99指考數甲-非選

99 學年度指定科目考試

數學甲考科非選擇題評分標準說明

【第一處 / 朱惠文】 每 年 指 考 成 績 單 寄 發 後 ， 有 些 考 生 認 為 我 的 數 學 甲 非 選 擇 題 ， 答 案 明 明 正 確 ， 為 什 麼 無 法 得 到 該 題 的 滿 分 ， 甚 至 1 分 未 得 ？ 本 文 就 此 一 疑 問 ， 說 明 本 年 度 數 學 甲 非 選 擇 題 僅 得 到 部 份 題 分 或 是 1 分 未 得 的 可 能 情 形 ， 以 及 數 學 科 非 選 擇 題 給 分 的 大 原 則 ， 希 望 能 藉 此 廓 清 部 分 考 生 的 疑 惑 。 以 下 各 題 會 從 兩 方 面 進 行 分 析 ， 一 是 正 確 的 解 題 步 驟 ， 二 是 考 生 解 題 的 錯 誤 概 念 或 解 法 ， 至 於 各 題 的 參 考 解 答 可 詳 見 附 件 。

第 一 題

第 一 題

第 一 題

第 一 題 ：

：

：

：

題 目 題 目 題 目 題 目：：：設：

f

x

=

ax

3

+

bx

2

+

cx

+

d

)

(

為 實 係 數 三 次 多 項 式。已 知 原 點(0,0)為 函 數 y= f x( )的 圖 形 之 反 曲 點 ， 且 此 圖 形 在 原 點 的 切 線 為 y= −x。 ( 1) 試 求 b、

c

、 d 。（ 5 分 ） ( 2) 若 a>0且 y = f(x)的 圖 形 與 直 線 y=0所 圍 的 有 界 區 域 面 積 為 2， 試 求

a

。（ 8 分 ） 分 析 分 析 分 析 分 析 ：：：： 第 第 第 第 (1)(1)(1)(1) 小 題小 題小 題 小 題 ( (( ( 一一一一 ) ) ) 正 確 解 題 步 驟) 正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟 ：正 確 解 題 步 驟：： ： 本 題 評 量 多 項 式 函 數 微 積 分 的 概 念 與 應 用，屬 於 高 三 選 修 數 學 ( II)的 範 圍。試 題 分 為 兩 小 題 ， 題 幹 提 供 一 實 係 數 三 次 多 項 式 的 反 曲 點 及 其 切 線 方 程 式 。 第 一 小 題 為 求 出 此 實 係 數 多 項 式 ， 第 二 小 題 則 是 已 知 此 圖 形 與

x

軸 所 圍 的 有 界 區 域 面 積 ， 求 此 多 項 式 的 首 項 係 數 。 第 一 小 題 解 題 概 念 有 以 下 三 個 ： (1) 反 曲 點 (0,0)在 此 函 數 圖 形 上 ， 所 以 f(0)=0， 推 得 d =0。 (2) 切 線 與 一 階 導 函 數 的 關 係 ， 即 2 ( ) 3 2 f x′ = ax + bx+c

，

與 f ′(0)= −1， 推 得 c = −1。 (3) 反 曲 點 與 二 階 導 函 數 的 關 係 ， 即 f′′( )x =6ax+2b

，

與 f ′′(0)=0， 推 得 b =0。 ( (( ( 二二二二 ) ) ) 錯 誤 概 念 或 解 法) 錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法 ：錯 誤 概 念 或 解 法：：： 有 些 考 生 只 寫 出 b =0、c = −1、d =0，但 並 沒 有 說 明 理 由，即 f ′(0)= −1或 f ′′(0)= ；0 或 誤 認 為 _{f x′( )=ax}2_{+2bx+c與 f′′( )x =6ax+b， 這 些 考 生 雖 都 寫 出 正 確 的b、}

