第十章 二次根式

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(1)

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10.1 ˟Ѩॲё

式子 a (a ≥ )叫做二次根式。例如: 3 、0 3 5 、 2 1 b + 、 2 (a b− ) 等都是二次根式。在實數範圍內,負數沒有平方根,所 以 − 、 a (5 a < )沒有意義。在本章裡,如果沒有特別說明,0 所有字母都表示正數。 我們在前一章學過,正數 a 之正的平方根,也叫做 a 的算術 平方根,記作 a 。這表明, a 是一個正數,即 a > 。零的平0 方根也叫做零的算術平方根,記作 0 。我們有 0 = 。從上面0 的分析可以看出, a ≥ (0 a≥ ),即 a (0 a≥ )總是一個非負數0 (正數與零統稱為非負數)。 根據平方根的意義,如果一個數的平方等於 2,這個數就叫 做 2 的平方根。因此,可以知道 2 ( 2) = 。 2 一般地,如果一個數的平方等於 a,這個數就叫做 a 的平方 根。因此,我們有 ( a)2 = a a(0 ) 【ּ 1】 計算: (1) ( 4) ; 2 (2) ( 5) ; 2 (3) 2 3 5 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (4) 2 (2 3) 。1

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ྋ !! (1) 2 2 ( 4) = 2 = 或4 ( 4)2 = ; 4 1 2 3 表示 2× 3 ;一般地, b a 表示 b× a

(3)

(2) ( 5)2 = ; 5 (3) 2 3 3 5 5 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (4) (2 3)2 = 22 ×( 3)2 = × =4 3 12。 把上面的公式( a)2 = (a a ≥ )反過來,就得到 0 ( )2 a = a (a≥ ) 0 利用這個公式,可以把任何一個非負數寫成一個數的平方之形 式。 【ּ 2】 把下面的非負數寫成平方的形式: (1) 2; (2) 0.5; (3) 1 7 ; (4) ab。

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ྋ !! (1) 2 2 =( 2) ; (2) 0.5= ( 0.5)2; (3) 2 1 1 7 7 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (4) 2 ( ) ab = ab

ቚ ௫!

1. 計算: (1) ( 0.5) ; (2) 2 2 2 7 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (3) 2 (5 7 ) ; (4) 2 1 3 3 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 2. 把下面的非負數寫成平方的形式: (1) 9; (2) 6; (3) 2.5; (4) 0.25; (5) b; (6) 4a。 根據算術平方根的意義,我們分a > 、0 a = 、0 a< 三種情0 況來研究根式 2 a 。 (1) 22 = 、2 32 = ; 3 一般地,當a > 時,0 a2 = 。 a

(4)

(2) 02 = ; 0 也就是說,當a = 時,0 a2 = 。 a (3) ( 2)− 2 = 4 = ,2 與 22 − 為相反數,即 2= − − ; ( 2) ( 3)− 2 = 9 = ,3 與 33 − 為相反數,即3= − − ; ( 3) 一般地,當a< 時,0 a2 = − 。 a 綜合上面的結果,有 2 ( 0) 0 ( 0) ( 0) a a a a a a > ⎧ ⎪ = = ⎪− < ⎩ 我們已經知道, ( 0) | | 0 ( 0) ( 0) a a a a a a > ⎧ ⎪ = = ⎪− < ⎩ 比較 a 與| |2 a ,就得到 ( ) | | ( ) ( ) ⎧ ⎪ = = ⎨ ⎪− ⎩ 2 > 0 0 = 0 < 0 a a a a a a a 【ּ 3】 計算: (1) 2 ( 1.5)− ; (2) (a−3)2 (a < )。 3

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ྋ !! (1) 2 ( 1.5)− = −| 1.5 | 1.5= ; (2) (a−3)2 = − |a 3 | ∵ a < 3 ∴ 3 0a− < ∴ (a−3)2 = − = − − = − |a 3 | (a 3) 3 a

(5)

ቚ ௫!

1. (口答) 下列等式能不能成立?為什麼? (1) ( 7 )2 = ; (2) 7 (− 7 )2 = − ; 7 (3) 62 = ; 6 (4) ( 6)− 2 = − 。 6 2. (口答) 說出下列各式的值: (1) ( 0.8) ; 2 (2) 2 0.8 ; (3) ( 0.8)− 2 ; (4) 2 ( 0.8) − − 。 3. 化簡下列各式: (1) (5 9)− 2 ; (2) 2 1 3 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (3) (b−4)2 (b> ); (4) 4 (m n− )2 ( m < )。 n 4. 甲、乙兩人計算a+ 1 2− a+a2 的值,當a = 的時候,得到5 不同的答案,甲的解答是 2 2 1 2 (1 ) 1 1 a+ − a+a = +aa = + − = a a 乙的解答是 2 2 1 2 ( 1) 1 2 1 2 5 1 9 a a a a a a a a + − + = + − = + − = − = × − = 那一個答案是正確的?錯誤的解答,錯在哪裡?為什麼?

