93指考數學乙

全文

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y x O C A B

第 壹 部 分 : ( 7 7 % )

一 、 單 一 選 擇 題 (

2 8 % )

說明:第1至4題為單一選擇題,每題選出最適當的選項,劃記在答案卡之『解答欄』。

每題答對得7分,答錯倒扣1.75分,倒扣到本大題之實得分數至零分為止;未答者,

不給分亦不扣分。

1 . 如 下圖BAC,ABD ACD90 , AB a BD b ,  。 下 列 選 項 何 者 可 以 表 示 CD ? (1) sina bcos (2) sina bcos (3) cosa bsin (4) cosa bsin (5) sina btan 2 . 如 下圖 所 示 , 線段 AB 的 長度 為 定 值 ,且 AC CB=2 1 : 。保持點 A 在 y 軸上,上下移 動 , 且 點 B 在 x 軸 上左 右 移 動 時, 點 C 所 經過 的 路 徑 會形 成 一 圖 形。試 問 此 圖形 為 何? (1) 一橢圓 (2) 一圓 (3) 一雙曲線 (4) 一菱形 (5) 一線段 D C A B

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3 . 統計 學家 克 利夫 蘭 對人 體的 眼 睛 詳 細 研 究 後 發現 : 我 們 的 眼 睛 看 到 圖形 面 積 的 大 小 與 此 圖 形 實 際 面 積 的 0. 7 次方 成正 比 。 例 如 : 大 圖 形是 小 圖 形 的 3 倍, 眼睛 感 覺 到 的

只 有3 (0.7 約2.16)倍 。 觀 察 某 個 國 家 地 圖 , 感 覺 全 國 面 積 約 為 某 縣 面 積 的 10 倍 ,試 問

這 國 家 的 實 際 面 積 大 約 是 該 縣 面 積 的 幾 倍 ? [ 已知 log 2 0.3010, log 3 0.4771, log 7 0.8451   ] (1) 18 倍 (2) 21 倍 (3) 24 倍 (4) 27 倍 (5) 36 倍 4. 由 電腦 隨 機 選 出 12 7 個正 整數 , 取 其 最 高 位 數 字( 如 35 為 3 , 11 0 為 1) 所得 之 次 數 分 佈 如 下 圖 。 若 從 這 12 7 個正 整數 中 任 取 一 個 , 則 其最 高 位 數 字 為 d (d =1 , 2 , … , 9 ) 的 機率 P 最 接近 下 列 哪 一 選 項 ? (1) 1 9 P (2) 1 1 2 90 P  d (3) 2 ( 5) 60 d P  (4) 2 1( ) 5 5 d P  (5) P log(1 1) d  

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-2-二 、 多 重 選 擇 題 (

1 4 % )

說明:(1)以下第5~6題為多重選擇題。

(2)每題各有5個備選答案,請將正確答案,劃記在答案卡上之『解答欄』。

(3)每題7分,5個備選答案,各自獨立,唯至少有一個是對的;每個備選

答案,若選擇正確,則得1.4分,否則倒扣1.4分;整題不作答者,得

零分。若在備答選項以外區域劃記一律倒扣1.4分。倒扣到本大題之實得分

數至零分為止。

5 . 在空 間中 , 一 平 面 與 一 正 立方 體 相 截 , 若 在 平 面 的兩 側 各 有 正 立 方 體 的 4 個頂 點, 則 其 截 面 的 形 狀 可 能 是 下 列 哪 種 圖 形 ? ( 1) 三角 形 ( 2) 四邊 形 ( 3) 五邊 形 ( 4) 六邊 形 ( 5) 八邊 形 6 . 某校 要從 高 一 的「 忠、孝、仁、愛 」四 個 班 級 中 隨機 選 取 一 個 班 級 進 行 數學 抽 測。考 慮 甲、 乙 兩 種 抽 樣 方 法 : 甲 方 法 是 從 四 個 班 級 的 導 師 中 隨 機 選 取 一 人 , 被 選中 導 師 的 班級 為 抽 測 班 級 ; 乙 方 法 是 從 所 有 高 一 學 生 中 隨 機 選 取 一 名 學 生 , 被 選 中 學 生 的 班 級 為 抽 測 班 級。若 各 班 人 數 都 不 相 同 , 其 中「 愛 」班 人 數 最 多。則 下 列 敘 述 有 哪 些 是 正 確 的 ? ( 1) 甲方 法中 , 每 位 高 一 學 生 被 抽測 的機 率相 等 ( 2) 乙方 法中 , 每 位 高 一 學 生 被 抽測 的機 率相 等 ( 3) 甲方 法中 , 四 個班 級 被抽 測的 機 率 相 等 ( 4) 乙方 法中 , 四 個班 級 被抽 測的 機 率 相 等 ( 5) 「愛 」 班 被抽 測 的 機 率, 使 用 甲 方 法 較 使 用 乙方 法 高

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三、選填題(35%)

說明:A,B,C,D,E 各題為選填題,劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號7~20內。每