_c

_{、 d 值 ， 但} 因 未 說 明 理 由 ， 或 過 程 錯 誤 ， 無 法 拿 到 全 部 分 數 。

第 第 第 第 (2)(2)(2)(2) 小 題小 題小 題 小 題 ( (( ( 一一一一 ) ) ) 正 確 解 題 步 驟) 正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟 ：正 確 解 題 步 驟：： ： 根 據 第 (1)小 題 ， 可 知 3 ( ) f x =ax −x， 依 此 求 解 第 (2)小 題 。 本 題 的 解 題 步 驟 可 分 為 以 下 四 個 ， 詳 細 參 考 答 案 可 見 附 件 。 解 題 概 念 舉 例 說 明 (1) 了 解 定 積 分 與 面 積 的 關 係 。 算 出 3 ( ) 0 f x =ax −x= 的 根 為 1 a ± 、0。由 a>0可 畫 出 f x( )的 示 意 圖 （ 如 圖 一 ）。 根 據 題 意 ， 推 得

x

軸 與 此 函 數 所 圍 的 區 域 面 積 為 R₁、R₂兩 個 部 份，依 此 列 出 正 確 的 積 分 式，例 如 ： 1 3 1

|

|

a a

ax

x dx

−

−

∫

、 0 3 1 2 ( ) a ax x dx − −

∫

、 1 3 0 2

∫

a(_{x−ax dx}) _{等 。} (2) 正 確 求 解 多 項 式 函 數 的 反 導 函 數。 根 據 (1)， 寫 出 正 確 的 反 導 函 數 ， 例 如 ： 1 1 3 2 4 0 0

1

1

1

2

(

)

= 2

=2

2

4

2

4

a a

_x

_{ax dx}

_x

a

_x

a

a









−

_

−

_

_

−

_









∫

(3) 列 出 正 確 的 方 程 式 。 將 題 意「 y = f(x)的 圖 形 與 直 線 y=0所 圍 的 有 界 區 域 面 積 為 2」轉 成 數 學 式，例 如： 1 3 1

|

|

2

a a

ax

x dx

−

−

=

∫

、 1 3 0 2

∫

a(_{x−ax dx}) ₌2 或 1 3 0 ( ) 1 a _{ax −x dx = −}

∫

等 (4) 解 聯 立 方 程 式，並 寫 出 正 確 答 案 。 解 出 正 確 的

a

值 ， 為 1 4 a = 。 本 題 的 積 分 式 有 多 種 形 式 ， 只 要 推 理 過 程 正 確 ， 邏 輯 觀 念 清 楚 ， 均 可 得 分 。 0 1 a 1 a − 0 1 a 1 a − 1

R

2

R

圖一

x

y

_y 圖二 x

( (( ( 二二二二 ) ) ) 錯 誤 概 念 或 解 法) 錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法 ：錯 誤 概 念 或 解 法：：： 以 下 依 據 上 述 的 解 題 概 念 ， 分 析 此 小 題 得 部 份 分 數 或 未 得 分 的 幾 種 情 形 。 ( A) 只 是 記 憶 定 積 分 公 式只 是 記 憶 定 積 分 公 式只 是 記 憶 定 積 分 公 式只 是 記 憶 定 積 分 公 式 ，，， 沒 有，沒 有沒 有沒 有 連 結 三 次 函 數 圖 形 與 定 積 分 的 關 係連 結 三 次 函 數 圖 形 與 定 積 分 的 關 係連 結 三 次 函 數 圖 形 與 定 積 分 的 關 係連 結 三 次 函 數 圖 形 與 定 積 分 的 關 係 本 題 應 先 畫 出 三 次 函 數 圖 形 ， 了 解 圖 形 與

x

軸 的 相 交 情 形 ， 再 列 出 積 分 式 。 有 些 考 生 沒 有 畫 圖 或 畫 錯 圖 形 ， 導 致 列 錯 積 分 式 ， 例 如 ： ( A1) 誤 認 f x( )的 圖 形 （ 如 圖 二 ）， 列 錯 積 分 式 ， 例 如 1 3 0 2

∫

a(_{ax −x dx}) ₌2_。 ( A2) 沒 有 畫 出 f x( )的 圖 形 ， 直 接 認 為 有 界 區 域 面 積 為 1 3 1

(

)

a a

ax

x dx

−

−

∫

， 但 此 積 分 值 為 零，不 可 能 等 於 2。這 些 考 生 可 能 知 道 b

( )

a

f x dx

∫

表 示 f x( )的 圖 形、直 線 y =0、

x

=

a

及 x=b所 圍 成 區 域 的 面 積 ， 但 不 清 楚 所 求 的 面 積 是

x

軸 上 方 部 份 的 面 積 減 去 下 方 部 分 的 面 積 ， 或 誤 以 為 此 函 數 在 區 間

[

a b,

]