10.2 ˟Ѩॲё۞ّኳ

我們知道,二次根式 a (a ≥ )就是 a 的算術平方根之表示0 式,因此,研究二次根式的性質,只要研究算術平方根的性質就 可以了。 1. 積的算術平方根 我們看下面的例子:

(6)

2 2 2 2 ( 4 9) 4 9 36 ( 4 9) ( 4) ( 9) 4 9 36 × = × = × = × = × = 4 9× 與 4× 9 又都是正數,這就說明 4 9× 與 4× 9 都是 36 的算術平方根,而 36 的算術平方根只有一個,所以 4 9× = 4× 9 。 一般地,有 ≥ ≥ ( 0 0 ) i , ab = a b a b 這就是說:積的算術平方根,等於積中各因式的算術平方根 之積。 【ּ 1】 計算: (1) 16 81× ; (2) 0.09 0.25× ; (3) 172 −82 。

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ྋ !! (1) 16 81× = 16× 81 = × =4 9 36; (2) 0.09 0.25× = 0.09× 0.25 =0.3 0.5× =0.15; (3) 172 −82 = (17 8)(17 8)+ − = 25× 9 = × =5 3 15。

ቚ ௫!

1. 計算: (1) 49 121× ; (2) 81 169× ; (3) 9 25 225× × ; (4) 262 −102 ; (5) 0.652 −0.162 ;(6) 25a b c 。 4 6 2 2. 下列各式的計算對不對?為什麼? (1) 32 +42 = + = ; (2) 3 4 7 412 −402 = 41 40 1− = 。 【ּ 2】 化簡: (1) 102× ; (2) 48 ; 2 (3) 4a b ; (4) 2 3 x4 + x y2 2 。

(7)

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ྋ !! (1) 2 2 10 × =2 10 × 2 =10 2 ; (2) 48 = 42× =3 42 × 3 = 4 3 ; (3) 4a b2 3 = 22 i a2 ib2 ib = 2ab b ; (4) x4 + x y2 2 = x x2( 2 + y2) = x x2 + y2 。 從例 2 可以看出,根據積的算術平方根之性質,如果被開方 數中有的因式能開的盡方,那麼這些因式可以用它們的算術平方 根來代替而移到根號外面,從而將式子化簡。反過來,我們也可 以把根號外面的非負因式平方後移到根號裡面。 【ּ 3】 把下列各式中根號外面的因式適當改變後移到根號裡 面: (1) 5 3 ; (2) −3 a ; (3) 4b bc 。

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ྋ !! (1) 2 5 3 = 5 × =3 75 ; (2) −3 a = − 32 ia = − 9a ; (3) 4b bc = (4 )b 2 ibc = 16b c3 。 想一想: 3 a− 為什麼不能寫成 ( 3)− 2a = 9a【ּ 4】 把下列各式中根號外面的因式適當改變後移到根號裡 面: (1) 10 0.1 ; (2) 5 1 5 。

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ྋ !! (1) 2 10 0.1 = 10 ×0.1= 10; (2) 5 1 52 1 5 5 = × =5 。

(8)

ቚ ௫!

1. 化簡: (1) 18 ; (2) − 27 15× ; (3) 212 −42 ; (4) 9x ; (5) 3 5a ; (6) 8x y ; 2 3 (7) 1 9 2 3 6 a bc ; (8) 3 16(x+2) 。 2. 把下列各式中根號外面的因式適當改變後移到根號裡面: (1) 5 2 ; (2) −7 3; (3) 6 5 ; (4) 2 0.5 ; (5) 12 2 c − ; (6) a b a 。 3. (口答) 下面的計算對不對,為什麼? (1) 2a b = 2a b2 ; (2) −3 2 = ( 3)− 2× =2 18 ; (3) 3 3 a a = 。 2. 商的算術平方根 我們看下面的例子: 2 2 2 2 2 2 5 5 ( 2) 2 2 5 ( 5) 5 ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 5 與 2 5 又都是正數,這就說明 2 5 與 2 5 都是 2 5 的算術平 方根,而2 5 的算術平方根只有一個,所以 2 2 5 = 5 。

(9)

一般地,有 ≥ > ( 00 ) a a = a b b b 這就是說:商的算術平方根,等於被除式的算術平方根除以 除式的算術平方根。 【ּ 5】 計算: (1) 4 9 ; (2) 15 1 49 ; (3) 3 100 ; (4) 4 2 25 81 x y

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ྋ !! (1) 4 4 2 9 = 9 = ; 3 (2) 115 64 64 8 11 49 = 49 = 49 = =7 7 ; (3) 3 3 1 3 100 = 100 =10 ; (4) 4 4 2 2 2 25 25 5 81 81 9 x x x y = y = y 。 再看一個例子: 2 1 a a b ab ab b = b b = b = b i i Ą 這就是說,如果被開方數是一個分式(或分數),就可以用一 個適當的代數式同乘分子與分母,使分母開的盡方,然後把分母 用它的算術平方根來代替而移到根號外面,從而化去分號內的分 母。

(10)

【ּ 6】 化去下列各式中根號內的分母:(1) 2 3 ; (2) 11 7 ; (3) 4 3 x y ; (4) 5 5 a a − + (a > )。 5

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ྋ !! (1) 2 2 3 1 6 3 3 3 3 × = = × ; (2) 2 1 8 8 7 2 2 7 2 1 14 7 7 7 7 7 7 7 × × × = = = = × × ; (3) 4 4 3 2 3 3 3 3 3 x x y xy y = y y = y i i ; (4) 5 ( 5)( 2 5) 1 2 25 5 ( 5) 5 a a a a a a a= − + = + + + 。

ቚ ௫!

