線性非時變系統之即時參數估測

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線性非時變系統之即時參數估測

鄭淑芬、李壽昇、黃家偉、郭東義 國立高雄應用科技大學化學工程與材料工程系 E-Mail: tyguo@cc.kuas.edu.tw

摘要

以微分方程式描述的受控程序，藉由後向差分近似微分運算，將受控程序表示成簡單的回歸模式，並建立回歸模式與受控程序參數間的關係式。於使用比例積分微分（Proportional-Integral-Derivative, PID）控制器的回饋控制迴路中，經由線上受控程序的輸入和輸出數據，以遞迴最小平方法週期性計算回歸模式並即時估測受控程序之參數。由一階和二階線性受控程序範例的模擬結果，顯示所提方法可以快速且準確估測受控程序的參數。本論文所提的方法可結合現有對線性系統之控制器的設計準則，線上自動調諧控制器參數，以達到要求的控制效能。關鍵字：即時參數估測、遞迴最小平方法、適應性控制、線性非時變系統。

1. 前言

比例積分微分（Proportional-Integral-Derivative, PID）控制器，它是現代工業生產過程中最常用的控制演算法，但早在公元 250 年希臘人就善於使用回饋控制系統來控制水位。1788 年，瓦特發明蒸汽機也首度使用飛球調節器。到了 20 世紀 30 年代，具有比例、積分等回饋控制器已開始使用[1]，而且氣動式 PID 控制器在工業界得到廣泛的認可，而相對應電子控制器在 20 世紀 50 年代進入市場。60 年代初期，出現以電腦控制之應用實例。目前工業控制上，如化工流程、液位控制、溫度控制、壓力控制…等，都是以 PID 控制器為主[2]，此乃因為 PID 控制器的構造簡單、易被人們熟悉和掌握、控制效果好和對於大部分的製程應用均有效（除具有長時間延遲之程序外)，並且可在不了解動態製程特性下使用，至今在工業上仍普遍被採用[2,3]。為了使控制程序能達到最佳控制效能，常需建立鑑別受控程序的數學模式或特性參數，以便調諧控制器的 P、I、D 參數[4]。常見鑑別受控程序的數學模式或特性參數的方法有程序反應曲線法（Reaction curve method）、連續圈環法（Continuous cycling method）、替續器回饋響應法（Relay feedback response method）、閉迴路響應法（Closed loop response method）、遞迴最小平方估測法（Recursive least-squares estimation method）等，這些方法各有其優缺點。程序反應曲線法是在穩態程序下給予受控程序輸入步階測試訊號，以得到鑑別程序所需的反應曲線圖。1972 年 Smith[5]由程序反應曲線，提出以圖解的技術將程序鑑別成一階或二階時延模式。1978 年 Sundaresan 及 Krishnaswamy[6]提出由步階響應曲線估計系統輸出達 35.3%及 85.3%所對應的兩個響應時間，改善了反曲點難於決定的問題。1994 年 Rangaiah 及 Krishnaswamy[7]提出以步階響應的三個特性點（即最終穩態響應的 14%、55%、91%所對應的響應時間)，配合經驗式鑑別二階含時延系統。程序反應曲線法的優點為只需一次單獨的試驗測試，故執行上很簡單，但缺點是其試驗測試必須在開迴路條件下進行。 1942 年 Ziegler 和 Nichols[1]提出連續圈環法，此法於回饋控制的閉迴路系統中，在設定點或擾動作步階改變情形下，藉由調整比例控制器之比例增益使系統產生週期性振盪（Cycling oscillation），以獲得臨界增益（Ultimate gain）和臨界週期（Ultimate period）等兩個代表受控程序的特性參數。1984 年 Åström and ©2007 National Kaohsiung University of Applied Sciences, ISSN 1813-3851

