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負相關在管制圖上之應用

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Academic year: 2021

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全文

(1)

統計學研究所

負相關在管制圖上之應用

Negative Corrlation Application in Control Chart.

研 究 生:賴文祥

指導教授:彭南夫 教授

(2)

負相關在管制圖上之應用

Negative Corrlation Application in Control Chart.

研 究 生:賴文祥 Student:Wen-Hsiang Lai

指導教授:彭南夫 博士 Advisor:Dr. Nan-Fu Peng

國 立 交 通 大 學

統計學研究所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute Statistics College of Science National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Statistics June 2004

Hsin-chu, Taiwan, Republic of China 中華民國九十三年六月

(3)

誌謝

在研究所的兩年時間裡,除了要感謝系上每位老師在課業上細心

的教導外,也非常感謝我的指導教授 彭南夫老師和在研究理論上鼎力

相助的 洪慧念老師,教導我如何從生活週遭上的問題(通訊問題)中,

挖掘其中奧妙,並如何應用在其他領域上。也感激老師們不厭其煩的

指導,使我的論文能夠順利完成。也感謝在研究所的同學欣妤、超毅、

巧慧、政輝、志浩、淑珍、怡均…等,在生活上與課業上的愉快相處。

也非常感謝蘇董與忠庭同學,在籃球場上與撞球桌上的指導,使我在

研究之餘能保有強健的體魄與愉快的心靈。

此外還要感謝我的家人給我的支持與鼓勵,讓我能毫無顧慮的求

學。最後將此論文獻給我的家人與朋友,和有緣相聚的統計所同學及

學弟妹。

賴文祥 謹誌于

國立交通大學統計研究所

中華民國九十三年六月

(4)

負 相 關 在 管 制 圖 上 之 應 用

學生:賴文祥

指導教授

彭南夫

國立交通大學統計學研究所 碩士班

當抽樣所得的資料經由特殊方法排序後,產生負相關,利用此負相關製成非傳統上X 管 制圖。在同一個型I 誤差 α 風險下,因為負相關而使得變異數變小,所以型Ⅱ誤差 β 風險亦會 變小,則偵測到平均值改變之機率為 1-β 會變大。如此能讓品質管制人員更能準確地掌握製程 狀態,儘快偵測出可歸屬原因之發生或製程之跳動,以便在更多不合格品製造出之前能發現製 程之變異並進行改善工作。

(5)

目錄

中文摘要--- i

目錄--- ii

第一章 導論--- 1

1-1 研究動機--- 1

1-2 研究方法--- 1

第二章 理論與模擬--- 3

2-1 理論部分(通訊問題)--- 3

2-2 模擬驗證--- 15

第三章 將負相關運用於改善製程管制--- 24

3-1 統計製程管制概論--- 24

3-2 管制圖之簡介--- 24

3-3 非傳統

X

管制圖--- 25

3-4 改善製程管制之方法--- 26

第四章 結論--- 29

附錄--- 30

參考文獻: ---40

(6)

第一章、導論

1-1 研究動機

隨著生產技術之進步,消費者對品質意識抬頭及消費者協會、基金會等的成 立,品質的好壞將是未來市場上決定勝負的關鍵。因此在競爭激烈之商業環境 中,品質是一個企業維持競爭力的要素之一,唯有妥善地運用現代化之品質改善 工具,加上管理階層領導之品質改善努力,不斷地將品質提昇,應付未來高品質 消費之趨勢,以提昇本身競爭能力,方可在企業競爭中求生存。 所以本論文之研究動機與目的是如何改善品質管制,以減少在製程管制上不 必要浪費的人力與資源,並更能有效地監控整個產品製造過程,製造出符合高品 質、低成本之產品,以提昇企業本身競爭能力。

1-2 研究方法

統計方法往往是品質管制上的利器,用以控制生產操作,其目的在選用最經 濟的製造方法,並製成最適用最暢銷的產品。所以本論文在製程管制中運用了統 計技巧,將每單位時間抽得的代表性樣本(如X ),經由特殊的排序方法(於第 二章加以詳述),利用其排序後所產生的負相關(於第二章加以詳述),再將固定 數個(4,5,6..)排序後單位時間的代表性樣本相加取平均值,製成有別於傳統上 的X 管制圖(於第三章加以詳述),並使用此圖更能有效地監控整個產品製造過

(7)

程,製造出符合高品質之產品。 簡單的流程如下: ‹ 收集每單位時間代表性樣本,如X。(日後為了方便 將以單一樣本x1表示之) ‹ 經由特殊排序方法,排序後產生負相關。(第二章) ‹ 利用負相關使變異數變小,製成有別於傳統上的X 管制圖。(第三章) ‹ 將X 管制圖用於未來之製程,並更能有效地找出製 程中之可歸屬原因。(第三章) 本論文所利用之統計技巧,原本出自於通訊問題(於第二章節詳述之)。 在探討通訊問題時,我們無意間發現了訊號停留時間在任意時間點 t 上具有負 相關。換句話說,當我們以時間 t 為基準,去觀測訊號停留時間是否大於 t 。 若 我們觀測到訊號停留時間大於 t 時,則下一個我們觀測到的訊號,它的停留時 間小於 t 機率會變大。我們將於第二章節探討此負相關,並以數學方式證明之, 或以模擬方式來加以驗證。最後更將此在 t 點上的負相關,推論到

( )

x F x x x x1, 2, 3,L, n ~ ,d 為固定常數令yi = xi +i*d並由小排至大 ( ) y( ) y( ) y( )n y1 ≤ 2 ≤ 3 ≤L≤ ,並找出每個對應的xj,即y( )i =xj + j*d,並令 j i x x" = ,當進入 steady state 時,則 與xi" xi"+1具有負相關。 在第三章節運用推論結果於管制圖上,利用其負相關使平均數之變異縮小。

(8)

第二章、理論與模擬

2-1 理論部分(通訊問題)

隨著電信業演進到數位視訊與網際網路基礎資料網路,業者也必須能在實 體、傳輸、協定以及其他階層上執行控制電信傳輸的許多標準依從性測試。為了 保持競爭力,需要高效率的方法來追蹤及修復網路中的問題,使其不致影響到服 務。因此,訊號接收成功與否是電信業者最基本的要求。 定義 2.1.1 將訊號分類為 D 跟 S 當訊號進入訊號接收器後,經過一段固定時間 t 沒人處理時,我們立即將此訊號 在時間 t 斷訊。我們將此訊號稱為 D。而相反地,如果訊號在時間 t 內有人接收 處理,我們將此訊號稱為 S。(如圖2) ⊿ S : 代表訊號停留時間未超過 t 秒 , 就有人接收處理。 D : 代表訊號停留的時間會超過 t 秒並無人接收 , 我們立即令它在第 t 秒時斷訊。 附:不考慮未接通之前自行掛斷的訊號

(9)

性質 2.1 訊號停留時間分為兩種 一.未設限停留時間: 令變數 Y 為訊號在接收器內若未設限(未截斷於 t)的停留時間,且{ | }為訊號停留時間累積機率函數(即 CDF), 為停留時間機率函 數,則其 CDF 如下:

( )

y Fy

( )