1. 計算: (1) 25 64 ; (2) 4 225 ; (3) 0.01 0.16 ; (4) 36 9 121 × ; (5) 0.04 144 0.49 169 × × ; (6) 1 4 9 ; (7) 62 4a ; (8) 2 2 49 9 m n c 。 2. 化去下列各式中根號內的分母: (1) 1 2 ; (2) 7 12 ; (3) 1 5 3 ; (4) 6 5 6 ; (5) 27 2x ; (6) 3 2 n m 。 (7) 50 a ; (8) a b a b − + ( a > )。 b

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3. (口答) 下面的計算對不對?為什麼? (1) 3 2 3 4 = ; (2) 3 1 3 2 = 2 ; (3) 8 2 2 = ; (4) 1 9 3 a a b = b

10.3 ౵ᖎ˟ѨॲёᄃТᙷ˟Ѩॲё

1. 最簡二次根式 我們看下面的例子: 3 2 2 2 2 2 2 a b a ab a ab a ab b ab a a a ab a ab a a a = = = = = = i i 二次根式 a b 與3 a2 b a 2的形式雖然不同,但是它們都可以 化成形式比較簡單的二次根式 a ab 。與二次根式 3 a b 與a2 b a 比較,二次根式 a ab 滿足下列兩個條件: (1) 被開方數的每一個因式的指數都小於根指數 2; (2) 被開方數不含分母。 我們把符合這兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式。例 如:4 5a 、 2 y 、 2 a + 等都是最簡二次根式;而b 4a 、3 3 c 、 8 等就不是最簡二次根式。 2 為了方便,我們把形如 b a (a≥ )的式子也叫做二次根式,例如10 2 、0 3 − 、 2 2ab c + 等。 1

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一個二次根式,如果不是最簡二次根式,可以用上節所說的 方法,化去根號內的分母,並把被開方數中能開得盡方的因式用 算術平方根代替移到根號外面,把它化成最簡二次根式。 【ּ】 把下列根式化成最簡二次根式: (1) 12 ; (2) 1 3 ; (3) 4 11 2 ; (4) 2 y x x

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ྋ !! (1) 2 12 = 2 × =3 2 3 ; (2) 1 3 3 3 = 3 3× = 3 ; (3) 4 11 4 3 4 6 2 6 2 = 2 = 4 = ; (4) x2 y x2 xy2 x xy x = x = 。 注意:把二次根式化成最簡二次根式時,往往需要把被開方數分 解質因數(或分解因式)。

ቚ ௫!

1. 下列根式中,那些是最簡二次根式?哪些不是?如果不是, 就把它化成最簡二次根式。 (1) 45 ; (2) 25a ; 3 (3) 4 ab ; (4) 14 ; (5) b a ; (6) 2 2 ; (7) 6a b ; 2 3 (8) 4 5 y x ; (9) 2 a b+ 。

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ቚ ௫!

2. 把下列根式化成最簡二次根式: (1) 3 216 ; (2) 32 ; (3) 8 9 ; (4) 11 3 ; (5) 2 20a b a ; (6) 3 3 2 a b ; (7) 2 13 8 x x ; (8) ( )2 ab a b+ ; (9) (a b) 1 a b − − ( a > ) b 2. 同類二次根式 把 12 與 1 3 化成最簡二次根式,得到 2 12 2 3 2 3 1 3 1 3 3 3 3 3 = × = = = × 二次根式 2 3 與1 3 3 的被開方數相同,都是 3。幾個二次根 式化成最簡二次根式以後,如果被開方數相同,這幾個二次根式 就叫做同類二次根式。例如, 12 、 1 3、 1 3 2 是同類二次根式; a ab 、3 ab 也是同類二次根式。而 2 與 3 則不是同類二次根 式; a 與 3a 也不是同類二次根式。 我們知道,在多項式中,遇到同類項就可以合併。同樣,在 幾個二次根式的和裡,遇到同類二次根式也可以合併。

(14)

【ּ 1】 下列二次根式中,哪些是同類二次根式? 2 、 75 、 1 50 、 1 27 、 3 、 3 2 8 3 ab 、 6 2 a b b

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ྋ !! ∵ 2 75 = 5 × =3 5 3 1 2 1 2 50 = 50 2× =10 1 3 1 3 27 = 27 3× = 9 2 8 3 2 2 2 4 2 3 3 3 b ab = i b ab = ab 6 6 2 3 2 2 2 2 a a b b b ab b = b b = i i ∴ 2 、 1 50 是同類二次根式; 75 、 1 27 、 3 是同類二次根式; 2 8 3 3 ab 、 6 2 a b b 是同類二次根式。 【ּ 2】 合併下列各式中的同類二次根式: (1) 2 2 1 3 1 2 2 3 2 3 − + − + ; (2) 3 xya xy +b xy

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ྋ !! (1) 2 2 1 3 1 2 2 3 2 3 − + − + 2 1 1 2 1 1 3 4 2 1 3 3 2 3 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − +− + = + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2) 3 xya xy +b xy = − +(3 a b) xy

(15)

ቚ ௫!