的 值 均 為 正 數 。 以 上 這 幾 種 情 形 的 考 生 可 能 都 認 真 修 習 相 關 概 念 或 記 憶 公 式 ， 但 沒 有 確 實 了 解 這 些 概 念 或 公 式 所 代 表 的 含 意 ， 例 如 三 次 函 數 圖 形 與 定 積 分 間 的 關 係 ， 因 而 作 答 錯 誤 ， 非 常 可 惜 。 ( B ) 侷 限 於 定 積 分 的 程 序 性 知 識侷 限 於 定 積 分 的 程 序 性 知 識侷 限 於 定 積 分 的 程 序 性 知 識侷 限 於 定 積 分 的 程 序 性 知 識 ，，，， 沒 有沒 有沒 有沒 有 了 解 定 積 分 與 面 積 間 的 關 係了 解 定 積 分 與 面 積 間 的 關 係了 解 定 積 分 與 面 積 間 的 關 係了 解 定 積 分 與 面 積 間 的 關 係 本 題 除 畫 出 圖 形 ，列 出 定 積 分 的 數 學 式， 還 需 要 連 結 定 積 分 與 面 積 的 關 係。 有 些 考 生 會 列 出 積 分 式 ， 但 連 結 面 積 ， 寫 出 方 程 式 錯 誤 ， 例 如 ： ( B1) 正 確 畫 出 正 確 的 三 次 函 數 圖 形（ 如 圖 一 ），並 知 道 分 段 求 積 分，但 不 清 楚 當 f x ≤( ) 0 時 ， f x( )的 圖 形 、 直 線 y =0、

x

=

a

及 x=b所 圍 成 區 域 的 面 積 為 b

( )

a

f x dx

−

∫

。 例 如 ： 誤 將 方 程 式 寫 成 1 3 0 ( ) 1 a _{ax −x dx=}

∫

、 0 3 1( ) 1 a x ax dx − − =

∫

、 1 0 3 3 1 0 ( ) ( ) 2 a a ax −x dx+ − ax −x dx=

∫

∫

。 ( B2) 不 清 楚 區 間

[

a b,

]

與 定 積 分 b

( )

a

f x dx

∫

的 關 係 ， 誤 將 方 程 式 寫 成 1 3 0 ( ) 1 a _{ax x dx} − − =

∫

。 ( B3) 誤 認 有 界 區 域 面 積 指 的 只 有 左 邊 或 右 邊 一 部 分 ， 例 如 寫 成 1 3 0 ( ) 2 a _{x−ax dx=}

∫

或 0 3 1( ) 2 a ax x dx − − =

∫

。 以 上 這 幾 種 情 形 的 考 生 可 能 知 道 三 次 函 數 圖 形 與 定 積 分 的 關 係 ， 但 不 了 解 定 積 分

與 面 積 間 的 關 係 ， 例 如 沒 有 考 慮 f x( )值 的 正 負 號 ； 或 未 考 量 區 間

[

a b,

]

與 面 積 的 關 係 。 致 使 雖 然 有 完 整 的 作 答 過 程，但 概 念 或 答 案 不 正 確，而 僅 能 得 到 部 份 分 數 或 沒 有 得 分 。 ( C) 答 案 正 確答 案 正 確 ，答 案 正 確答 案 正 確，，， 但 推 理 過 程 錯 誤 或 等 號 前 後 不 一 致但 推 理 過 程 錯 誤 或 等 號 前 後 不 一 致但 推 理 過 程 錯 誤 或 等 號 前 後 不 一 致 但 推 理 過 程 錯 誤 或 等 號 前 後 不 一 致 本 題 涉 及 導 數 與 反 導 函 數 的 運 算， 以 及 解 方 程 式。 分 析 考 生 作 答 過 程， 發 現 不 少 前 後 不 一 致 ， 推 理 與 邏 輯 觀 念 錯 誤 的 情 形 。 例 如 以 下 ( I) 與 ( II) 兩 種 情 形 。

