101 3 四技二專 數學 C 卷解析

101-3 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 1 頁

101 學年四技二專第三次聯合模擬考試

共同考科 數學(C)卷 詳解

數學(C)卷 101-3-C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D A B A C D B A C A C A B B B D C B D A D C C A D 1. 此 10 個資料由小而大排列如下： 2、2、3、3、8、10、12、20、20、20 其全距a=20−2=18，算術平均數 10 10 20 20 20 12 10 8 3 3 2 2+ + + + + + + + + ₌ = b 中位數 9 2 10 8+ ₌ = c ，a−b+c=18−10+9=17 2. ∵a：b：c=sinA：sinB：sinC=3：5：7

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇒ = = = ⇒ C R B R A R R C c B b A a sin 2 7 sin 2 5 sin 2 3 2 sin sin sin ∴ 2 1 7 3 5 2 7 2 3 2 5 sin sin sin = + = + = + R R R C A B 3. ∵ 5 3 sinθ=− ，且tanθ>0，∴θ Ⅲ ∈ 25 24 ) 5 4 ( ) 5 3 ( 2 cos sin 2 2 sin θ= θ θ= × − × − = 4. 已知 n n k k n S a = − =

∑

= 1 3 2 1 ) 1 5 3 ( ) 1 10 3 ( 2 2 5 10 10 6 − × − − × = − =

∑

= S S a k k 225 75 3 ) 5 10 ( 3× 2− 2 = × = = 5. A、B 之極坐標為 ) 105 , 4 ( ° A 、B(3,15°) ∵∠AOB=105°−15°=90° ∴AB= 42+32 =5 6. 令∠ABE=α，∠CBD=β 則 4 1 tanα = ， 3 1 tanβ= 11 7 3 1 4 1 1 3 1 4 1 ) tan( = × − + = +β α 7 11 ) cot( )] ( 2 tan[ tanθ= π − α+β = α+β = 7. ∵ 2 2 π π ≤ ≤ − x ，∴− °≤ + ≤150° 3 30 x π 1 ) 3 sin( 2 1_{≤ + ≤} − x π ， ) 2 3 sin( 2 1 ) 2 (× ⇒− ≤ x+π ≤ 同減 1 ) 1 1 3 sin( 2 2≤ + − ≤ − ⇒ x π ，∴−2≤ f(x)≤1 ∴M =1、m=−2，M+ m=1+(−2)=−1 8. 由 ABCΔ 中， 3 2 4 3 2 3 4 3 cos 2 2 2 = × × − + = B 由ΔABD中，∵ 6 3 2 1 3 2 1 32 2 2 = × × × − + = AD ∴AD= 6 9. ∵ 5 3 7 5 2 ) 2 4 ( 7 5 cos 2 2 2 = × × − + = A ∴ 5 4 sinA= 14 5 4 5 7 2 1_{× × × =} = ΔABC 10. 36 8 102− 2= = 11. 設 f(x)=(x−1)5=(x2−1)Q(x)+(ax+b) 則 f(1)=a+b=0……○1 32 ) 1 (− =−a+b=− f ……○2 ○1 −○2得₂a=₃₂，∴a=16代入○1得b=−₁₆ ∴2a+ b=16 12. 1 1 ) 1 )( 1 ( 1 2 2 2 2 + + + + − = + + − + x x C Bx x A x x x x 同乘x3−1得2x2+1=A(x2+x+1)+(Bx+C)(x−1) 令x=1代入得3=3A，∴A=1 比較 2 x 項係數得2=A+B，∴B=1 比較常數項得1=A−C，∴C=0 ∴A+B+C=1+1+0=2 13. 30 6 10 20 20 4 10 10 10 2 5 5 30 6 10 20 4 10 10 2 5 30 6 20 20 4 10 10 2 5 + − + + = − + −

101-3 共同考科 數學(C)卷 共 2 頁 第 2 頁 14. 無解 4 2 2 1 1 4 2_{= ≠} ⇒ ≠ = ⇒ k k k k ，且 2 ± = ⇒ k ，且k≠2⇒k=−2 15. π π 3 5 sin 3 5 cos 2 3 1 i i W = − = + ∵ ) cos10 sin10 1 3 5 sin 3 5 (cos 6 6_{= π+ π = π+ π =} i i W ∴最小正整數n=6 16. ∵ i Z Z 8 7 2 + = + ∴ i Z i Z i Z 3 4 1 8 6 2 8 7 2 1+ = + ⇒ = + ⇒ = + ∵ 1 = 3+4i =5 Z ，∴ 5 1 = Z 17. ∵ 3 _{)( )} 2 )( 2 ( 3 2 2 b a a _b a a ≥ + + ，且已知a+ b=6 ∴ 3 2 4 1 2≥ a b，兩邊立方得 a2b 4 1 8≥ ，∴a2b≤32 當a =b 2 時，a b 2 _{有最大值 32，∴} 32 = M ∵a+ b=6，∴a+a=6⇒a=4= p 2 時，b= 2=k ∴ 4 2 432 =× = pk M 18. ∵ 2 1 log_xa= 、 3 1 log_xb= 、 4 1 log_xc= 、 5 1 log_xd = ∴ 60 23 5 1 4 1 3 1 2 1 ) ( log = + − − = cd ab x ，∴ 23 60 log x= cd ab 19. _{x x} x x x f ₋ − + − = 3 3 3 3 ) ( ， 5 4 3 3 3 3 ) ( = + − = ₋− a a a a a f a a a a_{− ×} − _{= × + ×} − × ⇒5 3 5 3 4 3 4 3 a a a _{= ×} − ₌ − ⇒ 2 3 3 9 3 ，∴a= 2−a，∴a=1 20. (B) L： 3x+ y−1=0之斜率為− 3 且∵tanα =− 3，∴斜角α= 120° 如右圖，L 和 y 軸所夾銳角為 ° = ° − ° 90 30 120 (C) ∵P(1,1)滿足 3x+ y−1>0 ∴P(1,1)在 L 的上方 (D) 2 3 1 ) 3 ( 1 1 1 3 ) , ( 2 2₊ = − + × = L P d 21. 因為 20 個硬幣均相同，所以其結果只需考慮出現正 面的次數為 0、1、2、……、20，共 21 種不同的結果 22. 常數項為C₃5(x3)2(−2x−2)3=10×(−8)=−80 23. 7 3 56 6 4 8 3 6 1 4 1 × ₌ × ₌ C C C 24. 10) 20 16 6 20 2 5 3 40 5 2 ( × + × − = + − = (元) 25. (A) ∵C 組資料為 A 組資料的 2 倍 ∴XC =2XA (B) ∵B 組中每一資料乘以 2 倍再加上 4，恰為 C 組 中的每一資料，∴XC =2XB+4 (C) ∵XC=2XA，∴SC=2SA (D) ∵平移標準差不變，∴SA=SB