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質數無限多個

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Academic year: 2021

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(1)

質數有無限多個

bee

*

108.01.12

∼ 108.01.13

我們想證明質數有無限多個,並從幾種證明方法中得到意外的收穫。

1.

歐基里德的巧法

Euclid 的證明法:設所有的質數為 p1, p2,· · · , pn,且 p = p1p2· · · pn+ 1 (1) 因為 p 並不被任意的質數 pi 整除,所以 p 是一個質數,但是它又比每個質數 pi 大,所以假設所 有的質數共有 n 個是不正確的,即質數有無限多個。 Euclid 的方法不僅告訴我們質數有無限多個,還說明利用 p1p2· · · pn+ 1可以創造出新的質 數。不過,並不是任意幾個質數相乘後加 1 就恰好是一個新的質數。例如: 3× 5 + 1 = 16 = 24 (2) 由 3, 5 可以產生新的質數 2,不過 16 並不是質數。 利用這樣的手法,不僅可以產生新質數,還可以得到一個意外的結果: 兩個相鄰的質數之間的距離【可以任意大】。 意思是說:不管你給怎樣的正整數 n,都可以找到【兩個相鄰的質數】,此兩數之間的距離大於 n。 作法是:找一序列的數 (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4,· · · , (n + 1)! + (n + 1) (3) 顯然這些數都不是質數,於是存在兩個相鄰的質數之間的距離大於 n。 *bee 美麗之家: http:/www2.chsh.chc.edu.tw/bee

(2)

2.

級數和無窮乘積的巧妙連結

關於質數有無限多個,Euler 有另一個奇特的作法。 利用每一個正整數有唯一的標準分解式這一個性質,我們有底下的觀察。 【觀察】:考慮所有正整數的倒數和,也就是調和級數,可得 ∑ n∈N 1 n = 1 1+ 1 2+ 1 3+· · · = ( 1 + 1 2 + 1 22 +· · · ) ( 1 + 1 3 + 1 32 +· · · ) ( 1 + 1 5 + 1 52 +· · · ) · · · =∏ p ( 1 1 p )−1 因為 ∑ n∈N 1 n 是一個發散級數,所以可得 ∏ p ( 1 1 p )−1 是一個發散的連乘積,這相當於說明 質數的個數是無限多個 (這是本文的第二個證明方法)。

3.

質數的倒數和也發散

我們可以得到更多一點。 性質:設 y≥ 3,則p≤y 1 p > log log y− 1 先看一下這一個性質在說甚麼? 設 y = 10。計算p≤10 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 = 247 210 ≈ 1.2, log log 10 − 1 ≈ −0.17 可得 ∑ p≤10 1 p > log log 10− 1 多算一個例子:設 y = 100,計算p≤100 1 p = 1 2 + 1 3 +· · · + 1 89+ 1 97 ≈ 1.82, log log 100 − 1 ≈ 0.53

(3)

可得 ∑ p≤100 1 p > log log 100− 1 如果性質裡的不等式是成立的,我們可得質數的倒數和是發散的,這等於說明質數有無限多個, 同時說明質數的密度比完全平方數的密度大 (因為∑ 1 n2 = π2 6 )。 接下來我們來證明性質是正確的。 【證明】:先觀察一個不等式: ev+v2 ≥ (1 − v)−1, 0≤ v ≤ 1 2 (4) 這一個不等式出現得很奇怪,而且看不出來是正確的,很想知道它是怎樣出現的。 把不等式改成 ev+v2 (1− v) ≥ 1,然後在 0 ≤ v ≤ 1 2 範圍內觀察函數 f (v) = e v+v2 。先代入 v = 0得 y(0) = 0,然後求 f′(v) = v(1− 2v)ev+v2 ≥ 0 (5) 可知這一個函數是遞增函數,因此可得不等式是正確的。 接下來觀察 ∏ p≤y ( 1 + 1 p+ 1 p2 +· · · ) = ∑ n∈M 1 n 這一個式子以左式為主動,M 是被動形成的集合。 考慮小於 y 的正整數 n,可得 n∈ M,並設 M 中不大於 y 的最大正整數為 x,可得 xn=1 1 n x+1 1 dt t = log(x + 1) > log y (6) 於是拿出∏ p≤y ( 1 + 1 p + 1 p2 +· · · ) 可得 ∏ p≤y ( 1 1 p )−1 =∏ p≤y ( 1 + 1 p + 1 p2 +· · · ) = ∑ n∈M 1 n xn=1 1 n > log y

(4)

再取 v = 1 p,利用不等式 (3),可得 ∏ p≤y exp ( 1 p + 1 p2 ) p≤y ( 1 1 p )−1 > log y (7) 因為 ∏ p≤y exp ( 1 p + 1 p2 ) = exp ∑ p≤y ( 1 p+ 1 p2 ) > log y (8) 此時取指數部分,可得 ∑ p≤y 1 p + ∑ p≤y 1 p2 > log log y (9) 因為 ∑ p≤y 1 p2 < n=2 1 n2 < 1 dt t2 = 1 (10) 所以可得 ∑ p≤y 1 p > log log y−p≤y 1 p2 > log log y− 1 (11)

4.

質數定理

雖然上面的討論中,我們的方法一直在進步中,但是最精巧的還是所謂的【質數定理】。 【質數定理】: lim x→∞ π(x) x log x = 1 (12) 其中,π(x) 就是質數函數,表示不大於 x 之所有質數的個數。這表示質數的個數可由 x log x (13) 來估算,因為

(5)

可知 x 和 log x 是不同等級的兩個數,當然 π(x) 的值會趨近於∞。 不過,我們並不會證明質數定理,而比質數定理更精細的是【黎曼猜想】。質數定理有【基本 證明法】,或許有機會可以學得。

5.

小結

我們學會了: (1) 質數有無限多個 (有 3 個方法)。 (2) 質數的分布可以很分散 (相鄰距離任意大)。 (3) 質數的倒數和發散,表示質數的個數【有些程度上的多】。 (4) 質數的倒數和有下界 log log y− 1。

6.

課後討論

我們從 Euclid 考慮質數是否有無限多個出發,得到質數的分布非常奇特:可能在很大的一個段落 裡都沒有質數。接著看到 Euler 把調和級數和所有質數接上線,間接證明了質數有無限多的性質。 很特別的是:調和級數是發散的 (雖然本文並沒有證明這件事),那不禁想問:所有質數的倒數和 是否也發散? 若質數的倒數和是發散的,那麼質數的個數自然是無限多個,換言之,質數的倒數和發散是一 個比質數有無限多個更強的結論。在文中我們看到 ∑ p≤y 1 p > log log y− 1 這真是一個很有趣的結論。 即使質數的分布【應該是越來越稀疏】,不過質數的倒數和硬是發散的,這實在是很令人意外, 當然另一個有名的猜想是:孿生質數有無限多對?更令人驚奇。 有機會當然得弄懂質數定理、黎曼猜想,進入數論的世界,欣賞領域中的奇岩怪石,真是一大 享受。

7.

參考資料

Ivan Niven, Herbert S.Zuckerman & Hugh L. Montgomery 的 An introduction to The theory of Numbers 第 5 版.

參考文獻

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