( )

1 3 0 1 4 2 0 ( ) 1 (1) 1 1 1 (2) 4 2 1 1 1 (3) 4 2 1 (4) 4 a a ax x dx ax x a a a Ι − = − = − = − =

∫

⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯ 1 0 3 3 1 0 1 4 2 0

(

)

(

)

2

(5)

1

1

2

2

(6)

4

2

1

1

1

(7)

4

2

1

(8)

4

a a a

ax

x dx

ax

x dx

ax

x

a

a

a

−

(ΙΙ)

−

+

−

=







₋



₌









−

= −

=

∫

∫

⋯⋯⋯

⋯⋯⋯

⋯⋯

⋯⋯

第 ( I)種 情 形 可 由 (1)可 推 得 (2)的 反 導 函 數 ， 但 由 (2)等 式 右 邊 的1， 無 法 得 第 (3) 等 式 右 邊 的 −1。 第 ( II) 種 情 形 ， 由 (5)等 號 左 邊 的 積 分 式 所 得 的 反 導 函 數 應 為 零 ， 並 無 法 推 得 第 (6)式 等 號 左 邊 的 反 導 函 數 。 這 些 考 生 可 能 知 道 面 積 值 應 為 正 數 ， 但 作 答 過 程 中 ， 未 檢 視 前 後 的 一 致 性 。 以 上 兩 種 情 形 都 是 完 整 作 答 整 個 過 程 ， 但 過 程 中 的 推 理 過 程 與 邏 輯 觀 念 有 誤 ， 例 如1不 等 於 −1， 但 正 確 的 邏 輯 觀 念 與 推 理 過 程 是 指 考 數 學 科 的 測 驗 目 標 ， 這 種 能 力 可 經 由 平 常 練 習 非 選 擇 題 逐 步 培 養 。 ( D) 其 他其 他 ，其 他其 他，，， 例 如例 如例 如 不 清 楚 數 學 符 號 的 意 義例 如不 清 楚 數 學 符 號 的 意 義 ，不 清 楚 數 學 符 號 的 意 義不 清 楚 數 學 符 號 的 意 義，，， 或 列 式 正 確或 列 式 正 確或 列 式 正 確或 列 式 正 確 、、、、 計 算 錯 誤計 算 錯 誤計 算 錯 誤 計 算 錯 誤 有 些 考 生 誤 用 定 積 分 與 反 導 函 數 的 符 號 ， 例 如 將 反 導 函 數 0 4 2 1 1 1 4 2 a ax x − − 寫 成 1 4 2 0 1 1 4 2 a _{ax − x}

∫

， 但 以 下 計 算 過 程 均 正 確 。 有 些 會 寫 出 反 導 函 數 的 值 為 2 4

1

1

1

2

4

a

a

a









−

⋅

















，但 化 簡 錯 誤 ，如 1 2a − 。 這 些 考 生 不 是 不 會 ， 但 是 沒 有 仔 細 檢 核 計 算 過 程 ， 導 致 過 程 均 正 確 ， 可 是 最 後 答 案 錯 誤 ， 無 法 得 到 滿 分 ， 非 常 可 惜 。 以 上 這 幾 種 情 形，均 只 能 得 到 部 分 分 數，或 無 法 得 分。本 題 出 自 高 三 選 修 數 學 ( II) 的 範 圍 ， 而 且 解 題 概 念 各 版 本 均 提 及 ， 例 如 三 次 函 數 圖 形 的 性 質 、 一 階 、 二 階 導 函 數 的 概 念 、 多 項 式 函 數 圖 形 與 直 線 x=a x, =b和 y =0圍 出 的 面 積 等 。 對 考 生 而 言 ， 應 不 難 下 筆 作 答 。 不 過 數 學 科 非 選 擇 題 主 要 評 量 用 數 學 式 清 楚 表 達 解 題 過 程 的 能 力 ， 因 此