0 =0 y F fy( y) 二.設限於 t 的停留時間 ( 訊號真正停留時間 ): 由於我們要探討的訊號為 S 跟 D,所以根據定義我們必須將訊號停留時間 Y 截 斷於 t,以判別訊號為 S 或 D。所以令訊號真正停留時間變數 X 為變數 Y 設限於 t ( 截斷於 t )的隨機變數。 換言之,變數X 為訊號於接收器內設限於 t(截斷於 t)的停留時間。另令{ | }為訊號停留時間累積機率函數(即 CDF),則

( )

x Fx

( )

0 =0 x F Fx

( )

x 必 定為截斷於 X = t 的混合型累積機率函數。其 CDF 如下:

( )

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ < < =

x t if t x if du u f x F x y x 1 0 0

(10)

, 且

0t fy

( )

u du=c X 與 Y 之關係 ) (D P =P(X =t)=1−c=1−∫t0 fy(u)du=1−Fy(t)= Fy(t) ⊿ D 與 S 另一定義 由X 與 Y 之關係中,我們可以得知: D:代表若未設限時訊號停留時間Yt的訊號。 或代表真正停留時間 X = t 的訊號。 S:代表若未設限時訊號停留時間Y < 的訊號。 t 或代表真正停留時間 X < t 的訊號。 ⊿ 往後我們探討的訊號停留時間,將以未設限停留時間 Y 為主,而 為其未設 限的累積機率函數。而在實際模擬上,將以真正停留時間 X 來進行模擬。 ) ( y Fy 定義 2.1.2 符號 為了方便起見,我們將此類截斷於 X = t 混合型分配,以本身未設限時分配後面 加入 t 來表示之。例如: Y~ Gamma(α,λ),則設限於 t 的 X 分配,我們以 Gamma(α,λ) t 符號表示之。

(11)

假設 2.1 訊號進入方式 我們假設在每單位時間都有一個獨立訊號進入(如圖 2.2)。由圖2.2 可看出,當 我們觀測到此訊號為 D 或 S 的實際時間會比訊號進入時間來的晚。 ⊿ 定義 2.1.3 Di Di:代表有一個訊號D在時間 T = i 時被斷訊(截斷)並釋放出去。 ⊿ 發現 負相關 若在某時間 T = g 時發生一個訊號 D,(此時間為觀測到時間,即 ),則下 一個訊號的可能是未設限時,停留時間 g D t Y < 的 S , 或是 的 D。 而我們發現 下一個訊號的是 的 D 之條件機率,會小於單獨發生 D 之機率。也就是說 t Yt Y

(

D D

)

P

( )

D F

( )

t P | g ≤ = y換句話說,訊號停留時間在時間 t 點上具有負相關。當前一個訊號停留時間 時,則下一個訊號停留時間 t YY < 之機率會增加,也就是下一個訊號停留時tYt之機率會減小。

(12)

驗證 負相關 為了方便驗證我們將令 g = 0。則我們要證明的是

P

(

D

|

D

0

) ( )

P

D

=

F

y

( )

t

驗證 1 t = 2 我們先對 t = 2 做驗證,設每單位時間(秒)有一獨立訊號進入,則 D、S 分別代 表如下: D : 代表訊號停留的時間Y ≥2秒並無人接收 , 我們立即令它在第 2 秒時斷訊。 即若未設限時訊號停留時間Y ≥2的訊號。 即真正停留時間 X = 2 的訊號。 S : 代表訊號停留時間Y <2秒 , 就有人接收處理。 即若未設限時訊號停留時間Y <2的訊號。 即真正停留時間 X < 2 的訊號。 Di:代表在時間 T = i 時 , 有一個訊號D釋放出去。 Fy( ):為訊息未設限停留時間的累積機率函數 , 即CDF。 換言之,我們想要證明的是P

(

D|D0

)

P

( )

D = Fy

( )

2 。 假設時間 T = 0 時發生一個 D(即訊號由 T = -2 時進入,停留時間超過 2 秒(Y>2) 並在時間 T = 0 時釋放出去) D0 -3 -2 -1 0 1 2 3 圖2.3 在時間 0 時發生一個 D,稱此訊號為D0 如果下一個發生的是 D,可能發生在 T=1 或 T=2。而不可能發生在 T 大於 t = 2 的地方。因為如果 T 3,0~T 間必定至少有一個 S 存在,則下一個訊號必為 S。 因此下一個訊號為 D,可能發生在 T=1 或 T=2,如圖 2.4: D0 D1 D2 -3 -2 -1 0 1 2 3 圖 2.4 下一個是 D 的二種可能情形

(13)

(a)如果下一個發生的是 D,且發生在 T = 1 時: D0 D1 -3 -2 -1 0 1 2 3 圖2.4(a) 下一個是 D 且發生在 T = 1 0 D 訊號一定由 T = -2 時進入。然而因為 發生在 T = 1 時,所以我們要探討 T = -2 到 T = 1 中間所有訊號進入狀況。 訊號由 T = -1 時進入必定大於 2 秒,即 1 D

(

Y 2

)

Fy

( )

2 P > = 。訊號由 T = 0 時進入必定大於 1 秒,即P

(

Y >1

)

=Fy(1) 所以下一個發生的是 D,且發生在 T = 1 的機率為Fy

( ) ( )

2 Fy 1 ⊿ (b)如果下一個發生的是 D,且發生在 T = 2 時: D0 D2 -3 -2 -1 0 1 2 3 圖2.4(b) 下一個是 D 且發生在 T = 2 0 D 訊號一定由 T = -2 時進入。然而因為 發生在 T = 2 時,所以我們要探討 T = -2 到 T = 2 中間所有訊號進入狀況。訊號由 T = -1 時進入必定小於 1 秒,即 號由 T = 0 時進入必定大於 2 秒,即 2 D

(

Y 1

)

Fy

(

1 P < =

)

。訊 P

(

Y >2

)

= Fy

( )

2 。訊號 由 T = 1 時進入必定大於 1 秒,即P

(

Y >1

)

=Fy

( )

1 。 所以下一個發生的是 D,且發生在 T = 2 的機率為 Fy

( ) ( ) ( )

1Fy 2 Fy 1。 ⊿

)

根據(a)、(b),我們可以求得⇒

(

D|D0

)

P

(

D1 |D0

) (

P D2 |D0 P = + ∴ =Fy

( ) ( )

2 Fy 1 +Fy

( ) ( ) ( )

1Fy 2 Fy 1 =Fy

( ) ( )

2

[

Fy 1 +Fy

( )

1Fy(1)

]

(式 2.1)

(14)

我們要證明:P

(

D|D0

)

P

( )

D = Fy

( )

2 根據(式 2.1)消去Fy

( )

2 ,因此我們要證明的為下式:

( )

( ) ( )

[

Fy 1 +Fy 1Fy 1

]

≤ (式 2.2) 1 令Fy

( )

1 = x , 0≤ x≤1 , 並將它代入(式 2.2)中: 則我們要證明的變為:在0≤ x≤1條件下,

( ) (

1

) (

1

)

1 1 x = −x +xxf

( ) (

1

)(

1

)

