共同考科 數學(C)卷 共 3 頁 第 1 頁
九十八學年四技二專第五次聯合模擬考試
共同考科 數學(C)卷 詳解
數學(C)卷
98-5-C
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 D A B B C C D A A D A C D A B D C C C C D A B A B 1. 設 D 點坐標為(x,y) ∵平行四邊形對角線互相平分 ∴A+C = B+D⇒A+C=B+D 2 2 ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ + − = − + + = + ⇒ 2 10 ) 2 ( ) 1 ( 1 5 12 3 y x y x ，∴D(10,2) 2. cot200°=cot(180°+20°)=cot20°=−k∴sin1330°=sin(180°×7+70°) 2 1 70 sin k k + − − = ° − = 2 1 k k + = 3. 令t=sinx+cosx 2 2≤ ≤ − ⇒ t 故f(x)=(sinx+cosx)2 ) cos (sin 2 x+ x + 可寫為 1 ) 1 ( 2 ) (t =t2+ t= t+ 2− f ∴t= 2時 f(t)有最大值M =( 2)2+2 2=2+2 2 t=−1時， f(t)有最小值m=−1
4. 2sinθ=3cosθ⇒4sin2θ=9cos2θ
∵sin2θ+cos2θ=1，∴4sin2θ =9(1−sin2θ) 13 3 sin 13 9 sin 9 sin 13 2 = ⇒ 2 = ⇒ =± ⇒ θ θ θ (1) 13 2 cos 13 3 sinθ=± ⇒ θ=±
∵2sinθ=3cosθ∴sinθ和cosθ同號⇒sin2θ>0
故 13 12 13 2 13 3 2 cos sin 2 2 sin θ = θ θ = × × = (2) 13 5 13 9 2 1 sin 2 1 2 cos θ= − 2θ= − × =− 5. 設AB=x，作BD ∵圓內接四邊形對角互補 ∴∠BAD=60° 根據餘弦定理 ABD Δ 中的BD BCD Δ = 中的BD ° × × − + = ⇒BD2 x2 42 2 x 4cos60 =42+32−2×4×3cos120° 0 ) 3 )( 7 ( 0 21 4 2− − = ⇒ − + = ⇒x x x x 7 = ⇒ x 或−3(−3不合)∴AB=7 6. 108 2 9 2 1 2 3 12 3 4× 2+ × × × + × 2 = = ∴ = 108=6 3 7. 利用綜合除法 如右圖所示 ∴商式Q(x) =x3+3x2−4x+2 餘式R(x)=−3 8. 令x=2+ 7i i x−2= 7 ⇒ 7 4 4 2− + =− ⇒x x 0 11 4 2− + = ⇒x x 為以2+ 7i 為一根之二次方程式 11 4 2− + ⇒x x 可整除x3−7x2+ax+b ⎩ ⎨ ⎧ − = ⇒ = + = ⇒ = − ⇒ 33 0 33 23 0 23 b b a a 又x3−7x2+ax+b=(x2−4x+11)(x−3) ∴第三個根為c=3，故a+b+c=23−33+3=−7 9. ∵ z1 = 2 z2 ∴ 2 2 1 = z z 又 2 1 zz 的主幅角為 4 3π ) 2 1 2 1 ( 2 ) 4 3 sin 4 3 (cos 2 2 1 i i z z = + = − + ⇒ π π i z i i⇒ − =− + + − = 1 3 4 1 2 i i i i i i i z 2 1 2 7 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 4 3 ( 1 4 3 2 + − = − − + − − − − = + − − = ⇒ 10. 2 4( 2) 2 2 3 2 ) 2 ( 4 2 2 ) 3 ( ) 3 ( ) 9 1 ( ) 27 ( x+ < −x − ⇒ x+ < − −x − 0 4 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( 4 2 3× + <− − 2− ⇒ 2− − > ⇒ x x x x 4 0 ) 1 )( 4 ( − + > ⇒ > ⇒ x x x 或x<−1 11. log2(x−1)=1+log4(x+2)
共同考科 數學(C)卷 共 3 頁 第 2 頁 ) 2 ( 4 log ) 2 ( log 4 log ) 1 ( log 4 4 4 2 4 − = + + = + ⇒ x x x 0 7 6 ) 2 ( 4 ) 1 ( − 2= + ⇒ 2− − = ⇒ x x x x 7 0 ) 1 )( 7 ( − + = ⇒ = ⇒ x x x 或−1 (∵−1會使真數x−1<0∴−1不合) 12. (2 20 ) 0 2 21 0 1 21 2 1+a + +a = ⇒ a + d = a L d a d a d a 20 0 10 0 10 2 1+ = ⇒ 1+ = ⇒ 1=− ⇒ 又a7=8⇒a1+6d =8⇒−10d+6d=8 ) B ( 2LL − = ⇒ d ) A ( 20 ) 2 ( 10 10 1=− d =− × − = LL a (C) 設第n 項開始小於 0 ⇒a1+(n−1)d<0⇒20+(n−1)(−2)<0⇒n>11 ∴自第 12 項開始小於 0 (D) ( ) 0 2 21 0 1 21 21 2 1+a + +a = ⇒ a +a = a L ⇒a1+a21=0 13. (A) 2 3 6 2 1 5 = − − − = AB m ， 2 3 0 6 ) 8 ( 1 = − − − = BC m ∵ BC AB m m = ∴A、B、C 三點共線 (B) 2 3 = AB m ， 3 2 12 6 ) 3 ( 1 =− − − − = BD m ∵ ) 1 3 2 ( 2 3× − =− = × BD AB m m ∴AB⊥BD⇒∠ABD=90° (C) ∵ 2 3 = AB m ∴根據點斜式，過P(0,3)平行 AB 之 直線方程式為 ( 0) 3 2 6 0 2 3 3= − ⇒ − + = − x x y y (D) AB 中點為 ) (4, 2) 2 1 5 , 2 6 2 ( + − + = − 又 = ⇒ 2 3 AB m 垂直平分線斜率為 3 2 − ∴AB的垂直平分線方程式為 ( 4) 2 3 2 0 3 2 ) 2 (− =− − ⇒ + − = − x x y y 14. L 的斜率 3 4 1= m ，x 軸的斜率m2=0 3 4 0 3 4 1 0 3 4 tan =± × + − ± = ⇒ θ ∵θ 是銳角∴ 5 3 cos 3 4 tanθ= ⇒ θ= 15. 設L：4x−3y+k=0 圓：(x−2)2+(y−1)2 =4+4+1=9 ∴圓心(2,1)，半徑 3= L 和圓相切⇒圓心到L的距離=半徑 15 5 15 5 3 ) 3 ( 4 1 3 2 4 2 2+ − = ⇒ + = ⇒ + =± + × − × ⇒ k k k 10 15 5± = − = ⇒ k 或 20− ∴L：4x− y3 +10=0或4x− y3 −20=0 又 L 不過第二象限∴L：4x− y3 −20=0 16. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − + ≥ − + ≥ ≥ 0 5 2 0 4 2 0 0 y x y x y x ， 的圖解為 ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = − + = − + 2 1 0 5 2 0 4 2 y x y x y x y x y x f( , )=3 +2 6 0 2 2 3 ) 0 , 2 ( = × + × = ⇒ f f(5,0)=3×5+2×0=15(最大值) f(1,2)=3×1+2×2=7 17. 拋物線(y−2)2=−4(x+1) 1 1 4 4c=− ⇒c=− ⇒焦距= 又頂點為(−1,2)，對稱軸為y−2=0 ⇒開口向左且焦點為(−1−1,2)=(−2,2) ∴以焦點(−2,2)為圓心，焦距 1 為半徑的圓方程式為 (x+2)2+(y−2)2=1 18. 雙曲線4x2−5y2−16x+20y−24=0 20 16 24 ) 2 4 ( 5 ) 2 4 ( 4 2− + 2 − 2− + 2 = + − ⇒ x x y y 1 4 ) 2 ( 5 ) 2 ( 20 ) 2 ( 5 ) 2 ( 4 2 2 2 2− − = ⇒ − − − = − ⇒ x y x y ∴a2=5，a= 5 又 P 在雙曲線上，A、B 為焦點 ∴ PA−PB =2a=2 5 19. (A) 120 ! 3 ! 6 6 3 = = P (B) 每個球有 5 個箱子可選⇒5×5×5=53=125 (C) 84 ! 3 ! 6 ! 9 9 6 4 6 = C = = H (D) 5! 120 6 ! 6 = = 20. )P(至少一人投進)=1−P(都不進 20 11 4 3 5 3 1 ) 4 1 1 )( 5 2 1 ( 1− − − = − × = = 21. 期望值 ( 3) 6 5 5 6 1 2 10 6 1 2 2 2 5 1 2 × + × − × × + × = C (兩個 6 點) (恰一個 6 點) (沒有 6 點) 12 5 36 15 36 75 36 50 36 10 − = − = − + = 22. x x x x 2 3 3 lim 0 − − + → ) 2 3 3 ( ) 2 3 3 )( 2 3 3 ( lim 0 x x x x x x x x + + − − + + − − + = →
共同考科 數學(C)卷 共 3 頁 第 3 頁 ) 2 3 3 ( 3 lim ) 2 3 3 ( ) 2 3 ( ) 3 ( lim 0 0 x x x x x x x x x x x + + − = − + + − − + = → → 2 3 3 2 3 3 3 3 = = + = 23. f(x)=(x3−2x2−1)5 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 5 ) ( = 3− 2− 4× 3− 2− ′ ′ ⇒ f x x x x x =5(x3−2x2−1)4(3x2−4x) ) 1 ( 5 1 ) 1 ( ) 1 ( lim 5 1 5 ) 1 ( ) 1 ( lim 0 0 f h f h f h f h f h h ′ = − + = − + → → 16 )] 4 3 ( ) 1 2 1 ( 5 [ 5 1× − − 4 − =− = 24.