列 式 、 推 理 過 程 是 否 正 確 、 邏 輯 判 斷 是 否 合 理 ， 均 為 評 定 分 數 的 重 要 依 據 。

第二題

第二題

第二題

第二題：

：

：

：

題 目 題 目 題 目 題 目：：：設： 2 2 2 : 54 S x +y +z = 為 坐 標 空 間 中 一 球 面； L 為 坐 標 空 間 中 通 過 點 P(0, 6,9)− 且 方 向 向 量 為 (1, 4, 2)− 的 直 線 。 ( 1) 試 求 L 與 S 的 所 有 交 點 之 坐 標 。（ 5 分 ） ( 2) 在 所 有 包 含 L 的 平 面 與 S 相 交 所 得 之 圓 中 ， 面 積 最 大 值 為 何 ？ （ 2 分 ） ( 3) 在 所 有 包 含 L 的 平 面 中 ， 與 S 相 交 所 得 之 圓 面 積 最 小 者 ， 其 平 面 方 程 式 為 何 ？ （ 6 分 ） 分 析 分 析 分 析 分 析 ：：：： 第 第 第 第 (1)(1)(1)(1) 小 題小 題小 題 小 題 ( (( ( 一一一一 ) ) ) 正 確 解 題 步 驟) 正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟 ：正 確 解 題 步 驟：： ： 本 題 評 量 圓 與 球 面 方 程 式 單 元 ， 屬 於 高 二 必 修 數 學 的 範 圍 。 試 題 分 為 三 小 題 ， 題 幹 提 供 一 球 面 方 程 式 S與 空 間 中 一 直 線 L 。 第 一 小 題 為 求 出 L 與 S 的所有交點， 第 二 小 題 與 第 三 小 題 評 量 所 有 包 含 L 的 平 面 與 S 相 交 所 得 之 圓 的 問 題。第 二 小 題 是 相 交 圓 中，面 積 最 大 的 圓 面 積 ； 第 三 小 題 則 是 圓 面 積 最 小 的 平 面 方 程 式 。 第 一 小 題 的 解 題 可 分 為 三 步 驟 （ 詳 細 解 答 請 見 附 件 ）： ( 1) 寫 出 直 線 L 的 參 數 式 、 比 例 式 或 兩 面 式 ， 例 如 直 線 參 數 式

4

6

2

9

x

t

y

t

z

t

=





=

−





_{= −}

₊



( 2) 將 ( 1) 代 入 球 面 方 程 式 S x: 2+y2+z2 =54， 例 如 ： 2 2 2 (4 6) ( 2 9) 54 t + t− + − t+ = ( 3) 解 方 程 式 ， 求 得 兩 點 為

(

1, 2, 7

−

)

與

(

3, 6,3

)

( (( ( 二二二二 ) ) ) 錯 誤 概 念 或 解 法) 錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法 ：錯 誤 概 念 或 解 法：：： 以 下 列 舉 幾 個 此 小 題 無 法 得 分 或 得 部 份 分 數 的 可 能 情 形 ， 例 如 ： (A) 不 清 楚 直 線 參 數 式 點 與 向 量 的 關 係 ， 誤 將 直 線 參 數 式 寫 成

1

6 +4

9

2

x

y

t

z

t

=





= −





₌

₋



。 (B) 會 寫 出 直 線 參 數 式， 也 知 道 符 合 直 線 參 數 式 與 球 面 方 程 式 的 點 ， 即 為 L 與 S 交 點 。 但 不 知 道 如 何 連 結 這 兩 個 方 程 式，例 如 將 t =1, 2, 3,⋯逐 個 代 入 球 面 方 程 式，求 得 兩 個 點 。 不 過 採 此 解 法 者 ， 應 說 明 球 與 直 線 的 交 點 情 形 可 能 兩 個 、 1 個 或 是 沒 有 交 點 。 (C) 會 寫 出 正 確 的 參 數 式 ， 也 會 代 入 球 面 方 程 式 ， 但 化 簡 錯 誤 。 例 如 正 確 寫 出 2 _{(4 6)}2 _{( 2 9)}2 ₅₄ t + t− + − t+ = ， 但 平 方 化 簡 後 得 2 4 3 0 t + t+ = ； 或 正 確 化 簡 得

2 4 3 0 t − t+ = ， 但 因 式 分 解 得

(

t

+

1

)(

t

+

3

)