1 2 1 1 x = −x +x = −xf驗證 2 t = 3 時 我們再對 t = 3 做驗證,設每單位時間(秒)有一獨立訊號進入,則 D、S 分別代 表如下: D : 代表訊號停留的時間Y ≥3秒並無人接收 , 我們立即令它在第 3 秒時斷訊。 即若未設限時訊號停留時間Y ≥3的訊號。 即真正停留時間 X = 3 的訊號。 S : 代表訊號停留時間未超過 3 秒 , 就有人接收處理。 即若未設限時訊號停留時間Y <3的訊號。 即真正停留時間 X < 3 的訊號。 Di:代表在時間 T = i 時 , 有一個訊號D釋放出去。 Fy( ):為訊息未設限停留時間的累積機率函數 , 即CDF。 換言之,我們想要證明的是P

(

D|D0

)

P

( )

D = Fy

( )

3 。 假設時間 T = 0 時發生一個 D(即訊號由 T = -3 時進入,停留時間超過 3 秒(Y>3) 並在時間 T = 0 時釋放出去) D0 -3 -2 -1 0 1 2 3 圖2.3 在時間 0 時發生一個 D,稱此訊號為D0

(15)

如果下一個發生的是 D,可能發生在 T=1 或 T=2 或 T=3。而不可能發生在 T 大 於 t = 3 的地方。因為如果 T≥ 4,0~T 間必定至少有一個 S 存在,則下一個訊號 必為S。因此下一個訊號為 D,可能發生在 T=1 或 T=2 或 T=3,如圖 2.4.1: D0 D1 D2 D3 -3 -2 -1 0 1 2 3 圖 2.4.1 下一個是 D 的三種可能情形 (a)如果下一個發生的是D,且發生在 T = 1 時: D0 D1 -3 -2 -1 0 1 2 3 圖2.4.1(a) 下一個是 D 且發生在 T = 1 0 D 訊號一定由 T = -3 時進入。然而因為 發生在 T = 1 時,所以我們要探討 T = -3 到 T = 1 中間所有訊號進入狀況。 訊號由 T = -2 時進入必定大於 3 秒,即 1 D

(

Y 3

)

Fy

( )

3 P > = 。 訊 號 由 T = -1 時 進 入 必 定 小 於 1 秒 或 大 於 2 秒 , 即

(

Y 1

)

Fy

(

1 P < =

)

P

(

Y >2

)

= Fy

( )

2 。訊號由 T = 0 時進入必定大於 1 秒,即

(

Y 1

)

Fy

( )

1 P > = 。 所以下一個發生的是 D,且發生在 T = 1 的機率為Fy

( ) ( )

3

[

Fy 2 +Fy

( )

1

]

Fy

( )

1。 ⊿ (b)如果下一個發生的是D,且發生在 T = 2 時: D0 D2 -3 -2 -1 0 1 2 3 圖2.4.1(b) 下一個是 D 且發生在 T = 2

(16)

0 D 訊號一定由 T = -3 時進入。然而因為 發生在 T = 2 時,所以我們要探討 T = -3 到 T = 2 中間所有訊號進入狀況。訊號由 T = -2 時進入必定小於 2 秒,即 。訊號由 T = -1 時進入必定大於 3 秒,即 2 D

(

Y 2

)

Fy

(

2 P < =

)

P

(

Y >3

)

=Fy

( )

3 。訊號 由 T = 0 時進入必定大於 2 秒,即P

(

Y >2

)

=Fy

( )

2 。訊號由 T = 1 時進入必定大 於1 秒,即P

(

Y >1

)

=Fy

( )

1 。 所以下一個發生的是 D,且發生在 T = 2 的機率為 Fy

( ) ( ) ( ) ( )

2 Fy 3 Fy 2 Fy 1。 ⊿

)

(c)如果下一個發生的是D,且發生在 T = 3 時: D0 D3 -3 -2 -1 0 1 2 3 圖2.4.1(c) 下一個是 D 且發生在 T = 3 0 D 訊號一定由 T = -3 時進入。然而因為 發生在 T = 3 時,所以我們要探討 T = -3 到 T = 3 中間所有訊號進入狀況。訊號由 T = -2 時進入必定小於 2 秒,即 。訊號由T = -1 時進入必定小於 1 秒,即 3 D

(

Y 2

)

Fy

(

2 P < = P

(

Y <1

)

=Fy

(

1

)

。訊號 由 T = 0 時進入必定大於 3 秒,即P

(

Y >3

)

=Fy

( )

3 。訊號由 T = 1 時進入必定大 於2 秒,即P

(

Y >2

)

= Fy

( )

2。訊號由 T = 2 時進入必定大於 1 秒,即P

(

Y >1

)

=Fy

( )

1 所以下一個發生的是 D,發生在 T = 3 的機率為 Fy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 Fy 1Fy 3 Fy 2 Fy 1。 ⊿ ⇒ 根據(a)、(b)、(c),我們可以求得

(

D|D0

)

P

(

D1 |D0

) (

P D2 |D0

) (

P D3 |D0

)

P = + + ∴ =Fy

( ) ( )

3

[

Fy 2 +Fy

( )

1

]

Fy

( )

1 +Fy

( ) ( ) ( ) ( )

2 Fy 3Fy 2 Fy 1 +Fy

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 Fy 1Fy 3 Fy 2 Fy 1 =Fy

( ) ( ) ( )

3

[

Fy 2 Fy 1 +Fy

( ) ( )

1Fy 1 +Fy

( ) ( ) ( )

2 Fy 1Fy 2 +Fy

( ) ( ) ( ) ( )

2 Fy 1Fy 2 Fy 1

]

(式 2.1) 我們要證明:P

(

D|D0

)

P

( )

D = Fy

( )

3

(17)

根據(式 2.1)消去Fy

( )

3 ,因此我們要證明的為下式:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

[

Fy 2 Fy 1 +Fy 1Fy 1 +Fy 2 Fy 1Fy 2 +Fy 2 Fy 1Fy 2 Fy 1

]

≤ (式 2.2) 1 令Fy

( )

1 = x , Fy

( )

2 = y , 0≤ xy≤1 , 並將它代入(式 2.2)中: 則我們要證明的變為:在0≤xy≤1條件下,

( ) (

, 1

) (

[

1

)

(

1

) (

1

)

]

≤1 2 x y = −xy +x+yy + yy x f 〈證明〉 首先我們將 f

( )

x,y 對 x 跟對 y 偏微,得下列聯立方程式: 0 2 2 2 0 2 2 = + = ∂ ∂ xy xy x y x f (式 1) 0 2 2 0 2 2 2 = + + = ∂ ∂ y x x x y y f (式 2) 由(式 1)中移項可得

(

2

)

1 2 y y y x − + = (式 3) 並將(式 3)代入(式 2)中,可得

(

) (

) (

)

0 1 4 2 1 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + + − + − − + + − y y y y y y y y y y y (式 4) 將(式 4)通分

(

)

(

)

(

1

)

0 4 2 1 2 1 8 2 2 3 2 2 2 2 = − + + − − + + − + − y y y y y y y y y y (式 5) 由(式 5)中,可看出在0≤ y≤1條件下,其分母 恆大 於零,而分子為

