平均数、众数和中位数 知识讲解

平均数、众数和中位数

【学习目标】 1. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描 述； 2. 能合理选用平均数、中位数和众数解决实际问题； 3. 知道可以通过样本的平均数来估计总体的平均数，并用它们去解决实际问题． 【要点梳理】 要点一、平均数 1.算术平均数 一般地，如果有 n 个数 1 2 n

x , x

,…

,x

，那么

_x

=

x

1



x

2

_n

…

+

x

n 叫做这 n 个数的算术平 均数，简称平均数.“

x

”读作“x 拔”. 通常，平均数可以用来表示一组数据的“集中趋势”. 要点诠释： 平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均 数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 2.加权平均数 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程 度”有关.我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权.按照这种方法求出的平均数，叫做 加权平均数. 加权平均数的计算公式为：若数据

x

1出现

f

1次，

x

2出现

f

2次，

x

3出现

f

3次……

x

k出 现

f

k次，这组数据的平均数为

x

，则

x

=

1

n

（

f

1

x

1+

f

2

x

2+

f

3

x

3+…+

f

k

x

k）（其中 n=

f

1+

f

2+

f

3+…+

f

k） “权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和. 要点诠释： （1）

f

k越大，表示

x

k的个数越多，“权”就越重，也就越“重要”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 要点二、众数和中位数 1.众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势. 要点诠释： （1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 2.中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的 数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数

叫做这组数据的中位数. 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据 的集中趋势. 要点诠释： （1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半. 要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势. 区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对 中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时 可用众数来描述. 在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会 更贴近实际. 要点四、用样本估计总体 在考察总体的平均水平时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平近似估计得到 总体的平均水平. 要点诠释： （1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样 本.取样必须具有尽可能大的代表性. （2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确 定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价. 【典型例题】 类型一、平均数、众数和中位数 1、（2015•益阳）某小组 5 名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于 “劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（　　） 劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5 人 数 1 1 2 1 A．中位数是 4，平均数是 3.75 B．众数是 4，平均数是 3.75 C．中位数是 4，平均数是 3.8 D．众数是 2，平均数是 3.8 【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可． 【答案】C； 【解析】解：这组数据中 4 出现的次数最多，众数为 4， ∵共有 5 个人， ∴第 3 个人的劳动时间为中位数， 故中位数为：4， 平均数为： =3.8． 故选 C． 【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后 再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果 是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数 可以不止一个．

举一反三： 【变式 1】（2015•安庆二模）A、B、C、D、E 五名同学在一次数学测验中的平均成绩是 80分，而 A、B、C 三人的平均成绩是 78 分，下列说法一定正确的是（　　） A．D、E 的成绩比其他三人都好 B．D、E 两人的平均成绩是 83 分 C．五人成绩的中位数一定是其中一人的成绩 D．五人的成绩的众数一定是 80 分 【答案】B； 解：A、无法判断 D、E 的成绩比其他三人都好，故本选项错误； B、设 D、E 两人的平均成绩是 83 分， 由题意得，3×78+2x=5×80， 解得 x=83， 所以，D、E 两人的平均成绩是 83 分正确，故本选项正确； C、五人成绩的中位数一定是其中一人的成绩错误，有可能是按成绩排列后中间三位同学 的成绩相同，中位数是他们三个人的成绩，故本选项错误； D、五人的成绩的众数一定是 80 分，错误，有可能没有人正好是 80 分，故本选项错误． 故选 B． 【变式 2】某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下 表所示： 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（　　） A．6.2 小时 B．6.4 小时 C．6.5 小时 D．7 小时 【答案】B； 解：根据题意得： （5×10+6×15+7×20+8×5）÷50 =（50+90+140+40）÷50 =320÷50 =6.4（小时）． 故这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时． 类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题 2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试， 各项测试成绩满分均为 100 分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所 示： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 教学能力 85 73 73 科研能力 70 71 65 组织能力 64 72 84 (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由； (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按 5:3:2 的比例确定每

人的成绩，谁将被录用，说明理由． 【思路点拨】（1）运用求平均数公式



1 2 3



1

n

x x x

x

n

+ + + +



即可求出三人的平均成绩，比 较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果. 【答案与解析】 解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73， 乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72， 丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74， ∴ 候选人丙将被录用． (2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3， 乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2， 丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8， ∴ 候选人甲将被录用． 【总结升华】5、3、2 即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按 加权平均数来录用． 举一反三： 【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得 89 分，测验二得 78 分，测 验三得 85 分，期中考试得 90 分，期末考试得 87 分，如果按照平时、期中、期末 的 10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少? 【答案】 解：小王平时测试的平均成绩

89 78 85

84

3

x









（分）． 所以

84 10% 90 30% 87 60%

87.6

10% 30% 60%











_





（分）． 答：小王该学期的总评成绩应该为 87.6 分． 3、下表是七年级(2)班 30 名学生期中考试数学成绩表(已破损)． 已知该班学生期中考试数学成绩平均分是 76 分． (1)求该班 80 分和 90 分的人数分别是多少? (2)设此班 30 名学生成绩的众数为

a

，中位数为

b

，求

a b



的值． 【答案与解析】 解：(1)设该班得 80 分的有

x

人，得 90 分的有

y

人． 根据题意和平均数的定义，得

2 5 7

3 30,

76 30 50 2 60 5 70 7 80

90

100 3,

x y

x

y

     



        









整理得

13,

8

9

109,

x y

x

y

 



  



解得

8,

5.

x

y





 



即该班得 80 分的有 8 人，得 90 分的有 5 人．

a

所以

b

＝80，则

a b



＝80＋80＝160． 【总结升华】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．解题的关键是准确理解 题意，建立等量关系. 举一反三： 【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班 50 名学生每人一周内的 零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图． 零花钱数额（元） 5 10 15 20 学生个数（个）

a

15 20 5 请根据图表中的信息，回答以下问题. (1)求

a

的值； (2)求这 50 名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数． 【答案】 解：(1)

a

＝50－15－20－5＝10． (2)众数是 15． 平均数为

1

50

(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12． 类型三、用样本估计总体 4、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所 在班的 50 名同学中，随机调查了 10 名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查 结果绘成了如图所示的条形统计图． (1)求这 10 个样本数据的平均数、众数和中位数； (2)根据样本数据，估计小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7t 的约有多 少户． 【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再 根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭 月均用水量不超过 7t 的用户所占的百分比，再进一步估计总体． 【答案与解析】

解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是

6 2 6.5 4 7 1 7.5 2 8 1

6.8

10

x



 

   

  



． ∴ 这组样本数据的平均数为 6.8． ∴ 在这组样本数据中，6.5 出现了 4 次，出现的次数最多． ∴ 这组数据的众数是 6.5． ∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 6.5，有

6.5 6.5

6.5

2



_

． ∴ 这组数据的中位数是 6.5． (2)∵ 10户中月均用水量不超过 7t 的有 7 户，有

50

7

35

10





． ∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7t 的约有 35 户． 【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息 是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和 众数的计算方法．