=

0

； 或 因 式 分 解 正 確

(

t

−

1

)(

t

−

3

)

=

0

， 但 解 出 t = − −1, 3。 以 上 這 幾 種 情 形 ， 有 些 是 錯 誤 的 基 本 概 念 或 知 識 ， 例 如 連 結 直 線 方 向 向 量 與 參 數 式 ； 有 些 能 架 構 圖 形 ， 但 無 法 以 數 學 式 完 整 說 明 ； 有 些 知 道 如 何 求 解 ， 也 會 寫 出 完 整 的 作 答 過 程 ， 可 是 計 算 錯 誤 ， 以 至 於 僅 能 得 到 部 份 分 數 或 無 法 得 分 ， 非 常 可 惜 。 第 第 第 第 (2)(2)(2)(2) 小 題小 題小 題 小 題 ( (( ( 一一一一 ) ) ) 正 確 解 題 步 驟) 正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟 ：正 確 解 題 步 驟：： ： 第 二 小 題 只 需 說 明 包 含 點 A、 B 的 圓 中 最 大 者 為 大 圓 ， 其 面 積 為 54π 。 ( (( ( 二二二二 ) ) ) 錯 誤 概 念 或 解 法) 錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法 ：錯 誤 概 念 或 解 法：：： 有 些 考 生 可 能 知 道 圓 面 積 為 2 r

π

或 誤 認 面 積 為 2 r ，誤 答 面 積 為54，以 致 答 案 錯 誤 ， 無 法 得 分 。 第 第 第 第 (3)(3)(3)(3) 小 題小 題小 題 小 題 ( (( ( 一一一一 ) ) ) 正 確 解 題 步 驟) 正 確 解 題 步 驟正 確 解 題 步 驟 ：正 確 解 題 步 驟：： ： 第 三 小 題 的 解 法 有 很 多 種 ， 大 致 可 分 為 以 下 三 步 驟 ： (1) 正 確 求 出 小 圓 的 圓 心 坐 標 為

(

2, 2,5

)

。 例 如 根 據 第 (1)小 題 ， 畫 出 圖 形 （ 如 圖 三 ） 後 ， 知 道 包 含 點 A、 B 的 圓 中 以 AB 為 直 徑 者 的 面 積 最 小 ， 此 圓 之 圓 心 為 線 段 AB 之 中 點

(

2, 2,5

)

； 或 利 用 球 心 到 直 線 L的 距 離 最 短 的 點 ； 或 球 心 到 直 線 的 投 影 點 等 方 法 求 出 小 圓 的 圓 心 坐 標 。 各 解 法 的 參 考 答 案 請 見 附 件 。 (2) 小 圓 圓 心

(

2, 2,5

)

與 球 心

(

0,0, 0

)

所 成 的 向 量

(

2, 2,5

)

即 為 所 求 平 面 之 一 法 向 量 。 (3) 因 為 小 圓 圓 心

(

2, 2,5

)

在 此 平 面 上 ， 故 平 面 方 程 式 為 2(x−2)+2(y−2)+5(z−5)=0， 化 簡 得 2x+2y+5z=33。 也 可 利 用 第 ( 1)小 題 所 求 的 兩 點

(

1, 2, 7

−

)

與

(

3, 6,3

)

， 得 平 面 方 程 式 為 2(x−1)+2( +2)y +5(z−7)=0或2(x−3)+2(y−6)+5(z−3)=0。 雖 然 求 出 小 圓 圓 心 的 做 法 很 多 ， 但 不 管 採 取 哪 種 解 法 ， 只 要 解 題 的 推 理 過 程 正 確 ， 邏 輯 觀 念 清 楚 ， 均 可 得 到 分 數 。 ( (( ( 二二二二 ) ) ) 錯 誤 概 念 或 解 法) 錯 誤 概 念 或 解 法錯 誤 概 念 或 解 法 ：錯 誤 概 念 或 解 法：：： 以 下 分 析 此 小 題 得 部 份 分 數 或 無 法 得 分 的 幾 個 原 因 。 (A) 會 畫 出 相 關 的 圖 形 ， 但 不 曉 得 如 何 求 出 平 面 的 法 向 量 。 例 如 ： 會 畫 出 圖 形 （ 見 圖 三 ）， 知 道 求 出 兩 點 的 中 點