(

2

)

2 1 4 +yy

(

1 2

) (

2 1 2

)

2 2 3 8y +yy + y +yyy + y − =

(

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 2 3 3 2 2 2 2 2 2 y y y y y 令分子為零,則在0≤xy≤1條件下,可得y = x0, =0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 , 0 , 2 0 , 0 , 2 2 2 − = + − − = ∂ ∂ = = xy y x y y x f ( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 2 1 , 0,0 0 , 0 , 2 2 = + − = ∂ ∂ ∂ = = y x xy x y x f

(18)

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 , 0 , 2 0 , 0 , 2 2 2 − = + − = ∂ ∂ = = xy y x x y f (1) ( ) ( ) 0 2 0 , 0 , 2 2 2 < − = ∂ ∂ = y x x f (2) ( ) ( ) 0 3 2 1 1 2 0 , 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 > = − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = y x y f x y f y x f x f

根據 Second derivatives test (附錄 C),所以當(x,y)=(0,0)時,

( ) (

x y x

) (

[

y

)

x y

(

y

) (

y y

)

x

]

f2 , = 1− 1− + + 1− + 1− 有相對極大值1。⊿ 驗證 3 t = k,k 為正整數 我們已經在 t = 2 , 3 時,我們也可以很容易地證明出P

(

D|Dg

)

P

( )

D = Fy

( )

t 。現 在我們想證明 t = k , k 屬於正整數時,P

(

D|D0

)

P

( )

D =Fy

( )

k 皆成立。

( ) (

x y x

) (

[

y

)

x y

(

y

) (

y y

)

x

]

f2 , = 1− 1− + + 1− + 1− 在 t = 3 證明中,我們可以發現

(

1

)

(

1 2 2

)

xy xy y x x + − + − − =

(

1−x

)(

1+x

) (

− 1−x

) (

y yx+xy

)

=

(

1−

) (

− +

)

≤0 在條件 下 , 0≤xy≤1 − x y y x xy

(

x

)(

x

)

(

x

)(

x

)

f

( )

x x y x 1 0 1 1 0max≤ ≤ ≤ 1+ 1− ≤max≤ ≤ 1+ 1− =

( )

, 1

( )

1 2 ≤ ≤ ∴f x y f x 我們由電腦模擬,得到特殊結果: 當 t 越大時,我們要驗證得 f 函數會越小。 ftft1ft2Lf3f2f1 ≤1

(19)

所以我們先於附錄A 探討 t=3(已討論過),4,5,6,….k-1, k 時P

(

D| D0

)

的狀況,我們 想要根據數學歸納法證明出P

(

D|D0

)

P

( )

D = Fy

( )

k 也會成立。 由附錄A 可得知我們要證明的是:在0≤x1x2 ≤..≤xk1 ≤1條件下,

(

1 2 3 1

)

1 , , ,..., − − k k x x x x f =

(

)

[

xk−2 + 1−xk−1

]

[

xk−3 +

(

1−xk−2

)

]

...

[

x1 +

(

1−x2

)

]

(

1−x1

)

+xk1

[

xk3 +

(

1−xk1

)

]

[

xk4 +

(

1−xk2

)

]

...

[

x1 +

(

1−x3

)

]

(

1−x2

)(

1−x1

)

+ xk1xk2

[

xk4 +

(

1−xk1

)

]

[

xk5 +

(

1−xk2

)

]

...

[

x1 +

(

1−x4

)

]

(

1−x3

)(

1−x2

)(

1−x1

)

+

(

)

[

5 1

]

[

6

(

2

)

]

[

1

(

5

)

]

(

4

)(

3

)(

2

)(

1

)

3 2 1x x x 1 x x 1 x ...x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x xk k k k + − k k + − k + − − − − − +………..+ xk1xk2...x3

[

x1 +

(

1−xk1

)

]

(

1−xk2

)(

1−xk3

) (

...1−x1

)

+xk1xk2...x3x2

(

1−xk1

)(

1−xk2

) (

...1−x1

)

+xk1xk2...x3x2x1

(

1−xk1

)(

1−xk2

) (

...1−x1

)

≤ 1 此部分由於尚未找出 t = k-1 跟 t = k 之間特殊關係,故尚未證明之。 我們利用模擬方式 , 模擬當 t = 10 時 , 則欲證函數 為9 個變數所組成函數。 我們將 9 度空間上滿足 9 f 1 0≤x1x2x3Lx9 ≤ 的平均分佈點 , 帶入各個 函 數中 , 得到結果: i f 1 1 2 3 7 8 9 ≤ ff ≤ ≤ ffff L 我們由電腦模擬結果,合理懷疑: 當 t 越大時,我們要驗證得 f 函數會越小。 ftft1ft2Lf3f2f1 ≤1。

(20)

2-2 模擬驗證

假設 1 :

2-1 節中,我們已經驗證了在訊號停留時間設限於正整數t的累積機 率函數{ Fx(x) | Fx(0) = 0 }中,在某時間訊號停留時間為X = t的訊號(即D),下一 個 訊 號 為 D 之 機 率 , 會 小 於 單 獨 發 生 訊 號 為 D 之 機 率 , 即

(

D

D

) ( )

P

D

F

( )

t

P

|

0

=

y 。所以我們大膽猜測不僅對正整數t成立,對於正數t,

(

D

D

) ( )

P

D

F

( )

t

P

|

0

=

y 也都會成立。由於此證明相當複雜,並需要有足夠的 機率基礎與邏輯。所以對此我們不加以證明,而利用模擬方式加以探討。 模擬 1 : 步驟 1. 首先假設在每單位時間(秒)有一獨立訊號進入,且訊號停留時間 未設限時為Gamma(α,λ)分配,(即Y~ Gamma(α,λ))。且令fy(y)為

Gamma(α,λ)的機率密度函數。則訊號真正停留時間為截斷在X = t 混合型的Gamma(α,λ)分配(即X~ Gamma(α,λ) t ),其CDF 為:

( )

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < < =

x t if t x if du u f x F x y x 1 0 0 , 且 tf

( )

u du c y =

0

(21)

換言之,我們一開始模擬出 iid t n Gamma x x x x1, 2, 3,L, ~ (α,λ) 並由查表計算出P

( )

D =Fy

( )

t 或可用模擬方式估算出P

( )

D = P

(

xi = =t

)

n D of number (Qxi isiid∴by WLLN) n t x of number i = = 步驟 2. 排序找出觀測到的訊號先後次序 由 上 圖 2.2 可 以 看 出 , 我 們 觀 測 到 的 訊 號 先 後 次 序 並 不 是 L → → → → → → → 2 3 4 5 6 7 1 x x x x x x x 而是x2x1x3x4x6x5x7Lyi為訊號xi真正觀測到並判別為 S 或 D 時之時間,則yi = xi +i*d, 其中d = 1 i = 1 , 2 ,…, n。我們將 由小至大排列: yi 可得y( )1y( )2y( )3Ly( )n ,並找出每個對應的xj,即y( )i =xj + j 並令xi" = xj,則我們可以得到真正觀測到的訊號順序: " " 3 " 2 " 1 x x xn x → → →L

(22)

並估算出

P

(

D

|

D

g

)

