 年級分別隨機抽取100 名作為樣本,此種抽樣方式為 (A)系統抽樣 (B)簡 單隨機抽樣 (C)分層隨機抽樣 (D)部落抽樣。 ( )12. 設 50 個燈泡中有10 個是壞的,今任意取出 3 個,機會均等,則含有壞燈泡 的機率為 (A)243 490 (B) 245 490 (C) 247 490 (D) 249 490。 ( )13. 在某次考試中,有一試題採單選題,而此題有(A)、(B)、(C)、(D)四個答案, 其中只有一個答案是正確的。若答對此題可得5 分,答錯則倒扣 S 分。假設 某考生決定「靠運氣瞎猜其中一答案」,為了讓該考生在此題上得分的期望 值為0,則 S 之值為 (A) 4 3 (B) 3 4 (C) 4 5 (D) 3 5 。 ( )14. 若一母體包含 2,3,4,5,6,7,8 七個數值,則此母體標準差為 (A)

2

7

(B)

5

6

(C)1 (D)2。 ( )15. 有一組統計資料(xi)含有 5 個數據值,其數據值依次為:2,4,6,8,10, 標準差為

3.16

。將此組資料依yi = −2xi+20轉換成另一組資料(yi),則轉 換後的資料算術平均數(Y )應為多少? (A)6 (B)8 (C)10 (D)12。 ( )16. 同時擲 3 粒公正的骰子,則其點數總和的期望值為 (A) 2 7 (B) 2 21 (C)21 (D)7。 ( )17. 設某班統計學平時考試成績分別為

x

1

x

2,……,xn,其平均數與變異數 分別為X 與 2 S ,統計學老師認為測驗卷的題目太難,每人都加10 分,則 加分後的平均數與樣本變異數將改變為 (A)X , 2 S (B)

X

+

10

, 2 S

(19)

(C)X , 2 100S (D)

X

+

10

, 2 10 S + 。 ( )18. 自一副 52 張的撲克牌中任意抽取一張,機會均等,若已知此牌為 A ,則其 為紅心的機率為 (A)1 4 (B) 1 3 (C) 1 2 (D) 2 3。 ( )19. 擲兩粒均勻骰子,若已知兩粒骰子的點數和為偶數,則點數和小於 5 的機 率為 (A)1 9 (B) 2 9 (C) 1 3 (D) 4 9。

( )20. 設 A、B 為二集合,A∪B=B 同義於 (A)A=B (B)A∩B=A (C)A∩B=B (D)A ∪B=A。

( )21. 設 A={(t,t–4)|t 為實數}、B={(2–t,t)|t 為實數},則 A∩B= (A){(1, –3)} (B){(–3,5)} (C){(–1, –5)} (D){(3, –1)}。 ( )22. 某人同時擲三個均勻硬幣一次,規定出現 k 個正面可得 2k–1 元(k =1,2,3), 若無正面出現則須付15 元,則此人作此試驗的期望值為 (A) 4 3 (B) 2 1 (C) 4 1 (D) 8 1 元。 ( )23. 有八個數值資料如下:15,73,x,65,42,83,50,87,已知它們的中位 數是60,則 x= (A)60 (B)57.5 (C)55 (D)50。 ( )24. 設 A={1,2,2,3,3,3},則 A 的子集共有 (A)8 (B)16 (C)32 (D)64 個。 ( )25. 設 A、B 為二事件,且 A、B 為互斥,則 (A)P(A∪B)=0 (B)P(A∩B)=0 (C)P(A

B)=P(A)×P(B) (D)P(A∩B)=P(A)×P(B)。 ( )26. 「庭院深深深幾許」七個字重新排列,三個「深」字均不相鄰的機率為 (A) 7 2 (B) 14 5 (C) 21 8 (D) 7 3 。 ( )27. 設

{

A B C 為樣本空間 S 的一個分割,若, ,

}

( )

1 3 P A = ,

( )

1 4 P B = ,則P C

( )

=

(20)

(A) 1 12 (B) 5 12 (C) 7 12 (D) 1 6。 ( )28. 設 A⊂BCD,則下列何者不正確? (A)A∪C=C (B)A–B=(C)B∩C∩ D=B (D)(A∪B)∩C=A。 ( )29. 一箱子內有 12 個燈泡,其中有 5 個是壞的,今隨機取出 3 個,則取到壞燈 泡個數的期望值為 (A)5 4 (B) 5 3 (C) 4 3 (D) 3 4。 ( )30. 五對夫婦圍一圓桌而坐,求夫婦相鄰且男女相間的機率為 (A)24 10! (B) 48 9! (C)48 10! (D) 24 9!。 ( )31. 設A=

{

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6

}

B=

{

2 , 4 , 6 , 8

}

C=

{

4 , 5 , 6 , 7 , 8

}

,則

(

AB

)

∩ =C (A)

{ }

4 , 5 (B)

{ }

4 (C)

{ }

5 (D)