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Hägglund 提出替續器回饋響應法[8]，此法是暫時將控制器以繼電器代替，形成繼電器反饋回路並使受控程序在正常操作點附近產生週期性振盪，此振盪數據可用來獲得受控程序的臨界增益和臨界週期。之後，有許多學者針對替續器回饋響應法作更深入的研究，例如延伸應用於非穩定系統的參數鑑別[9]及二階含時延系統的模式鑑別[10]。連續圈環法和替續器回饋響應法的優點為可獲得確切的受控程序特性參數，但由於此兩種方法造成受控程序週期性的振盪，無法於製程正常操作下進行。閉迴路響應法是 Yuwana 和 Seborg[11]於 1982 年所提出，此方法是於比例控制的閉迴路系統中，在設定點作步階改變而得到閉迴路的暫態響應數據，進而將程序鑑別為一階含時延系統，之後由學者 Jutan 和 Rodriguez[12]、Lee 等人[13]和 Chen[14]等人改良此法，改善了參數估測的準確性。以比例回饋控制閉迴路鑑別程序參數的優點是可於製程操作下進行，但其缺點為在比例控制下做測試，因此將產生穩態誤差。改善了穩態誤差的缺點，Mamat 和 Fleming[15]提出於閉迴路系統以比例積分控制做測試。另外，Ananth 和 Chidambaram[16]、Cheres[17]、Sree 和 Chidambaram[18]等學者則將此法延伸於不穩定一階含時延程序的參數鑑別。遞迴最小平方估測法為即時線上參數估測法[19,20]，經由量測受控程序的輸入輸出，最佳化計算及整理，最後可以得到受控程序回歸模式和參數。目前 PID 控制器參數調諧的技術很多[4]，而能即時線上調諧的技術較符合工廠自動化需求，但這些調適法之最基本理論及需求是程序特性參數的估測。本論文針對線性非時變之受控程序，提出即時程序參數估測法，此方法主要概念是藉由後向差分近似微分運算，將受控程序表示成簡單的回歸模式，以遞迴最小平方法進行線上程序參數估測。本論文章節架構包括：第二章介紹遞迴最小平方估測法[19]，第三章以後向差分近似微分運算推導受控程序的回歸模式，第四章模擬驗證所提方法的有效性，最後總結前述結果並提出未來可再進一步研究的方向。

2. 遞迴最小平方估測

考慮下列簡單回歸模式（Regression model)： 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T ( ) n n y t =ϕ θt t +ϕ tθ t + +_L ϕ tθ t =ϕ t θ t ₍₁₎ 式中，y t( )：觀測變數（Observed variable) θi( )t ：估測參數（Estimated parameter)

ϕi( )t ：回歸變數（Regression variable or Regressors)

θ( )t =[ ( ) ( ) ( ) θ1 t θ2 t Lθn t ] ϕ( )t =[ϕ1( ) ( ) ( ) t ϕ2 t Lϕn t ] 定義 residuals ( )ε i 為 ˆ ˆ ( )t y t( ) y t( ) y t( ) T( ) ( )t t ε = − = −ϕ θ ₍₂₎ 式中，y tˆ( )_和θˆ( )t _{分別是經鑑別獲得的觀測變數值和估測參數值。導入下列式子：}

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1 1 1 ( ) [ (1) (2) ( )] ( ) [ (1) (2) ( )] (1) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) T T t T T i Y t y y y t E t t t t P t t t i i ε ε ε ϕ ϕ ϕ ϕ − − = = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ Φ _{= ⎢} _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = Φ Φ _{= ⎜} _⎟ ⎝

∑

⎠ L L M 可定義平方誤差為

(

)

2 ₂ 2 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 t t T T i i V θ t ε i y i ϕ iθ i E t E t E = = =