= ∧

(

x tx t

)

P i"+1 = i" = 估算方法:若訊號D 當作前一個 D 條件下的隨機變數( = t),我 們不希望它也可以當作下一個隨機變數的條件( = t)。 " 1 + i x " i x 為了方便估算出

P

(

D

|

D

g ,我們在訊號 S 和 D 中,再加入訊號 F。

)

定義 :F F:訊號為 D 且當作前一個 D 條件下的隨機變數,並且不為 下一個變數之條件。 ⊿ 其 F 加入方法如下: 由於xi經由上述方法排序後,其變動位置最多往前m1個位置,往後 最多m2個位置(於第三章詳述)。所以根據m-dependent亦具有弱大 數法則性質 WLLN(請參考附錄 D)。因此我們可以估算出

(

D

D

g

)

P

|

∧ = 2 1 n n ,其中 n2是訊號為 D 的個數, 是訊號為 F 的個數。 n1

(23)

模擬結果 1 : ) , (α λ Gamma t P(D) P(D Dg) ) 1 , 5 . 1 ( Gamma 0.6 1.2 1.8 2.4 3 0.7527 0.49438 0.3085 0.18868 0.11232 0.740761 0.45218 0.249919 0.139234 0.077720 ) 5 . 1 , 5 . 2 ( Gamma 0.6 1.2 1.8 2.4 3 0.87774 0.62872 0.37038 0.2077 0.11066 0.875032 0.578958 0.318266 0.155944 0.072495 ) 9 . 2 , 7 . 3 ( Gamma 0.6 1.2 1.8 2.4 3 0.86858 0.48209 0.19305 0.06455 0.01898 0.866108 0.458227 0.145221 0.03395 0.00636 由結果可以看出對於任意正數 t,皆

P

(

D

|

D

g

)

P

( )

D

=

F

y

( )

t

(24)

假設 2 :

在假設1 中,我們已經模擬出,在設限於正數t的累積機率函數{ Fx(x) | Fx (0) = 0 }中,

P

(

D

|

D

g

)

P

( )

D

=

F

y

( )

t

皆成立。但由於證明十分複雜,所以我們 在此並不證明之。並且我們更大膽假設不僅在{ Fx (x) | Fx (0) = 0 }中,

(

D

D

)

P

( )

D

F

( )

t

P

|

g

=

y 會成立,在任意Fx(x)中,

P

(

D

|

D

g

)

P

( )

D

=

F

y

( )

t

會成立。也就是說不僅在正的隨機變數X時會成立,在具有正負的隨機變數X時,

(

D

D

)

P

( )

D

F

( )

t

P

|

g

=

y 亦會成立。 所以對此利用模擬方式加以探討。 模擬 2 : 步驟 1. 在 2-1 至假設 1 中,我們都將Fx(x)當作訊息設限於t的停留時間累積 機率函數,且X為正的隨機變數。現在我們要模擬的未設限停留時間 Y為常態分配Normal

(

µ ,σ2

)

,則X不僅有可能為正,並且有可能為 負。即訊號不僅會延後才被判讀,亦可能會提前被判讀。 則重新定義D 跟 S 如下: D : 代表訊號停留的時間延後超過 t 秒( )或提早超過 t 秒 ( ),我們在此 t 秒立即截斷。 t Yt Y <− S : 代表訊號停留時間延後未超過 t 秒(0<Y <t)或提早未超過 t 秒(0>Y >−t)。 fy( ):為常態分配Normal

(

µ,σ2

)

的機率密度函數

(25)

Fx( ):為訊息設限於± t的停留時間累積機率函數 , 即CDF如下:

( )

( )

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < < ≤ − − < =

∞ − x t if t x t if du u f t x if x Fx x y 1 0 令

t fy

( )

u du=c則其 CDF 圖如下: ∞ −

t fy

( )

u du=d ∞ 模擬出 iid t t n Normal x x x x1, 2, 3,L, ~ (µ,σ2)−, 並由查表計算出P

( )

D =2Fy

( )

t 或可用模擬算出P

( )

D = P

(

xit

)

= n D of number (Qxi isiid∴by WLLN) n t x of number t x of number i ] [ i ] [ = + =− =

(26)

步驟 2. 排序找出觀測到的訊號先後次序 訊號進入時狀況可能如下: 由 圖 2.7 可 以 看 出 , 我 們 觀 測 到 的 訊 號 先 後 次 序 並 不 是 L → → → → → → → 2 3 4 5 6 7 1 x x x x x x x 而是 x3x1x2x5x6x4x9L 令 為 訊 號 真 正 觀 測 到 並 判 別 為 S 或 D 時 之 時 間 , 則 ,且 d = 1 i = 1,2,…,n。我們將 由小至大排列: i y xi d i x yi = i + * yi 可得y( )1y( )2y( )3Ly( )n ,並找出每個對應的xj,即y( )i =xj + j 並令xi" = xj,則我們可以得到真正觀測到的訊號順序: " " 3 " 2 " 1 x x xn x → → →L→ 並估算出

P

(

D

|

D

g

)

= ∧

(

x tor tx t or t

)

P i"+1 = − i" = − ,方法跟模擬1 時的 方法一樣。所以在此不加以詳述。

(27)

模擬結果 2 : N(0,1) t P(D) P(DDg) 0.6 1.2 1.8 2.4 3 0.548449 0.229883 0.071873 0.01666 0.002805 0.532477 0.203236 0.053764 0.010861 0.001642 由結果可以看出,在所有CDF { F (x) | x∈R }中,對於任意正數 t

(

D

D

)

P

( )

D

F

( )

t

P

|

g

=

亦會成立。 但我們並不加以證明之。 假設 3 : 由模擬2 的結果,我們合理懷疑當 ,經過上述方 法排序(參考附錄 B)後,並找出 ,當進入 steady state 時,則 與 具 有負相關,且 依然為常態分配。 ) , ( ~ , , , , 2 3 2 1 x x x Normal µ σ x iid n L " " 2 " 1,x , ,xn x L xi" xi"+1 " i x 模擬 3 : 步驟 1. 模擬出x1,x2,x3, ,x100~Normal(0,1) iid L

步驟 2. 根據特殊方法排序(參考附錄 B),並找出x1",x2",L,x100" 步驟 3.令Zi = 5 " 5 * 5 " 4 * 5 " 3 * 5 " 2 * 5 " 1 * 5i+ +x i+ +x i+ +x i+ +x i+ x i=0,1,2,…..,19

(28)

步驟 4.重覆 10 萬次步驟 1.2.3,並計算出共有幾個|Zi|> 5 96 . 1 5 2 ≈ 模擬結果 3 : D Zi 的 i |Zi|> 5 2 個數 |Zi|> 5 3 個數 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31790 25067 3820 3896 3676 3775 3696 3734 3903 3809 3682 3899 3743 3807 3840 3796 3790 3828 3813 5224 7522 5907 171 182 197 185 153 181 174 178 186 207 164 177 175 186 200 195 180 344 從i = 2,3,…,18 中,我們發現|Zi|> 5 96 . 1 的個數,明顯小於100000*0.05=5000 個, 可見其變異數明顯變小。所以我們懷疑 經過上述方 法排序(參考附錄B)後,並找出 ,當進入steady state ( 由模擬結果可 看出 後已進入steady state )後,則 與 具有負相關,且 本身依舊為常態 分配( 於附錄E )。並將此性質運用於品質管制上(第三章),得到不錯地改善效果。 ) 1 , 0 ( ~ , , , , 2 3 1 x x x Normal x iid n L " " 2 " 1,x , ,xn x L " 11 x xi" xi"+1 x"i 其他變更訊號以單位時間 d 進入的模擬結果,我們將它放置於附錄 F 中。