題完全答對得7分,未完全答對,不給分。

A. 設 a 為 實數 , 令 α 、 β 為 二次 方 程 式 x2ax  (a 2) 0 的兩 個 根 。 試 問 當 a 為 何值 時,   有 最 小 值 ? 答 : a = 。 B. 啦啦 隊競 賽 規 定 每 隊 8 人 ,且 每 隊 男、女 生 均 至 少要 有 2 人。某 班共 有 4 名 男生 及 7 名 女 生 想 參 加 啦 啦 隊 競 賽 。 若 由 此 1 1 人中 依規 定 選 出 8 人組 隊, 則 共 有 種 不 同 的 組 隊 方 法 。 C. 阿貴 和 阿美 及其 他 8 名同 學共 1 0 名學 生 輪 到 本 周 擔 任 值 日 生。本 周 5 個 上課 日 每 天 從 尚 未 當 過 的 同 學 中 抽 籤 選 出 2 位 輪值 。 則 阿貴 和 阿美 同一 天擔 任 值 日 生 的 機 率 為 。 (以 最簡 分 數 表 示 ) -4-7 9 10 8 11 12

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D . 李 探 長為 了 找 尋 槍手 的 可 能 發 射 位 置 , 他設 定 一 空 間 坐 標 , 先 從 ( 0, 0, 2) 朝 向 ( 5, 8, 3) 發 射 一 固 定 雷 射 光 束 , 接 著 又 從 點 (0 , 7 , a) 沿 平行 於 x 軸方 向發 射 另 一 雷 射光 束 ,試 問 當 a 為 何值 時 , 兩 雷射 光 束 會 相 交 ? 答 : a= 。 E . 當 平面 上 的 點( , )x y 之 坐 標 x 與 y 都 是整 數 時 , 稱點( , )x y 為 格 子 點。數 學 家 知 道 : 坐 標 平 面 上 三 個 頂 點 皆 為 格 子 點 的 三 角 形 之 面 積 可 以 用 公 式           aS bI c  來 表 示 , 其 中 S 代 表三 角 形 三 邊邊 上 的 格 子 點 數 , I 是 落在 三 角 形 內部 (不 含邊 上 )的 格 子 點 數 , a, b , c 是 固定 的 常 數 。 則 ( a, b , c ) =

(

)

。 15 13 14 18 19 20

,

16 17

.

,

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以 下 部 分 作 答 於 答 案 卷

-第 貳 部 分 : ( 2 3 % )

說明:一、二為計算證明題,請在「答案卷」之「作答區」作答,必須於「題號欄」標

明題號,且應寫出計算過程或理由,否則將酌予扣分。每題配分標於題末。

一 、 南 北 生 技 農 場 今 年 生 產 一 種 植 物 共 1 萬 公斤 , 該 植 物每 2 00 公 斤可 提 煉 1 公 斤的 中 草 藥 , 每 5 公 斤可 製 成 1 公 斤的 健 康 食 品 。中 草藥 每 公 斤 可獲 利 5 00 0 元 ,健 康 食 品 每 公 斤 可 獲 利 10 0 元; 根據 市 場 調 查 每 年 中 草藥 最 大 需 求 量 為 30 公 斤, 健 康 食 品 最 大 需 求 量 是 18 00 公斤。如 果 南 北 生 技農 場 決 定 提煉 中 草 藥 x 公斤 ,並 製 成 健 康 食 品 y 公斤 ,設 P 為其 可 獲 利 潤 。 ( 1) 試 以 x , y 表示 P。 ( 3 分 ) ( 2) 如 果想 獲 得 最 大利 潤 , 則 x , y 的值 為何 ? 說 明 理 由 。 (8 分 ) 二、聲 音 的 強 度 是 用 每 平 方 公 尺 多 少 瓦 特( /W m 來 衡量 , 一 般 人能 感 覺 出 聲 音 的 最 小 強2) 度 為 I0 1012 ( /W m2); 當 測 得 的 聲 音 強 度 為 I ( /W m 時, 所 產 生 的 噪 音 分貝 數 d2) 為 0 ( ) 10 log I d I I   。 ( 1) 一 隻蚊 子 振 動 翅膀 測 得 的 聲音 強度 為 12 2 10 ( /W m ), 求 其 產 生 的 噪 音 分 貝 數 。 (2 分 ) ( 2) 汽 車製 造 廠 測 試發 現 , 某 新 車以 每 小 時 60 公 里速 度 行 駛 時, 測 得 的 聲音 強 度 為 4 2 10 ( W m/ ), 試 問 此 聲 音 強 度 產 生 的 噪 音 為 多 少 分 貝 ? (4 分 ) ( 3) 棒 球比 賽 場 中 ,若 一 支 瓦 斯 汽 笛 獨鳴 ,測 得 的 噪 音 為 70 分 貝, 則 百 支 瓦斯 汽 笛 同 時 同 地 合 鳴 , 被 測 得 的 噪 音 大 約 為 多 少 分 貝 ? (6 分 )

數據

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參考文獻

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