{ }

7 , 8 。 ( )32. 一袋中有 3 白球、5 紅球,由袋中一次取出三球,至少含有 2 紅球的機率為 (A) 7 2 (B) 7 3 (C) 7 4 (D) 7 5 。 ( )33. 同時擲 6 枚均勻硬幣一次,至少出現一個正面的機率為 (A) 64 63 (B) 16 15 (C) 8 7 (D) 2 1 。 ( )34. 自裝有 5 紅球、3 黃球、2 白球之袋中,一次取出三球,其為 2 紅球、1 黃 球之機率為 (A) 4 1 (B) 5 2 (C) 15 2 (D) 10 3 。 ( )35. 從半徑為 3 之球內任取 1 點 P,則 P 到球面距離大於 1 的機率為 (A) 27 19 (B) 27 8 (C) 27 4 (D) 27 1 。 ( )36. 某人投籃平均每五次投中三次,設此人在 n 次投籃中至少投中一次的機率 大於0.999,則 n 之最小值為 (A)12 (B)10 (C)9 (D)8。(已知log2=0.3010)

(21)

( )37. A、B、C 為樣本空間 S 之三事件,若 P(A)=P(B)=P(C)= 4 1 ,且P(A∩B)=P(B∩C)=0, P(A∩C)= 8 1 ,則A、B、C 三事件至少有一事件發生的機率為 (A) 8 7 (B) 4 3 (C) 8 5 (D) 2 1 。 ( )38. 一袋中有 3 個紅球、5 個白球,連續三次由此袋中取出一球(取出後不放回), 則所取出球中有2 紅球之機率為 (A) 56 5 (B) 56 15 (C) 256 5 (D) 256 15 。 ( )39. 袋中有大小相同的紅球 4 個、白球 5 個、黑球 3 個,現自袋中任意取出 2 球(一次1 球,取兩次,取出不放回),則2 球同色的機率為 (A) 11 4 (B) 33 10 (C) 66 19 (D) 33 17 。 ( )40. 投擲兩顆公正骰子,若第一顆出現點數為 5,則第二顆出現點數是偶數的機 率為 (A) 2 1 (B) 3 1 (C) 4 1 (D) 3 2 。 ( )41. 某機關錄用職員一名,甲被錄用的機率為1 3,乙被錄用的機率為 1 4,則甲或 乙被錄用的機率為 (A) 1 12 (B) 5 12 (C) 7 12 (D) 1 2。 ( )42. 設 A 、 B 為同一樣本空間的二獨立事件,則下列敘述何者不正確? (A)P A

(

B

)

=P A

( ) ( )

×P B (B)P A

(

B

)

=P A

( ) ( )

+P B (C)P B A

( )

=P B

( )

(D)P A B

( )

=P A

( )

。 ( )43. 甲、乙 2 人射擊同一目標,彼此互不影響,甲的命中率為2 5,乙的命中率 為3 4,今2 人同時向目標射擊,恰有 1 人命中目標的機率為 (A) 7 10 (B) 13 20 (C)11 20 (D) 7 20。

(22)

( )44. 甲、乙兩位警察射擊一兇犯,已知甲之命中率為3 4,乙之命中率為 2 3。今 甲、乙兩位警察同時對兇犯各發一槍,則此兇犯被擊中的機率為何? (A) 5 12 (B) 7 12 (C) 2 3 (D) 11 12。 ( )45. 投擲兩枚公正的骰子,出現點數和為 7 的機率為何? (A) 5 36 (B) 6 36 (C) 7 36 (D) 8 36。 ( )46. 已知樂透彩的玩法是由 1 至 42 之號碼中圈選 6 個相異號碼,且每期開出 6 個相異的中獎號碼(不包含特別號碼),則購買2 張號碼均相異之樂透彩券 中,恰有2 個為中獎號碼之機率為何? (A) 42 42 6 6 1 1 C ×C (B) 36 36 4 4 42 42 6 6 C C C ×C (C) 26 1036 42 6 C C C × (D) 26 1036 42 12 C C C × 。 ( )47. 在圓內部任選一點,則此點至圓心的距離小於此點至圓周的距離之1 2倍的 機率為何? (A)4 9 (B) 1 3 (C) 2 9 (D) 1 9。 ( )48. 若同時丟擲兩個公正骰子一次,則此兩個骰子出現相同點數的機率為何? (A) 5 36 (B) 1 6 (C) 7 36 (D) 2 9。 ( )49. 若同時投擲一枚不公正的硬幣與一枚公正的硬幣一次,兩枚都出現正面的機 率是 log 3 ,試問只投擲該枚不公正的硬幣一次時,出現正面的機率為何? (A) log 3 (B)1log 3

2 (C) 2log3 (D)

(

)

2 log 3 。 ( )50. 設甲袋有 1 紅球、3 白球、1 黑球;乙袋有 3 紅球、1 白球、1 黑球,今隨 機任選一袋,再從袋中取出一球,試求取出為白球的機率為何? (A)1 3 (B)2 5 (C) 3 5 (D) 4 5。

(23)

解答

01. C 02. D 03. A 04. B 05. A 06. D 07. D 08. D 09. A 10. D

11. C 12. A 13. D 14. D 15. B 16. B 17. B 18. A 19. B 20. B

21. D 22. C 23. C 24. A 25. B 26. A 27. B 28. D 29. A 30. B

31. C 32. D 33. A 34. A 35. B 36. D 37. C 38. B 39. C 40. A

41. C 42. B 43. C 44. D 45. B 46. D 47. D 48. B 49. C 50. B

數據

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參考文獻

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