(29)

第三章、將負相關運用於改善製程管制

3-1 統計製程管制概論

統計製程管制(statistical process control,簡稱 SPC)是利用抽樣樣本資料, 來監視製程之狀態,在必要時採取調整製程參數之行動,以降低產品品質特性之 變異性。統計製程管制為預防性之品質管制手段。所以說,製程管制比事後之檢 驗,更能提昇產品品質。

3-2 管制圖之簡介

典型管制圖由三條線組成,其中包含中心線(center line,CL)、上管制界限 (upper control limit,UCL)及下管制界限(lower control limit,LCL)。

所謂管制圖即將統計檢定之過程加以圖形化,如此不但可簡化統計檢定工 作,且將連續檢定之結果繪於同一圖形內時,易於比較與分析。

(30)

例: 我們運用 SPC 對某產品抽樣,得樣本平均數Xn,已知我們要求產品規格 需滿足常態分配 N(

µ

),其中假設 為我們已知,而我們要的目標 值 2 σ σ2

µ

=µ0,所以我們要檢定 H0 :µ =µ0 vs. H1:µ ≠µ0 sol: (1)以臨界值檢定法,在型 I 誤差 α 下,臨界值為 n Z c10 + α/2 σ

n Z c20α/2 σ ,若Xn > 或c1 Xn< ,則拒絕c2 H0 (2)以 X 管制圖(請參考附錄文獻)中,在型 I 誤差 α 下,CL 為µ0UCL 為c1,LCL 為 ,若管制圖中點(即c2 X )超出上下管制界限時, 則拒絕H0 ⊿ 換言之,管制圖上每個點好比臨界值檢定法。一般管制圖以型 I 誤差 α=0.00135,則 X 管制圖:UCL=µ+3 n σ 、CL=µ、LCL=µ −3 n σ 。 在統計製程管制中,我們不單只對期望值做檢定工作,亦會對變異數做檢 定,故有R 管制圖及 S 管制圖(請參考附錄文獻),用以監控變異數變動。

3-3 非傳統

X

管制圖

一般傳統X 管制圖上的點,代表由同一時間下抽取數個樣本相加後取平均的 值。其優點是能隨時監控每個時間點產品是否在製程管制內。

(31)

定義 3.1 非傳統X 管制圖 在不同的時間點上各只抽取一個代表性樣本(如X ),然後再將固定數個(5,6,..) 不同時間點上的樣本相加後取平均值,即可製成非傳統上的X 管制圖。 ⊿ 非傳統X 管制圖之缺點 由於非傳統X 管制圖上的點,並不是由同一時間抽取出的樣本,所以當非傳統 X 管制圖上的點落在管制線外時,我們無法察覺哪個時間點上製程出問題。所 以在使用非傳統X 管制圖,當發現有一點在管制線外時,我們只能找出製程在 何區段時間出問題。所以非傳統X 管制圖僅適用於抽樣時間較短較頻乏的品質 管制。

3-4 改善製程管制之方法:非傳統

X

管制圖之優點

由2-3 我們知道當 ,經過上述方法排序(參 考附錄B),並找出 ,當進入 steady state 時,則 與 具有負相關。 則Cov( , ) < 0,並且 Var( ) , ( ~ , , , , 2 3 2 1 x x x Normal µ σ x iid n L " " 2 " 1,x , ,xn x L x"i xi"+1 " i x xi"+1 2 " 1 " + + i i x x ) = 4 1

[Var( )+Var(" )+2Cov( , )]

i

x xi"+1 x"i x"i+1

< 4 1

[Var( )+Var(" )] = Var(

i x x"i+1 2 1 + + i i x x ),即 Var( 2 " 1 " + + i i x x ) < Var( 2 1 + + i i x x )。 我們將此方法運用於製程管制上,假設某產品 , 經過上述方法排序(參考附錄 B),並找出 ,當進入 steady state 時,則 與 具有負相關,且 本身依舊為常態分配。則 ) , ( ~ , , , , 2 3 2 1 x x x Normal µ σ x iid n L " " 2 " 1,x , ,xn x L " i x xi"+1 xi"

(32)

Var( " i X = 5 " 4 " 3 " 2 " 1 " + + + + + + + + i i i i i x x x x x ) < Var(Xi = 5 4 3 2 1 + + + + + + + + i i i i i x x x x x ) = 5 2 σ 換言之,若 ) 5 , ( ~ 2 σ µ Normal X 和 ) 5 , ( ~ 2 1 " µ σ Normal X ,則 。我們將此 結果運用於管制圖上,以 2 2 1 σ σ < " X 管制圖取代 X 管制圖。我們在同一個型 I 誤差 α 風 險下,因為 ,所以型Ⅱ誤差β 風險會變小。偵測到平均值改變之機率為 1-β 會變大。如此能讓品質管制人員更能準確地掌握製程狀態,儘快偵測出可歸 屬原因之發生或製程之跳動,以便在更多不合格品製造出之前能發現製程之變異 並進行改善工作。 2 2 σ σ1 < 排序之技巧: 如果產品規格 ,我們依附錄B 方法 排序時,我們不可能等收集到資料 ) , ( ~ , , , , 2 3 2 1 x x x Normal µ σ x iid n L ∞ → n 再來排序,因為如此即失 去製程管制的義意,立即監控產品規格。所以我們必須運用到統計 方法的小技巧。假如µ跟σ2已知: , , , , ~ ( , 2) 3 2 1 x x x Normal µ σ x iid n L Q ∴P

(

x1 <10σ +µ

)

≈1 設M = [10σ +µ](此處[ ]為高斯符號),則P

(

x1 < M

)

≈1。並且已 知P

(

x2M+1 >−M

)

≈1,所以可推得 ⎩ ⎨ ⎧ ≈ > + ≈ < − ⇒ + 0) 1 ( 1 ) 0 ( 1 2 1 M x P M x P M

P(x1M <x2M+1+M)≈1⇒P(x1 < x2M+1 +2M)≈1 1 2 1

P(x +1<x M+ +2M +1)≈1⇒P(y1 < y2M+1)≈1 1 1 2 2M+1 1 2M+2

所以我們可以先收集 1,經過附錄 B 方法排序,我們即 可得 。然後從 中去除 ,再收集一個資料 , 2 2 1,x , ,x M+ x L " x x ,x ,L,x x" x

(33)