1. 下列各組裡的二次根式是不是同類二次根式? (1) 63 、 28 ; (2) 12 、 27 、4 1 3 ; (3) 4x 、 2 2x ; 3 (4) 18 、 50 、2 2 9 ; (5) 2x 、 2a x 、2 3 50xy 。 2 2. 合併下列各式中的同類二次根式: (1) 6 a +2 b −4 a +3 b ; (2) 5 3 2 5 3 3 5 3 + + − − ; (3) 6 3+ 0.12 + 48; (4) 5 2 2 2 xy xyxy − 。

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! 1. a 是怎樣的實數時,下列各式在實數的範圍內有意義? 2 a− 、 2 a− 、 a+ 、2 (a−2)2 2. 把下列各式寫成平方差的形式,再分解因式: (1) x2 − ; 9 (2) a2 − ; 3 (3) 4a2 − ; (4) 7 16b2 − 。 11 3. 計算: (1) ( 11) ; 2 (2) ( 13)− 2 ; (3) − (5 6)× 2 ; (4) a ; 6 (5) 2 2 7 7 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (6) 2 (x+5) ;

(16)

(7) x2 −2x+ (1 x ≥ ); (8) 1 ( xy)2 (x ≥ ); y (9) x2 −4x+ (4 x < ); 2 (10) x+ +y x2 −2xy + y2 (x < )。 y 4. 計算: (1) 9 25× ; (2) 36 256× ; (3) 25 81 289× × ; (4) 132 −122 ; (5) 652 −162 ; (6) 9a ; 2 (7) (x+ y c)2 2 ; (8) (a b+ ) (2 a b− )2 ( a < )。 b 5. 化簡: (1) 56 × ; 3 (2) 242 49× ; (3) ( 32)( 15)− − ; (4) 4x ; (5) 3 7a ; 4 (6) 5 (a x+a)3 ; (7) 8(a b+ ) (4 c d− )4 ; (8) a2n (n 是正整數)。 6. 把下列各式中根號外面的因式適當改變到後移到根號裡面: (1) 2 6 ; (2) −5 7 ; (3) 4 1 2 ; (4) −2a b ; (5) 2 3 3 ; (6) 1 1 ab a + 。 b 7. 計算: (1) 9 49 ; (2) 34 2 81 ; (3) 0.16 0.0225 ; (4) 0.01 64 0.36 4 × × ; (5) 27 100 ; (6) 4 6 25 121 y x ; (7) 2 2 18 4 a b ; (8) 2 2 1 2 1 25 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (9) 2 2 130 −66 。

(17)

8. 化去下列各式中根號內的分母: (1) 1 6 ; (2) 3 2 11 ; (3) 127 32 ; (4) 8 3 128 ; (5) 3 9 n m ; (6) 5 b a a ; (7) 7( ) 27( ) a b a b − + ( a > ); b (8) 2 2 1 1 a ab ( a < ); b (9) 2 ( ) a b a b + − ( a < )。 b 9. 把下列根式化成最簡二次根式: (1) 72 ; (2) 6 1 8 ; (3) 10 14 5 ; (4) 2 ( 8)− − × − ; 4 ( 4) (5) 2 2 1 1 3 2 2 ⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ; (6) x y ; (7) 25m3 +50m2 ; (8) 2 3 2 4 4 2 3 a b b b aa (b > ); 1 (9) 2 2 3 4 4 2 a a b ab b a b a − + − (a <2b)。 10. 求當a = 、1 b= 、10 c = − 時,代數式15 2 4 2 b b ac a − + − 的值(用 最簡二次根式表示)。 11. 求當a = 、2 b = − 、8 c = 時,代數式5 2 4 2 b b ac a − − − 的值(用 最簡二次根式表示)。

(18)

12. ᶳ↿Ḵ㫉㟡⺷ᷕ炻⒒ṃ㗗⎴栆Ḵ㫉㟡⺷烎 8ˣ 20 ˣ 5 16 − ˣ 1 18 ˣ 4 3 5 ˣ 3 121a − ˣa 1 a ˣ 3 3 2 a b c ˣ 3 3 3 a bc ˣ 4 c ab ˣ 1 mn np− (m p > )ˣ 3 n mp (m p > )ˤ 13. ⎰Ἕᶳ↿⎬⺷ᷕ䘬⎴栆Ḵ㫉㟡⺷烉 (1) 2 3 3 2 3 2 3 2 + + − − 烊 (2) 125 3 2 4 216 3 1 27 5 + − − 烊 (3) 5 xy −7 x −3 yx +4 x 烊 (4) 2 3 2 3 3 27 2 5 4 b a a aba ab ˤ