(

2, 2,5

)

， 但 不 曉 得 球 心 與 此 中 點 所 成 的 向 量 即 為 法 向 量 。 或 只 知 道 求 出 中 點 ， 接 下 來 不 知 如 何 作 答 。 圖 三

(B) 能 完 整 寫 出 作 答 過 程 ， 可 是 計 算 錯 誤 。 例 如 ： 求 得 中 點 是

(

2, 2,5

)

， 但 將 平 面 方 程 式 寫 成 2(x−2)−2(y−2)+5(z−5)=0； 或 採 取 球 心 到 直 線 的 投 影 點 ， 但 投 影 點 公 式 記 錯 ； 或 採 取 直 線 L到 球 心 的 距 離 最 小 的 點 ， 但 化 簡 配 方 錯 誤 ， 或 配 方 正 確 ， 但 代 入 求 圓 心 坐 標 時 算 錯 ； 或 是 求 出 正 確 的 法 向 量 ， 但 代 入 2(x−2)+2(y−2)+5(z−5)=0， 化 簡 錯 誤 ， 求 得2x+2y+5z=34。 以 上 這 幾 種 情 形 ， 有 的 是 不 清 楚 平 面 方 程 式 與 法 向 量 的 關 係 ； 有 些 會 畫 出 圖 形 與 相 交 平 面 的 可 能 情 形，但 是 不 知 道 如 何 求 平 面 的 法 向 量；有 些 會 寫 出 完 整 的 作 答 過 程， 但 是 計 算 錯 誤 ， 或 是 寫 出 正 確 的 法 向 量 ， 但 求 解 平 面 方 程 式 錯 誤 ， 這 些 考 生 不 是 不 會 作 答 ， 而 是 沒 有 隨 時 審 核 答 案 的 正 確 性 ， 因 此 只 能 得 到 部 份 分 數 或 無 法 得 分 ， 非 常 可 惜 。 數 學 甲 與 數 學 乙 的 題 型 有 選 擇 、 選 填 與 非 選 擇 題 。 選 擇 題 與 選 填 題 ， 只 要 答 案 正 確 ， 即 可 得 到 全 部 分 數 。 但 非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否 能 夠 清 楚 表 達 推 理 過 程 ， 答 題 時 應 將 推 理 或 解 題 過 程 說 明 清 楚 ， 且 得 到 正 確 答 案 ， 方 可 得 到 滿 分 。 如 果 計 算 錯 誤 ， 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有 答 案 對 ， 但 觀 念 錯 誤 ， 或 過 程 不 合 理 ， 則 無 法 得 到 分 數1_。 本 文 說 明 正 確 的 解 題 概 念 與 步 驟 ， 以 及 得 部 份 分 數 與 無 法 得 分 的 可 能 情 形 ， 主 要 用 意 在 於 提 供 老 師 教 學 或 學 生 平 常 練 習 時 的 參 考 。 若 考 生 對 自 己 的 非 選 擇 題 成 績 有 疑 慮 ， 可 以 申 請 複 查 ， 大 考 中 心 會 調 閱 答 案 卷 ， 檢 視 成 績2 。

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數 學 科 試 題 的 解 法 不 只 一 種，故 以 下 提 供 多 數 考 生 可 能 採 用 的 解 法，未 列 的 解 法， 只 要 推 論 或 解 題 過 程 正 確 ， 仍 可 得 分 。