將此 2M+1 個資料依附錄 B 方法排序,可得 。同理依此方法我們 可以有效地求得 ,並能迅速地算出每個 " 2 x " " 2 " 1,x , ,xn x L X 。但我們興i" 趣的是 ) 5 , ( ~ 2 1 " µ σ Normal Xi ,而 未知,所以我們必須先抽樣估 得 ,在建立 2 1 σ 2 1 ˆ σ " X 管制圖。 如果µ跟σ2未知,我們就依照品質管制方法事先行收集資料估出 µˆ跟σˆ2,在依照上述方法求得 " X 管制圖。

(34)

第四章、總結

x1,x2,x3, x .~. F(x),經過上述方法排序(參考附錄 B),並找出 , d i i n L "2 " " 1,x , ,xn x L 當進入 steady state 時,則xi"與xi"+1具有負相關。 本論文利用xi"與 具有負相關,排序後的 " 1 + i x X 固然會比較集中,也就是說經過排 序後的 X 之變異數會變小,而其期望值會不變。本論文運用此法在品質管制上, 控制型Ⅰ誤差風險α 值不變。而因為變異數的變小,則型Ⅱ誤差風險 β 風險變小。 偵測到平均值改變之機率為 1-β 會變大。如此能讓品質管制人員更能準確地掌握 製程狀態,儘快偵測出可歸屬原因之發生或製程之跳動,以便在更多不合格品製 造出之前能發現製程之變異並進行改善工作。 由於證明上需要相當的機率基礎,本論文中並尚未加以證明之。如能將模擬結果 以數學方式證明出。並將其運用在各領域上,如醫學或生物科技上必有一番作為。

(35)

附錄 A: 我們探討 t=3(已討論過),4,5,6,….k 時的P

(

D| D0

)

t=3 F

( ) ( )

3

[

F1 +F

( )

2

]

F

( )

1 +F

( ) ( ) ( ) ( )

2 F 3F 2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 F 1F 3F 2 F1 t=4 F

( ) ( )

4

[

F 2 +F

( )

3

]

[

F

( )

1 +F

( )

2

]

F

( )

1 +F

( ) ( ) ( )

3 F 4

[

F1 +F

( )

3

]

F

( ) ( )

2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3F 2 F 4 F 3 F 2 F 1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3F 2 F1F 4 F 3F 2 F1 t=5 F

( ) ( )

5

[

F 3 +F

( )

4

]

[

F

( )

2 +F

( )

3

]

[

F

( )

1 +F

( )

2

]

F

( )

1 +F

( ) ( ) ( )

4 F 5

[

F 2 +F

( )

4

]

[

F

( )

1 +F

( )

3

]

F

( ) ( )

2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 5

[

F1 +F

( )

4

]

F

( ) ( ) ( )

3 F 2 F 1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 5 F 4 F 3F 2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 1F 5 F 4 F 3F 2 F1 t=6 F

( ) ( )

6

[

F 4 +F

( )

5

]

[

F

( )

3 +F

( )

4

]

[

F

( )

2 +F

( )

3

]

[

F

( )

1 +F

( )

2

]

F

( )

1 +F

( ) ( ) ( )

5 F 6

[

F 3 +F

( )

5

]

[

F

( )

2 +F

( )

4

]

[

F

( )

1 +F

( )

3

]

F

( ) ( )

2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( )

5 F 4 F 6

[

F 2 +F

( )

5

]

[

F

( )

1 +F

( )

4

]

F

( ) ( ) ( )

3F 2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5F 4 F 3F 6

[

F 1 +F

( )

5

]

F

( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 F 4 F 3F 2 F 6 F 5 F 4 F 3F 2 F1 +F

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 F 4 F 3F 2 F1F 6 F 5 F 4 F 3F 2 F1 由上面我們可觀測出 t=k 時,P

(

D| D0

)

=

( ) (

k

[

F k 2

)

F

(

k 1

)

]

[

F

(

k 3

)

F

(

k 2

)

]

...

[

F

( )

1 F

( )

2

]

F

( )

1 F − + − − + − + +F

(

k−1

) ( ) (

F k

[

F k−3

)

+F

(

k−1

)

]

[

F

(

k−4

)

+F

(

k−2

)

]

...

[

F

( )

1 +F

( )

3

]

F

( ) ( )

2 F1 +

(

k 1

) (

F k 2

) ( ) (

F k

[

F k 4

)

F

(

k 1

)

]

[

F

(

k 5

)

F

(

k 2

)

]

...

[

F

( )

1 F

( )

4

]

F

( ) ( ) ( )

3F 2 F 1 F − − − + − − + − + +F

(

k−1

) (

F k−2

) (

F k−3

) ( ) (

F k

[

F k−5

)

+F

(

k−1

)

]

...

[

F

( )

1 +F

( )

5

]

F

( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 1

(36)

+ …………..+

(

k 1

) (

F k 2

)

...F

( ) ( ) ( )

3F k

[

F 1 F

(

k 1

)

]

F

(

k 2

) (

F k 3

)

...F

( )

1 F − − + − − − +F

(

k−1

) (

F k−2

)

...F

( ) ( ) (

2 F k F k−1

) (

F k−2

)

...F

( )

1 +F

(

k−1

) (

F k−2

)

...F

( ) ( ) (

1F k F k−1

) (

F k−2

)

...F

( )

1 我們想要證明P

(

D|D0

)

P

( )

D = F

( )

k 也會成立,因此我們要證明

(

)

(

)

[

F k−2 +F k−1

]

[

F

(

k−3

)

+F

(

k−2

)

]

...

[

F

( )

1 +F

( )

2

]

F

( )

1 +F

(

k−1

) (

[

F k−3

)

+F

(

k−1

)

]

[

F

(

k−4

)

+F

(

k−2

)

]

...

[

F

( )

1 +F

( )

3

]

F

( ) ( )

2 F1 +F

(

k−1

) (

F k−2

) (

[

F k−4

)

+F

(

k−1

)

]

[

F

(

k−5

)

+F

(

k−2

)

]

...

[

F

( )

1 +F

( )

4

]

F

( ) ( ) ( )

3F 2F1 +F

(

k−1

) (

F k−2

) (

F k−3

) (

[

F k−5

)

+F

(

k−1

)

]

...

[

F

( )

1 +F

( )

5

]

F

( ) ( ) ( ) ( )

4 F 3 F 2 F 1 +……+

(

k 1

) (

F k 2

)

...F

( ) ( )

3

[

F 1 F

(

k 1

)

]

F

(

k 2

) (

F k 3

)

...F

( )

1 F − − + − − − +F

(

k−1

) (

F k−2

)

...F

( ) (

2 F k−1

) (

F k−2

)

...F

( )

1 +F

(

k−1

) (

F k−2

)

...F

( ) (

1F k−1

) (

F k−2

)

...F

( )

1 1≤ 同理我們令 F

( )

i = for i=1,….,k-1 並且 滿足xi xi 0≤ x1 ≤ x2 ≤x3 ≤...≤xk−1 ≤1 因此我們要證明 f

(

x1,x2,x3,...,xk1

)

=

(

)

[

xk−2 + 1−xk−1

]

[

xk−3 +

(

1−xk−2

)

]

...

[

x1 +

(

1−x2

)

]

(

1−x1

)

+xk1

[

xk3 +

(

1−xk1

)

]

[

xk4 +

(

1−xk2

)

]

...