10.4

˟Ѩॲё۞ΐഴ

Ḵ㫉㟡⺷䘬≈㷃⎴㔜⺷䘬≈㷃栆Ụ炻⎒天⎰Ἕ⎴栆Ḵ㫉㟡⺷ ⯙⎗ẍḮˤ䁢Ḯ⎰Ἕ⎴栆Ḵ㫉㟡⺷炻ㅱ䔞⃰㈲⎬ᾳḴ㫉㟡⺷⊾ㆸ 㚨䯉Ḵ㫉㟡⺷ˤḇ⯙㗗婒炻Ḵ㫉㟡⺷䚠≈㷃炻⃰㈲⎬ᾳḴ㫉㟡⺷ ⊾ㆸ㚨䯉Ḵ㫉㟡⺷炻ℵ㈲⎴栆Ḵ㫉㟡⺷↮⇍⎰Ἕˤ Ȝּ 1ȝ 妰䬿 1 2 12 4 3 48 27 − + ˤ

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ྋ !! 1 4 2 12 4 3 48 4 3 3 12 3 27 9 − + = − + 4 3 4 12 9 140 3 9 = − + =

(19)

【ּ 2】 計算 2 9 6 2 1 3 4 x x x x + − 。

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ྋ !! 2 9 6 2 1 2 3 2 3 3 4 x x x x x x x x + − = + − = 。 【ּ 3】 計算 32 0.5 2 1 1 75 3 8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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ྋ !! 32 0.5 2 1 1 75 3 8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 32 2 75 2 3 8 1 2 1 4 2 2 3 2 5 3 2 3 4 2 1 1 2 5 3 4 3 2 4 17 13 2 3 4 3 = + − − − = + − − + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = +

ቚ ௫!

1. 計算: (1) 5 2 + 8−7 18 ; (2) 28 +9 112 ; (3) 3 40 2 2 1 5 10 − − ; (4) 12 1 1 27 3 + − ; (5) 1 32 8 1 50 3 + 2 −5 ; (6) 3 2 2x − 8x +2 2xy ; (7) 1 4 1 2 x x y y x + − + y ; (8) 2 2 4 4 2 2 b b ac b b ac a a − + − + − − − (b2 > 4ac)。

(20)

ቚ ௫!

2. 計算: (1) 18 −( 98−2 75 + 27 ); (2) ( 45 108) 11 125 3 ⎛ ⎞ + + ⎝ ⎠; (3) 24 0.5 2 2 1 6 3 8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; (4) 1( 2 3) 3( 2 27 ) 2 + − 4 − ; (5) 2 8 3 50 3 18 3 2 a a a + a aa ; (6) 2 3 4b a a b 3a b 9ab b a a ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠。 3. 求下列各式的近似值 (精確到 0.01): (1) 22 2 1 54 3 + 3 −5 ; (2) 5 1 1 20 5 4 45 5 2 4 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠。 4. 下面的計算是否正確?為什麼? (1) 2 + 3 = 5; (2) 2+ 2 = 2 2 ; (3) a xb x =(a b− ) x ; (4) 8 18 4 9 2 3 5 2 + = + = + = 。

(21)

10.5 ˟Ѩॲё۞ࢷڱ

把公式 ab = a i b 反過來,就得 i a b = ab 。 運用這個公式,可以進行二次根式的乘法運算。就是說,二 次根式相乘,仍得二次根式,把被開方數的積作為積的被開方數。 【ּ 1】 計算: (1) 14 i 7 ; (2) 3 5a i 2 10b

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ྋ ! (1) 14 i 7 = 14 7× = 72 × =2 7 2 ; (2) 3 5a i 2 10b = ×3 2 5a i10b =30 2ab 。 注意:二次根式運算的結果,如果含有二次根式,一般要化成最 簡二次根式。 【ּ 2】 計算: (1) 8 5 3 6 27 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠i ; (2) (5+ 6)(5 2 −2 3)。

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ྋ ! (1) 8 5 3 6 8 6 5 3 6 27 27 ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠i i i 8 6 5 3 6 27 4 15 2 3 = × − × = − (2) (5+ 6)(5 2 −2 3) = 25 2 10 3− +5 12−2 18 25 2 10 3 10 3 6 2 19 2 = − + − = 二次根式的和相乘,與多項式的乘法相類似。遇到適用多項 式乘法公式的時候,也可以運用乘法公式。

(22)

【ּ 3】 計算: (1) (2 3 3 2)(2 3 3 2)+ − ; (2) (4 3 5)+ 2 ; (3) ( 6−3 3)2。

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ྋ ! (1) (2 3 +3 2)(2 3 3 2)− =(2 3)2 −(3 2)2 12 18 6 = − = − (2) (4 3 5)+ 2 = 42 +2 4 3 5i i +(3 5)2 16 24 5 45 61 24 5 = + + = + (3) ( 6 −3 3)2 = ( 6)2 −2i 6 3 3i +(3 3)2 6 18 2 27 33 18 2 = − + = − 【ּ 4】 計算: (1) ( 3+ 6)( 3− 6); (2) (2 ax −5 by)(2 ax +5 by)。

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ྋ ! (1) ( 3 + 6)( 3 − 6) =( 3)2 −( 6)2 = − = − ; 3 6 3 (2) (2 ax −5 by)(2 ax +5 by) =(2 ax)2 −(5 by)2 = 4ax−25by

ቚ ௫!