∑

=

∑

− = = (3) 式中 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E t =Y t −Y t =Y t − Φtθ t 滿足最小化平方誤差的參數 ˆ( )θ t _可表示為 $ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T _t _tθ _t T _{t Y t} Φ Φ = Φ ₍₄₎ 假如矩陣 T( ) ( )為非奇異（Nonsingular），而且只有唯一最小值，可得 t t Φ Φ $ 1 ( ) T( ) ( ) T( ) ( ) t t t t Y θ = Φ⎡_⎣ Φ ⎤_⎦− Φ _{t (5)} 在線上進行即時參數估測，新的觀測數據源源不斷而來，可利用這些新的觀測數據不斷改善參數估測。如果僅採用式（5）一次估算公式反覆進行運算，顯然不太實際，這是因為矩陣 ( )Φ 的維數將隨著數據點數t 的增加而不斷上升，矩陣的逆運算過程也愈來愈困難。另外由於儲存的舊數據要保留，而新數據又不斷增加，儲存量也愈來愈大，為了使最小平方法得以應用在實際控制或節省計算時間，對於線上參數估測必須使用遞迴最小平方演算法。 ( ) ( ) T t t Φ Φ 令θˆ( 1)t− 表示時間t−1時的估測值，並假設ΦT( ) ( )t Φt 矩陣對於所有時間均為非奇異，t θˆ( )t 可以下列遞迴方程式獲得： $ $

(

$

)

(

)

1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) T T T t t K t y t t t K t P t t I t P t t P t I K t t P t θ θ ϕ θ ϕ ϕ ϕ ϕ

)

− = − + − − = − + − = − − (6) 上述遞迴演算法的一個顯著特點是，對於所有估測數據的加權是相同的，這就表示舊數據和新數據對於參數估測所提供的信息同樣重要，如果被估測的參數是未知常數，那這種方法是合理的，但是當被估測

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的參數會隨時間緩慢變化，上述遞迴演算法就不能反映出參數時變的特點。因此需要一種能跟蹤參數變化的遞迴演算法，其特點是將誤差準則由等加權改成指數加權，所以式(3)改寫成

(

2 1 1 ˆ ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 t t i T i V θ t λ− y i ϕ iθ i = =

∑

− ˆ

)

(7) 式中， (0λ < ≤ 表示加權係數。因當λ 1) λ< 時，對愈舊的數據所加的權重愈小，相當於舊數據逐漸被1 遺忘，因此λ稱為遺忘因子（Forgetting factor）。具有遺忘因子的參數估測遞迴方程式如下： $ $

(

$

)

(

)

1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) / T T T t t K t y t t t K t P t t I t P t t P t I K t t P t θ θ ϕ θ ϕ λ ϕ ϕ ϕ λ

)

− = − + − − = − + − = − − (8) 由於當無更新的輸出入數據時，將導致遞迴最小平方演算法發散，須導入常數追踨運算（constant-trace algorithm），以增加估測運算的強健性（robustness）[19]。

3. 回歸模式系統推導

本章以後向差分公式近似微分運算來推導一階及二階線性系統之回歸模式並建立回歸模式與受控程序參數的關係式，其中一階線性系統包括穩態增益（KP）和時間常數（τ ）兩個參數。而二階線性系統則包括描述受控程序轉移函數之分子和分母多項式的 4 個係數。 ( ) u t y t( ) ( ) P G s 圖 1 開迴路系統 3.1 一階線性系統 考慮圖 1 所示之開迴路系統，圖中，是受控程序的轉移函數，且和分別為開迴路系統輸入和輸出變數。令受控程序為一階線性系統，即 ( ) P G s u t( ) y t( ) ( ) ( ) _P ( ) dy t y t K u t dt τ + = (9) 式中，τ 和KP分別是時間常數和穩態增益，對應之受控程序的轉移函數可表示為 ( ) 1 P P K G s s τ = + (10) 於時間Ti，以後向差分近似微分運算，即