[

x1 +

(

1−x3

)

]

(

1−x2

)(

1−x1

)

+ xk1xk2

[

xk4 +

(

1−xk1

)

]

[

xk5 +

(

1−xk2

)

]

...

[

x1+

(

1−x4

)

]

(

1−x3

)(

1−x2

)(

1−x1

)

+

(

)

[

5 1

]

[

6

(

2

)

]

[

1

(

5

)

]

(

4

)(

3

)(

2

)(

1

)

3 2 1x x x 1 x x 1 x ...x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x xkkkk− + − kk− + − k− + − − − − − +………..+ xk1xk2...x3

[

x1 +

(

1−xk1

)

]

(

1−xk2

)(

1−xk3

) (

...1−x1

)

+xk1xk2...x3x2

(

1−xk1

)(

1−xk2

) (

...1−x1

)

+xk1xk2...x3x2x1

(

1−xk1

)(

1−xk2

) (

...1−x1

)

≤ where 1 0≤ x1 ≤ x2 ≤..≤xk−1 ≤1

(37)

附錄 B: 排序方法: yi = xi +i ,where i = 1,2,…,n。我們將 由小至大排列: yiy( )1 ≤ y( )2 ≤ y( )3 ≤L≤ y( )n,並找出每個對應的xj,即y( )i =xj + j 並令xi" = xj,則我們可以得到 ⇒ " " 3 " 2 " 1 x x xn x → → →L附錄 C:

Second derivatives test

Suppose the second partial derivatives of f are continuous on a disk with center (a,b), and suppose that fx(a,b)=0 and fy(a,b)=0. Let

D = D(a,b)= ( , ) ( , )

[

( , )

]

2 b a f b a f b a fxx yyxy

(a) If D>0 and fxx(a,b)>0, then f(a,b) is a local minimum. (b) If D>0 and fxx(a,b)<0, then f(a,b) is a local maximum.

(c) If D<0 , then f(a,b) is not a local maximum or minimum.

附錄 D:

A COURSE IN PROBABILITY THEORY , SECOND EDITION ,

Kai Lai Chung

Theorem 7.3.1 Suppose that { } is a sequence of m-dependent, uniformly

bounded r.v.’s such that

n X

( )

+∞ 3 / 1 n Sn σ

(38)

附錄 E:

模擬 10000 個xi",並做 K-S 常態分配檢定,與劃出 Q-Q plot. i = 11

One sample Kolmogorov-Smirnov Test of Composite Normality data: V1 in DS41

ks = 0.0063, p-value = 0.5 alternative hypothesis:

True cdf is not the normal distn. with estimated parameters sample estimates:

mean of x standard deviation of x 0.0106692 0.9952749 -4 -2 0 2 4 Normal Distribution -3 -1 1 3 5 V1 i = 12 ks = 0.006, p-value = 0.5 -4 -2 0 2 4 Normal Distribution -3 -1 1 3 V1 i = 13 ks = 0.005, p-value = 0.5 -4 -2 0 2 4 Normal Distribution -5 -3 -1 1 3 5 7 V1

(39)

i =20 ks = 0.0064, p-value = 0.5 -4 -2 0 2 4 Normal Distribution -5 -3 -1 1 3 V1 i =30 ks = 0.0078, p-value = 0.5 -4 -2 0 2 4 Normal Distribution -3 -1 1 3 V1 i =90 ks = 0.0052, p-value = 0.5 -4 -2 0 2 4 Normal Distribution -3 -1 1 3 V1 附錄 F:

用 Xi+i*d 來排

0 表示取Z0= 5 " 5 " 4 " 3 " 2 " 1 x x x x x + + + + 1 表示取Z1= 5 " 10 " 9 " 8 " 7 " 6 x x x x x + + + + 2 表示取Z2= 5 " 15 " 14 " 13 " 12 " 11 x x x x x + + + +

(40)

3 表示取Z3= 5 " 20 " 19 " 18 " 17 " 16 x x x x x + + + + 4 表示取Z4= 5 " 25 " 24 " 23 " 22 " 21 x x x x x + + + + 5 表示取Z5= 5 " 30 " 29 " 28 " 27 " 26 x x x x x + + + + 6 表示取Z6= 5 " 35 " 34 " 33 " 32 " 31 x x x x x + + + + 7 表示取Z7= 5 " 40 " 39 " 38 " 37 " 36 x x x x x + + + + 8 表示取Z8= 5 " 45 " 44 " 43 " 42 " 41 x x x x x + + + + 9 表示取Z9= 5 " 50 " 49 " 48 " 47 " 46 x x x x x + + + + 10 表示取Z10= 5 " 55 " 54 " 53 " 52 " 51 x x x x x + + + + 11 表示取Z11= 5 " 60 " 59 " 58 " 57 " 56 x x x x x + + + + 12 表示取Z12= 5 " 65 " 64 " 63 " 62 " 61 x x x x x + + + + 13 表示取Z13= 5 " 70 " 69 " 68 " 67 " 66 x x x x x + + + + 14 表示取Z14= 5 " 75 " 74 " 73 " 72 " 71 x x x x x + + + + 15 表示取Z15= 5 " 80 " 79 " 78 " 77 " 76 x x x x x + + + + 16 表示取Z16= 5 " 85 " 84 " 83 " 82 " 81 x x x x x + + + + 17 表示取Z17= 5 " 90 " 89 " 88 " 87 " 86 x x x x x + + + + 18 表示取Z18= 5 " 95 " 94 " 93 " 92 " 91 x x x x x + + + + 19 表示取Z19= 5 " 100 " 99 " 98 " 97 " 96 x x x x x + + + +

(41)

d Zi 的 i |Zi|> 5 2 個數 |Zi|> 5 3 個數 0.01 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 100000 99147 85367 48346 16089 3190 398 24 1 0 0 2 45 631 4644 21004 56798 90229 99693 100000 99155 56471 10453 814 28 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 73 1437 15756 69684 99999 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 70937 12025 4291 3222 3522 3809 4059 3927 8992 36031 19803 5922 4097 3899 3731 3505 24392 873 242 168 159 201 186 226 2222 10532 4751 842 262 218 199 139

(42)

16 17 18 19 3230 4227 12228 70912 153 235 938 24393 0.75 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8026 56754 3466 3532 3350 3512 3342 3468 3582 3426 3410 3492 3381 3501 3523 3390 3507 3437 3438 6247 1046 15375 135 152 164 160 128 177 151 148 165 168 130 147 152 152 145 160 139 484 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 31790 25067 3820 3896 3676 3775 3696 3734 3903 3809 3682 3899 3743 3807 7522 5907 171 182 197 185 153 181 174 178 186 207 164 177

(43)

14 15 16 17 18 19 3840 3796 3790 3828 3813 5224 175 186 200 195 180 344 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 57663 4550 4589 4560 4524 4516 4456 4506 4561 4569 4562 4556 4576 4570 4551 4641 4499 4578 4603 4596 17744 265 280 263 291 251 262 281 277 285 272 254 245 233 274 270 273 258 290 257 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 58677 4564 4560 4575 4516 4519 4519 4488 4564 4555 4607 4551 18457 264 274 262 284 250 251 300 276 293 283 250

參考文獻

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