1. 計算: (1) 5 i 3; (2) 6 27 ( 2 3)i − ; (3) 9 45 3 22 2 3 × ; (4) 6x i 2x ; (5) a b b a b a i a b ; (6) 1 10x y x i 。

(23)

ቚ ௫!

2. 計算: (1) ( 12 −3 75)i 3; (2) 2 5( 10 +4 12); (3) ( 2 +2 12 − 6) 2 3i ; (4) 3 6(3 2 − 15)。 3. 計算: (1) (2 3 −2)(3 2 − ; 3) (2) 5 2 3 3 5 1 3 2 3 ⎛ ⎞⎛ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝ ⎠ ; (3) ( a + b)( ac); (4) (2 x + y)( xy)。 4. 計算: (1) (4 3 5)(4 3 5)− + ; (2) (7 2 +2 6)(2 6 −7 2); (3) ( 4x+ −3 2 )( 4x x+ +3 2 )x ; (4) ( 3 +2 2)2; (5) 2 1 3 2 ⎛ − − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (6) (4 7 −7 3)2; (7) 2 a b b a ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (8) ( x + y)2 +( xy)2 ; (9) ( 2 + 3− 6)2 −( 2 − 3+ 6)2; (10) (1+ 2 − 3)(1− 2 + 3)。

10.6 ˟Ѩॲё۞ੵڱ

把公式 a a b = b 反過來,就得 a a = b b

(24)

運用這個公式,可以進行一些簡單的二次根式之除法運算。 就是說,二次根式相除,仍得二次根式,把被開方數相除所得的 商作為商的被開方數。 【ּ 1】 計算: (1) 72÷ 6 ; (2) 11 1 2 ÷ 6 。

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ྋ ! (1) 72 6 72 72 12 2 3 6 6 ÷ = = = = ; (2) 3 1 1 2 3 1 6 9 3 2 6 1 2 6 ÷ = = × = = 。 二次根式的除法運算,還可以利用化去分母中的根號之方法 來進行。例如,計算 3÷ 2。先將 3 ÷ 2寫成 3 2 ,然後把分 子與分母都乘以 2 ,化去分母中的根號,就得 2 3 3 2 6 1 6 2 2 2 2 ( 2) × = = = × 。 同樣,在計算 1 3− 2 的時候,也是先把分母中的根號化去。 1 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2) 3 2 3 2 3 2 + = − − + + = − = + 把分母中的根號化去,叫做分母有理化。把分母有理化時, 一般是把分子與分母都乘以同一個適當的代數式,使分母不含根 號。

(25)

兩個含有二次根式的代數式相乘,如果它們的積不含有二次 根式,我們說這兩個代數式互為有理化因式。在上面例子中, 2 與 2 、 3+ 2 與 3− 2 互為有理化因式。 【ּ 2】 把下列各式的分母有理化: (1) 1 5 ; (2) 4 3 7 ; (3) a a b+ ; (4) 5 20 a a

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ྋ ! (1) 1 5 5 5 5 = 5 i 5 = ; (2) 4 4 7 4 7 21 3 7 = 3 7 7 = i i ; (3) a a a b a a b a b a b a b a b + = = + + + + + i i ; (4) 2 5 5( ) 1 2 20 2 5 a a a a = i a = 。 從上例第(1)~(3)小題可以看出, a 的有理化因式是 a 。在 分母有理化時,有時也可直接利用約分,例如第(4)小題。 【ּ 3】 把下列各式的分母有理化: (1) 1 2 1+ ; (2) 2 3− 3 ; (3) x y x y − + ( x ≠ ); (4) y x y x y − + 。

(26)

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ྋ ! (1) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( 2 1)( 2 1) − − = = = − − + + − ; (2) 2 2(3 3) 3 2 6 3 2 6 9 3 6 3 3 (3 3)(3 3) + + + = = = − − − + ; (3) 2 ( ) 2 ( )( ) x y x y x y xy x y x y x y x y − − + − = = − + + − ; (4) 2 2 ( x) ( y) ( x y)( x y) x y x y x y x y − + − − = = + + + x y = − 從上例第(1)~(3)小題可以看出, a x +b y 與 a x b y− 互 為有理化因式。在分母有理化時,有時也可先分解因式,再約分, 例如第(4)小題。 【ּ 4】 計算: (1) (6 7 4 2)− ÷ 3; (2) ( 12 −5 8) ( 6÷ + 2)。

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ྋ ! (1) (6 7 4 2) 3 (6 7 4 2) 3 3 3 − − ÷ = i i 4 2 21 6 3 = − (2) ( 12 5 8) ( 6 2) 12 5 8 6 2 − − ÷ + = + (2 3 10 2)( 6 2) ( 6 2)( 6 2) 6 2 2 6 20 3 20 4 3 1 2 6 5 3 5 2 2 − − = + − − − + = = − − +

(27)

一般地,對於二次根式的除法,可以先寫成分式的形式,然 後通過分母有理化進行運算。

ቚ ௫!