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( ) ( ) ( ) i i i t T y T y T T dy t dt = T − − Δ = Δ (11) 式中，ΔT 為取樣時間，則式（9）可改寫為 1 ( ) ( ) ( ) i p i i K Tu T y T y T T T τ τ − τ Δ = + + Δ + Δ (12) 將式（12）以簡單回歸模式表示如下： 1 1 2 2 ( )_i ( ) ( )_i _i ( )_i ( )_i y T =ϕ T θ T +ϕ T θ T (13) 式中， ₁( )T_i T τ θ τ = + Δ 、 2( ) P i K T T θ τ = + Δ 、ϕ1( )Ti = y T( i−1)和ϕ2( )Ti = ΔTu T( )i 。經由受控程序輸出數據y T( i−1) 和輸入數據u T( )_i ，利用遞迴最小平方法運算，吾人可得θ1( )Ti 和θ2( )Ti 。同時，程序參數τ 和KP可獲得如下： 1 1 ( ) 1 ( i i T T T θ τ θ Δ = − ) (14a) 和 2 1 ( ) 1 ( i P i T T K T θ θ Δ = − ) (14b) 3.2 二階線性系統 再次考慮圖 1 所示之開迴路系統，其中受控程序為二階線性系統，其轉移函數表示如下： 1 0 1 2 2 1 0 2 1 1 ( ) 1 P P b s b b s G s K s a s a a s a s + + = = + + + + (15) 式中，a0、a1、b0和b1均為常數且a2 =1 /a0、a1=a1/a0、b1=b b1/ 0和。以式（15）表示的轉移函數，其對應的二階系統可以如下微分方程表示： 0/ 0 P K =b a 2 1 0 1 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d y t dy t du t a a y t b b u dt + dt + = dt + t (16) 於時間Ti，以後向差分近似微分運算，整理過後，式（16）可表示成

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1 1 2 2 2 1 0 1 0 2 1 0 1 1 2 2 1 0 0 0 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 1 i i i i a T y T y T y T a T a T a T a T b T b T b T u T u T a T a T a T a T − − − + Δ = − + Δ + Δ + Δ + Δ Δ + Δ Δ + − + Δ + Δ + Δ + Δ i i (17) 將式（17）以簡單回歸模式表示如下： 1 1 2 2 3 3 4 4 ( )_i ( ) ( )_i _i ( )_i ( )_i ( ) ( )_i _i ( )_i ( ) y T =ϕ T θ T +ϕ T θ T +ϕ T θ T +ϕ T θ T (18) 式中， 1 1 2 1 0 2 ( ) 1 i a T T a T a T θ = + Δ + Δ + Δ 、 2 2 1 0 1 ( ) 1 i T a T a T θ = − + Δ + Δ 、 2 1 0 3 2 1 0 ( ) 1 i b T b T T a T a T θ = Δ + Δ + Δ + Δ 、 1 4 2 0 0 ( ) 1 i b T T a T a T θ = − Δ + Δ + Δ 、、、和。經由受控程序輸出數據（ 1( )Ti y T( i 1) ϕ = ₋ ϕ₂( )T_i =y T( _i₋₂) ϕ₃( )T_i =u T( )_i ϕ₄( )T_i =u T( _i₋₁) 1 ( _i ) y T₋ 、y T( i−2)）和輸入數據（u T( i−1)、u T( )i ），利用遞迴最小平方法運算，吾人可得θ1( )Ti 、θ2( )Ti 、 3( )Ti θ 和θ4( )Ti 。同時，程序參數a0、a1、b0和b1可進而計算如下： 1 2 0 2 2 ( ) ( ) 1 ( ) i i i T T a T t θ θ θ + − = Δ (19a) 1 2 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) i i i T T a T t θ θ θ + = − Δ (19b) 3 4 0 2 2 ( ) ( ) ( ) i i i T T b T t θ θ θ + = − Δ (19c) 和 4 1 2 ( ) ( ) i i T b T t θ θ = Δ (19d)

4. 模擬結果

考慮圖二的單回饋閉迴路控制系統，圖中，和分別是受控程序和控制器的轉移函數，且和分別為閉迴路系統設定點和輸出變數， ( ) P G s G_C( )s r t( ) ( ) y t e t( )=r t( )−y t( )_和 _{分別為控制器輸入和輸出變數。假設} 為 PID 控制器，即 ( ) u t ( ) C G s 1 ( ) C C I G s K K K s_D s = + + (20) 式中，KC、KI和KD分別是比例增益、積分增益和微分增益。底下，將針對一階線性系統和二階線性系統，模擬鑑別回歸模式並估測受控程序參數。