第一題參考答案

第一題參考答案

第一題參考答案

第一題參考答案：

：

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（1）由題設 _{f x( )=ax}3_+bx2_{+cx+d，f x′( )=3ax}2_{+2bx+c， f′′( )x =6ax+2b；} 因y= f x( )的圖形過原點(0,0)，即 (0) 0f = ，推得d =0 原點(0,0)為函數y = f(x)圖形的反曲點，故 2b= f ′′(0)=0 因為圖形在原點的切線斜率為 1− ⇒ =c f ′(0)= −1。 故b=0,c= −1,d =0。 （2）（甲）由(1)可知 f x( )=ax3−x=x ax( 2−1)， ( ) y= f x 的圖形與直線y=0交於x =0、 1 a ± （如右圖）。 1 吳家怡(民 93)，我的數學甲非選擇題得分了嗎。選才通訊，第 120 期。 2 大考中心(民 97)，大學入學考試中心說明稿。大考中心網站：http://www.ceec.edu.tw 0 1 a 1 a −

x

y

（乙）y= f x( )的圖形與直線y =0所圍的有界區域面積為定積分 1 1 3 2 a a ax x dx − − =

∫

1 0 3 2 a(_{x ax dx}) ⇒

∫

− 1 2 4 0 2 2 4 a x a x     = _ − _     1 1 1 2( ) 2 2a 4a 2a = − = = 1 4 a ⇒ = 關於 1 1 3 ₂ a a ax x dx − − =

∫

亦可列成下列形式： 1 3 0 ( ) 1 a _{x−ax dx =}

∫

，或 1 3 0 ( ) 1 a _{ax −x dx = −}

∫

，或 0 3 1( ) 1 a x ax dx − − = −

∫

， 或 0 3 1( ) 1 a ax x dx − − =

∫

，或 1 0 _{3 3} 1 0 ( ) a( ) 2 a ax x dx x ax dx − − + − =

∫

∫

第二題

第二題

第二題

第二題參考答案

參考答案

參考答案

參考答案：

（1）過點P( −0, 6,9)且方向向量為(1,4,−2)的直線 L 之參數式為 ( , 4t t−6, 2− t+9)。 將 L 之參數式 ( , 4t t−6, 2− t+9)代入 S 的方程式 2 2 2 (4 6) ( 2 9) 54 t + t− + − t+ = ， 化簡得_21(t2 _{−4t+3)=0，解得t = 或1 3 。} 因此 L 與 S 的交點為 (1, 2,7)A − 、 (3,6,3)B （如右圖）。 （2）包含點 A、B 的圓中最大者為大圓，其面積為 54π 。 （3）（甲）以下提供 3 個方法求出圓面積最小的圓心。 【法一】包含點 A、B 的圓中以 AB 為直徑者的面積最小。此圓之圓心即為線段 AB 之中點 (2, 2,5) D 。 【法二】當球心 (0,0,0) 與直線L上的點 ( , 6 4 ,9 2 )t − + t − t 的距離 d 最小時， 2 2 2 2 2 ( 6 4 ) (9 2 ) 21 84 117 21( 2) 33 d= t + − + t + − t = t − t+ = t− + 當t =2時， d 為最小。t =2代入直線 L ，得 (2,2,5)D 為面積最小圓的圓心。 【法三】令球心 O 在 L 上的投影點為 D ，則 ( , 6 4 ,9 2 )D t − + t − t 。因⇀OD與 直 線 L 的 方 向 向 量 (1, 4, 2)− 垂直，故 ( , 6 4 ,9 2 ) (1, 4, 2) 0t − + t − t ⋅ − = 24 16 18 4 0 t t t ⇒ − + − + = 得t =2，求得圓心 (2,2,5)D 。 【法四】令球心 O 在 L 上的正射影點為 D ，則⇀PD為⇀PO在 (1, 4, 2)− 上的正射影向量。

⇀ PD ₂ (1, 4, 2)_{2 2}(1, 4, 2) (0,6, 9) (1, 4, 2)_{2 2 2} (1, 4, 2) 1 4 ( 2) 1 4 ( 2) PO ⋅ − − ⋅ − = − = − + + − + + −  42 (1, 4, 2) (2,8, 4) 21 = − = − 故 (0 2, 6 8,9 ( 4))D + − + + − ⇒D(2, 2,5) （乙）⇀OD為所求平面之一法向量，故平面之法向量可取為 (2,2,5) ，或此向量乘一非零常數，平 面方程式為 2(x−2)+2(y−2)+5(z−5)= 0 或 2(x−1)+2(y+2)+5(z−7)= 0 或 2(x−3)+2(y−6)+5(z−3)= 0 或 2x+2(y+6)+5(z−9)=0 化簡得 2x+2y+5z=33。