1. 計算: (1) − 54 ÷ 3; (2) 13 31 5 ÷ 5 ; (3) 6 3 3 6÷ ; (4) 1 6 4 1 2 11 2 i 12 ÷ 3 2 ; (5) 4 6 3 2 3 a a ÷ ; (6) 2 3 a x÷ ax 。 2. 把下列各式的分母有理化: (1) 1 3 ; (2) 3 40 ; (3) 2 4 x xy ; (4) 2 3 n n ; (5) 2 2 a b a b − + 。 3. 計算: (1) 3 (5÷ − 7 ) (2 3 5 7 )− − 2; (2) (2 3 −2)(3 6 + 2) (3 3+ +5 2) (3 3 5 2)÷ − 。

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! 1. 計算: (1) 3 8+2 32 − 50 ; (2) 9 3 7 12 5 48− + ; (3) 6 3 2 2 3 − − ; (4) 2 2 1 1 54 3 + 6 − 5 ; (5) 1 2 20 4 1 1 5 5 + − 5 −5 ;

(28)

(6) 12 3 11 51 2 48 3 3 3 + − − ; (7) 2 27 6 3 4 a a a + a ; (8) 1 x3 1 ax ; (9) 2 3 2 27 3 2 3 6 4 b a aba + ab a; (10) 5 x y3 2y xy 6 xy y x x y − − + + 。 2. 計算: (1) ( 18 − 98) (2 75+ − 27 ); (2) ( 45+ 18) ( 8− − 125) ; (3) 12 1 2 1 2 1 18 2 3 8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; (4) 5 1 1 20 5 4 45 5 2 4 5 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; (5) 7 1 2 4 a a ab a ⎛ ⎞ − ⎝ ⎠; (6) 2 9 6 2 1 3 x y x x x x y x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 。 3. (1) 當x = 時,求下列代數式的值: 7 5 4 4 1 x+ + x− − x− (2) 當 x = 、4 y =16時,求下列代數式的值: 3 2 1 2 1 2 2 3 4 4 x + x y+ xy + x y+ xy + y

(29)

4. 計算: (1) 15 12 3 i ; (2) 6 13 5 22 5 5 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ; (3) 1 12 2 3 2 x i x ; (4) 2 1 10a ab 5 a i ; (5) 1 30 40 1 3 22 3 i 2 i 2 3 ; (6) 3 a 2 x b x a a ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i i 。 5. 計算: (1) ( 12 +5 8)i 3; (2) 3 2 2 12 4 1 3 48 8 ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ; (3) xy 2 y x xy x y ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠i ; (4) ( a b3 + ab3 −ab) i ab ; (5) 3 5 2 3 3 (1 4 3 3 5) 4 3 2 ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 。 6. 計算: (1) (2 3−2)(3 6 + 2); (2) ( 27 + 28)( 12 − 63); (3) (2 3 3 2− + 6)( 6 −5 3) ; (4) ( 5 + 3+ 2)( 5 −2 3 + 2); (5) ( x + 3)(2 x +3 2); (6) (x+ +y 2 xy)( xy)。

(30)

7. 計算: (1) (5 3+4 2)(5 3−4 2); (2) (7 5 +6 7 )(6 7 −7 5); (3) (3 2 + 48)( 18−4 3); (4) 2 2 4 4 2 2 b b ac b b ac a a− + ⎞⎛ − − ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ( 2 4 0 bac > ); (5) (7 3 +2 7)2; (6) (4 5 3)− 2; (7) 2 3 a 2 x a ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (8) 2 2 4 3 1 1 3 5 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (9) ( 2 + 3− 6)( 2 − 3− 6); (10) ( x+ +y xy)2 +( x+ −y xy)2 (x > )。 y 8. 把下列各式的分母有理化: (1) 3 5 ; (2) 2 3 40 ; (3) 7 3 n n ; (4) 1 1 x x − + (x > ); 1 (5) 1 5 −2 ; (6) 5 3+ 2 ; (7) 3 15 3 15 + − ; (8) 3 5 2 3 3 5 2 3 − + ; (9) 2 2 3 2 2 2 x x x x + + − + + − ( x > )。 2 9. 計算: (1) 1 3 22 45 ÷2 3 ; (2) 2 20 3 a ÷ b ; (3) 15 12 24 3 ÷ i ; (4) a b 1 b a b ⎛ ⎞ ÷ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ i ( x > ); 1 (5) 48 1 11 27 2 2 ⎛ ⎞ ÷ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (6) 3 ( 5 3) 7 6 4 ⎛ ⎞ ÷ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ;

(31)

(7) (7 2 +2 6) (2 6÷ −7 2); (8) 15 1 1 3 2 ⎛ + ⎞ ÷⎜; 10. 求下列各式的值 (精確到 0.01): (1) 5 1 2 − ; (2) 2 3− 3 ; (3) 3 2 2 2 − 5 1+ ; (4) 5 3 5 3 − + ; (5) 2 2 1 x ⎛ ⎞ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠ ,其中x = 3; (6) 4 2 a b a b − − ,其中a = 、6 b = 。 5 11. (1) 已知 2 3 1 x = − ,求 2 1 x − + 的值; x (2) 已知x = +2 3,求 2 3 2 5 2 7 x x x − + − 的值。 12. 化簡: (1) 1 1 2 3+ 2 + 2 1+ − 3 1+ ; (2) 5 1 6 7 5 2 4 11 3 7 7 2 − + − − − + − ; (3) 1 x y x 1 (x y)3 y − + xyxy − (x > ); y (4) 1 1 1 1 x x x x x x x x + − + + + + + + − 。

(32)

̈ ඕ!