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( ) r t e t( ) u t( ) y t( ) ( ) C G s G sP( ) 圖 2 單回饋閉迴路控制系統圖 4.1 一階線性系統 考慮一階線性系統的轉移函數，其τ = 和2 K_P =6，即 6 ( ) 2 1 P G s s = + 令模擬初值設定條件如下：θ θ1= 2=0.1、Δ =T 0.005秒、 1000 1 1 1000 P= ⎢⎡ ⎤_⎥ ⎣ ⎦、λ=0.9，控制器參數為、、，且設定點於 0.1 秒時給予單位階梯輸入。圖 3 為閉迴路輸出、設定點和控制器輸出隨時間的變化圖形。 0.5 C K = K_I =1 K_D=0 r t( ) y t( ) ( ) r t u t( ) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 ( ) y t ( ) r t ( ) u t 圖 3 受控程序統輸出y t( )、設定點r t( )和控制器輸出u t( )響應圖利用y t( )、u t( )及遞迴公式（8)，可獲得回歸模式之參數θ₁( )t _值和θ₂( )t _{值。圖 4 和圖 5 分別為參數}θ₁( )t 和θ2( )t 隨時間的變化圖形。將θ1( )t 和θ2( )t 代入式（14)，可獲得程序參數τ 和KP隨時間的變化圖形，如圖 6 和圖 7 所示。觀察圖 4，θ 由 0.1 開始增加，於 =0.12 秒時，1 Ti θ 為 0.842629， =0.125 秒時，1 Ti θ 為 1.002729，1 =0.140 秒時， i T θ 達最大值 1.113286， =0.500 秒時，₁ T_i θ 降至約為 1.002729， =0.505 秒時，₁ T_i θ 為 0.999832，₁ 然後θ 逐漸收歛於 0.997500，如表 1 所示。由式（14）得知，當1 θ1≈1時，τ 和KP有正或負的極大或小值。為了清楚呈現τ 和KP隨時間變化情形，於圖 6 和圖 7 中，τ 和KP上下限分別設定為[-5, 5]和[-10, 10]，因此未繪出τ 和KP於 =0.500 秒和 =0.500 秒時之估測值，其估測值如表 1 所示。另，為比較估測參數的正確性，定義相對誤差如下： i T T_i

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100% = 正確值-估測值 × 相對誤差正確值程序參數的正確值、估測值和相對誤差，如表 2 所示。由表 2 得知，本論文提出的方法，可準確估測程序參數τ 和KP。表 1 回歸參數θ 、程序參數1 τ 和KP隨時間變化簡表取樣時間( )T_i _回歸參數θ ₁ 程序參數τ _程序參數K_P 0 0.100000 0.000555556 0.000555556 0.120 0.842629 0.0267720 0.00732827 0.125 1.002729 -1.837190 -0.423988 0.140 1.113286 -0.0491362 -0.00977612 0.500 1.000012 405.705395− −997.906141 0.505 0.999832 29.808573 74.280432 10.000 0.997500 1.995251 6.000001 表 2 程序參數相對誤差比較表程序參數正確值估測值相對誤差 τ 2 1.995251 0.23745% P K 6 6.000001 5 1.666667 10 %× − 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1( )t θ 1 0.997500 θ = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 2( )t θ 2 2.999624 θ = 圖 4 θ 參數估測圖 1 圖 5 θ 參數估測圖 2

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 τ 1.995251 τ= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 Time (Second) P K 6.000001 P K = 圖 6 τ 參數估測圖圖 7 K 參數估測圖 p 4.2 二階線性系統 考慮二階線性系統 2 1 0 1 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d y t dy t du t a a y t b b u dt + dt + = dt + t 式中，a0 =3、a1=2、b0=2、b0=10和b1=10。令模擬初值設定條件如下：θ θ1= 2=θ3=θ4=0.1、Δ =T 0.001 秒、、 1000 1 1 1 1 1000 1 1 1 1 1000 1 1 1 1 1000 P ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ λ=0.9，控制器參數為KC =1、KI =0.2、，且設定點於 0.1 秒時給予單位階梯輸入。圖 8 為閉迴路輸出、設定點和控制器輸出隨時間的變化圖形。 0 D K = r t( ) ( ) y t r t( ) u t( ) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 ( ) y t _{r t}_{( )} ( ) u t 圖 8 受控程序輸出y t( )、設定點r t( )和控制器輸出u t( )響應圖利用y t( )、u t( )及遞迴公式（8)，可獲得回歸模式之參數θ₁( )t _、θ₂( )t _、θ₃( )t _和θ₄( )t _{值。圖 9 ~ 圖 12 分} 別為參數θ1( )t 、θ2( )t 、θ3( )t 和θ4( )t 隨時間的變化圖形。將θ1( )t 、θ2( )t 、θ3( )t 和θ4( )t 代入式（19)，可獲得二階系統參數a0、a1、b0和b1隨時間的變化圖形，如圖 13 ~ 圖 16 所示。觀察圖 10，θ 由 0.1 開始增2

