第一次期中考數學(數理班)

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國立師大附中九十七學年度第一學期【高二數學科】第一段考試題卷(數理班)

一、是非題：(每題 2 分，答錯不倒扣！共 12 分。)

1. 任給一向量u和一個實數 r，若 r = 0﹐則 ru= 0。

2. 在△ABC 中，若GA＋GB＋GC＝0，則 G 為△ABC 的重心。 3. 若a．b＝a．c且a≠0，則b＝c。

4. a,b均不為零向量，若(a+b)．(a－b) = 0﹐則a//b。

5. 空間中，通過直線外一點，恰有一直線與此直線垂直。

6. 空間中，兩相異直線恰可以決定一個平面。

二、單選題：(每題 4 分，答錯不倒扣！共 20 分。)

1. 若△ABC 中，A ( 2 , －8 )，B ( －6 , －2 )，C ( 6 , －5 )，設∠A 的內角平分線交BC於點 D ( a , b )，

則 a + b = ？ (A) 2 (B) 2 (C) 4₅ (D) 3 (E) 1

2. 如右圖﹐設 ABC 為坐標平面上一三角形﹐P 為平面上一點且____\_AP＝1 5

____\

AB＋3₅ ____\AC﹐

則_△△_ABCABP面積_面積= ？ (A) 1

5 (B) 1 4 (C) 2 5 (D) 1 2 (E) 3 5 3. 設a= ( 1 , 2 )，b= ( 4 , 3 )，若有一實數 t 之值，使得 | a + tb | 為最小， 其最小值為？ (A) 0 (B) 1 (C) – 1 (D) 2 (E) 1 2 4. 設 P (x, y）為直線 L： 3x – 4y  2  0 的動點，求 ₍_x_₁₎2_₍_y_₂₎2 的最小值為？ (A) 1 (B) 2 (C) 5 9 (D) 3 (E) 10 5. 設 A( 2 , 1 )，B( 1 , 3 )，則____\_AB在直線 L： x  3y  7 的分向量(正射影)為 ( a , b )，則 a + b = ？ (A) 10 21 (B) 10 7 (C) 10 7  (D) 5 7  (E) 0 三、多選題：(每題 6 分，答錯不倒扣，只錯一個可獲 3 分，錯兩個或以上不給分!共 12 分。) 1. 右圖所示﹐兩射線 OA 與 OB 交於 O 點﹐試問下列選項中哪些向量 的終點會落在陰影區域內﹖ (A) _OA____\ ＋_OB____\ (B) 3 ____\ 4OA + ____\ 2 5OB (C) 3 ____\ 4OA － ____\ 2 5OB (D) ____\ 3 4OA ＋ ____\ 1 5OB (E) ____\ 3 4OA ＋ ____\ OB 2. 設 A ( 4，3 )，B ( 6，8 )，O ( 0，0 )為平面上之三點，且 C 點為AB之中點，令 =a，=b，則下列何者正確？

(A) 向量a+b的長度為 15　 (B) 內積a．b= ( 24 , 24) 　(C) ∆ ABO 的面積為 7 (D) A 點到直線 OB 的距離為

5 7

　 (E) = ( 1，– 1 )。

四、填充題：(每題 8 分，共 40 分。)

(2)

形成之兩面角為 θ，求 tan θ ＝　　　　　。 2. 如圖(2)﹐直角∆ABC 三邊長為 3，4，5，P 為AC邊上一個動點，P 到AB、BC兩個邊之距離分別 是 x，y，求 x 2_{+ y} 2_{之最小值為　　　　　。} 圖(1) 圖(2) 3. 已知三直線 L1：2x  y  1  0，L2：x  2y  1  0，L3：2x + y + 7  0，圍成△ABC，其內心坐標為　　　　　。 4. 已知 |a|＝|b|，且a．b≠0，若a與b的夾角為 θ，

且( |a－b|－|a＋b| )＝ |a|，則 cos θ＝　　。

5. 如右圖﹐P 是ABC 內一點，過 P 分別作直線平行ABC 各邊。 已知圖中的三個小三角形 t1、t2、t3的面積分別為 4、9、49，求 ABC 的面積為　　　　　。 (初中數學競賽教程 P.158) 五、計算證明題：(每題 8 分，共 16 分。) 1. 如右圖﹐ABCD 為一平行四邊形，CE：ED=1：1 且BF：FC=1：2，求 (1) PE：AP=？ (2) △PAD 的面積：□ ABCD 的面積 =？ 2. 如下圖﹐在△ABC 中，∠B 2∠C，AD為BC邊上的高，E 為BC中點，求證： 1 2 DE AB。 (初中數學競賽教程 P.145)

Good luck !

國立師大附中九十七學年度第一學期高二【數學科】第一次段考答案卷

高二班號姓名： 成績：

(3)

第一部分：是非題 (每題2分，對的打””，錯的打” ”，答錯不倒扣，共12分。) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 第二部分：單選題 (每題4分，答錯不倒扣，共20分。) 1. 2. 3. 4. 5. 第三部分：多選題 (每題6分，答錯不倒扣，只錯一個可獲3分，錯兩個或以上不給分，共12分。) 1. 2. 第四部分：填充題 (每題 8 分，共 40分。) 1. 2. 3. 4. 5. 第五部分：計算題 (每題8分，有過程才給分，共16分！) 1. 2.