一、本章主要內容是二次根式的性質與運算。 二、根據算術平方根的意義,二次根式有下列性質: 2 2 ( ) ( 0) ( 0) | | 0 ( 0) ( 0) ( 0 0) ( 0 0) a a a a a a a a a a ab a b a b a a a b b b = ≥ > ⎧ ⎪ = = = ⎪− < ⎩ = ≥ ≥ = ≥ > i 、 、 三、二次根式的性質是二次根式運算與化簡的根據。 最簡二次根式就是滿足下列條件的二次根式: (1) 被開方數的每一個因式的指數都小於根指數 2; (2) 被開方數不含分母。 同類二次根式就是幾個化成最簡二次根式以後,被開方數相 同的二次根式。 二次根式的加減法就是去括號與合併同類二次根式。 二次根式的乘法就是運用公式 a i b = ab (a ≥ 、0 b ≥ )0 並參照多項式乘法法則進行運算。 二次根式的除法有時可以運用公式 a a b b = (a≥ 、0 b > )0 進行運算;一般是先寫成分式的形式,然後通過分母有理化或約 分進行運算。 運算結果中的二次根式,一般都要化成最簡二次根式。

(33)

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1. x 是什麼值的時候,下列各式在實數範圍內才有意義? (1) x− ; (2) 3 3 x− ; (3) 1 x+ 2 ; (4) 12 x ; (5) x + − ; x (6) 1 1− x 。 2. 在實數範圍內把下列各多項式分解因式: (1) x2 − ; (2) 7 4a4 − ; (3) 1 a4 −6a2 + ; 9 (4) m4 −10m n2 2 +25n4。 3. 下面的推導錯在哪裡? (1) ∵ ( 3)− 2 = 32 ∴ 2 2 ( 3)− = 3 ∵ 2 ( 3)− = − 、3 32 = 3 ∴ − = 3 3 (2) ∵ −2 3 = ( 2)− 2 × =3 12 而 12 = 2 3 ∴ −2 3 = 2 3 ∴ − = 2 2 4. 什麼叫做最簡二次根式?把下列各式化成最簡二次根式: (1) 500 ; (2) 42 3 ; (3) 12x ; (4) 3a b (2 2 b< ) (5) 0 2 2 3ab ; (6) 2 8 y x x 。 (7) 2 2 x y a − ( x > ); y (8) 2 2 2 (x y) b x y − − ( x > ) y (9) (a2 −b2)(a4 −b4) ( a > ); (10) b a2n+1 3b

(34)

5. 什麼叫做同類二次根式?下列二次根式裡,哪幾個是同類二 次根式? 44 、 1 x 、 5 1 11 − 、 3 2 x y 、 175 、2 a x 、2 1 63 2 、 99 − 、5 34 7 、 1 2 2 m x x − + (x > )、1 3 225m 。 6. 計算: (1) 24 1 2 2 1 6 2 3 8 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠; (2) 2 2 2 7 5 4 6 9 b b x a a x a + − − ; (3) 2 12 1 3 5 2 4 ÷ i ; (4) 9 45 3 1 3 22 5 2 3 ÷ × ; (5) 6 3 5 1 1 8 2 4 3 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠; (6) ( 2 3 8 3) 8 4 x xx ÷ ; (7) (10 48−6 27 +4 12)÷ 6 ; (8) (2 3+3 6)(2 3 3 6)− ; (9) ( x + x−1)( xx− (1) x > ); 1 (10) (8 5 +6 3)2; (11) 2 3 2 1 1 1 2 3 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; (12) ( 2 +2 3 3 6)( 2− −2 3+3 6); (13) 5 3 2 3 3 1 5 3 2 3 + + − + − − ;

(35)

(14) 4 5 3 6 5 3 5 2 6 5 2 + + − + ; (15) (5 3 +2 5) (2 3÷ − 5); (16) ( 2 + 3+ 5)(3 2 +2 3− 30); (17) 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 n n n n n n n n + + − + + − − + − − + + − (n > )。 2 7. 當x = −2 3 時,求代數式(7 4 3)+ x2 + +(2 3)x+ 3的值。 8. 已知 1( 7 5) 2 x = + 、 1( 7 5) 2 y = − ,求下列各式的值: (1) x2 − xy+ y2; (2) x y y + 。 x 9. 已知 2 1 4 2 b b ac x a − + − = 、 2 2 4 2 b b ac x a − − − = ,其中 a、b、c 都是實數,並且 2 4 0 bac ≥ ,試計算下列各式的值: (1) x1 + ; x2 (2) x1 i x2; (3) ax12 +bx1 + ; c (4) ax22 +bx2 + 。 c 10. 解下列方程: (1) 6(x+ =1) 7 (x− ; (2) 1) 3 1 2 2 2 3 x + = x 。 11. 解下列方程組: (1) 3 2 1 2 3 0 x y x y = ⎪ ⎨ − = ⎪⎩ (2) 2 3 7 6 7 5 x y x y+ = ⎪ ⎨ − = ⎪⎩

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