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加，於T_i =0.119秒，θ 達最大值 0.478702，然後於₂ T_i=0.255_秒，θ 降至 0.0169273， ₂ T_i=0.256_秒，θ 為₂ -0.0174110，隨後逐漸收歛於-0.997917，如表 2 所示。由式（19）得知，當θ2≈0時，、、和有正或負的極值。為了清楚呈現、、和隨時間變化情形，圖 12 ~ 圖 15 中，、、和上下限均設定為[-10, 20]，因此未繪出、、和於秒和秒附近之估測值，其估測值如表 3 所示。表 4 呈現程序參數的正確值、估測值和相對誤差值，由此表得知，本論文提出的方法，估測獲得的程序參數其準確性均在合理的範圍。 0 a a₁ b₀ b₁ 0 a a₁ b₀ b₁ a₀ a₁ b₀ b₁ 0 a a₁ b₀ b₁ T_i=0.255 T_i =0.256 表 3 回歸參數θ 、程序參數、、和隨時間變化簡表 2 a0 a1 b0 b1 取樣時間( )T_i _回歸參數θ ₂ _程序參數a₀ _程序參數a₁ _程序參數b₀ _程序參數b₁ 0 0.100000 -8000000 -3000 -2000000 1000 0.119 0.478702 -3388.931302 -3085.594325 -30428.776084 27.668619 0.255 0.0169273 -132407.036598 -59943.853424 -618233.408600 663.345973 0.256 -0.0174110 124564.535941 56310.530134 580894.604736 -633.271331 40 -0.997917 3.075761 2.084728 2.158161 9.943501 表 4 程序參數相對誤差比較表程序參數正確值估測值相對誤差 0 a 3 3.075761 2.525367% 1 a 2 2.084728 4.236400% 0 b 2 2.158161 7.908050% 1 b _{10 9.943501}_0.564990% 1 a 0.666667 0.677793 1.668888% 2 a _{0.333333 0.325123}_2.463163% 1 b 5.000000 4.769687 4.606251% P K _{0.666667 0.701667}_5.250099% 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 1 1.997913 θ = 1( )t θ 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 2( )t θ 2 0.997917 θ = − 圖 9 θ 參數估測圖 1 圖 10 θ 參數估測圖 2

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 3( )t θ 3 0.00992494 θ = 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 4( )t θ Time (Second) 4 0.00992278 θ = − 圖 11 θ 參數估測圖 3 圖 12 θ 參數估測圖 4 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -10 -5 0 5 10 15 20 Time (Second) 0 a a0=3.075661 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -10 -5 0 5 10 15 20 1 a a1=2.084728 圖 13 a0參數估測圖圖 14 a1參數估測圖 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -10 -5 0 5 10 15 20 0 b b0=2.158161 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -10 -5 0 5 10 15 20 Time (Second) 1 b 1 9.943501 b= 圖 15 b0參數估測圖圖 16 b1參數估測圖

5. 結論

本論文著重於受控程序參數的即時估測，藉由被估測出的程序參數，可結合現有控制器設計準則來自動調諧控制器參數，以達到要求的控制性能。由模擬範例結果得知，不管是一階線性系統，或是二階線性系統，除在起始化過程，估算程序參數的有劇烈震盪外，可快速獲得參數估測值且估測參數的準確性均在合理的範圍。本論文所探討的受控程序為線性系統，未來將延伸至含時延程序系統，使其結果更為實用。

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線性非時變系統之即時參數估測